3.3.2抛物线的简单几何性质课后练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从抛物线定义到综合应用梯度递进，适配新授课基础巩固与核心素养培养 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|抛物线定义、准线、焦点等基础概念|选择填空为主，如第1题用定义求距离，夯实数学眼光中的几何直观| |B级|切线、面积计算、最短距离等|填空与解答结合，如第10题切线与四边形面积，发展数学思维的推理能力| |C级|综合最值问题|解答题形式，如第14题四边形面积最小值，培养创新意识与数学语言表达|

3.3.2　抛物线的简单几何性质 A级　必备知识基础练 1.若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2,则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 2.若抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,若|AB|=2,则点A到抛物线的准线的距离为(　　) A. B. C.2 D. 3.如图,P是抛物线y2=8x上一点,F是抛物线的焦点,∠OFP=60°,则|PF|=(　　) A.8 B.4 C. D. 4.(2026陕西高二期中)已知抛物线E:x2=-2py(p>0)与直线y=-kx+p无公共点,则实数k可以为(　　) A.-3 B.-2 C.-1 D.2 5.已知抛物线y2=8x,过点P(3,2)引抛物线的一条弦,使它恰在点P处被平分,则这条弦所在的直线l的方程为(　　) A.2x-y-4=0 B.2x+y-4=0 C.2x-y+4=0 D.2x+y+4=0 6.(2026河南高二期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且倾斜角为的直线与抛物线C及其准线l分别交于点A,B(点A在线段BF上),|AB|=2,则p=(　　) A.1 B. C.2 D.4 7.(2026重庆高二期中)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,若F恰好为AC的中点,则|BF|等于(　　) A. B.2 C.3 D.4 8.设抛物线x2=12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,若P恰为线段AB的中点,则|AF|+|BF|=　　　　　.  9.(2026重庆高二期中)已知F为抛物线C:y2=2px的焦点,P(t,t)(t≠0)为抛物线C上的一点,且|PF|=10,过点(4,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点. (1)求抛物线C的方程; (2)求的最大值. B级　关键能力提升练 10.(2026北京高二期中)过点P(4,4)作抛物线y2=4x的切线交y轴于点Q,设抛物线的焦点为F,则四边形OFPQ的面积为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 11.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为48,则p的值为　　　　　.  12.已知M是抛物线y2=6x上一点,则点M到直线3x-4y+12=0的最短距离为　　　　. 13.在平面直角坐标系中,抛物线y2=2px(p>0)上一点P的横坐标为4,且点P到焦点F的距离为5. (1)求抛物线的方程; (2)若直线l:x=my+t交抛物线于A,B两点(位于对称轴异侧),且(O为坐标原点),求证:直线l必过定点. C级　学科素养创新练 14.已知抛物线E:y2=2px(p>0)上任意一点M到焦点F的距离比到y轴的距离大1. (1)求抛物线E的标准方程; (2)l1∩l2=F,l1⊥l2,l1交抛物线E于A,C两点,l2交抛物线E于B,D两点,求四边形ABCD的面积的最小值. 答案 1.A　由题意,知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1, ∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2,则P(3,±2),∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4,∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A. 2.B　由抛物线y2=2x得,其准线方程为x=-,∵AB垂直于x轴,|AB|=2,∴点A到x轴的距离为,假设点A在y轴上侧,即yA=,代入抛物线y2=2x,求得xA=1,点A到抛物线的准线的距离d=1+.故选B. 3.C　由抛物线的方程可知p=4,焦点F(2,0),因为∠OFP=60°,所以直线PF的斜率k=tan 120°=-, 因此直线PF的方程为y=-(x-2),与抛物线方程联立,消去y得3x2-20x+12=0,解得x=或x=6,由题图可知点P的横坐标为,|PF|=.故选C. 4.C　联立⇒x2-2pkx+2p2=0,所以Δ=4p2k2-8p2=4p2(k2-2)<0,解得-<k<.故选C. 5.A　易知直线l的斜率存在,设直线的斜率为k,直线l交抛物线于M,N两点,设M(x1,y1),N(x2,y2),易知x1≠x2,y1+y2=4,则两式相减得=8(x1-x2),整理得,所以k==2,所以直线l的方程为y-2=2(x-3),即2x-y-4=0.故选A. 6.B　作出示意图如图所示, 因为直线BF的倾斜角为,所以∠AFO=,过点A作AM垂直准线于点M,所以∠BAM=. 因为|AB|=2,所以|AM|=1, 所以|AF|=1,所以|FB|=3, 所以|FN|=,所以p=. 故选B. 7.A　由题意可知,抛物线的焦点F(1,0),准线方程为x=-1,直线AB与抛物线必相交. 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(-1,y0), 因为F恰好为AC的中点,则=1,可得x1=3, 则直线AB的斜率存在,设为k,则直线AB:y=k(x-1), 联立消去y可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,k不为0,且Δ>0,则x1x2=1,即3x2=1,可得x2=, 所以|BF|=x2+1=.故选A. 8.8　过点A,B,P分别作抛物线的准线y=-3的垂线,垂足分别为C,D,Q,图略,根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|PQ|=8. 9.解 (1)抛物线C:y2=2px的焦点为F(,0),准线方程为x=-. 已知P(t,t)(t≠0)为抛物线C上的一点,代入抛物线方程得t2=2pt⇒t=2p. 由抛物线的定义,|PF|=t+=10,将t=2p代入得2p+=10, 解得p=4, 因此抛物线C的方程为y2=8x. (2)由上分析可知p=4,则t=2p=8,即P(8,8). 设过点(4,0)的直线l的方程为x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消元得y2-8my-32=0, 由根与系数的关系得y1+y2=8m,y1y2=-32,=(x1-8,y1-8),=(x2-8,y2-8), =(x1-8)(x2-8)+(y1-8)(y2-8),将x1=my1+4,x2=my2+4代入, 得=(my1-4)(my2-4)+(y1-8)(y2-8)=(m2+1)y1y2-(4m+8)(y1+y2)+80=(m2+1)(-32)-(4m+8)×8m+80=-64m2-64m+48, 这是关于m的二次函数,图象开口向下,对称轴为直线m=-=-, 将m=-代入得的最大值为-64×-64×(-)+48=64. 10.D　显然直线PQ不垂直于y轴,设其方程为x=t(y-4)+4, 由消去x得y2-4ty+16(t-1)=0,则Δ=16t2-64(t-1)=0,解得t=2, 故直线PQ:x-2y+4=0,点Q(0,2). 过点P作PM⊥x轴于点M,而F(1,0), 则OQ∥PM,|OQ|=2,|OM|=|PM|=4,|FM|=3, 所以四边形OFPQ的面积SOFPQ=SOQPM-S△PFM=×4-×3×4=6.故选D. 11.2　设A(x1,y1),B(x2,y2).∵|OA|=|OB|,∴.又=2px1,=2px2, ∴+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0. 又x1,x2与p同号,∴x1+x2+2p≠0.∴x2-x1=0,即x1=x2.根据抛物线对称性可知点A,B关于x轴对称,由△OAB为等边三角形,不妨设直线OB的方程为y=x, 由解得B(6p,2p), ∴|OB|==4p. ∵△OAB的面积为48, ∴(4p)2=48,解得p2=4,∴p=2. 12.　设M(,y0),则点M到直线3x-4y+12=0的距离d=, 当且仅当y0=4时,等号成立. 13.(1)解 由题可知,点P到抛物线准线的距离为5, 因为抛物线的准线方程为x=-,点P的横坐标为4, 所以4+=5,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x. (2)证明 设A(,y1),B(,y2),且y1y2<0, 联立消去x可得y2-4my-4t=0, 则Δ=16m2+16t>0,且y1+y2=4m,y1y2=-4t<0, 即t>0,所以x1x2==t2. 由,得x1x2+y1y2=,即t2-4t=, 解得t=-<0(舍去)或t=,故直线l的方程为x=my+,所以直线l必过定点(,0). 14.解 (1)抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F(,0),准线为x=-. ∵抛物线上任意一点M到焦点F的距离比到y轴的距离大1, 根据抛物线的定义可知,-=-1,解得p=2, ∴抛物线E的标准方程为y2=4x. (2)由题可知l1,l2均有斜率且斜率不为零,且过焦点F(1,0),设l1:x=ky+1,l2:x=-y+1,k≠0, 设A(x1,y1),C(x2,y2), 由消去x可得y2-4ky-4=0, ∴Δ=(-4k)2-4×(-4)=16k2+16>0,y1+y2=4k, ∴x1+x2=k(y1+y2)+2=4k2+2,∴|AC|=x1+x2+p=4k2+4=4(k2+1),同理可得|BD|=4(+1), ∴S四边形ABCD=|AC|·|BD|=8(k2+1)(+1)=8(2+k2+)≥8(2+2)=32,当且仅当k=±1时,等号成立,∴四边形ABCD的面积的最小值为32. 2 学科网（北京）股份有限公司 $