第3章 代数式 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年七年级上册数学提优训练（青岛版·新教材）

第3章 代数式 知识梳理导图 用字母表示数 代数式的值 用数代替代数式中的字母， 按照代数式中的运算关系 计算出的结果 用运算符号把数和表示 数的字母连接而成的式子 代数式 在某一变化过程中， 生活 代 常量 数值保持不变的量 单独的一个数或一个表示 中的 在某一变化过程中， 数的字母也是代数式 式 常量 与变量 变量 可以取不同数值的量 重难疑点解法 上分点个用字母表示数 ②(ab-a-b+1)m2; 例①能用式子2a十4表示的是( ③(ab-a-b)m2; ④[(a-1)(b-1)]m. 2a 4 其中表示正确的代数式个数是( 2 线段AB的长 组合图形的面积 A B 圆柱的高为4 长方形 的周长 底面积为a, 圆柱的体积 A.1 B.2 C.3 D.4 D 名师启发由弯曲的小路的左边线向右平移1m C 名师启发根据线段的加减、图形面积的加减、长 就是它的右边线可知，路的宽度是1m,即其面积与长为 bm、宽为1m的长方形的面积相等，则这块草地的绿地 方形的周长公式和圆柱的体积公式逐一判断即可. ☆方法技巧 面积为[(a-1)(b-1)]m或(ab-a-b+1)m2. 关键提醒 本题主要考查了用字母表示数的实际意义，解 本题考查了列代数式，解题的关键是读懂题 题的关键是掌握用字母表示数和实际问题中数量间 意，列出代数式，是一道基础题， 的关系， 上分点3求代数式的值 分上分点2列代数式 例3(2026·广东河源紫金期末)若数a满足a2 例2如图，在一块长为am、宽为bm的长方形 3a-3=0,则代数式2(a2-3a)+2025的值为 草地上，有一条弯曲的小路和一条宽度为1m的直线 ( ). 小路，弯曲小路的左边线向右平移1m就是它的右边 A.2028 B.2029 C.2030 D.2031 线.给出下列四个表示这块草地的绿地面积的代数式： 名师启发将已知条件变形，得到a2一3a=3,然后 ①(ab-1)m2; 整体代入求值即可. 11 实验班提优训练数学七年级上QD 女归纳总结 A.在这个变化中，温度和声速都是变量 本题考查了代数式求值，关键是按照运算法则 B.温度越高，声速越快 变形并利用整体思想代入求值！ C.当空气温度为20℃时，声音5s可以传播 1740m 上分点4生活中的常量与变量 D.温度每升高10℃，声速增加6m/s 例4某科研小组在网上获取了声音在空气中 名师启发根据变量的含义，以及表格中声音在 传播的速度与空气温度关系的数据如下： 空气中传播的速度与空气温度的关系逐一判断即可. 温度/℃ -20 -10 0 10 20 30 型归纳总结 本题主要考查了变量的含义和判断，熟练掌握 声速/(m/s) 318 324 330 336 342 348 常量与变量的概念是解题关键 下列说法错误的是( 易错易混辨析 易错点]代数式书写不规范 例1 下列各式符合代数式书写规范的是 )易错点2列代数式时，理解题目有误 例2用代数式表示：“a,b两数的平方差的倒 A.18×b 数”是 解析 .a,b两数的平方差为a2-b2, D.m÷2m a,b两数的平方差的倒数为。一6 1 解析选项A正确的书写格式是18b,故此选 项不符合题意；选项B正确，故此选项符合题意；选 答某 a2-b2 项C正确的书写格式是4x,故此选项不符合题意； 辨析归纳 先表示出两数的平方，再表示出差，最后表示 选项D正确的书写格式是孤，放此选项不符合题 出倒数即可. 意.故选B. 答案B 饥固特训 辨析伯纳-·. 2.(2026·淄博沂源期末)下列各说法中，错误的是 (1)字母与字母相乘，乘号要省略不写；(2)代 (). 数式中出现除法，“÷”号转化成分数线；(3)数字与 A.代数式x3十y3用文字语言叙述为x与y两数 字母相乘，数字写在字母前；(4)代数式是和或差的 的立方和 形式，后面又有单位，在书写代数式时应加括号； B.代数式(x十y)2用文字语言叙述为x与y两 (⑤)在同一个问题中，不同的量要用不同的字母 数和的平方 表示 C.x的5倍与y的和的一半，用代数式表示为 巩固特训 5z+号 1.下列用字母表示数的式子中：一1x2y,2×(a+ D.比x的2倍多3的数，用代数式表示为2x十3 、 b)a÷c,ah~2,,2c.符合书写要求的有 3.(1)用代数式表示：“a与b两数和的平方减去它们 的积”； 12 第3章 (2)当a=- 2b=3时，求（①）中代数式的值 A.单价 B.金额 C.油量 D.金额和油量 解析在加油过程中汽油的单价是不会变的，因 此是常量，而金额会随着油量的变化而变化，因此金 额和油量是变量， 答案A 辨析归纳 )易错点3对常量和变量的判断错误 本题考查常量与变量，理解常量与变量的定义 是正确判断的前提. 例3(2025·菏泽期末)假期小敏一家自驾游山 西，爸爸开车到加油站加油，小敏发现加油机上某一时 巩固特刘 刻的数据显示牌如图所示，则其中的常量是( ). 4.要画一个面积为30cm的长方形，其长为xcm,宽为 提枪加油 ycm,在这一变化过程中，常量与变量分别为(）. 金额 168.80 0 A.常量为30，变量为x,y 油量 20.00 B.常量为30，变量为x C.常量为30，变量为y 单价 8.44元/升 D.常量为x,y,变量为30 素养考向提分 新情境 (2)依题意，得10x+50+y=123, 整理，得10x十y=73. 例1小桂和小依玩猜数游戏，他们的对话如图 因为x的取值为1到12的整数，y的取值为 所示，请按照他们的对话内容解决下列问题： 1到9的整数，所以x=7,y=3. 小桂：我出生的月份数乘 故小桂是7月份出生的，他家的人口数为3. 10,再加50，最后加上我家的 人口数（小于10），如果我把 %o点 小依：我能猜出 这个结果告诉你，你能猜出 本题考查了列代数式，根据规则得出等式， 你出生的月份和 我出生的月份和我家人口 你家人口数哦. 数吗？ 再由字母的取值范围判断出它们的取值是解题 的关键. 样反白 1.在一次数学活动中，乐乐对东东说：“你在心里想 好一个两位数，将十位数字乘5，然后加4，再将所 (1)设小桂出生的月份数为x,他家的人口数为 得新数乘2，最后将得到的数加个位数字，把你的 y,用含x,y的代数式表示小桂所说的结果； 结果告诉我，我就知道你心里想的两位数.” (2)若小桂所说的结果为123，求小桂出生的月份 和他家的人口数， 我的结 你心里想 1果是85 的是77. 解析(1)由游戏规则可列出代数式10x十50十y; 我的结 你心里想 (2)根据(1)的结果整理得10x十y=73,根据x 1果是27 的是19. 和y的取值范围可判断出它们的取值. 东东 乐乐 答案(1)依题意，得代数式为10x十50+y. (第1题) 13 实验班提优训练数学七年级上QD 通过两人的对话，你能判断乐乐说得对 (号)°（号》21-（合） 说明原因. （)”-(》广提示：()”+()“+ …+(份分》”=名+()+…+(》” [段+(》+…+（份》）]=1-(》 传统文化 1-()]=(分)-(g)”. 例2《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万 6⊙点拨 本题考查了规律型—图形的变化类、有 世不竭”，意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永 理数的混合运算，解决本题的关键是寻找规律 远也截不完.我国智慧的古代人在两千多年前就有了 并会利用规律 数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列 问题 举反白 2.(2025·广东东莞期末改编)饮早茶俗称“叹茶”，是广 东人特有的饮食文化，在清朝时开始在广州盛行. (1) (2) (3) (4) 壶茶、一两笼小点心，或会友，或雅坐，开启一天 规律探索](1)如图(1)所示的是边长为1的正方 生活的优雅序章.广式点心是早茶重头戏，又称为 形将它穷掉半则s=1方方： “粤式点心”，种类繁多，工艺精湛，堪称中华面点 如图(2)，在图(1)的基础上，将阴影部分再裁剪掉 艺术的瑰宝，其中水晶虾饺就是代表点心之一 (1)若一笼装4个虾饺，则做n笼水晶虾饺点心需 半，则S影=1-2-(2)》=(2)-子： 要 个虾饺. 以此类推，如图（3)，S=1-弓-（份）° (2)若用100个虾饺做成了m笼水晶虾饺点心，且每 笼虾饺的个数相等，则每笼虾饺的个数是 份》 …,Ss=1--(》 (3)若有a个虾饺，按每笼虾饺的个数相等规定， 装了b笼水晶虾饺点心，还剩下c个虾饺，则每笼 )》°…-（分》”= 水晶虾饺点心的虾饺个数是多少？当a=70,b= [规律应用](2)计算：2+()°+()+…+ 13,c=5时，则每笼水晶虾饺点心的虾饺个数是 多少？ [拓展延伸]3)计算：()广+（合）”+(2)+ +()》- 解析(1)结合图形的变化根据有理数的混合运算 即可求解； (2)根据(1)中得到的规律进行有理数的混合运 算即可求解； (3)根据(2)的化简结果即可求解. 14 第3章 新考法 角形增加2个 例3[数学问题]三角形有3个顶点，如果在它 (3)当三角形内有n个点时，最多剪出的小三角 形个数为1+2n. 的内部再画n个点，并以这(n十3)个点为顶点画三角 [类比应用](1)当四边形内有1个点时，最多剪 形，那么最多可以剪得多少个小三角形？ 出的小三角形个数为4=2十2×1，当四边形内有2个 [问题探究]为了解决这个问题，我们可以从n= 点时，最多剪出的小三角形个数为6=2十2×2. 1,2,3等具体的、简单的情形人手，探究最多可以剪 (2)四边形内部每增加1个点，最多剪得的小三 得的小三角形个数的变化规律. 角形增加2个. 三角形内 最多剪出的小三角 (3)当四边形内有n个点时，最多剪出的小三角 图形 点的个数 形个数 形个数为2+2n. (4)当m边形内有1个点时，最多剪出的小三角 3 形个数为m=m十2×0，当m边形内有2个点时，最 多剪出的小三角形个数为m+2=m+2X1,…,当m 边形内有n个点时，最多剪出的小三角形个数为十 2 2(n-1)=m+2n-2. 答亲 ④ [问题解决](1)9(2)2(3)(2n+1) [类比应用](1)4(2)2(3)(2n+2) 4 0 (4)(m+2n-2) o问点拔 [问题解决](1)表格中的a= 本题考查了列代数式、图形的变化规律，此 (2)你发现的变化规律是：三角形内的点每增加 类问题可以从数字找规律，也可以从图形找规 1个，最多剪得的小三角形增加 个； 律，然后进行计算即可 (3)猜想：当三角形内点的个数为n时，最多可以 举反e 剪得 个小三角形 3.(2026·浙江杭州滨江区期末改编)已知关于x的代数 [类比应用](1)四边形有4个顶点，在它的内部 式ax2+2x十1（其中a为已知数）.当x=-1时， 画1个点，把四边形剪成若干个小三角形，最多可以 代数式的值为0. 剪得 个小三角形； (1)求a的值； (2)四边形内部每增加1个点，最多剪得的小三 (2)当x=0,1,2时，分别计算该代数式ax2+ 角形增加 个； 2x+1的值； (3)当四边形内点的个数为n时，最多可以剪得 (3)通过计算，小滨认为：代数式ax2+2x+1的值 个小三角形； 随着x的取值的改变而改变，当x的取值越大时， (4)m边形内有n个点时，最多可以剪得 该代数式的值也越大.你认为小滨的说法对吗？ 个小三角形 请说明理由. 解析[问题解决](1)当三角形内有1个点时， 最多剪出的小三角形个数为3=1+2×1，当三角形内 有2个点时，最多剪出的小三角形个数为5=1十2× 2,…,当三角形内有4个点时，最多剪出的小三角形个 数为1+2×4=9. (2)三角形内的点每增加1个，最多剪得的小三 15(动)=（层0+日）×(-0)=号× 善闲乘法分配律简化运算 (-30)- 0×(-0)+日×(-30-号× 、2 (-30)=-20-(-3)+(-5)-(-12) =-20+3-5+12=-10. 故原式等于一。 21-日2）)(-) -子×(》-8×()-五×(》 =-2-(-1)-(-)=-2+1+3 (-)是-日-)=-3， 原武=}+(-3》=品 一题呂解 ②0日)(-)-（货 (-)÷0是日)=-3 原式=一 +(-3)=-9 第3章代数式 例1C例2B 例3D[解析].a2-3a-3=0, .a2-3a=3, .∴.2(a2-3a)+2025=2×3+2025=2031. 故选D. 例4C 巩固特 1.1 2.C[解析]A.代数式x3+y3用文字语言叙述为x 与y两数的立方和，正确，故A选项不符合题意； B.代数式(x十y)2用文字语言叙述为x与y两数 和的平方，正确，故B选项不符合题意；C.x的 5倍与y的和的一半，用代数式正确的表示 为2x十)，所以原表示错误，故C选项符合题 意；D.比x的2倍多3的数，用代数式表示为 2x十3，正确，故D选项不符合题意.故选C. 3.(1)(a十b)2-ab ，36 (2)当a=-7:6=3时，a+6)2-ab= (+)-（x-+-到 4.A 秋每反白 1.乐乐说得对.理由如下： 设所想两位数的十位数字为a,个位数字为b,则 原两位数为10a十b. 根据题意，得2(5a+4)+b=10a+b+8, 则10a十b+8-(10a+b)=8, 将“10a十b”看作一个整体 即结果比原数大8，把计算结果减去8就是心里所 想的数. 当结果是85时，心里所想的数为85一8=77；当结 果是27时，心里所想的数是27-8=19. 2.(1)4n[解析].一笼装4个虾饺， ∴.做n笼水晶虾饺点心需要4n个虾饺. (2)100 [解析]·每笼虾饺的个数X笼数=总虾 m 饺数， 每笼虾饺的个数是10 m (3)由题意，得每笼水晶虾饺点心的虾饺个数为 “合.当a=70,6=13,6=5时， 每笼水晶虾饺点心的虾饺个数为0,5=2=5， 13 故每笼水晶虾饺点心的虾饺个数是5. 3.(1),当x=-1时，代数式的值为0， .a-2+1=0, ,∴.a=1. (2)由(1)可知，代数式为x2+2x+1, 当x=0时，x2+2x+1=1, 当x=1时，x2+2x+1=4, 当x=2时，x2+2x十1=9. (3)小滨的说法不对.理由如下： 当x=-3时，x2+2x+1=4, 当x=一2时，x2+2x+1=1, 此时，x的取值变大时，该代数式的值变小.故小 滨的说法不对. 第4章 整式的加法与减法 例① -125 例2(1)，两个单项式的和还是单项式，∴这两个 单项式为同类项， ∴.2m-1=1,2=n-3,解得m=1,n=5. (2)若3x”-1和2xm-1是同类项，则原式=5x-1 x”,此时m一1=n-1,即m=n.