专题09 轴对称与坐标变化（重难点讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本初中数学讲义聚焦轴对称与坐标变化核心知识点，系统梳理点关于x轴（横不变纵变号）、y轴（纵不变横变号）对称的坐标规律，构建从点对称到图形变换（顶点对称再连线）的学习支架，涵盖坐标变化判断变换、综合题型及区分口诀等内容。 该资料通过“X对称上下翻只变y”等口诀培养抽象能力，分题型（直接求对称点、参数计算等）训练提升推理意识，高频易错点汇总强化应用意识。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，兼顾基础巩固与综合能力提升。

专题09 轴对称与坐标变化 1. 熟练掌握点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律，能快速口算对称点坐标； 2. 理解图形轴对称变换本质：图形对称 = 所有顶点分别对称，再连线； 3. 能根据坐标变化，判断图形发生的轴对称变换； 4. 掌握简单综合题型：先对称、再判断象限、再求值； 5. 区分x轴对称、y轴对称坐标口诀，杜绝考试符号混淆错误。 一、集合的表示方法 （1）自然语言描述法. 一、核心考点：点的轴对称坐标规律（必背） 设任意一点坐标：P(x, y) 1. 关于 x 轴对称（横不变，纵变号）：对称点 (x,y) 规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数 记忆口诀：X对称，上下翻，只变y 2. 关于 y 轴对称（纵不变，横变号）：对称点(x,y) 规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数 记忆口诀：Y对称，左右翻，只变x 二、图形的轴对称变换规律 1. 平面图形关于x轴、y轴对称步骤： ① 找出图形所有顶点坐标 ② 每个顶点按对称规则求出对称点 ③ 依次连接对称点，得到轴对称图形 2. 核心结论 图形对称，就是所有顶点统一对称 三、两次对称（原点对称拓展） 一点先关于x轴对称、再关于y轴对称，结果：P(x,y)(-x,-y)（关于原点对称） 本节了解即可，考试重点只考 x轴、y轴单次对称。 四、特殊位置点的对称特征 1. 点在x轴上：关于x轴对称自身不变 2. 点在y轴上：关于y轴对称自身不变 五、高频易错点汇总 1. 最容易混：x轴对称变y、y轴对称变x，千万别记反； 2. 对称只改符号，数字大小永远不变； 3. 图形对称不是整体移动，是翻折变换； 4. 含字母参数对称题，严格套公式，不要凭感觉改符号。 题型01 直接求关于x轴、y轴的对称点坐标 【典例】在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标．掌握关于x轴对称的点的坐标横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键．根据关于x轴对称的点的坐标特点即可得出答案． 【详解】在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为， 故选A． 【变式】6．点在第四象限，且，，则点P关于y轴对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特征，绝对值，第四象限点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 由绝对值定义可得x，y的可能的值，由点P在第四象限可得点P的坐标，进而让横纵坐标均互为相反数可得P点关于x轴对称点的坐标． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点在第四象限， ∴，， ∴，， ∴， ∴点P关于y轴对称点的坐标是． 故选：B． 题型02 利用对称规律求字母参数的值（月考必考） 【典例】已知点，点关于y轴对称，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了关于轴对称点的坐标的特征；根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：∵点，点关于y轴对称， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式】若点与点关于轴对称，则（    ） A． B．1 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，平方差公式，根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到，再由平方差公式即可得到． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 故选：A． 题型03 根据对称后坐标，判断点所在象限 【典例】已知a＜1，则点（－a2，－a＋1）关于原点的对称点在（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】解：点（-a2，-a+1）关于原点的对称点为：（a2，a-1）， ∵a＜1， ∴a2＞0，a-1＜0， ∴（a2，a-1）在第四象限． 故选：D． 【变式】如图，阴影部分组成的图案既是关于轴成轴对称的图形，又是关于轴成轴对称的图形．若点的坐标是，则点和点的坐标分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据成轴对称的性质求解，由题意可得A点与N点关于x轴对称，点M与N点关于Y轴对称，根据关于轴成轴对称，则横坐标相等，纵坐标相反，关于y轴成轴对称，则横坐标相反，纵坐标相等求解即可． 【详解】解：根据阴影部分组成的图案既是关于轴成轴对称的图形，又是关于轴成轴对称的图形可知：A点与N点关于x轴对称，点M与N点关于y轴对称， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 题型04 平面图形轴对称作图（大题常考） 【典例】如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)在图中作，使和关于轴对称； (2)写出点的坐标． 【答案】(1) 解：如图所示． (2) 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，写出直角坐标系中点的坐标，作轴对称图形，解题关键是掌握正确画出图形． （1）作出，使和关于轴对称； （2）根据在坐标系中的位置，写出点的坐标． 【详解】（1）略 （2）略 【巩固训练】 1．已知点和关于x轴对称，则的值为（     ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，关于轴对称的两点，其纵坐标互为相反数，横坐标不变，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ ∴ 故选：C 2．若点与点关于轴对称，则（    ） A． B．1 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，平方差公式，根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到，再由平方差公式即可得到． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 故选：A． 3．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 直接利用关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于轴对称，点的坐标是， ∴点的坐标是：． 故选：B． 4．如图，小明准备用旋转知识设计一个风车，已知点A的坐标是（﹣3，2），为了补全风车，他需要找到A点关于原点O的对称点A′，则点A'的坐标是（　　） A．（3，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2） 【答案】D 【分析】根据关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可． 【详解】解：∵A点关于原点O的对称点A′，A（−3，2）， ∴A′（3，−2）， 故选：D． 5．已知a＜1，则点（－a2，－a＋1）关于原点的对称点在（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】解：点（-a2，-a+1）关于原点的对称点为：（a2，a-1）， ∵a＜1， ∴a2＞0，a-1＜0， ∴（a2，a-1）在第四象限． 故选：D． 6．若点与点关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了关于原点对称点的性质，负整数指数幂等相关知识，关于原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，掌握关于原点对称的点横纵坐标的关系是解本题的关键．根据关于原点对称点的性质得出，的值进而得出答案． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故选：C． 7．以如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，如果以MN所在的直线为Y轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，使A点与B点关于原点对称，则这时C点的坐标可能是（ ） A．（1，3） B．（2，-1） C．（2， 1） D．（3，1） 【答案】B 【分析】首先正确确定坐标轴的位置，原点的位置，再确定C点的坐标． 【详解】解：根据A点与B点关于原点对称，MN所在的直线为y轴，可以确定x轴和原点的位置． 所以点C的坐标是（2，-1）． 故选B． 8．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，即可进行解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：A． 9．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是．现将绕点逆时针旋转，则旋转后点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在网格中绘制出旋转后的图形，得到点C旋转后对应点的坐标即可． 【详解】解：如图所示，绕点逆时针旋转得到， ∴旋转后点的坐标是， 故选B． 10．若点与点关于轴对称，则的值为 _______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于坐标轴对称的性质，代数式求值，熟练掌握两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．根据两点关于y轴对称的性质，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：1． 【强化训练】 1．如图，在公路l的一侧有A，B两个工厂，A，B到公路的垂直距离分别为和，A，B之间的水平距离为．现要在公路l上建一个运输点，使A，B两厂到运输点的总路线最短，则最短总路线为__________km． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，作A点关于直线的对称点C，连接交直线于点P，则此时最小，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：作A点关于直线的对称点C，连接交直线于点P，则此时最小， 过点作交的延长线于点D， ∵，，， ∴，， 则， ∴， ∴在中，， 即的最小值为， 故答案为：． 2．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为，点，，的坐标分别为，，．是关于轴的对称图形，将绕点旋转，点的对应点为点，则点的坐标为__________．    【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质和旋转的性质，根据轴对称的性质可求得点A的坐标，结合旋转即可知点M的坐标． 【详解】解：∵，是关于轴的对称图形， ∴， ∵绕点旋转，点的对应点为点， ∴    故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、点点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】题目主要考查一次函数的综合应用，解答本题的关键是利用翻折的性质、勾股定理等知识 利用勾股定理可得，由折叠得：，得出点D的坐标，设点，则，由勾股定理代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵、， ∴，， ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴点， 设点，则， 由折叠得：， 在中， ， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 4．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，1)，将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn（n为正整数），则点P2022的坐标为_____． 【答案】(22022，-22022) 【分析】先根据伸长的变化规律求出OP2022的长度，再根据每8次变化为一个循环组，求出点P2022是第几组第几次的变化，然后确定出所在的位置即可解决问题； 【详解】解：解：由题意可得，OP0=，OP1=2×=21×， OP2=2×21×=22×， OP3=2×22×=23×， OP4=2×23×=24×， … OP2022=22022×， ∵每一次都旋转45°，360°÷45°=8， ∴每8次变化为一个循环组， 2022÷8=252…6， ∴点P2022是第253组的第六次变换对应的点，与点P6在同一象限内，即第四象限， ∴点P2022的坐标为（22022，-22022）． 故答案为：（22022，-22022）． 5．将点绕点逆时针旋转，所得点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转．过点作轴，点和点分别作的垂线，垂足分别为和，得到，，再证明，得到，，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴，点和点分别作的垂线，垂足分别为和，如图， ∴， ∵点，点， ∴，， ∵点绕点逆时针旋转，得到点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标是，即， 故答案为：． 6．已知点A（a，﹣）与B（，b）关于x轴对称，则ab＝_____． 【答案】1 【分析】关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此求出a＝，b＝，即可求出答案. 【详解】解：∵点A（a，﹣）与B（，b）关于x轴对称， ∴a＝，b＝， 则ab＝×＝1． 故答案为：1. 7．如图，等边三角形的顶点，规定把等边先绕顶点顺时针旋转再关于原点作中心对称得到为第一次变换，再将等边先绕顶点顺时针旋转再关于原点作中心对称得到为第二次变换，依次继续按照上述操作进行，如果这样连续经过次变换后，等边的顶点的坐标为__________．    【答案】/ 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、旋转的性质和中心对称的性质，根据等边三角形的性质求得点C的坐标，再结合旋转和中心对称分别求得对应点的坐标，即可求得以4为周期循环，根据连续经过次变换后与经过3的变化一致即可求得答案． 【详解】解：如图：    ∵等边三角形，顶点、， ∴点C的坐标为， 根据题意得：第1次变换后如图中黑色图形，点A、点B、点C的对应点的坐标分别为：、，， 第2次变换后如图红色图形，点A、点B、点C的对应点的坐标分别为：、， 第3次变换后如图粉色图形，点A、点B、点C的对应点的坐标分别为：、、； 第4次变换后点A、点B、点C的对应点的坐标分别为：、，， 发现规律：每4次变换后点C回到原来的位置， ∵， ∴连续经过505次变换后，点C的坐标与第三次旋转对称后的坐标一样，变为． 故答案为：． 8．在直角坐标系中的位置如图所示： (1)作关于轴成轴对称的，并写出各顶点的坐标． (2)作关于轴成轴对称的，并写出各顶点的坐标． 【答案】(1)图见解析，，，； (2)图见解析，，，． 【分析】本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征写出各顶点的坐标，然后描点即可； （2）根据关于轴对称的点的坐标特征写出各顶点的坐标，然后描点即可． 【详解】（1）解：如图，为所作，，，； （2）解：如图，为所作，，，． ． 9．已知点A（a+2b，1），B（7，a﹣2b）． （1）如果点A、B关于x轴对称，求a、b的值； （2）如果点A、B关于y轴对称，求a、b的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． （2）根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【详解】解：（1）∵点A、B关于x轴对称， ∴， 解得：； （2））∵点A、B关于y轴对称， ∴， 解得：． 10．如图，是三角形经过某种变换得到的图形，点与点，点与点，点与点分别是对应点，观察点与点坐标之间的关系，解答下面的问题. （1）写出点与点，点与点，点与点的坐标，并说明这些对应点的坐标有何特征. （2）若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求的值. 【答案】（1）它们的坐标分别是，这些对应点横坐标互为相反数，纵坐标也是互为相反数；（2）， 【分析】（1）根据点的位置写出坐标并作出判断； （2）观察得出规律：对应点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，构建方程即可解决问题． 【详解】解：（1）它们的坐标分别是 这些对应点横坐标互为相反数，纵坐标也是互为相反数. （2）依题意得：且 解得：，. 9 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 轴对称与坐标变化 1. 熟练掌握点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律，能快速口算对称点坐标； 2. 理解图形轴对称变换本质：图形对称 = 所有顶点分别对称，再连线； 3. 能根据坐标变化，判断图形发生的轴对称变换； 4. 掌握简单综合题型：先对称、再判断象限、再求值； 5. 区分x轴对称、y轴对称坐标口诀，杜绝考试符号混淆错误。 一、集合的表示方法 （1）自然语言描述法. 一、核心考点：点的轴对称坐标规律（必背） 设任意一点坐标：P(x, y) 1. 关于 x 轴对称（横不变，纵变号）：对称点 (x,y) 规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数 记忆口诀：X对称，上下翻，只变y 2. 关于 y 轴对称（纵不变，横变号）：对称点(x,y) 规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数 记忆口诀：Y对称，左右翻，只变x 二、图形的轴对称变换规律 1. 平面图形关于x轴、y轴对称步骤： ① 找出图形所有顶点坐标 ② 每个顶点按对称规则求出对称点 ③ 依次连接对称点，得到轴对称图形 2. 核心结论 图形对称，就是所有顶点统一对称 三、两次对称（原点对称拓展） 一点先关于x轴对称、再关于y轴对称，结果：P(x,y)(-x,-y)（关于原点对称） 本节了解即可，考试重点只考 x轴、y轴单次对称。 四、特殊位置点的对称特征 1. 点在x轴上：关于x轴对称自身不变 2. 点在y轴上：关于y轴对称自身不变 五、高频易错点汇总 1. 最容易混：x轴对称变y、y轴对称变x，千万别记反； 2. 对称只改符号，数字大小永远不变； 3. 图形对称不是整体移动，是翻折变换； 4. 含字母参数对称题，严格套公式，不要凭感觉改符号。 题型01 直接求关于x轴、y轴的对称点坐标 【典例】在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式】6．点在第四象限，且，，则点P关于y轴对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 题型02 利用对称规律求字母参数的值（月考必考） 【典例】已知点，点关于y轴对称，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式】若点与点关于轴对称，则（    ） A． B．1 C．7 D． 题型03 根据对称后坐标，判断点所在象限 【典例】已知a＜1，则点（－a2，－a＋1）关于原点的对称点在（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式】如图，阴影部分组成的图案既是关于轴成轴对称的图形，又是关于轴成轴对称的图形．若点的坐标是，则点和点的坐标分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型04 平面图形轴对称作图（大题常考） 【典例】如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)在图中作，使和关于轴对称； (2)写出点的坐标． 【巩固训练】 1．已知点和关于x轴对称，则的值为（     ） A．0 B． C．1 D． 2．若点与点关于轴对称，则（    ） A． B．1 C．7 D． 3．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，小明准备用旋转知识设计一个风车，已知点A的坐标是（﹣3，2），为了补全风车，他需要找到A点关于原点O的对称点A′，则点A'的坐标是（　　） A．（3，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2） 5．已知a＜1，则点（－a2，－a＋1）关于原点的对称点在（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．若点与点关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．以如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，如果以MN所在的直线为Y轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，使A点与B点关于原点对称，则这时C点的坐标可能是（ ） A．（1，3） B．（2，-1） C．（2， 1） D．（3，1） 8．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是．现将绕点逆时针旋转，则旋转后点的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．若点与点关于轴对称，则的值为 _______． 【强化训练】 1．如图，在公路l的一侧有A，B两个工厂，A，B到公路的垂直距离分别为和，A，B之间的水平距离为．现要在公路l上建一个运输点，使A，B两厂到运输点的总路线最短，则最短总路线为__________km． 2．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为，点，，的坐标分别为，，．是关于轴的对称图形，将绕点旋转，点的对应点为点，则点的坐标为__________．    3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、点点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为______． 4．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，1)，将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn（n为正整数），则点P2022的坐标为_____． 5．将点绕点逆时针旋转，所得点的坐标是__________． 6．已知点A（a，﹣）与B（，b）关于x轴对称，则ab＝_____． 7．如图，等边三角形的顶点，规定把等边先绕顶点顺时针旋转再关于原点作中心对称得到为第一次变换，再将等边先绕顶点顺时针旋转再关于原点作中心对称得到为第二次变换，依次继续按照上述操作进行，如果这样连续经过次变换后，等边的顶点的坐标为__________．    8．在直角坐标系中的位置如图所示： (1)作关于轴成轴对称的，并写出各顶点的坐标． (2)作关于轴成轴对称的，并写出各顶点的坐标． 9．已知点A（a+2b，1），B（7，a﹣2b）． （1）如果点A、B关于x轴对称，求a、b的值； （2）如果点A、B关于y轴对称，求a、b的值． 10．如图，是三角形经过某种变换得到的图形，点与点，点与点，点与点分别是对应点，观察点与点坐标之间的关系，解答下面的问题. （1）写出点与点，点与点，点与点的坐标，并说明这些对应点的坐标有何特征. （2）若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求的值. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $