专题10 函数（重难点讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本初中数学讲义聚焦函数专题，系统梳理常量与变量的区分，函数定义中自变量与因变量的唯一对应关系，函数的列表法、关系式法、图象法三种表示方法，自变量取值范围的整式、分式、根式及实际问题限定，以及函数值计算等核心知识点，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以高频易错点为导向，设计典例与变式题型，结合油箱存油、容器注水等实际情境，引导学生用数学眼光抽象数量关系，通过函数判断、取值范围求解培养数学思维，借助列表、图象等发展数学语言。课中助力教师分层教学，课后帮助学生强化应用、查漏补缺。

专题10 函数 1. 理解变量、常量的概念，能区分实际问题中的常量与变量； 2. 掌握函数的定义，能判断两个变量之间的关系是否为函数； 3. 明确函数的三种表示方法：列表法、关系式法、图象法； 4. 会确定简单函数自变量的取值范围，能结合实际场景限定取值； 5. 能根据函数关系式，由自变量的值求对应函数值 。 一、集合的表示方法 （1）自然语言描述法. 一、常量与变量 1. 常量：在某一变化过程中，数值始终不变的量； 2. 变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量； 示例：路程公式 s=60t，速度60是常量，时间t、路程s是变量。 二、函数的定义（核心考点） 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x的值，相应地就确定唯一一个y的值，那么称y是x的函数。 x：自变量；y：因变量（函数） 判断关键：一个自变量x只能对应唯一一个y，一对多不是函数。 三、函数三种表示方法 1. 列表法：表格呈现自变量与对应函数值，直观读取数值； 2. 关系式法（解析式）：用等式表示变量关系，如y=2x+1，方便计算； 3. 图象法：平面直角坐标系中描点连线得到图形，直观反映变化趋势。 四、自变量取值范围（必考） 1. 整式型：全体实数，如 y=3x-2； 2. 分式型：分母≠0，如 y=，x≠1； 3. 二次根式型：被开方数≥0，如 y=，x≥-2； 4. 实际问题：除满足式子要求，还要符合现实意义（人数、长度不能为负数）。 五、函数值 将自变量的数值代入解析式，计算得出的y结果，就是对应自变量的函数值。 例：y=2x+3，当x=2时，y=7，7是x=2对应的函数值。 六、高频易错点 1. 判断函数：只能一对一，一对多不属于函数； 2. 实际问题自变量取值不能忽略现实限制； 3. 分式、根式组合函数，取值范围需同时满足多个条件。 题型01 区分常量与变量 【典例】在关系式中，V随着t的变化而变化，其中自变量是_____，因变量是_____，当_____时，． 【答案】 t V 15 【分析】本题考查函数的相关概念，以及根据函数值求自变量，掌握自变量，因变量的定义，并将代入关系式中求解，即可解题． 【详解】解：关系式中，V随着t的变化而变化， 是自变量，是因变量， 当时，有，解得， 故答案为：，，． 【变式】已知两个变量x和y，它们之间的三组对应值如下表所示： x 0 2 y 3 1 那么y关于x的函数解析式可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义以及函数图象上点的坐标特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A．表格中的三组的对应值均满足，因此选项A符合题意； B．表格中满足，但与不满足，因此选项B不符合题意； C．表格中的三组的对应值均不满足，因此选项C不符合题意； D．表格中的三组的对应值均不满足，因此选项D不符合题意； 故选：A． 题型02 判断是否为函数关系 【典例】判断：y²=x中，y是x的函数吗？说明理由。 【答案】不是 【分析】一个自变量x是否对应唯一一个y 【详解】取x=4，y=2或y=-2，一个x对应两个y，一对多不是函数 【变式】下列说法中，正确的是（    ） A．对于两个变量x，y，若，则y是x的函数 B．对于两个变量x，y，若，则y是x的函数 C．对于两个变量x，y，若，则y是x的函数 D．对于两个变量x，y，若，则y是x的函数 【答案】B 【分析】根据函数的定义判断即可． 【详解】解：根据函数的定义可知在A，C，D选项中，当x取某个值的时候，y不是有唯一的值与之对应，所以不符合函数的定义，B符合函数定义， 故选B. 题型03 求自变量的取值范围 【典例】函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，即可得到答案． 【详解】解：由题可得：， ∴． 故选：B． 【变式】函数中自变量x的取值范围是（  ） A． B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围．根据题意，函数的分母不为0即可． 【详解】解：根据题意得：， ， 故选：D． 题型04 代入求函数值 【典例】在直线中，当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求函数自变量的值，把代入中，正确求解是解题的关键． 【详解】解：把代入中，得：， 解得：， 故选：A． 【变式】在中，当时，的值为（    ） A． B． C．18 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求函数自变量的值，把代入中，正确求解是解题的关键． 【详解】解：把代入中，得：， 解得：， 故选：C． 【巩固训练】 1．某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系．可选择的比较好的方法是（    ） A．列表法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．从而可得答案． 【详解】解：某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系，可选择的比较好的方法是图象法，有利于判断体温的变化情况， 故选B 2．下列图象不能表示是的函数的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象的判断，根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应进行即可，正确理解函数的定义是解题的关键． 【详解】、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是得函数； 、对给定的的值，有两个值与之对应，不是得函数； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是得函数； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是得函数； 故选：． 3．下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据函数的概念即可解答． 【详解】解：由函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数．则只有D选项符合题意 故选：D． 4．函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，即可得到答案． 【详解】解：由题可得：， ∴． 故选：B． 5．按照如图所示的程序计算函数y的值时，若输入x的值是3，则输出y的值是，若输入x的值是1，则输出y的值是（    ）    A．−3 B．−2 C．0 D．2 【答案】B 【分析】直接利用已知代入得出b的值，进而求出输入1时，得出y的值． 【详解】解：∵当输入x的值是3，输出y的值是， ∴，解得：， 故输入x的值是1时，． 故选：B． 6．油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用油箱中存油量减去流出油量等于剩余油量，根据等量关系列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得：流出油量是， 则剩余油量：， 故选：B． 7．匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，根据容器最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由容器可知，最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大，所以一开始水面高度上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快点， 故选：． 8．已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．点，，在同一个函数图象上，可得P、Q关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴得P、Q关于y轴对称， ∴选项A、C错误， ∵，在同一个函数图象上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴选项B错误，选项D正确． 故选：D． 9．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是(   ) A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据特殊点和三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：由题意可知，P点在AD段时面积为零，在DC段时面积y由0逐渐增大到8，在CB段因为底和高不变所以面积y不变，在BA段时面积y逐渐减小为0， 故选：B． 10．一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表： 防水时间（） 1 2 3 4 … 水池中水量（） 48 46 44 42 … 下面说法不正确的是（    ） A．放水时间是自变量，水池中的水量是因变量 B．随着放水时间的增加，水池中水量减少 C．放水后，水池中的水全部放完 D．放水后，水池中还有水 【答案】D 【分析】根据表格中的数量关系可辨别各选项是否符合题意． 【详解】解：A、由题意可得，放水时间是自变量，水池中的水量是因变量，故选项正确； B、水池中原有水，每分钟放水，随着放水时间的增加，水池中水量减少，故选项正确，不符合题意； C、放水后，水池中的水还有，此时水池中水全部放完，故选项正确，不符合题意； D、放水后，水池中的水还有，故选项错误，符合题意； 故选：D． 【强化训练】 1．根据图中所示的程序计算：若输入的为，则输出的结果为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意代入数据进行计算即可． 【详解】解：若输入的为，则输出的结果为： ， 故选：B． 2．某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列函数关系式，利用长方形面积等于长乘宽计算即可． 【详解】由题意得：长方形靠墙的一边长为，则平行墙的边长为， ∴面积， 故选：D． 3．如图1，在中，，动点P从点C出发，以的速度沿折线运动到点A，其中（）的长与运动时间的关系如图2所示，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图象可知，点运动的总时间为秒，进而求出的长，再利用周长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意和图象可知：，点运动的总时间为秒， ∴， ∴， ∵， ∴的周长为； 故选C． 4．已知动点P以2cm/s的速度沿图1所示的边框按的路径运动，的面积与运动时间t（s）的关系如图2所示，若，则m的值为（    ） A．8 B．10 C．13 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点的路程与运动时间的关系依次求出点在不同线段上运动的状态，分别计算即可． 【详解】解：由题得五段函数分别是点在、、、、上所形成的， 当时，点在上运动， ， 当时，点在上运动， ， 当时，点在上运动， ， ， 点在上运动的时间， ， 点在上运动的时间， ， 故选：C． 5．下列说法中，正确的是（    ） A．对于两个变量x，y，若，则y是x的函数 B．对于两个变量x，y，若，则y是x的函数 C．对于两个变量x，y，若，则y是x的函数 D．对于两个变量x，y，若，则y是x的函数 【答案】B 【分析】根据函数的定义判断即可． 【详解】解：根据函数的定义可知在A，C，D选项中，当x取某个值的时候，y不是有唯一的值与之对应，所以不符合函数的定义，B符合函数定义， 故选B. 6．为了提高学生劳动能力，学校举行了“躬身劳动，悦享春光”活动．初一某班栽种红薯幼苗，栽种的幼苗总数量y（棵）与参与活动人数x（人）的变化关系如下表所示： x/（人） 1 2 3 4 5 … y/（棵） 4 8 12 16 20 … 观察表中数据可知，该班有______人栽种幼苗时，栽种幼苗总数量为32棵． 【答案】8 【分析】本意主要考查函数的表示方法，写出正确的函数表达式是解题的关键． 先写出栽种的幼苗总数量（棵）与参与活动人数(人)的函数关系式，在代入即可． 【详解】解：由已知可得，， 当时，即， 解得：． 故答案为：8． 7．如图，这是某生物实验小组根据检测到的温室中二氧化碳的含量所绘制的图像．其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示二氧化碳的含量，则y______（填“是”或“不是”）x的函数． 【答案】是 【分析】本题考查了函数的定义，熟悉定义是解题的关键．根据函数的定义判断即可． 【详解】解：两个变量和，变量随的变化而变化， 且对于每一个，都有唯一值与之对应， 是的函数． 故答案为：是． 8．对于关系式，有下列说法：①是自变量，是因变量；②的数值可以任意选择；③是变量，它的值与无关；④与的关系还可以用列表法和图像法表示．其中正确的说法是__________（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据一次函数的定义可知，为自变量，为函数，也叫因变量；取全体实数；随的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图像法． 【详解】解：对于关系式，①是自变量，是因变量，正确；②的数值可以任意选择，正确；③y是变量，随的变化而变化，故③错误；④与的关系还可以用列表法和图像法表示，正确， 综上所述正确的说法有：①②④， 故答案为：①②④． 9．某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示．根据图象解答下列问题： (1)洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中水量为多少升？ (2)已知洗衣机的排水速度为每分钟19升，求排水时y与x之间的关系式． 【答案】(1)4，40 (2)（） 【分析】对于（1），观察图象可知当时间为4分钟时进水量为40升，持续到15分钟，水量逐渐减少，解答即可； 对于（2），根据y=清洗时的水量-排水量列出关系式即可． 【详解】（1）观察图象可知当时间为4分钟时进水量为40升，并持续到15分钟，然后水量减少，所以洗衣机的进水时间是4分钟，清洗时洗衣机中水量为40升； （2）根据题意可知（）． 10．如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答下列问题： 碗的数量x（个） 1 2 3 4 5 … 高度 4 5.2 6.4 7.6 8.8 … (1)写出整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量x（个）之间的关系式； (2)若这摞碗的高度为，求这摞碗的数量． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查了函数关系式，解题的关键是准确熟练地进行计算出增加一个碗的高度． （1）根据整齐叠放在桌面上碗的高度一个碗的高度（碗的总数，从而可得； （2）把代入函数关系式即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ， 整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个之间的关系式：； （2）解：当时，， 解得：， 这摞碗的数量为14个． 5 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 函数 1. 理解变量、常量的概念，能区分实际问题中的常量与变量； 2. 掌握函数的定义，能判断两个变量之间的关系是否为函数； 3. 明确函数的三种表示方法：列表法、关系式法、图象法； 4. 会确定简单函数自变量的取值范围，能结合实际场景限定取值； 5. 能根据函数关系式，由自变量的值求对应函数值 。 一、集合的表示方法 （1）自然语言描述法. 一、常量与变量 1. 常量：在某一变化过程中，数值始终不变的量； 2. 变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量； 示例：路程公式 s=60t，速度60是常量，时间t、路程s是变量。 二、函数的定义（核心考点） 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x的值，相应地就确定唯一一个y的值，那么称y是x的函数。 x：自变量；y：因变量（函数） 判断关键：一个自变量x只能对应唯一一个y，一对多不是函数。 三、函数三种表示方法 1. 列表法：表格呈现自变量与对应函数值，直观读取数值； 2. 关系式法（解析式）：用等式表示变量关系，如y=2x+1，方便计算； 3. 图象法：平面直角坐标系中描点连线得到图形，直观反映变化趋势。 四、自变量取值范围（必考） 1. 整式型：全体实数，如 y=3x-2； 2. 分式型：分母≠0，如 y=，x≠1； 3. 二次根式型：被开方数≥0，如 y=，x≥-2； 4. 实际问题：除满足式子要求，还要符合现实意义（人数、长度不能为负数）。 五、函数值 将自变量的数值代入解析式，计算得出的y结果，就是对应自变量的函数值。 例：y=2x+3，当x=2时，y=7，7是x=2对应的函数值。 六、高频易错点 1. 判断函数：只能一对一，一对多不属于函数； 2. 实际问题自变量取值不能忽略现实限制； 3. 分式、根式组合函数，取值范围需同时满足多个条件。 题型01 区分常量与变量 【典例】在关系式中，V随着t的变化而变化，其中自变量是_____，因变量是_____，当_____时，． 【变式】已知两个变量x和y，它们之间的三组对应值如下表所示： x 0 2 y 3 1 那么y关于x的函数解析式可能是(　　) A． B． C． D． 题型02 判断是否为函数关系 【典例】判断：y²=x中，y是x的函数吗？说明理由。 【变式】下列说法中，正确的是（    ） A．对于两个变量x，y，若，则y是x的函数 B．对于两个变量x，y，若，则y是x的函数 C．对于两个变量x，y，若，则y是x的函数 D．对于两个变量x，y，若，则y是x的函数 题型03 求自变量的取值范围 【典例】函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】函数中自变量x的取值范围是（  ） A． B． C．且 D． 题型04 代入求函数值 【典例】在直线中，当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【变式】在中，当时，的值为（    ） A． B． C．18 D． 【巩固训练】 1．某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系．可选择的比较好的方法是（    ） A．列表法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可 2．下列图象不能表示是的函数的是 （    ） A． B． C． D． 3．下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．按照如图所示的程序计算函数y的值时，若输入x的值是3，则输出y的值是，若输入x的值是1，则输出y的值是（    ）    A．−3 B．−2 C．0 D．2 6．油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（　　） A． B． C． D． 7．匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A． B． C． D． 8．已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A．B．C． D． 9．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是(   ) A．B．C．D． 10．一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表： 防水时间（） 1 2 3 4 … 水池中水量（） 48 46 44 42 … 下面说法不正确的是（    ） A．放水时间是自变量，水池中的水量是因变量 B．随着放水时间的增加，水池中水量减少 C．放水后，水池中的水全部放完 D．放水后，水池中还有水 【强化训练】 1．根据图中所示的程序计算：若输入的为，则输出的结果为（    ）    A．1 B． C． D． 2．某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（    ） A． B． C． D． 3．如图1，在中，，动点P从点C出发，以的速度沿折线运动到点A，其中（）的长与运动时间的关系如图2所示，则的周长为（    ） A． B． C． D． 4．已知动点P以2cm/s的速度沿图1所示的边框按的路径运动，的面积与运动时间t（s）的关系如图2所示，若，则m的值为（    ） A．8 B．10 C．13 D．16 5．下列说法中，正确的是（    ） A．对于两个变量x，y，若，则y是x的函数 B．对于两个变量x，y，若，则y是x的函数 C．对于两个变量x，y，若，则y是x的函数 D．对于两个变量x，y，若，则y是x的函数 6．为了提高学生劳动能力，学校举行了“躬身劳动，悦享春光”活动．初一某班栽种红薯幼苗，栽种的幼苗总数量y（棵）与参与活动人数x（人）的变化关系如下表所示： x/（人） 1 2 3 4 5 … y/（棵） 4 8 12 16 20 … 观察表中数据可知，该班有______人栽种幼苗时，栽种幼苗总数量为32棵． 7．如图，这是某生物实验小组根据检测到的温室中二氧化碳的含量所绘制的图像．其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示二氧化碳的含量，则y______（填“是”或“不是”）x的函数． 8．对于关系式，有下列说法：①是自变量，是因变量；②的数值可以任意选择；③是变量，它的值与无关；④与的关系还可以用列表法和图像法表示．其中正确的说法是__________（填序号）． 9．某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示．根据图象解答下列问题： (1)洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中水量为多少升？ (2)已知洗衣机的排水速度为每分钟19升，求排水时y与x之间的关系式． 10．如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答下列问题： 碗的数量x（个） 1 2 3 4 5 … 高度 4 5.2 6.4 7.6 8.8 … (1)写出整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量x（个）之间的关系式； (2)若这摞碗的高度为，求这摞碗的数量． 4 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $