2.2基本不等式（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式，通过天平称重情境引入算术与几何平均数，衔接完全平方公式推导不等式，扩展至三元、n元不等式，结合圆的几何意义构建知识支架，帮助学生逐步理解概念。 其亮点在于以“数学眼光”观察现实（天平问题），“数学思维”推理证明（分析法、作差法），“数学语言”解决问题（矩形菜园、贮水池造价实例）。采用情境探究与题型训练结合，小结明确“一正二定三相等”，助力学生提升推理与应用能力，为教师提供系统教学资源。

第一章 集合与常用逻辑用语 2.2基本不等式 2.2基本不等式 学 习 目 标 1 2 3 理解基本不等式的推导过程，掌握基本不等式结构，能运用基本不等式求解最值、进行简单不等式证明. 经历基本不等式推导、探究过程，体会数形结合、转化化归思想，提升代数推理与运算求解能力. 感受不等式的对称美，学会运用数学模型解决实际问题，养成严谨求实的数学思维习惯. 新课引入 情境1：把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 .如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同(其他因素不计)，那么 并非物体的实际质量. 不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为. 那么如何合理地表示物体的质量呢? 以 表示物体的质量. 这样的做法合理吗? 设天平的两臂长分别为 ，，物体实际质量为 ， 根据力学原理有 ，. 将上述两个等式的两边分别相乘，得， 所以 . 新课引入 对于正数，我们把 称为的算术平均数， 称为 的几何平均数. 思考1：两个正数 的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系? 我们可以从哪些方面研究算数平均数和几个平均数之间的大小关系呢？你能证明它吗？ 探究一：基本不等式的构建与证明 新知探究 前面我们利用面积法和完全平方公式得出了一类重要不等式： ，有：，当且仅当时等号成立. 问题1：若,，我们以，分别替代，，可得出什么结论？ 问题2：问题1的结论中， “=”何时成立？ 当且仅当时，等号成立。 探究一：基本不等式的构建与证明 新知探究 基本不等式：对，，都有 当且仅当时，等号成立. 几何平均数 算术平均数 两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数 探究一：基本不等式的构建与证明 新知探究 思考2：你能用前面所学的知识尝试证明基本不等式吗？ （分析法/逆推法） 要证 ，① 只要证 ② 要证②，只要证 ③ 要证③，只要证 ④ 要证④，只要证 ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立. 只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了. 探究一：基本不等式的构建与证明 新知探究 证明： （作差法） ， ,当且仅当时取得等号 思考2：你能用前面所学的知识尝试证明基本不等式吗？ 基本不等式使用温馨提示 技巧点拨 （1）基本不等式成立的条件是. ①若，如，此时是不成立的； ②若中有一个小于0，如，则无意义 ③若等于0，虽然该不等式也成立，但一般不研究这种情况 （2）基本不等式的常见变形式： ① ② 探究一：基本不等式的构建与证明 新知探究 问题3：由完全平方公式，我们推导了基本不等式。除完全平方公式外你 还知道哪些常用的公式吗？ 高中数学需要掌握的几个公式： 探究一：基本不等式的构建与证明 新知探究 问题3：基本不等式本质是两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数， 那么三个正数的算数平均数和几何平均数的大小关系呢？个呢？ ①三元不等式： 当为正实数时， . 当且仅当时成立 ②元基本不等式： 当且仅当时成立 探究二：基本不等式的几何意义 新知探究 思考3：如图，是圆的直径，点是上一点，过点作垂直于的弦，连接你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 半径，则 与大小关系怎么样？ 几何意义： 半径不小于半弦长 当且仅当点与圆心重合时取等. 典例精讲 例1：已知求的最小值. 解：∵∴ ∴ 当且仅当即时，等号成立， 因此所求的最小值为2. 一正 二定 三相等 下结论 思考：当时，成立吗？这时能说是的最小值吗？ 典例精讲 例2：写已知都是正数，求证： (1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值； (2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值 证明： 当且仅当时，上式等号成立. 于是，当时，和有最小值. (2)当和等于定值时，∴ 当且仅当上式等号成立. 于是，当时，积有最大值 积定和最小 和定积最大 利用基本不等式求代数式最值的条件和关键： 技巧点拨 （1）利用基本不等式解决最值问题要牢记三个关键词：一正二定三相等. （2）利用基本不等式求最值的关键：根据定值求最值，配凑变换不可少. （3）基本不等式求最值模型：若，，则有，当且仅当时等号成立 典例精讲 例3：(1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 篱笆的长度为 (1)由已知得 由，可得 ∴ 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短， 最短篱笆的长度为 典例精讲 例3：(2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：(2)由已知得矩形菜园的面积为 由 可得 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园面积最大，最大面积是. 典例精讲 例4：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为,深为如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为水池的总造价为元. 根据题意，有 由容积为,可得 ∴ 当时，上式等号成立，此时 所以，将贮水池池底设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 即时训练 题型1 直接法 1、已知，求的最小值 解：∵ ∴ 当且仅当，即时，“=”成立. ∴的最小值为4. 即时训练 题型1 直接法 2、设为正数，证明下列不等式成立： （1）＋ ≥； （2） 证明：（1）因为 为正数，所以 ， 也为正数. 由基本不等式，得 ＋ ≥2 ＝2， 当且仅当 ＝ ，即 时，取得等号. 所以原不等式成立. 即时训练 题型1 直接法 2、设为正数，证明下列不等式成立： （1）＋ ≥； （2） 证明：（2）因为 为正数，所以 ， 也为正数. 由基本不等式，得 所以 ， 当且仅当 时，即时，取得等号. 因此，原不等式成立. 小技巧： 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数式，以便于利用基本不等式 即时训练 题型2 配凑法 1、已知，求的最小值 解：∵，∴ ∴ 当且仅当，即时，“=”成立. ∴的最小值为0. 即时训练 题型2 配凑法 2、已知，求的最大值 解：∵，∴0. ∴ 当且仅当得或(舍去)，即等号成立. ∴的最大值为. 配凑法的应用： 技巧点拨 利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知的式子和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话： 一不正，用其相反数，改变不等号方向； 二不定，应凑出定和或定积； 三不等，一般用函数的图象或性质. 即时训练 题型2 配凑法 3、已知，求的最大值. 解：∵，∴0，0. ∴ 当且仅当得或(舍去)，即时等号成立. ∴的最大值为. 即时训练 题型2 配凑法 4、已知,求的最大值. 解：∵∴ ∴ 当且仅当即时，等号成立， 因此所求的最小值为. 一正 二定 三相等 下结论 即时训练 题型2 配凑法 5、已知，求的最大值. 解：∵， ∴， ∴ 当且仅当，即时，“”成立. ∴的最大值为. 即时训练 题型3 “1”的等量代换 1、已知，且求的最小值. 解：∵，且 ∴ 当且仅当即时，等号成立. ∴的最小值为. 即时训练 题型3 “1”的等量代换 2、已知，且求的最小值. 解：∵，且 ∴ ∴ 当且仅当即时，等号成立. ∴的最小值为. 课堂小结 感谢聆听! $