第2章 §2.2 第1课时 基本不等式（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦基本不等式的证明、理解及最值应用，以金店天平读数问题导入，通过回顾上节课重要不等式（a²+b²≥2ab），替换变量引出√ab≤(a+b)/2，搭建知识支架。 其亮点在于通过作差法、性质法、几何意义多角度证明培养逻辑推理，配凑法解决变量正负、范围限制等最值问题发展数学思维，结合实际情境与多样化题型提升应用意识。学生能深化理解，教师可高效教学。

第1课时 基本不等式 第二章　§2.2　基本不等式 <<< 1.了解基本不等式的证明过程. 2.掌握基本不等式(a>0，b>0).(重点) 3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(难点) 学习目标 从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！ 导 语 一、基本不等式的证明与理解 二、利用基本不等式求简单式子的最值 课时对点练 随堂演练 内容索引 基本不等式的证明与理解 一 提示　∀a，b∈R，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立. 请写出我们上节课学习的重要不等式. 问题1 提示　用分别替换重要不等式中的a，b可得到a+b≥2当且 仅当a=b时，等号成立.我们习惯表示成当且仅当a=b时，等 号成立. 如果a>0，b>0，我们用分别替换重要不等式中的a，b，能得到什么样的结论？ 问题2 上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明. 问题3 提示　方法一　(作差法) ≥0，即当且仅当a=b时，等号成立. 方法二　(性质法) 要证 只需证2≤a+b， 只需证a+b-2≥0， 即证()2≥0， 显然()2≥0成立，当且仅当a=b时，等号成立. 方法三　(利用几何意义证明) 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD=由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 1.基本不等式：如果a>0，b>0，则 ，当且仅当 时，等号成立. 2. 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数，从平均数的角度看，基本不等式反映了两个正数的算术平均数 它们的几何平均数. a=b 不小于 知识梳理 (1)基本不等式也称为均值不等式，其条件要求为a>0，b>0. (2)等号成立的条件也是基本不等式的一部分，不要遗漏. 注 意 点 <<< 11 　(多选)下列说法正确的是 A.对∀a，b∈R成立 B.若a>0，b>0且a≠b，则a+b>2 C.对∀a，b∈R，a2+b2≥2ab D.若x>2，则x+≥2中可以取等号 例 1 √ √ A项，当a=-1，b=-1时，不等式不成立； D项，x+≥2=2时取等号的条件为无解， 不等式中不可取等号. 解析 12 利用基本不等式时要注意a>0，b>0和取等号的条件是否满足. 反 思 感 悟 13 (多选)下面四个推导过程正确的有 A.若a，b为正实数，则≥2=2 B.若a∈R，a≠0，则+a≥2=4 C.若x，y∈R，xy<0，则=-≤-2=-2 D.若a<0，b<0，则<ab 跟踪训练 √ √ 14 A中，∵a，b为正实数，∴为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确； B中，a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，故B错误； C中，由xy<0，得均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，--均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确； D中，对任意的a，b∈R，都有a2+b2≥2ab，即≥ab，故D错误. 解析 15 二 利用基本不等式求简单式子的最值 已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值 ； (2)如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 . 简记为：积定和最 ，和定积最 . 2 S2 小 大 　(1)若x>0，则x+的最小值为　　；  例 2 因为x>0， 所以x+≥2=4， 当且仅当x=即x=2时，等号成立，因此所求的最小值为4. 解析 4 18 (2)若0<a<2，则的最大值为　　. 当0<a<2时，2-a>0， 则=1， 当且仅当2-a=a，即a=1时，等号成立， 因此所求的最大值为1. 解析 1 19 将例2(1)的条件“x>0”改成“x<0”，则x+的最大值为　 . 延伸探究 1 x+=- 因为x<0，则-x>0， 故有-x+≥2=4， 所以-≤-4，当且仅当-x=-即x=-2时，等号成立. 故原式的最大值为-4. 解析 -4 20 将例2(1)的条件“x>0”改成“x>2”，则x+的最小值为　 . 延伸探究 2 因为x>2，所以x-2>0， 则x+=x-2++2≥2+2=6， 当且仅当x-2=即x=4时，等号成立， 所以x+的最小值为6. 解析 6 21 将例2(1)的条件“x>0”改成“x<2”，则x+的最大值为　 . 延伸探究 3 因为x<2，所以2-x>0， 则x+=x-2++2 =-+2≤-2+2=-2， 当且仅当2-x=即x=0时，等号成立， 所以x+的最大值为-2. 解析 -2 22 将例2(1)的条件“x>0”改成“x>1”，则2-x-的最大值为　 . 延伸探究 4 2-x-=1+1-x- =1- 由x>1，得x-1>0， 可得(x-1)+≥2=2， 当且仅当=x-1，即x=2时，等号成立， 故2-x-≤1-2=-1，即2-x-的最大值为-1. 解析 -1 23 将例2(2)改为“若0<a<”，则的最大值为　　. 延伸探究 5 当0<a<时，1-2a>0， 原式= = 当且仅当1-2a=2a，即a=时，等号成立，故原式的最大值为. 解析 24 (1)利用基本不等式求最值的注意点 ①一正：各项必须为正. ②二定：各项之和或各项之积为定值. ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备. 反 思 感 悟 25 (2)通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求最值应注意以下几个方面：①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 反 思 感 悟 26 1.知识清单： (1)基本不等式的证明与理解. (2)利用基本不等式求简单代数式的最值. (3)配凑法求最值. 2.方法归纳：配凑法. 3.常见误区：利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可，尤其是“当且仅当，等号成立”. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.若实数a，b满足b>a>0，下列不等式中恒成立的是 A.2a+≥2 B.2a+≤2 C.2a+<2 D.2a+>2 √ 由题意b>a>0，所以由基本不等式可得2a+≥2=2当且仅当2a=即a=时等号成立，此时b>a=>0满足题意. 解析 1 2 3 4 2.下列结论正确的是 A.当x>0且x≠1时，x+的最小值为2 B.当x>0时≥2 C.当x≠0时，x+≥2 D.当x>0时，x+的最小值为2 √ 选项A不满足“取等号时的条件”，故不正确； 选项C不满足“各项必须为正”，故不正确； 选项D不满足“积为定值”，故不正确. 解析 1 2 3 4 3.已知x>0，a>0，4x+在x=3时取得最小值，则a的值为　　. ∵x>0，a>0，∴4x>0>0， ∴4x+≥2=4当且仅当4x=即x=时，等号成立. 又∵4x+在x=3时取得最小值， ∴=3，∴a=36. 解析 36 1 2 3 4 4.当x>1时，x+的最小值为　 . 5 因为x>1，故有x-1>0，所以x+=x-1++1≥2+1=5， 当且仅当x-1=即x=3时等号成立. 因此所求的最小值为5. 解析 课时对点练 四 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D A C D BC 2-3 题号 9 11 12 13 15 答案 2　0 B AD m>n B 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为x>3，所以x-3>0， 所以+x=+(x-3)+3 ≥2+3=2+3=7， 当且仅当=x-3， 即x=5时，等号成立. 所以+x的最小值为7. 16 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)∵x<∴5-4x>0， ∴原式= =4x-5++3=-+3 ≤-2+3=1， 当且仅当5-4x=即x=1时，等号成立， 故所求最大值为1. 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)(2-b)(1+2b)=(4-2b)(1+2b)≤ 当且仅当4-2b=1+2b，即b=时取得等号， ∴(2-b)(1+2b)的最大值为. 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)∵a>b>0，∴a-b>0， ∴b(a-b)≤ 当且仅当b=a-b，即2b=a时，等号成立. ∴b(a-b)≤. (2)由(1)知0<b(a-b)≤当且仅当2b=a时等号成立， ∴ 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴ ∴a2+≥a2+≥2=20， 当且仅当a2=且2b=a， 即时取等号. 综上可知，当a=b=时，a2+取得最小值20. 16 基础巩固 1.若a，b为正实数，且a+b=2，则ab的最大值为 A. B.1 C.2 D.2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a，b为正实数，且a+b=2≥2当且仅当a=b=1时等号成立，所以ab≤1. 解析 2.不等式x-2y+≥2成立的前提条件为 A.x≥2y B.x>2y C.x≤2y D.x<2y √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基本不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式x-2y+≥2成立的前提条件为x-2y>0，即x>2y. 解析 3.下列不等式中正确的是 A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab C. D.x2+≥2 √ 若a<0，则a+≥4不成立，故A错； 若a=1，b=1，则a2+b2<4ab，故B错； 若a=4，b=16，则故C错； 由基本不等式可知D项正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知a>1，b>1，记M=N=则M与N的大小关系为 A.M>N B.M=N C.M<N D.不确定 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a>1，b>1， 所以M=≥2 当且仅当时取等号， 又故M>N. 解析 5.已知x，y均为正实数，且(x+2)(y+1)=16，则x+y的最小值为 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x，y均为正实数，且(x+2)(y+1)=16， 所以x+2+y+1≥2=8，即x+y≥5， 当且仅当x+2=y+1=4，即x=2，y=3时取等号， 则x+y的最小值为5. 解析 6.设x>0，则3-3x-的最大值是 A.3 B.3-2 C.-1 D.3-2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵x>0，∴3x+≥2=2当且仅当x=时，等号成立， ∴-≤-2 则3-3x-≤3-2 即3-3x-的最大值为3-2. 解析 7.(多选)已知a，b∈R，且ab>0，则下列不等式成立的是 A. B.ab≤ C.≥2 D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 对于A，因为ab>0，故当a<0，b<0时，不等式不成立，故A 不正确； 对于B，因为ab>0，所以ab≤恒成立， 当且仅当a=b时，等号成立，故B正确； 对于C，因为ab>0，所以>0>0，则≥2=2，当且仅当a=b 时，等号成立，故C正确； 对于D，因为a2+b2≥2ab，所以(a+b)2≥4ab，当a<0，b<0时满足ab>0， 但a+b<0，此时故D不正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若x>0，则的最小值是　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2-3 因为 x>0 ， 所以 =2x+-3≥2-3=2-3 ， 当且仅当2x=即 x= 时取等号.所以所求的最小值为2-3. 解析 9.若a∈R，则的最小值是　　，此时a=　　. ≥2=2， 当且仅当 即a=0时，等号成立. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 0 10.已知x>3，求+x的最小值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为x>3，所以x-3>0， 所以+x=+(x-3)+3 ≥2+3=2+3=7， 当且仅当=x-3， 即x=5时，等号成立. 所以+x的最小值为7. 解 11.的最小值为 A.3 B.4 C.6 D.8 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =|x|+≥2=4，当且仅当|x|=即x=±2时，等号成立， 故所求最小值为4. 解析 12.(多选)下列命题中，为真命题的有 A.∀x>0，x+≥2 B.∃x<0，x+>-2 C.∀x>0 D.∃x<0≤- √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 利用基本不等式可得∀x>0，x+≥2=2， 当且仅当x=1时，等号成立，故A正确； ∀x<0，x+=-≤-2=-2， 当且仅当x=-1时，等号成立，即命题∃x<0，x+>-2不成立，故B错误； 易知∀x>0 当且仅当x=1时，等号成立，故C错误； 易知当x=-1时=-即∃x<0≤-故D正确. 解析 13.已知m=a+(a>2)，n=2-b2(b≠0)，则m，n的大小关系是　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 m>n 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由a>2，得a-2>0. 又m=a+=(a-2)++2， 所以m≥2+2=4. 当且仅当a-2=即a=3时取等号， 由于b≠0，所以n=2-b2<2<4. 因此m>n. 解析 14.(1)已知x<求的最大值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵x<∴5-4x>0， ∴原式= =4x-5++3=-+3 ≤-2+3=1， 当且仅当5-4x=即x=1时，等号成立， 故所求最大值为1. 解 (2)已知0<b<2，求(2-b)(1+2b)的最大值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2-b)(1+2b)=(4-2b)(1+2b)≤ 当且仅当4-2b=1+2b，即b=时取得等号， ∴(2-b)(1+2b)的最大值为. 解 15.已知任意的正数a，b，c，有成立，当且仅当a=b=c时， 等号成立.若0<m<3，则m2(3-m)的最大值为 A.6 B.4 C.5 D.3 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 根据题意可得m2(3-m)=×m×m(6-2m)≤=4， 当且仅当m=6-2m，即m=2时，等号成立， 故m2(3-m)的最大值为4. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16.已知实数a>b>0， (1)比较b(a-b)与的大小； 16 ∵a>b>0，∴a-b>0， ∴b(a-b)≤ 当且仅当b=a-b，即2b=a时，等号成立. ∴b(a-b)≤. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求a2+的最小值及取最小值时a，b的值. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知0<b(a-b)≤当且仅当2b=a时等号成立， ∴∴ ∴a2+≥a2+≥2=20， 当且仅当a2=且2b=a， 即时取等号. 综上可知，当a=b=时，a2+取得最小值20. 解 第二章　§2.2　基本不等式 <<< $