15.1.1 轴对称及其性质（讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦“轴对称及其性质”核心知识点，系统梳理轴对称图形的定义与判断方法，两个图形成轴对称的概念及二者区别联系，通过性质探究构建从概念理解到性质应用的学习支架，涵盖图形识别、对称轴计数、折叠问题等题型。 资料设计突出“即学即练-典例精析-变式巩固”分层训练，结合美术字、电子钟镜面等生活实例，培养学生几何直观与空间观念，通过概念辨析和性质推理发展推理意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺。

第十五章 轴对称 15.1.1 轴对称及其性质 课标要点 1.理解轴对称图形的概念，掌握判断方法，能够正确识别图形的对称轴，分清对称轴的类型。 2.掌握两个图形成轴对称的定义，分清轴对称与轴对称图形二者之间的区别和内在联系。 3.熟记轴对称相关性质，知道对称轴与对应点连线的关系，理解全等和轴对称的逻辑关系。 4.能够辨析常见易错概念，处理对称轴计数、概念判断类选择题与判断题。 学习重难点 重点： 1.掌握轴对称图形、两个图形成轴对称的定义，会区分两个易混淆的基础概念。 2.理解轴对称的核心性质，明确对称轴是对应点所连线段的垂直平分线。 3.分清轴对称与轴对称图形的区别联系，掌握对应线段、对应角相等的结论。 难点： 1.辨析轴对称图形和成轴对称的概念，容易混淆二者的图形个数与相互转化关系。 2.理解全等与轴对称的逻辑关系，容易错误认为全等图形就一定成轴对称。 知识点一 轴对称图形 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，也称这个图形关于这条直线成轴对称。 2.判断方法：把图形进行对折，若直线两旁部分能够完全重合，则为轴对称图形，反之不是。 注意： ①对称轴是直线，不能是射线或者线段。 ②轴对称图形描述的是一个图形本身具备的对称特征。 ③对称轴数量不固定，可以是1条、多条，也可以有无数条。 特别提醒 判断对称轴数量的题型，容易漏数、错数对称轴。做题要把图形全部对折检验，不要凭直观感觉判断。例如矩形有2条对称轴，不要误写4条；圆有无数条对称轴，不要写成1条。 即学即练 1．“说好中国话，写好中国字”，在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 知识点二 两个图形成轴对称 1.定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴；折叠后互相重合的点叫做对称点。 2.轴对称与轴对称图形的区别与联系 项目 两个图形成轴对称 轴对称图形 意义 两个图形的特殊位置关系 一个图形自身具备的对称特性 图形个数 2个图形 1个图形 对称轴位置 可在图形外部，也可穿过图形公共边、公共点 一定经过该图形 对称轴数量 只有1条 一条或多条，甚至无数条 联系： 1.如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，这个整体就是轴对称图形。 2.如果把轴对称图形沿对称轴切分成两个图形，得到的两个图形成轴对称。 即学即练 2．下列字母“F”关于镜面成轴对称的是（     ） A． B． C． D． 知识点三 轴对称的性质 1.两个图形关于某直线对称，对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。 2.轴对称图形的对称轴，是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.成轴对称的两个图形，对应线段相等，对应角相等。 4.成轴对称的两个图形一定全等；轴对称图形被对称轴分割出的两部分也全等。但全等的图形不一定成轴对称。 即学即练 3．如图，和关于直线对称，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，四边形是轴对称图形，对角线所在的直线是它的对称轴，，，则四边形的周长为_____． 题型01 轴对称图形的识别 解题贴士 判断轴对称图形的核心方法是想象图形沿某条直线对折，看直线两侧部分能否完全重合。 做题时不要被图形外观迷惑，部分图形看着对称实际找不到对称轴。该题型多为选择题，快速排除对折后无法重合的选项即可。 典｜例｜精｜析 【例1】下列是2025年国内人工智能应用排行榜中部分软件图标，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【例2】下列数学符号中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列图形中，属于轴对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 【变式1-3】数学之美，美不胜收．下列所示图案中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 题型02 成轴对称的两个图形的识别 解题贴士 成轴对称描述两个独立图形的位置关系，标准是沿某条直线折叠后两个图形能够完全重合。 注意和轴对称图形区分，轴对称图形是单个图形。两个图形全等不一定成轴对称，还需要满足折叠重合的位置条件。 典｜例｜精｜析 【例3】观察下面A，B，C，D四幅图，其中与下图成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【例4】下图中各组图形，成轴对称的为_____（只写序号①，②等）． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【变式2-2】下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】下列各选项中的两个图形属于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 题型03 根据成轴对称图形的特征进行判断 解题贴士 利用轴对称性质做判断：对称轴垂直平分对应点连线，对应线段相等、对应角相等。 做题看清题干条件，注意全等不等于成轴对称。判断题要留意特殊反例，不要看到全等就默认两个图形成轴对称。 典｜例｜精｜析 【例5】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【例6】已知与分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】如图，六边形ABCDEF关于直线l对称的图形是六边形．下列判断错误的是（   ） A． B． C．直线 D． 【变式3-2】嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上．下列结论：①；②；③；④．其中错误的是_____．（填序号） 题型04 根据成轴对称图形的特征进行求解 典｜例｜精｜析 【例7】如图，与关于直线l对称，且，，则（     ） A． B． C． D． 【例8】如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知是对称轴，，，则_________． 【变式4-2】如图，中，，，点是上任意一点，点和点分别是点关于和的对称点，连接和，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【变式4-3】如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接，点恰好落在的延长线上，与的交点为，若，求的度数． 题型05 求对称轴条数及画对称轴 解题贴士 利用轴对称性质做判断：对称轴垂直平分对应点连线，对应线段相等、对应角相等。 做题看清题干条件，注意全等不等于成轴对称。判断题要留意特殊反例，不要看到全等就默认两个图形成轴对称。 典｜例｜精｜析 【例9】在平面上任意画个半径相同的圆（两两都不重复）构成一个图形，下列说法：这个图形可能不是轴对称图形，这个图形可能只有一条对称轴，这个图形可能有两条对称轴，这个图形可能有三条对称轴，这个图形可能有无数条对称轴，其中说法成立的个数是（   ） A． B． C． D． 【例10】图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是轴对称图形，并且有两条对称轴，这个位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】如图，有一个英语单词（只画出了部分），四个字母都关于直线l对称，则这个英语单词的中文是_______． 【变式5-2】如图，是轴对称图形且只有两条对称轴的是__________(填序号)． 【变式5-3】如图，四边形和四边形关于直线l成轴对称． ①在图①中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） ②如果只有一把无刻度的直尺，请你在图②中画出对称轴． 题型06 折叠问题 典｜例｜精｜析 【例11】图①是一个四边形纸条，其中，，分别为边，上的点，将纸条沿直线折叠得到图②，再将图②沿直线折叠得到图③，若在图③中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例12】把长方形沿着直线对折，折痕为，对折后的图形的边恰好经过点C．若，则______． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】小颖同学热爱折纸，有一天她按照如下方法对一张长方形的纸片进行了折叠： 若图3中，，则（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，已知四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将纸片沿着折叠，点A落在点G处，交于点H．若比的4倍多，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，正方形中，点是上一点，连接，将四边形沿所在直线翻折到这个正方形所在的平面内，点，的对应点分别是点，，，则的度数是_________度，的度数是_________度． 题型07 车牌号码、钟表的镜面对称 典｜例｜精｜析 【例13】平面镜中看到电子钟示数为“”，实际时间是（    ） A． B． C． D． 【例14】小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】平面镜中看到“”，实际电子钟示数为__________． 【变式7-2】从水平放置的平面镜中看到平面镜中看到“”，实际电子钟示数是__________． 【变式7-3】从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为多少？ 题型08 台球桌面上及光线反射的轴对称问题 典｜例｜精｜析 【例15】如图，一束光线射向一个水平镜面后在点处被反射，请借助量角器或者直尺判断反射光线一定会经过（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【例16】如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】如图，在长方形中，，一发光电子开始置于边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，当发光电子与长方形的边碰撞2026次后，它与边的碰撞次数是______． 【变式8-2】平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 基础通关 一、单选题 1．如图，折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．下列由阴影部分组成的图案中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，中，为上一点，沿折叠，使点恰好落在边上的点处，，，则等于（     ） A． B． C． D． 5．如图，直线l是长方形的对称轴，点E是直线l上的点，若，，则图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．如图，在中，直线交于点，点关于直线对称的点恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（     ） A．13 B．15 C．17 D．23 二、填空题 7．如图，与关于直线对称，若，，则的度数为________°． 8．如图，把一张长方形的纸片沿折叠后，与的交点为G，点D，C分别落在，的位置上，如果，那么__________． 9．如图，中，的垂直平分线分别交于点D、E，的垂直平分线分别交于点F、G，若，则的度数为________． 三、解答题 10．在下列图形中，找出轴对称图形，并找出它的两组对应点． 11．如图，与关于直线l对称．如果，，，求的长与的度数． 12．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将一张三角形纸片沿折叠，点C落在点处．已知，则是多少度？ 素养提升 1．把长方形纸片沿折叠后再次沿折叠成如图所示，且的对应线段恰好落在上，设，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，将线段沿着射线折叠得到，延长到E，连接，点F是射线上的一个动点，连接，，若，，的周长的最小值为22，则长为（     ） A．18 B．16 C．14 D．12 3．如图，在四边形中，，，点分别是，上两个动点．当的周长最小时，的度数为（） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，，，，点M，N分别是边，上两个动点，当的周长最小时，的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，将一张长方形纸片按如下步骤折叠：（1）如图1，将纸片对折，点B落在点C处，得到折痕后展开纸片；（2）如图2，将对折，点B落在折痕上的点处，得到折痕；（3）如图3，将对折，点C落在折痕上的点处，得到折痕，则的度数为_________ 度． 6．如图，在直角三角形中，，，，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点M关于边，的对称点分别为E，F，连接，点D在上，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是_________． 迁移创新 1．如图，在中，点是边上一点，连接，将沿翻折得到，此时恰好经过点，若，则值等于______． 2．如图，在中，，，，，，为边，上两个动点，连接，，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 3．射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 15.1.1 轴对称及其性质 课标要点 1.理解轴对称图形的概念，掌握判断方法，能够正确识别图形的对称轴，分清对称轴的类型。 2.掌握两个图形成轴对称的定义，分清轴对称与轴对称图形二者之间的区别和内在联系。 3.熟记轴对称相关性质，知道对称轴与对应点连线的关系，理解全等和轴对称的逻辑关系。 4.能够辨析常见易错概念，处理对称轴计数、概念判断类选择题与判断题。 学习重难点 重点： 1.掌握轴对称图形、两个图形成轴对称的定义，会区分两个易混淆的基础概念。 2.理解轴对称的核心性质，明确对称轴是对应点所连线段的垂直平分线。 3.分清轴对称与轴对称图形的区别联系，掌握对应线段、对应角相等的结论。 难点： 1.辨析轴对称图形和成轴对称的概念，容易混淆二者的图形个数与相互转化关系。 2.理解全等与轴对称的逻辑关系，容易错误认为全等图形就一定成轴对称。 知识点一 轴对称图形 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，也称这个图形关于这条直线成轴对称。 2.判断方法：把图形进行对折，若直线两旁部分能够完全重合，则为轴对称图形，反之不是。 注意： ①对称轴是直线，不能是射线或者线段。 ②轴对称图形描述的是一个图形本身具备的对称特征。 ③对称轴数量不固定，可以是1条、多条，也可以有无数条。 特别提醒 判断对称轴数量的题型，容易漏数、错数对称轴。做题要把图形全部对折检验，不要凭直观感觉判断。例如矩形有2条对称轴，不要误写4条；圆有无数条对称轴，不要写成1条。 即学即练 1．“说好中国话，写好中国字”，在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 知识点二 两个图形成轴对称 1.定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴；折叠后互相重合的点叫做对称点。 2.轴对称与轴对称图形的区别与联系 项目 两个图形成轴对称 轴对称图形 意义 两个图形的特殊位置关系 一个图形自身具备的对称特性 图形个数 2个图形 1个图形 对称轴位置 可在图形外部，也可穿过图形公共边、公共点 一定经过该图形 对称轴数量 只有1条 一条或多条，甚至无数条 联系： 1.如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，这个整体就是轴对称图形。 2.如果把轴对称图形沿对称轴切分成两个图形，得到的两个图形成轴对称。 即学即练 2．下列字母“F”关于镜面成轴对称的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察可知，只有选项B中的两个字母“F”关于镜面成轴对称，其它选项中的两个字母“F”的对应点连线与镜面不垂直，不成轴对称. 知识点三 轴对称的性质 1.两个图形关于某直线对称，对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。 2.轴对称图形的对称轴，是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.成轴对称的两个图形，对应线段相等，对应角相等。 4.成轴对称的两个图形一定全等；轴对称图形被对称轴分割出的两部分也全等。但全等的图形不一定成轴对称。 即学即练 3．如图，和关于直线对称，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，，，故A，C正确； ∴，故B正确； 根据已知条件无法得到，故D不一定正确． 4．如图，四边形是轴对称图形，对角线所在的直线是它的对称轴，，，则四边形的周长为_____． 【答案】11 【详解】解：四边形是关于对角线对称， ，， 四边形的周长为． 题型01 轴对称图形的识别 解题贴士 判断轴对称图形的核心方法是想象图形沿某条直线对折，看直线两侧部分能否完全重合。 做题时不要被图形外观迷惑，部分图形看着对称实际找不到对称轴。该题型多为选择题，快速排除对折后无法重合的选项即可。 典｜例｜精｜析 【例1】下列是2025年国内人工智能应用排行榜中部分软件图标，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，故是轴对称图形，符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意． 【例2】下列数学符号中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故此选项符合题意； 、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 、是轴对称图形，故此选项不符合题意． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、不是轴对称图形； B、是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、是轴对称图形． 【变式1-2】下列图形中，属于轴对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于C选项中的图形，其对称轴如下： 对于A、B、D选项中的图形，都不能找到一条直线，使得图形沿这条直线折叠后两部分重合，故A、B、D选项中的图形均不是轴对称图形． 综上，只有C选项中的图形是轴对称图形． 【变式1-3】数学之美，美不胜收．下列所示图案中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A，C，D：沿着任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能互相重合，因此不是轴对称图形，故A，C，D不符合题意； B：沿着竖直居中的直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，因此它是轴对称图形，故B符合题意． 题型02 成轴对称的两个图形的识别 解题贴士 成轴对称描述两个独立图形的位置关系，标准是沿某条直线折叠后两个图形能够完全重合。 注意和轴对称图形区分，轴对称图形是单个图形。两个图形全等不一定成轴对称，还需要满足折叠重合的位置条件。 典｜例｜精｜析 【例3】观察下面A，B，C，D四幅图，其中与下图成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不成轴对称，故不符合题意； B、不成轴对称，故不符合题意； C、成轴对称，故符合题意； D、不成轴对称，故不符合题意． 【例4】下图中各组图形，成轴对称的为_____（只写序号①，②等）． 【答案】①②④ 【详解】解：①②④中的图形沿着一条直线对折能够重合，因此成轴对称，③中的伞柄不对称， 综上，成轴对称的为①②④． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【答案】A 【详解】解：由成轴对称图形的定义可知，编号为②和④的三角形都可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 编号为③的三角形不可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 故选：A． 【变式2-2】下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； B、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； C、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； D、两个数字能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则两个数字成轴对称． 故选：D． 【变式2-3】下列各选项中的两个图形属于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、两个图形沿某条直线折叠，能够完全重合，两个图形属于轴对称，符合题意； B、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意； C、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意； D、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意； 故选：A． 题型03 根据成轴对称图形的特征进行判断 解题贴士 利用轴对称性质做判断：对称轴垂直平分对应点连线，对应线段相等、对应角相等。 做题看清题干条件，注意全等不等于成轴对称。判断题要留意特殊反例，不要看到全等就默认两个图形成轴对称。 典｜例｜精｜析 【例5】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：与关于直线对称， ，，故A、C、D选项正确，不符合题意， 不一定成立，故B选项错误，符合题意． 【例6】已知与分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 点与点是关于直线的对称点， ∴ 线段被直线垂直平分． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】如图，六边形ABCDEF关于直线l对称的图形是六边形．下列判断错误的是（   ） A． B． C．直线 D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：A、点和对称点是点和，．故该选项说法正确，不符合题意； B、∵点、、、对称点是点、、和，，．故该选项说法错误，符合题意； C、∵点、对称点分别是点、，直线故该选项说法正确，不符合题意； D、∵点对称点是点，，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【变式3-2】嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示，淇淇放的方形棋子的位置如图，坐标为． 【变式3-3】如图，直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上．下列结论：①；②；③；④．其中错误的是_____．（填序号） 【答案】① 【分析】 【详解】解：直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上， ，， ，故②正确， ，故③正确， ，故④正确， ，但不一定相等，故①错误， 故答案为：①． 题型04 根据成轴对称图形的特征进行求解 典｜例｜精｜析 【例7】如图，与关于直线l对称，且，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与关于直线l对称，且， ∴， ∴． 【例8】如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵、分别是P关于、的对称点， ∴， ∵的周长， ∴的周长 ． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知是对称轴，，，则_________． 【答案】/115度 【详解】解：由轴对称性质得， ∵， ∴． 【变式4-2】如图，中，，，点是上任意一点，点和点分别是点关于和的对称点，连接和，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，    ∵点和点分别是点关于和的对称点， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【变式4-3】如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接，点恰好落在的延长线上，与的交点为，若，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵关于的对称线段是， ∴． ∵， ∴， ∵关于的对称线段是， ∴， ∴， ∴， 又∵点落在所在的直线上，， ∴， ∴， ∴． 题型05 求对称轴条数及画对称轴 解题贴士 利用轴对称性质做判断：对称轴垂直平分对应点连线，对应线段相等、对应角相等。 做题看清题干条件，注意全等不等于成轴对称。判断题要留意特殊反例，不要看到全等就默认两个图形成轴对称。 典｜例｜精｜析 【例9】在平面上任意画个半径相同的圆（两两都不重复）构成一个图形，下列说法：这个图形可能不是轴对称图形，这个图形可能只有一条对称轴，这个图形可能有两条对称轴，这个图形可能有三条对称轴，这个图形可能有无数条对称轴，其中说法成立的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当三个圆心不构成特殊三角形时不是轴对称图形，如图， ∴这个图形可能不是轴对称图形，故此说法正确，符合题意； 三个圆心在一条直线上，且圆心间距离不相等时，只有一条对称轴， ∴这个图形可能只有一条对称轴，故此说法正确，符合题意； 三个圆心在一条直线上，且圆心间距离相等时，有两条对称轴， ∴这个图形可能有两条对称轴，故此说法正确，符合题意； 三个圆心构成等边三角形时有三条对称轴，如图， ∴这个图形可能有三条对称轴，故此说法正确，符合题意； 只有三个圆重合时，有无数条对称轴， ∵两两都不重复， ∴这个图形不可能有无数条对称轴，故此说法错误，不符合题意； 综上正确， 故选：． 【例10】图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是轴对称图形，并且有两条对称轴，这个位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【详解】解：A、放入①的位置的图形为 ， 是轴对称图形，并且有两条对称轴，则此项符合题意； B、放入②的位置的图形为 ， 不是轴对称图形，则此项不符题意； C、放入③的位置的图形为 ， 是轴对称图形，但只有一条对称轴，则此项不符题意； D、放入④的位置的图形为 ， 不是轴对称图形，则此项不符题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】如图，有一个英语单词（只画出了部分），四个字母都关于直线l对称，则这个英语单词的中文是_______． 【答案】书 【详解】解：如图： 这个单词是， ∴这个英语单词的中文是：书． 故答案为：书． 【变式5-2】如图，是轴对称图形且只有两条对称轴的是__________(填序号)． 【答案】①②/②① 【详解】图标中，是轴对称图形的有①②③，其中只有2条对称轴的是①②，有4条对称轴的是③。 故答案为：①②． 【点睛】此题考查了利用轴对称图形的定义判断轴对称图形的对称轴条数的灵活应用，这里要求学生熟记已学过的特殊图形的对称轴特点进行解答． 【变式5-3】（1）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． ①格点（顶点均在格点上）的面积为_________； ②画出格点向右平移3个单位长度后得到的； ③在直线上找出点P，使平分． （2）如图，四边形和四边形关于直线l成轴对称． ①在图①中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） ②如果只有一把无刻度的直尺，请你在图②中画出对称轴． 【答案】（1）①； ②如图所示： ③如图，取点关于的对称点，连接并延长交于点，点即为所求： （2）①如图，作的垂直平分线，直线即为所求， ②如图，连接，交于点，延长、交于点，作直线即为所求对称轴， 【分析】 【详解】解：（1）①． 故答案为： ② 略 ③ 略 （2）① 略 ② 略 题型06 折叠问题 典｜例｜精｜析 【例11】图①是一个四边形纸条，其中，，分别为边，上的点，将纸条沿直线折叠得到图②，再将图②沿直线折叠得到图③，若在图③中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ，， 根据折叠的性质，得， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 根据折叠的性质，得， ． 【例12】把长方形沿着直线对折，折痕为，对折后的图形的边恰好经过点C．若，则______． 【答案】 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】小颖同学热爱折纸，有一天她按照如下方法对一张长方形的纸片进行了折叠： 若图3中，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，将纸片展开，得到长方形． 则，， ∵， ∴， 由折叠可得， ∴， 即 ∴由折叠可得， ∴， ∴由折叠可得， ∴． 【变式6-2】如图，已知四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将纸片沿着折叠，点A落在点G处，交于点H．若比的4倍多，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴． 【变式6-3】如图，正方形中，点是上一点，连接，将四边形沿所在直线翻折到这个正方形所在的平面内，点，的对应点分别是点，，，则的度数是_________度，的度数是_________度． 【答案】 20 40 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴． ∵在正方形中，， ∴，， 由折叠的性质可知，， ∴． 题型07 车牌号码、钟表的镜面对称 典｜例｜精｜析 【例13】平面镜中看到电子钟示数为“”，实际时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵镜中示数为“”， ∴ 实际数字为每个数字的镜像： 第一个数字， 第二个数字， 第三个数字， 第四个数字， ∴ 实际时间为， 故选：D． 【例14】小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 【答案】3265 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的号码与3265成轴对称，所以此时实际号码为3265， 故答案为：3265． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】平面镜中看到“”，实际电子钟示数为__________． 【答案】 【分析】 【详解】平面镜中看到的时间是实际时间的左右镜像．电子钟数字中，数字0和1在镜中保持不变，冒号对称．将镜中时间“”反转顺序并考虑数字对称性，得到实际时间仍为“”． 故答案为：． 【变式7-2】从水平放置的平面镜中看到平面镜中看到“”，实际电子钟示数是__________． 【答案】 【详解】解：平面镜中看到“”，平面镜水平放置，则上下对称由于数字和都是轴对称图形，在平面镜中成像时形状不变，因此实际电子钟示数仍为． 故答案为． 【变式7-3】从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为多少？ 【答案】 【详解】解：∵是从镜子中看， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这串数字应为． 题型08 台球桌面上及光线反射的轴对称问题 典｜例｜精｜析 【例15】如图，一束光线射向一个水平镜面后在点处被反射，请借助量角器或者直尺判断反射光线一定会经过（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：作，在右侧量出等于且以为边，N为顶点的角即可．    【例16】如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 【答案】C 【详解】解：如下图所示，作点关于直线的对称点， 连接与直线交于点， 点即为所求． 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】如图，在长方形中，，一发光电子开始置于边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，当发光电子与长方形的边碰撞2026次后，它与边的碰撞次数是______． 【答案】675 【详解】解：根据题意，得到如下反射图， 根据图形可得，从点P开始，发光电子与长方形的边，每碰撞6次为一个循环组，且每次循环发光电子与边碰撞2次， 因为， 故它与边的碰撞次数是 （次）． 【变式8-2】平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意，得， ∵， ∴， ∴． 【变式8-3】如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 基础通关 一、单选题 1．如图，折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 2．体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A.该图形是轴对称图形，符合题意； B. 该图形不是轴对称图形，不符合题意； C. 该图形不是轴对称图形，不符合题意； D. 该图形不是轴对称图形，不符合题意． 3．下列由阴影部分组成的图案中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：A、，是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、，是轴对称图形； D、，是轴对称图形． 4．如图，中，为上一点，沿折叠，使点恰好落在边上的点处，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由折叠的性质可知， ∵， ∴． 5．如图，直线l是长方形的对称轴，点E是直线l上的点，若，，则图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：由轴对称的性质可知，，， ． 6．如图，在中，直线交于点，点关于直线对称的点恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（     ） A．13 B．15 C．17 D．23 【答案】B 【详解】解：∵点A关于直线对称的点E恰好在线段上，，，， ∴，， ， ∴的周长． 二、填空题 7．如图，与关于直线对称，若，，则的度数为________°． 【答案】 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．如图，把一张长方形的纸片沿折叠后，与的交点为G，点D，C分别落在，的位置上，如果，那么__________． 【答案】/50度 【详解】解：∵ ∴ 由折叠得， ∵ ∴． 9．如图，中，的垂直平分线分别交于点D、E，的垂直平分线分别交于点F、G，若，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：， ， 是的垂直平分线， ， ， 同理可得：， ， ， ． 三、解答题 10．在下列图形中，找出轴对称图形，并找出它的两组对应点． 【答案】轴对称图形是（1）（2）（3）（5）；（1）中两组对应点为与；（2）中两组对应点为与；（3）中两组对应点为与；（5）中两组对应点为与. 【详解】解：轴对称图形是（1）（2）（3）（5）； 如图， （1）中两组对应点为与； （2）中两组对应点为与； （3）中两组对应点为与； （5）中两组对应点为与. 11．如图，与关于直线l对称．如果，，，求的长与的度数． 【答案】， 【详解】解：与关于直线对称，，， ， ． 12．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将一张三角形纸片沿折叠，点C落在点处．已知，则是多少度？ 【答案】 【详解】解：由折叠可得， ∵ ∴． 素养提升 1．把长方形纸片沿折叠后再次沿折叠成如图所示，且的对应线段恰好落在上，设，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据折叠的性质得：、，， 在长方形中，， ， ， ， ， ． 2．如图，将线段沿着射线折叠得到，延长到E，连接，点F是射线上的一个动点，连接，，若，，的周长的最小值为22，则长为（     ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】C 【详解】解：∵线段沿着射线折叠得到， ∴，， ∵， ∴， 当E，F，B共线时， 此时周长最短； ∴， ∴． 3．如图，在四边形中，，，点分别是，上两个动点．当的周长最小时，的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作点关于的对称点，关于的对称点，连接，与、分别交于点、，此时的周长最小， ∵点关于的对称点是，关于的对称点是， ∴，，，， ∵， ∴三点共线，三点共线， 在中，， ∴， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴． 4．如图，在四边形中，，，，点M，N分别是边，上两个动点，当的周长最小时，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点， 此时周长最小，即的周长最小． 由对称可得，，． ， ， ， ， 即的度数为． 5．如图，将一张长方形纸片按如下步骤折叠：（1）如图1，将纸片对折，点B落在点C处，得到折痕后展开纸片；（2）如图2，将对折，点B落在折痕上的点处，得到折痕；（3）如图3，将对折，点C落在折痕上的点处，得到折痕，则的度数为_________ 度． 【答案】 【详解】解：根据折叠可得：，，， ∴， ∴． 6．如图，在直角三角形中，，，，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点M关于边，的对称点分别为E，F，连接，点D在上，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是_________． 【答案】9.6 【详解】解：如图，连接， ∵点M关于边，的对称点分别为E，F， ∴，， ∴， ∵点D在上， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值， 由垂线段最短可得，当时，的值最小， ∵， ∴的最小值为， ∴线段长度的最小值是． 迁移创新 1．如图，在中，点是边上一点，连接，将沿翻折得到，此时恰好经过点，若，则值等于______． 【答案】 【详解】解：由翻折可知 ， ， 设 ，则 ， 设 ． 因为，且 ， 又， 所以， 解得 ，即 ． 同高三角形面积比等于底之比，和 同顶点，底边在同一直线上，二者高相同， 因此面积比等于底边长之比： ． 2．如图，在中，，，，，，为边，上两个动点，连接，，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，， ∵，、关于对称， ∴在的延长线上，且，， ∴， ∴，要使最小，即求的最小值， ∵在上， ∴当、、三点共线，且时，最小，最小值为到的垂线段长，如图， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 3．射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：对于A，由题可知，又， ，即，则，故A正确，不符合题意； 对于B，， ，，即， ， （同旁内角互补，两直线平行），故B正确，不符合题意； 对于C，， ，即，故C正确，不符合题意； 对于D，，又， ，同旁内角相等，不一定互补，则不一定平行，故D错误，符合题意． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $