15.1.2 线段的垂直平分线 教学设计 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦线段垂直平分线的性质、判定定理及互逆命题、互逆定理，通过复习线段和角的轴对称性、角平分线性质等旧知，类比角平分线研究方法搭建学习支架，自然引出新知探究主线。 该资料亮点在于注重数学思维与实践结合，性质定理通过观察测量、折纸验证后分情况严谨证明，培养推理能力，判定定理提供两种辅助线思路拓宽解题思维。区分互逆命题与定理时用“对顶角相等”及其逆命题辨析，突破难点，助力学生提升几何直观与抽象能力，为教师提供清晰的重难点突破路径和规范的几何教学范例。

15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时） 一、教学目标 1.熟练掌握尺规作一条线段垂直平分线的完整步骤，理解作图理论依据； 2.掌握两种垂线尺规作图：过直线外一点作已知直线垂线、过直线上一点作已知直线垂线； 3.会利用线段垂直平分线作法，作出轴对称图形、成轴对称两个图形的对称轴. 二、教学重点及难点 重点：尺规作线段垂线平分线，过直线上（外）一点作垂线的步骤. 难点：理解尺规作图的理论依据. 三、教学过程 【复习回顾】 教师提问：上节课我们学习尺规作角平分线，完整三步作法是什么？ 学生集体口述，同时课件展示. 教师追问：作图依据是什么？学生回答SSS全等. 教师过渡：今天我们继续利用尺规作图，结合线段垂直平分线判定定理，学习线段垂直平分线、垂线、对称轴的作法，板书课题. 设计意图：复习旧尺规作图方法，搭建作图知识迁移桥梁，类比引出本节课作图探究内容，贴合课件导入逻辑. 【探究新知】 探究1：尺规作线段的垂直平分线 【师生活动】 （1）教师抛出思考：如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线？ 教师引导学生得出：根据 “两点确定一条直线”，结合线段垂直平分线判定（到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上），分别以线段两端为圆心画弧，得到上下两个交点，两点连线即为垂直平分线. （2）出示作图题干：已知线段，求作的垂直平分线. 教师在黑板分步示范，学生同步在草稿纸上作图： ①分别以点A、B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于C、D两点； ②作直线CD，直线CD就是线段的垂直平分线. （3）拓展：直线与交点即为线段中点，可用此法确定线段中点. （4）说理验证：由作图得、，根据判定定理，C、D都在垂直平分线上，两点确定直线. 设计意图：依托线段垂直平分线判定定理解释作图原理；同步实操规范圆弧半径与作图痕迹，落实本节课第一个重点. 探究2：作轴对称图形及成轴对称的两个图形的对称轴 【活动1】教师出示课件成对对称图形（与为一组对称点），提问：如何快速作出对称轴？ 师生共同梳理作图方法： ①任意选取一组对应对称点； ②连接两点得到线段； ③作这条线段的垂直平分线，所得直线就是两个图形的对称轴. 学生简易画图实操，同桌互相检查作图痕迹. 设计意图：将线段垂直平分线作图方法直接迁移应用，体现作图方法通用性，为单一轴对称图形对称轴作图铺垫. 【活动2】找出五角星的对称轴. 教师示范完整步骤： ①找出一对对称点、； ②连接； ③作线段的垂直平分线，直线即为五角星一条对称轴. 布置课堂小任务：尝试作出五角星其余所有对称轴. 统一总结通用方法：对于轴对称图形，只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴. 设计意图：由两个图形对称过渡到单个轴对称图形，统一对称轴作图模板，巩固线段垂直平分线作图技能. 探究3：过直线上（外）一点作垂线 【典型例题】例 （教材P68） 【师生活动】 教师分步分析思路：以C为圆心画弧交AB于D、E，D、E到C距离相等，C在DE垂直平分线上，再找另一交点即可作出垂线. 师生同步尺规作图，并用课件展示例题具体步骤. 设计意图：综合运用线段垂直平分线判定定理完成垂线作图，拆解分步操作，突破直线外垂线作图难点. 教师提问：如果点在直线上，要怎样作垂线？ 师生同步完成三步作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于D、E两点； ②分别以D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点； ③作直线，即为所求垂线. 对比辨析：和直线外一点垂线作图的相同点、细微区别，明确两种作图核心逻辑一致. 设计意图：补充直线上垂线作图，完善两类垂线尺规作图体系，通过对比加深步骤记忆. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.基础作图：尺规作线段垂直平分线（可确定线段中点）； 2.拓展作图：①作对称图形对称轴；②过直线外一点作垂线；③过直线上一点作垂线. 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.1.2 线段的垂直平分线（第1课时） 一、教学目标 1.理解并熟练掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理，能规范书写几何推理语言； 2.认识原命题、逆命题、互逆命题、互逆定理的概念，能准确写出一个命题的逆命题，区分互逆命题与互逆定理； 3.能够灵活运用线段垂直平分线的性质、判定完成线段计算与几何证明. 二、教学重点及难点 重点：线段垂直平分线性质、判定定理的证明与几何应用. 难点：区分“互逆命题”与“互逆定理”，理解逆命题不一定为真命题. 三、教学过程 【复习回顾】 教师依次提问，学生集体作答： ①线段、角是不是轴对称图形？对称轴分别是什么？ 学生：是；角的对称轴是角平分线所在直线，线段的对称轴是线段垂直平分线. ②角平分线的性质是什么？ 学生：角平分线上的点到角两边距离相等. ③轴对称图形对称轴有什么性质？ 学生：对称轴垂直平分任意一组对称点的连线。 教师类比引导：类比角平分线的研究方法，今天探究线段垂直平分线上的点与线段端点的数量关系，板书课题. 设计意图：复习旧知搭建类比学习支架，借助角平分线知识迁移新知，自然引出本节课探究主线，贴合课件导入逻辑. 【探究新知】 探究1：线段垂直平分线的性质 问题：如图，直线垂直平分线段，点，，，···在上，分别比较点，，，···与点的距离和这些点与点的距离，你有什么发现？ 【师生活动】 学生观察、测量线段长度，小组交流发现：，，； 折纸验证：将沿直线对折，与完全重合； 师生共同提炼猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 教师给出已知、求证、图形； 分两种情况证明：①点不与垂足重合；②点与垂足重合. 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 几何语言：，，. 教师补充拓展：三角形三边垂直平分线交点到三个顶点距离相等． 设计意图：完整严谨完成全等证明，分特殊点完善证明逻辑，规范几何书写，落实本节课核心重点. 探究2：线段垂直平分线的判定 教师提问：交换性质定理的题设与结论，新命题是否成立？ 原命题：点在线段垂直平分线上⇒点到两端距离相等； 交换后：点到线段两端距离相等⇒点在线段垂直平分线上. 教师点拨证明难点：作辅助线不能同时满足垂直＋平分，分两种辅助思路证明. 线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 几何语言：，点在线段的垂直平分线上. 集合观点总结：线段垂直平分线是到线段两端距离相等的所有点的集合. 设计意图：提供两种辅助线证明思路，完整突破判定定理证明难点，拓宽几何解题思路. 探究3：互逆命题、互逆定理 【师生活动】 （1）对比两组命题： ①线段垂直平分线性质、线段垂直平分线判定； ②两直线平行⇔内错角相等. （2）师生总结定义：如果两个命题题设、结论正好相反，二者称为互逆命题；一个叫原命题，另一个叫逆命题. （3）举例辨析：原命题“对顶角相等”为真，逆命题“相等的角是对顶角”为假；得出结论：原命题成立，逆命题不一定成立. 定义：若一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是定理，二者称为互逆定理. 举例巩固：线段垂直平分线性质与判定、平行线内错角定理均为互逆定理. 三点关键注意： ①互逆定理必须都是真命题； ②任何定理都有逆命题，但不一定有逆定理； ③互逆命题不一定是互逆定理. 设计意图：区分互逆命题、互逆定理两个易混概念，厘清逻辑边界，攻克本节课难点. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.线段垂直平分线：性质（线上点距两端相等）、判定（距两端相等在线上）； 2.互逆命题：题设结论互换，真假无必然联系； 3.互逆定理：互逆命题均为真命题，才可称为互逆定理. 学科网（北京）股份有限公司 $