2.2 直线的方程（讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦直线的方程核心知识点，系统梳理点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式五种方程的推导过程、定义及适用范围，构建从特殊形式（如点斜式基于定点斜率）到一般式（普适性表达）的知识脉络，强调方程互化与易错点规避，形成完整学习支架。 资料通过“即学即练”“典例精析”“变式巩固”分层设计，突出数学思维（如截距式漏解问题的逻辑分析）与数学语言（方程规范书写），助力学生用数学眼光抽象几何条件。课中辅助教师突破重难点，课后帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

第二章 直线和圆的方程 2.2 直线的方程 课标要点 1.理解点斜、斜截、两点、截距、一般式五种直线方程的推导过程与定义。 2.分清每种直线方程的适用范围，能根据已知条件选择合适形式写直线方程。 3.掌握一般式与其余四种直线方程之间的互化，准确求直线斜率、截距。 4.会利用直线方程求定点，规避各类方程使用限制，规范书写直线表达式。 学习重难点 重点： 1.熟记五种直线方程的标准形式，掌握各方程对应的几何条件与书写要求。 2.掌握直线一般式的性质，熟练完成一般式与斜截式之间的互相转化。 3.区分横截距、纵截距概念，能结合截距条件快速列出直线截距式方程。 难点： 1.容易忽略点斜、两点、截距式的使用限制，遗漏斜率不存在、截距为 0 的情况。 2.一般式转化斜截式时移项符号易出错，斜率与纵截距计算时常出现符号失误。 知识点01直线的点斜式方程 1.点斜式推导 设直线过定点，斜率为，取直线上异于的点，由斜率公式： 2.点斜式定义 称为直线的点斜式方程，由定点坐标与直线斜率确定。 （1）倾斜角，，直线平行/重合于轴，方程：； （2）倾斜角，斜率不存在，直线平行/重合于轴，不能用点斜式，方程：； （3）与不等价：前者是完整直线，后者缺少点； （4）含参数的点斜式直线恒过定点，取全体实数。 即学即练 1．过点且斜率为的直线，其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 知识点02直线的斜截式方程 1.斜截式推导 直线过轴上定点，斜率为，代入点斜式： 2.斜截式定义 为斜截式；为直线斜率，为直线在轴上的纵截距。 补充：直线与轴交点横坐标称为横截距。 即学即练 2．过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 知识点03直线的两点式方程 已知两点，，斜率； 代入点斜式整理得两点式： 注释：两点式为分式形式，分母不能为0，不能表示垂直x轴、垂直y轴的直线；去掉分母的整式方程可表示任意两点确定的直线。 即学即练 3．经过点和的直线的方程为________． 知识点04直线的截距式方程 直线交轴于，交轴于，，由两点式变形得截距式： 为横截距，为纵截距；均不能为0。 易错提醒 求截距相关直线漏解、多解 （1）错误表现：题目要求截距相等，直接设截距式，漏掉直线过原点（截距都为0）的情况。 （2）完整解法：分两种情况，①截距不为0，用截距式；②截距均为0，设，分开求解避免漏解。 即学即练 4．过、两点的直线方程是 （    ） A． B． C． D． 知识点05直线的一般式方程 1.直线与二元一次方程的对应关系 （1）平面任意直线，都可写成关于的二元一次方程； （2）任意二元一次方程不同时为0，都对应一条平面直线。 2.一般式定义 （不同时为0）称为直线一般式方程。 3.基础性质 （1）适用全部直线，无限制； （2）不同时为0； （3）特殊情况：，直线过原点；，方程，斜率为0，水平线；，方程，无斜率，竖直线。 4.变形转化 ①，化为斜截式：，斜率，纵截距； ②，化为，垂直x轴； 点斜、斜截、两点、截距式均可统一转化为一般式。 即学即练 5．若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 6．已知直线不经过第二象限，且，则（   ） A． B． C． D． 题型01 点斜式方程 典｜例｜精｜析 【例1】已知直线：和直线：，若，则（ ） A． B． C． D． 【例2】根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】在平面直角坐标系中，点、，则线段的垂直平分线方程为________． 【变式1-2】已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】若直线l的倾斜角与直线的倾斜角互补，则l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 题型02 斜截式方程 典｜例｜精｜析 【例3】与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是__________. 【例4】求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为求直线的方程为__________用斜截式表示 【变式2-2】已知的三个顶点分别为、、，求边上的中线所在直线的斜截式方程． 【变式2-3】根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 题型03 两点式方程 典｜例｜精｜析 【例5】过点和的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【例6】经过抛物线与的两个交点的直线方程为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（   ） A． B． C．1 D． 【变式3-2】已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，则直线方程为______． 【变式3-3】已知三角形的三个顶点分别是，，，求三边所在直线的方程． 题型04 截距式方程 典｜例｜精｜析 【例7】直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【例8】条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】不过原点的直线在轴和轴上的截距互为相反数，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式4-2】一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 【变式4-3】已知直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为（    ） A． B． C． D． 题型05 一般式方程 典｜例｜精｜析 【例9】已知直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【例10】设，直线经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则的取值范围是___________． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】若直线的倾斜角的大小为，则实数=（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】直线：在轴上的截距为（   ） A．3 B． C．6 D． 【变式5-3】根据下列条件分别写出直线和的方程，并化为一般式方程． (1)的斜率是，且经过点，的斜率为，在轴上的截距为； (2)经过两点、，在轴、轴上的截距分别是、． 题型06 直线过定点问题 解题贴士 拆分含参直线，参数项、常数项分组，分别令两组式子等于0，联立方程求出定点。 算出定点后代回原式检验；无思路时可取两个特殊参数，联立两条直线求交点即为定点。 典｜例｜精｜析 【例11】直线过定点________. 【例12】已知直线l：，则点到直线的最大距离为（   ） A．5 B．2 C．8 D．10 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式6-3】直线（为常数）恒过定点，直线与直线垂直，且过点，其中直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型07 利用一般式方程解决平行和垂直问题 解题贴士 （1）直线， ①平行判定条件为且；②垂直判定条件为， （2）直线 ①与直线平行的直线统一设为。 ②与直线垂直的直线统一设为。 典｜例｜精｜析 【例13】若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例14】直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 【变式7-2】经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】过点且与直线垂直的直线方程为_______. 题型08 直线与坐标轴围成的三角形问题 典｜例｜精｜析 【例15】将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 【例16】过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是____________. 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 【变式8-2】若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为__________. 【变式8-3】已知直线 (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求的方程. 基础通关 一、单选题 1．已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．直线绕原点顺时针旋转，再向左平移1个单位，所得到的直线为（   ） A． B． C． D． 3．经过点的直线在轴上的截距是（ ） A．-10 B．10 C． D． 4．已知为直线上的动点，为的中点，记的轨迹为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 5．若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．或 6．“”是“直线的倾斜角大于”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 7．对于直线，下列说法错误的是（   ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过点 C．直线与直线垂直 D．直线在轴上的截距为 8．已知直线，直线，下列结论正确的是（    ） A．直线恒过点 B．对于任意的，直线的斜率都存在 C．若，则 D．若，则 三、填空题 9．已知直线，则其在轴上的截距为________. 10．已知直线：总是经过定点，则定点坐标为_______. 四、解答题 11．求满足下列条件的直线方程： (1)经过点，且斜率等于直线斜率的2倍； (2)过点，且与两坐标轴围成三角形的面积为6． 12．已知直线经过点. (1)若与直线平行，求的方程； (2)若与直线垂直，求的方程. 素养提升 1．已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（    ） A． B． C．3 D．6 4．数学家欧拉1765年在《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上”，这就是著名的欧拉线定理后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，，则的欧拉线的方程为__________. 5．已知，，直线将分割成面积相等的两部分（O为坐标原点），则_________. 6．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值____________． 7．已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)设为坐标原点，若直线与轴正半轴交于点、与轴正半轴交于点，求的最小值，并求此时直线的方程； 迁移创新 1．已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 2．已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（    ） A． B． C．8 D． 3．已知直线，过点的直线与及两坐标轴围成一个四边形，且该四边形有外接圆，则的一般方程为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程 2.2 直线的方程 课标要点 1.理解点斜、斜截、两点、截距、一般式五种直线方程的推导过程与定义。 2.分清每种直线方程的适用范围，能根据已知条件选择合适形式写直线方程。 3.掌握一般式与其余四种直线方程之间的互化，准确求直线斜率、截距。 4.会利用直线方程求定点，规避各类方程使用限制，规范书写直线表达式。 学习重难点 重点： 1.熟记五种直线方程的标准形式，掌握各方程对应的几何条件与书写要求。 2.掌握直线一般式的性质，熟练完成一般式与斜截式之间的互相转化。 3.区分横截距、纵截距概念，能结合截距条件快速列出直线截距式方程。 难点： 1.容易忽略点斜、两点、截距式的使用限制，遗漏斜率不存在、截距为 0 的情况。 2.一般式转化斜截式时移项符号易出错，斜率与纵截距计算时常出现符号失误。 知识点01直线的点斜式方程 1.点斜式推导 设直线过定点，斜率为，取直线上异于的点，由斜率公式： 2.点斜式定义 称为直线的点斜式方程，由定点坐标与直线斜率确定。 （1）倾斜角，，直线平行/重合于轴，方程：； （2）倾斜角，斜率不存在，直线平行/重合于轴，不能用点斜式，方程：； （3）与不等价：前者是完整直线，后者缺少点； （4）含参数的点斜式直线恒过定点，取全体实数。 即学即练 1．过点且斜率为的直线，其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为过点且斜率为的直线， 其点斜式方程为：. 故选：A 知识点02直线的斜截式方程 1.斜截式推导 直线过轴上定点，斜率为，代入点斜式： 2.斜截式定义 为斜截式；为直线斜率，为直线在轴上的纵截距。 补充：直线与轴交点横坐标称为横截距。 即学即练 2．过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 【答案】 【详解】过点且斜率为2的直线的斜截式方程为. 知识点03直线的两点式方程 已知两点，，斜率； 代入点斜式整理得两点式： 注释：两点式为分式形式，分母不能为0，不能表示垂直x轴、垂直y轴的直线；去掉分母的整式方程可表示任意两点确定的直线。 即学即练 3．经过点和的直线的方程为________． 【答案】 【详解】由已知得直线的方程为，即． 知识点04直线的截距式方程 直线交轴于，交轴于，，由两点式变形得截距式： 为横截距，为纵截距；均不能为0。 易错提醒 求截距相关直线漏解、多解 （1）错误表现：题目要求截距相等，直接设截距式，漏掉直线过原点（截距都为0）的情况。 （2）完整解法：分两种情况，①截距不为0，用截距式；②截距均为0，设，分开求解避免漏解。 即学即练 4．过、两点的直线方程是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据截距式方程得出 过、两点的直线方程是 . 故选：A. 知识点05直线的一般式方程 1.直线与二元一次方程的对应关系 （1）平面任意直线，都可写成关于的二元一次方程； （2）任意二元一次方程不同时为0，都对应一条平面直线。 2.一般式定义 （不同时为0）称为直线一般式方程。 3.基础性质 （1）适用全部直线，无限制； （2）不同时为0； （3）特殊情况：，直线过原点；，方程，斜率为0，水平线；，方程，无斜率，竖直线。 4.变形转化 ①，化为斜截式：，斜率，纵截距； ②，化为，垂直x轴； 点斜、斜截、两点、截距式均可统一转化为一般式。 即学即练 5．若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【详解】直线和直线平行， ，解得或，经检验时两条直线重合舍去， 所以． 6．已知直线不经过第二象限，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，且异号， 将直线化斜截式，为， 直线的斜率， 又因为直线不过第二象限， 所以，即， 又因为异号， 所以. 题型01 点斜式方程 典｜例｜精｜析 【例1】已知直线：和直线：，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知直线： ，其斜率为，直线：，其斜率为， 因为，所以，解得． 【例2】根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （2）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （3）因为直线斜率为，所以直线的点斜式方程为． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】在平面直角坐标系中，点、，则线段的垂直平分线方程为________． 【答案】 【详解】由题意可知线段的中点为，， 故线段的垂直平分线所在直线的斜率为， 因此线段的垂直平分线方程为，即. 故答案为：. 【变式1-2】已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为，则， 由直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线， 故直线的倾斜角为， 故直线的斜率为， 又在直线上，故直线过点， 即直线的方程为，化简得. 【变式1-3】若直线l的倾斜角与直线的倾斜角互补，则l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由直线的方程可知该直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 所以有， 的补角为， 所以l的倾斜角为. 故选：B 题型02 斜截式方程 典｜例｜精｜析 【例3】与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是__________. 【答案】 【详解】由题意可知：直线的斜率为， 因为所求直线与直线垂直，则所求直线的斜率， 且在轴上的截距为4，所以所求直线的斜截式方程是. 故答案为：. 【例4】求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由直线的点斜式方程得直线方程为：，化简可得：. （2）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，所以所求直线倾斜角为，所以所求直线斜率为， 由直线的点斜式方程得直线方程为：，化简可得：. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为求直线的方程为__________用斜截式表示 【答案】 【详解】设，则， 把的坐标代入直线方程为，把点的坐标代入， 可得：，解得，故点， 又边上的高所在直线方程为，,， 则直线为，即． 联立，可得，故直线斜率为， 则直线的方程为：，即． 故答案为：． 【变式2-2】已知的三个顶点分别为、、，求边上的中线所在直线的斜截式方程． 【答案】 【详解】因为、，所以边上的中点， 而，所以，所以所在直线的斜截式方程为． 【变式2-3】根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)斜率，在y轴上的截距1，直线与y轴交点的坐标为． 【分析】 【详解】（1）直线的斜率，纵截距， 所以该直线的斜截式方程为. （2）过点，斜率为的直线的点斜式方程为， 所以该直线的斜截式方程为. （3）直线方程化为， 所以该直线的斜率为，在y轴上的截距为1，直线与y轴交点的坐标为． 题型03 两点式方程 典｜例｜精｜析 【例5】过点和的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，直线的两点式方程为，即为. 故选：D. 【例6】经过抛物线与的两个交点的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】联立，得，即，解得或， 所以两抛物线的交点为，， 故过两个交点的直线方程为. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】根据直线方程的两点式公式可得：， 化简可得： . 把代入，得： ，即. 所以直线在轴上的截距为. 故选：D 【变式3-2】已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，则直线方程为______． 【答案】 【详解】由，得，，得， 所以直线AB的方程为，即. 故答案为：. 【变式3-3】已知三角形的三个顶点分别是，，，求三边所在直线的方程． 【答案】直线的方程为;直线方程为即;直线的方程为 【详解】因为直线过点，， 所以所在直线的方程为，即; 因为直线过点，， 所以直线方程为，即; 因为直线过点，， 所以所在直线的方程为，即; 另解: 因为直线过点，， 所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，整理得； 因为直线过点，， 所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，整理得； 因为直线过点，， 所以直线的斜率为. 则边所在直线的方程为，整理得. 题型04 截距式方程 典｜例｜精｜析 【例7】直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C 【例8】条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】记直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 若直线的斜率为， 当截距均为时，直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍， 当截距均不为时，设直线方程为，变形为， 得，，则能推出，必要性成立； 若，当截距都不为时，斜率为， 当截距均为时，直线斜率可以是任何实数，不一定是， 所以不能推出，充分性不成立. 所以是的必要不充分条件. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】不过原点的直线在轴和轴上的截距互为相反数，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】由题可设的方程为，化简得， 故的斜率为1，倾斜角为. 故选：A. 【变式4-2】一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 【答案】 【详解】由点为的中点，则此直线不过原点， 设此直线的截距式方程为，则有， 故该方程为. 故答案为：. 【变式4-3】已知直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 所以，设直线的方程为，可得，解得， 所以，即. 故选：C. 题型05 一般式方程 典｜例｜精｜析 【例9】已知直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线的方程为，故直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，又，即. 【例10】设，直线经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限， 则，故直线， 由题意得，解得. 故答案为： 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】若直线的倾斜角的大小为，则实数=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为已知直线的倾斜角为， 所以根据直线倾斜角与斜率的关系，可得直线的斜率. 对直线方程进行变形得. 因为直线的斜率，且直线斜率为， 所以，即. 所以实数的值为. 故选：C. 【变式5-2】直线：在轴上的截距为（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】将直线化为斜截式得， 所以直线在轴上的截距为， 故选：A. 【变式5-3】根据下列条件分别写出直线和的方程，并化为一般式方程． (1)的斜率是，且经过点，的斜率为，在轴上的截距为； (2)经过两点、，在轴、轴上的截距分别是、． 【答案】(1)， (2)， 【分析】 【详解】（1）由题意可知直线的方程为，即， 直线的方程为，即. （2）直线的方程为，即， 直线的方程为，即. 题型06 直线过定点问题 解题贴士 拆分含参直线，参数项、常数项分组，分别令两组式子等于0，联立方程求出定点。 算出定点后代回原式检验；无思路时可取两个特殊参数，联立两条直线求交点即为定点。 典｜例｜精｜析 【例11】直线过定点________. 【答案】 【详解】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. 【例12】已知直线l：，则点到直线的最大距离为（   ） A．5 B．2 C．8 D．10 【答案】B 【详解】直线，整理得到，则有， 解得，则直线恒过定点， 当直线和垂直时，点到直线的最大距离， 且最大距离为，故选项B正确. 故选：B. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 当，即时，，解得， 所以无论取何值，直线总经过点． 故选：C． 【变式6-2】已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】由，得， 由得，则直线过定点，故， 代入直线，得，整理得， ， 当且仅当时，即时取等号， 故最小值为. 故选：D． 【变式6-3】直线（为常数）恒过定点，直线与直线垂直，且过点，其中直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】可以化为， 解方程组，得. 故直线恒过定点. 直线斜率为， 直线与直线垂直，则直线斜率为， 则直线的方程：，即， 故选：A. 题型07 利用一般式方程解决平行和垂直问题 解题贴士 （1）直线， ①平行判定条件为且；②垂直判定条件为， （2）直线 ①与直线平行的直线统一设为。 ②与直线垂直的直线统一设为。 典｜例｜精｜析 【例13】若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设所求直线方程为， 代入， 得， 解得， 所以所求直线方程为. 【例14】直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 【答案】 【详解】设直线， 依题意得直线l过点， 则， 得， 故l的方程为． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 【答案】AC 【详解】直线，化为斜截式. A：斜率，倾斜角，正确. B：代入得轴截距为，非，错误. C：过原点直线斜率为，且直线与不重合，所以过且与直线平行的直线方程为，正确. D：直线斜率，所以与其垂直的直线斜率为，而直线方程斜率为，错误. 【变式7-2】经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线 的斜率为 。 因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线方程为 。 将点 代入方程得： ， 因此，所求直线方程为：。 【变式7-3】过点且与直线垂直的直线方程为_______. 【答案】 【详解】直线的斜率为， 设待求直线斜率为，则由题意，得，解得. 所以待求直线方程为，即. 题型08 直线与坐标轴围成的三角形问题 典｜例｜精｜析 【例15】将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 【答案】 【详解】在直线中，令，得，即. 设直线的斜率为，由题意得 ，解得； 所以直线的方程为，即.    在中，令，得；令，得. 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为. 【例16】过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是____________. 【答案】． 【详解】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 令得，令得， 则， 由题意关于的方程有四个不同的实数解， ， 所以有两个不等实根且有两个不等实根， ，解得或． 又，所以． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 【答案】D 【详解】设直线，其中， 因为直线过点， 所以， 而，解得， 当且仅当，即时等号成立， 故，此时直线的纵截距为14. 【变式8-2】若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为__________. 【答案】// 【详解】由条件可知，直线不过原点， 设直线，则，则， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 故答案为： 【变式8-3】已知直线 (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求的方程. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】 【详解】（1）由直线变形得： ， 令，解得：， 由于不论实数取何值，总是方程的一个解， 所以直线恒过这一定点. （2）由于直线与两坐标轴的正半轴围成三角形， 所以可设直线的截距式方程为，且， 又由于直线恒过定点，所以， 由于直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则， 把，代入变形后的得：， 联立解得：， 所以直线的截距式方程为， 化简得的方程为. 基础通关 一、单选题 1．已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，与垂直，可得： ，解得. 2．直线绕原点顺时针旋转，再向左平移1个单位，所得到的直线为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设的倾斜角为，则， 当直线绕原点顺时针旋转时， 旋转后的直线的倾斜角为， 其斜率为， 该直线方程为， 再将该直线向左平移1个单位可得：，即. 3．经过点的直线在轴上的截距是（ ） A．-10 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】由两点式直线方程得：， 整理得：，再令，解得， 故选：A． 4．已知为直线上的动点，为的中点，记的轨迹为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，因为为的中点，所以，所以 所以，由点在直线上，得， 化简得，故的方程为. 故选：D 5．若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】当直线经过原点时，在两个轴上的截距都为， 设直线方程为，代入点，，此时直线的斜率为； 当直线不经过原点时，设直线的截距式方程为， 代入点解得，此时直线的斜率为. 故选：D. 6．“”是“直线的倾斜角大于”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，所以该直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为. 当时，则有，所以该直线倾斜角大于. 当该直线倾斜角大于时，即， 当时，，即， 当时，， 所以由直线倾斜角大于，不一定能推出， 所以“”是“直线的倾斜角大于”的充分不必要条件. 故选：A 二、多选题 7．对于直线，下列说法错误的是（   ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过点 C．直线与直线垂直 D．直线在轴上的截距为 【答案】AC 【详解】对于直线， 直线过，所以BD说法正确， 直线的斜率为，倾斜角为，A说法错误. 直线的斜率为，由于，故两直线不垂直，C说法错误. 故选：AC 8．已知直线，直线，下列结论正确的是（    ） A．直线恒过点 B．对于任意的，直线的斜率都存在 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】对于A，由题意得，即， 若直线过定点，则有，解得，定点为，故A正确； 对于B，直线的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，故B正确； 对于C，因为，所以有，解得或，故C错误； 对于D，因为，所以，解得，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 9．已知直线，则其在轴上的截距为________. 【答案】 【详解】令代入直线方程，可得 ，解得， 因此该直线在轴上的截距为. 10．已知直线：总是经过定点，则定点坐标为_______. 【答案】 【详解】由可得， 令，解得， 故定点为， 故答案为： 四、解答题 11．求满足下列条件的直线方程： (1)经过点，且斜率等于直线斜率的2倍； (2)过点，且与两坐标轴围成三角形的面积为6． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2）设直线的方程为， 则，解得， 故所求的直线方程为， 即或. 12．已知直线经过点. (1)若与直线平行，求的方程； (2)若与直线垂直，求的方程. 【答案】(1) (2). 【分析】 【详解】（1）由题意知的斜率为1， 又由，则直线的斜率为1， 又由过，故直线的方程为，即 （2）由（1）及，则直线的斜率为， 又由过，故直线的方程为，即. 素养提升 1．已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线的斜率为. 直线：可变形为，则直线恒过点，， 直线的斜率为. 当直线与平行时，. 结合图象可知，若直线与线段的延长线相交，则，即. 2．过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【详解】可化为①， 要使与两坐标轴能围成三角形，则且， 由①令得；令得， 依题意， ，所以或, 所以或， 设，则或， 则或 解得或， 即或， 即或， 所以这样的直线有条. 故选：D 3．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】D 【详解】解：由题意，动直线过定点， 直线可化为，令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号. 故选：D. 4．数学家欧拉1765年在《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上”，这就是著名的欧拉线定理后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，，则的欧拉线的方程为__________. 【答案】 【详解】因为的顶点，，， 所以的重心为，即， 可得直线的斜率为，则边上的高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 直线的斜率为，则边上的高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 联立方程，解得，即的垂心为， 则直线斜率为，则可得直线方程为， 故的欧拉线方程为. 故答案为：. 5．已知，，直线将分割成面积相等的两部分（O为坐标原点），则_________. 【答案】 【详解】    由题意得，直线过定点，. 如图1，当直线与线段交于点时，， ，不合题意. 如图2，当直线与线段交于点时， 由，得直线方程为，即. 中，设边上的高为，则，即，解得，故. ∵点在直线上，∴，即， ∴. 故答案为：. 6．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值____________． 【答案】9 【详解】由题意，动直线过定点， 直线可化为， 令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点. 7．已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)设为坐标原点，若直线与轴正半轴交于点、与轴正半轴交于点，求的最小值，并求此时直线的方程； 【答案】(1)或 (2)最小值为16， 【分析】 【详解】（1）当过坐标原点时，方程为，即，满足题意； 当不过坐标原点时，可设其方程为：， ， ， ∴直线l方程为：或； （2）由题意可知：直线斜率存在，且，可设， 令，解得：，， 令，解得：，， ∴，当且仅当即等号成立， 直线的方程为：，即， ∴的最小值为，此时直线方程为：. 迁移创新 1．已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】如图，设，直线过和． ①当直线垂直于轴时，方程为，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三角形，所以直线的斜率存在； ②当直线的斜率小于零时，设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，是等腰三角形．又由直线知其斜率为，所以， 所以为等边三角形，所以直线的斜率小于零时只有这一种情况，此时直线的倾斜角为，斜率为， 方程为，即； ③当直线的斜率为零时，直线平行于轴，不能与直线及x轴围成三角形.所以直线的斜率不为零； ④当直线的斜率大于零时，只有如图一种情况可使直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形. 设直线与轴负半轴相交于点，则，因为直线的斜率为，倾斜角为，可得， 所以，所以直线（即直线）的斜率为，对应方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 故选:A． 2．已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【详解】直线的方程为，即. 由解得. 设，直线的方程分别为 ，即 ，.根据角平分线的性质可知，到直线的距离相等，所以 ， ，由于，所以上式可化为，两边平方并化简得 ，解得（），所以. 所以到直线的距离为，而，所以. 故选：C    【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查直线与直线交点坐标，考查点到直线距离公式、两点间的距离公式，考查角平分线的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 3．已知直线，过点的直线与及两坐标轴围成一个四边形，且该四边形有外接圆，则的一般方程为______． 【答案】或 【详解】设为原点，直线与坐标轴分别交于点， 当时，记的交点为，直线与两坐标轴围成一个四边形，如图所示： 因为，所以该四边形对角互补，有外接圆． 因为的斜率为，所以的斜率为，的方程为，即； 当与轴的交点为时，直线与两坐标轴围成一个四边形， 如图所示： 若该四边形有外接圆，则 ， 所以，此时的斜率为， 方程为，即，此时，符合题意． 综上得，直线的方程为或． 故答案为：或 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $