3.3 探索与表达规律 一课一练 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦“探索与表达规律”，通过基础识别、规律应用、综合探究三层设计，覆盖数字与图形规律，培养抽象能力与推理意识，适配新授课知识巩固与思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一规律识别（如多项式、图形点数规律）|单选1（多项式规律）、填空12（八边形小棒数量），直接应用概念| |提升层|规律迁移应用（如密码转换、运算程序循环）|单选5（密文明文转换）、填空11（数字层第3个数），需推理规律表达式| |拓展层|综合规律探究（如点阵图求和、几何体搭建规律）|解答18（点阵图规律及计算）、17（图形“·”个数规律），融合建模与运算|

3.3 探索与表达规律 一课一练2026-2027学年北师大版 七年级数学上册 一、单选题 1．以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，…，其中第个多项式是（    ） A． B． C． D． 2．“幻方”起源于中国，是我们古代数学的杰作之一．如图①，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若比大2，将填入图②的幻方中，则的值为（    ） A．4 B． C． D．2 3．在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是2，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是1，依次继续下去，第1000次输出的结果是（   ） A．4 B． C．1 D． 4．某校园餐厅把密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是（    ） A．275717 B．571035 C．143549 D．351014 5．小丽在学习了“密码中的数学”后，编制了如图的密码规则，这种规则在数字和汉字之间建立了一种对应关系，其中数字为密文，汉字为明文．例如，密文“8，2，17，5，14，，6，12”翻译成明文为“台湾是中国的领土”．现在小丽给出一段密文 “23，25，29，35”，请写出相应的明文（   ） A．我爱学习 B．我爱中华 C．爱我中国 D．我爱祖国 6．用黑色圆点按如图所示的规律拼图，其中第①个图案中有1个黑色圆点，第②个图案中有3个黑色圆点，第③个图案中有6个黑色圆点，第④个图案中有10个黑色圆点，⋯⋯，按此规律，则第⑧个图案中黑色圆点的个数为（    ） A．36 B．40 C．45 D．55 7．一组有规律的图案如下图所示，按照这样的规律，第六个图案中白色三角形的个数为（  ）个 A．242 B．724 C．728 D．729 8．同一个代数式可以表示不同的实际意义，下列选项中所求的量不是用代数式表示的是（   ） A．如图，动点从数轴上的点向右出发，速度为每秒个单位长度，则秒后点在数轴上表示的数为____； B．图中长方形的周长为_____； C．若第个算式，第个算式，按此规律，第个算式的表达式为_____； D．分小熊活动中，已知学生有人，若每人分个，还多个，则小熊一共有_____只． 二、填空题 9．有一组数：0，，8，，24，，…根据你所探索的规律第20个数是______． 10．密码学中的数学规律：在密码学中，未加密的信息称为“明文”，加密后的信息称为“密文”，字母按规律加密后会得到新字母，如： A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 明文A→密文D    明文→密文    明文→密文 请你先观察字母变化规律，再根据规律解密：明文→密文( )． 11．观察下列数字： 按上述数字排列规律，请问第45层的第3个数是__________． 12．（图形找规律）小明用小棒摆八边形，如图所示，摆n个八边形要用__________根小棒． 13．如图所示，正方形的边长均是a，以图①、②、③呈现的规律类推，图⑩中阴影部分的面积是______． 三、解答题 14．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；… 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第4个等式： ________________； (2)用含有的代数式表示第个等式： ________________（为正整数）； (3)求的值． 15．如图，在钟面上有个数字，如果在某些数前添上负号，可以使个数字之和等于，例如，． (1)请你再写出一种添加负号的方法； (2)想一想，这样的负号至少需添加几个？ (3)以上解题过程中，你是怎么想的？ 16．在综合与实践课上，小颖和同学们在平整的桌面上用大小形状完全相同的若干个小正方体搭建成如图所示的几何体．在这个活动过程中，他们发现并提出了一些数学问题，请帮他们解答． (1)请在方格纸中画出这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图； (2)按照此种搭建方式继续往下搭建，当搭建到第10层时，该层小正方体的个数共有 个． 17．如图所示，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“·”的个数为，第2幅图形中“·”的个数为，第3幅图形中“·”的个数为，…，    统计如下表： … “·”的个数 3 8 15 _________ _________ … (1)填表：____________，____________． (2)写出第n幅图形中“·”的个数____________（用含n的代数式表示）． (3)求的值． 18．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A C B A C B 1．【答案】B 【知识点】数字类规律探索、多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查多项式规律探索，通过观察各项中和的指数变化，找出第个多项式的形式． 【详解】解：∵第1个多项式：，第2个：，第3个：，第4个：，第5个：， ∴a的指数依次为1，2，3，4，5，...，对应第n项为；b的指数依次为2，4，6，8，10，...，对应第n项为， ∴第个多项式是． 故选：B． 2．【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、数字类规律探索 【分析】本题考查代数式求值．首先得到，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，得出，，即可求出，，最后代入计算即可． 【详解】解：∵y比x大2， ∴， 由题意得，，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 3．【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据流程图计算出前6次的输出结果可知从第2次输出开始，每三次输出为一个循环，输出的结果依次为，据此规律求解即可． 【详解】解：第1次输出的结果为， 第2次输出的结果为1， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， ……， 由此可知，从第2次输出开始，每三次输出为一个循环，输出的结果依次为， ∵， ∴第1000次输出的结果为4， 故选：A． 4．【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、数字类规律探索 【分析】根据题中密码规律确定出所求即可． 【详解】解：根据图中规律可得 原式 ． 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现数字和汉字的对应关系是解题的关键． 根据图示和实例找到对应数字所对应的汉字即可解答． 【详解】解：由题意得，密文“23，25，29，35”翻译成明文为我爱中华． 故选B． 6．【答案】A 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形规律：由图可知，第n个图案中黑色圆点的个数为，将n取8代入计算即可． 【详解】解：由所给图形可知： 第①个图案中黑色圆点的个数为1； 第②个图案中黑色圆点的个数为； 第③个图案中黑色圆点的个数为；…， 第⑧个图案中黑色圆点的个数为：． 故选：A． 7．【答案】C 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳推出一般规律是解题关键．求出第个图案中白色三角形的个数依次为、、，归纳推出第个图案中白色三角形的个数为个，其中为正整数，据此解答即可得． 【详解】解：由图可知，第1个图案中白色三角形的个数为（个）， 第2个图案中白色三角形的个数为（个）， 第3个图案中白色三角形的个数为（个）， 第个图案中白色三角形的个数为个，其中为正整数， 则第六个图案中白色三角形的个数为（个）， 故选：C． 8．【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、列代数式、数字类规律探索 【分析】本题考查了列代数式，解决本题的关键是根据题目中所描述的数量之间的关系列出正确的代数式，再进行判断即可． 【详解】解：A选项：如图，动点从数轴上的点向右出发，速度为每秒个单位长度，则秒后点在数轴上表示的数为，故A选项中所求的量可以用代数式表示； B选项：图中长方形的周长为，故B选项中所求的量不可以用代数式表示； C选项：若第个算式，第个算式，按此规律，第个算式的表达式为，故C选项中所求的量可以用代数式表示； D选项：分小熊活动中，已知学生有人，若每人分个，还多个，则小熊一共有只，故D选项中所求的量可以用代数式表示． 故选：B． 9．【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据所给各数，发现其变化规律即可解决问题． 【详解】 解：由题知，第奇数个数为正数除外，第偶数个数为负数； 各数的绝对值依次可表示为：…， 所以第n个数可表示为：， 当时，第20个数是：， 故答案为：． 10．【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了规律探索． 找出规律作答即可． 【详解】解：明文A→密文D    明文→密文    明文→密文 可知明文字母变为密文后，变成原字母后的第三个字母 则明文→密文 故答案为： 11．【答案】2026 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意可得到前4层的第2个数，从而得到第n层的第2个数为，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 第1层的第2个数为， 第2层的第2个数为， 第3层的第2个数为， 第4层的第2个数为， ……， 第n层的第2个数为， ∴第45层的第2个数为， ∴第45层的第3个数是． 故答案为：2026 12．【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】观察图形，每增加1个八边形就增加7根小棒，据此规律解答即可． 【详解】解：摆n个八边形要用根小棒． 13．【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】观察图形可知，图①中有个圆，图②中有个圆，图③中有个圆，以此类推，图中有个圆． 分别计算出正方形面积和所有圆的面积之和，利用阴影部分面积等于正方形面积减去所有圆的面积之和进行求解． 【详解】解：图①中，正方形边长为，圆的直径为，半径为 ，阴影部分面积 ； 图②中，正方形边长为，4个圆的直径均为，半径均为 ，阴影部分面积 ； 图③中，正方形边长为，9个圆的直径均为，半径均为， 阴影部分面积 ； 由此规律可知，图中阴影部分的面积均为； 所以图⑩中阴影部分的面积是． 14．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据题目中的式子的特点，可以写出第4个等式； （2）根据题目中的式子的特点，可以写出第n个等式； （3）根据（2）中的结果，可以写出所求式子的值． 【详解】（1）解：第1个等式： ； 第2个等式：； 第3 个等式：； ∴第4个等式：， 故答案为：； （2）解：第1个等式： ； 第2个等式：； 第3 个等式：； 第4个等式：； ∴第个等式：， 故答案为： ； （3）解：． ． 15．【答案】(1) 解：把四个数看作一组，根据中间两个数的和等于外面两个数的和添负号， 即：， (2) (3) 解：①通过尝试不同数字前添加负号，调整正负数值的和，使所有数字运算后结果为0；例如将数字分组，让正、负部分的和相互抵消，像把和相等的几组数，一组取正、一组取负； ②要使添加负号后和为，则添加负号的数的和应为，然后从较大的数开始尝试组合，找到和为所需最少的数的个数； 【知识点】有理数的加减混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查的知识点为有理数的加减混合运算以及数的和的奇偶性、平衡思想． （）可以把四个数看作一组，中间两个数的和等于外面两个数的和，所以在中间两个数或外面两个数前面添负号就能使这个算式等于； ()因为这个数字的和是，所以要使最终的结果为，添加负号的数的和得是，，所以至少要添加个负号； （）通过分析钟面个数字及利用有理数的加减混合运算规则即可解答； 【详解】（1）略 （2）(2)∵这个数字的和是， ∴要使最终的结果为，添加负号的数的和得是， ∵， ∴至少添加个负号， ； （3）略 16．【答案】(1) 根据题意可得， (2)55 【知识点】图形类规律探索、从不同方向看几何体 【分析】此题考查了从不同方向看几何体、图形的规律类问题，正确画图和找到规律是关键． （1）根据从不同方向看到的形状作图即可； （2）找到规律进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）根据题意可得， 第1层小正方体的个数为1个， 第2层小正方体的个数为个， 第3层小正方体的个数为个， 第4层小正方体的个数为个， …… 按照此种搭建方式继续往下搭建，当搭建到第10层时，该层小正方体的个数共（个） 故答案为： 17．【答案】(1)，35 (2) (3) 【知识点】图形类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查图形的变化类，发现题目中“·”的个数的变化规律，利用数形结合的思想作答． （1）根据每组图形规律列出点数即可求得． （2）根据第一问列出的点数特点总结规律即可． （3）把第二问总结的规律代入问题解题即可． 【详解】（1）解：观察图形：， ， ， ， 按照此规律，则：； （2）由（1）详解可总结出：． （3）∵ ． 18．【答案】(1) (2)；； (3)2100 【知识点】图形类规律探索、数字类规律探索 【分析】（1）根据前面三个等式及图形规律求解即可； （2）根据前五个等式及图形规律求解即可； （3）根据，再结合（2）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：根据前面三个等式及图形规律求解可知：； （2）解：根据前五个等式及图形规律求解可知： 第7个等式为； ∵， ， ； ， ， … 依此类推，第个等式：； （3）解： ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $