3.3 探索与表达规律——探索图形的规律-专项练习 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦图形规律探索，通过观察归纳、建立通项公式，系统培养抽象能力与推理意识，形成从特殊到一般的解题逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形数量规律|18题|观察递增特征（等差/二次/累加）、归纳通项公式|从具体图形到数字规律，建立“图形—数列—表达式”逻辑链| |图形结构规律|7题|分析几何图形组成（如多边形分割、复合图形）|结合几何性质（如正方形面积、三角形分割）推导规律|

探索图形的规律-专项练习 一、单选题 1．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 2．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，则第100个图形有小圆（    ）个． A．104 B．9904 C．10100 D．10104 3．观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分为上、下两层，下层都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或白色正方形构成（第1个图形除外），则第2025个图形中，黑色正方形共有（    ） A．3038个 B．3037个 C．3035个 D．3034个 4．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，第1个图形有6颗棋子，第2个图形有9颗棋子，第3个图形有12颗棋子，第4个图形有15颗棋子……，以此类推，第（　　）个图形有2025颗棋子． A．672 B．673 C．674 D．675 5．如图，这是由多个正六边形组成的图形，其中第个图案有正六边形个，共条边；第个图案有正六边形个，共条边；第个图案有正六边形个，共条边；，则第个图案中正六边形的总边数是（   ） A． B． C． D． 6．中国结艺是中国特有的民间手工编结艺术，体现了中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图1所示的中国结是某位手艺人按照一定的规律编结而成的，如图2是其抽离出的平面图形，若其中第1个图形中共有9个小正方形，第2个图形中共有14个小正方形，第3个图形中共有19个小正方形，…；则第6个图形小正方形的个数为（   ） A．54 B．34 C．29 D．59 7．如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，依此规律，过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了18个三角形，则（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 8．用黑色圆点按如图所示的规律拼图，其中第①个图案中有1个黑色圆点，第②个图案中有3个黑色圆点，第③个图案中有6个黑色圆点，第④个图案中有10个黑色圆点，⋯⋯，按此规律，则第⑧个图案中黑色圆点的个数为（    ） A．36 B．40 C．45 D．55 9．如图所示的图形都是由同样大小的五角星按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个五角星，第②个图形中一共有10个五角星，第③个图形中一共有17个五角星……，按此规律排列，则第⑥个图形中五角星的个数为（   ） A．37个 B．48个 C．50个 D．65个 10．如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 11．醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 12．如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要棋子（   ） A．16枚 B．20枚 C．24枚 D．25枚 二、填空题 13．少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到设计师们的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个基础图形组成的有规律的图案：第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，…如图，按此规律排列下去，第2026个图案中的基础图形个数为 个． 14．如图是一组有规律的图案，第1个图案中有4个▲，第2个图案中有7个▲，第3个图案中有10个▲，按这样的规律进行下去，则第( )个图案中有1000个▲． 15．如图是按规律排列的一组图形的前三个，用含的代数式表示出第个图形中点的数量为 个． 16．如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第个图案中的基础图形个数为 个． 17．用长度相同的火柴棍按下图的方式拼摆图形，则第n个图案需火柴棍 根（用含n的代数式表示）． 18．如图，是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……，若三角点阵中前行的点数之和是66，则 ． 19．用火柴按如图的方式摆六边形组成新的图形，如图①摆1个六边形的图形需要6根火柴；如图②摆2个六边形的图形需要11根火柴，如图③摆3个六边形的图形需要16根火柴，…，按此规律，摆1025个六边形的图形需要 根火柴． 20．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的方片组成．第1个图案中有4个白色方片，第2个图案中有6个白色方片，第3个图案中有8个白色方片，第4个图案中有10个白色方片，…依此规律，第n个图案中有 个白色方片（用含n的代数式表示）． 21．如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 ．（用含n的代数式表示） 22．观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 23．如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． 24．生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 25．如图是由若干个大小相同的“”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了2个“”，第2个图案用了6个“”，第3个图案用了12个“”，第4个图案用了20个“”，……，依照此规律，第n个图案中“”的个数为 （用含n的代数式表示）． —　2　— —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 《探索图形的规律》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A C C B A A C C 题号 11 12 答案 B B 1．C 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了图形类规律的探索，解题的关键是根据前面几个图形找到数字的规律． 分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为6；第2个图形中小圆的个数为10；第3个图形中小圆的个数为16；第4个图形中小圆的个数为24；则知第n个图形中小圆的个数为，据此可得． 【详解】解：由题意可知第1个图形有小圆个； 第2个图形有小圆个； 第3个图形有小圆个； 第4个图形有小圆个； ……， ∴第n个图形有小圆个， ∴第100个图形有小圆个． 故选：D 3．A 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形的变化规律归纳出第n个图形中黑色正方形的数量即可． 【详解】解：根据图形变化规律可知， 第1个图形中黑色正方形的数量为， 第2个图形中黑色正方形的数量为， 第3个图形中黑色正方形的数量为， 第4个图形中黑色正方形的数量为， 第5个图形中黑色正方形的数量为， 第6个图形中黑色正方形的数量为， …， 当n为奇数时，黑色正方形的个数为， 当n为偶数时，黑色正方形的个数为， ∴第2025个图形中黑色正方形的数量是， 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中棋子颗数的变化情况，找出变化规律是解题的关键．观察图形，根据给定图形中棋子颗数的变化，找出变化规律：第n个图形有颗棋子，然后计算即可． 【详解】解：由图可得， 第1个图形中有：颗棋子， 第2个图形中有：颗棋子， 第3个图形中有：颗棋子， 第4个图形中有：颗棋子， …， 则第个图形中有：颗棋子， 令， 解得：， 故选：C． 5．C 【分析】本题考查图形变化的规律，根据前几个图案中正六边形的总边数，找到规律，每增加1个六边形，增加条边，即可求解． 【详解】解：第1个图案有条边； 第2个图案有条边； 第3个图案有条边； …… 第个图案有条边； 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，正确地找出规律是解题的关键．根据所给图形发现小正方形个数依次增加5的规律求解即可． 【详解】解：第1个图形中有9个小正方形，第2个图形中有14个小正方形，第3个图形中有19个小正方形，由题意知： 第1个图形中小正方形的个数是（个）， 第2个图形中小正方形的个数是（个）， 第3个图形中小正方形的个数是（个）， ， 故第个图形中小正方形的个数是（个）， 故选：B． 7．A 【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，解题的关键是找出图形规律的代数式． 找出图形规律的代数式，然后求解即可． 【详解】解：过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形； 过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形； 过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形， …… 过边形一个顶点的所有对角线，将其分成个三角形， ∴， 解得， 故选：A． 8．A 【分析】本题考查图形规律：由图可知，第n个图案中黑色圆点的个数为，将n取8代入计算即可． 【详解】解：由所给图形可知： 第①个图案中黑色圆点的个数为1； 第②个图案中黑色圆点的个数为； 第③个图案中黑色圆点的个数为；…， 第⑧个图案中黑色圆点的个数为：． 故选：A． 9．C 【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，解题的关键是找出图形的规律． 根据给出的图形，找出五角星的个数规律，然后代数求值即可． 【详解】解：第1个图形中，五角星的个数为， 第2个图形中，五角星的个数为， 第3个图形中，五角星的个数为， … 根据五角星的个数规律可得，第个图形中五角星的个数为， ∴当时，， 故选：C． 10．C 【分析】本题考查找几何图形中的数字规律，根据前面几个图归纳出数字规律是解决问题的关键．先观察图形，得到每个图形中小正方形的个数，进而得到数字规律，即可求解． 【详解】解：拼第一个正方形需要个小正方形； 拼第二个正方形需要个小正方形； 拼第三个正方形需要个小正方形； ．．．．．． 按照这样的方法拼成的第个正方形需要个小正方形； 第六个正方形需要个小正方形， 故选：C． 11．B 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 当时，（个）， 即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个． 故选：B． 12．B 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察前3个图形可知每个图形需要的棋子数为序号的4倍，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形需要枚棋子， 第2个图形需要枚棋子， 第3个图形需要枚棋子， ……， 以此类推，可知第5个图形需要枚棋子， 故选：B． 13．6079 【分析】本题考查了图形的规律探究，代数式求值． 由题意可推导一般性规律为：第n个图案由个基础图形组成，将代入，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，第1个图案由4个基础图形组成，， 第2个图案由7个基础图形组成，， 第3个图案由10个基础图形组成，， ∴第n个图案由个基础图形组成， 将代入得， 第个图案中的基础图形个数为：， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查图形的变化规律，根据图形的排列、归纳图形的变化规律是解答本题的关键． 由图形可知第1个图案有个▲，第2个图案有个▲，第3个图案有个▲以此类推即可解答． 【详解】解：由图形可知： 第1个图案有个▲， 第2个图案有个▲， 第3个图案有个▲， 第4个图案有个▲， 第个图案有个▲， 所以可得， 解得， 即第个图案中有1000个▲ 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了图形类规律变化问题，找出图形的变化规律是解题的关键．由已知图形找出变化规律即可求解． 【详解】解：第一个图形中点的数量为个， 第二个图形中点的数量为个， 第三个图形中点的数量为个， ， ∴第个图形中点的数量为个， 故答案为：． 16． 【分析】本题是对图形变化规律的考查，观察出“后一个图案比前一个图案多3个基础图形”是解题的关键． 根据前三个图找出规律，按此规律推导第n个图案中的基础图形个数即可． 【详解】解：第1个图案基础图形的个数为4，， 第2个图案基础图形的个数为7，， 第3个图案基础图形的个数为10，， …， 第n个图案基础图形的个数为， 故答案为：． 17． 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知序号增加1，则火柴棍增加4根，据此规律可得答案． 【详解】解：第①个图形需要根火柴棍， 第②个图形需要根火柴棍， 第③个图形需要根火柴棍， ……， 以此类推，可知第n个图形需要根火柴棍， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了规律型—图形的变化类，解一元二次方程； 根据图形得出，然后解方程即可． 【详解】解：由题意得：，即， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， 故答案为：． 19．5126 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索．观察可知每多一个六边形，则多5根火柴，据此规律求解即可． 【详解】解：摆1个六边形的图形需要根火柴， 摆2个六边形的图形需要根火柴， 摆3个六边形的图形需要根火柴， ……， 以此类推可知，摆n个六边形的图形需要根火柴， ∴摆1025个六边形的图形需要根火柴， 故答案为：5126． 20． 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知序号每增加1，白色方片的个数就增加2，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图案中有个白色方片， 第2个图案中有个白色方片， 第3个图案中有个白色方片， 第4个图案中有个白色方片， ……， 以此类推可知，第n个图案中有个白色方片， 故答案为：． 21．/ 【分析】本题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律即可．观察图形，发现后面一个图案比前一个图案多3个黑色棋子即可解决． 【详解】解：观察发现： 第一个图形有个黑色棋子， 第二个图形有个黑色棋子， 第三个图形有个黑色棋子， …， 第n个图形有个黑色棋子， 故答案为：． 22． 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可． 【详解】解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形； 第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形； ； 第n个图形中有个三角形． 故答案为： 23． 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形的边长为， 则， ……， ， 则的值为：， 故答案为：． 24．21 【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可． 【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第n个图案中矩形的个数：， ∴则第10个图案中矩形的个数为：， 故答案为：21． 25． 【分析】 本题考查了图形类规律，根据图形规律求得第n个图案中“”的个数为，解题的关键是明确题意，发现题目中个数的变化规律． 【详解】 解：∵第1个图案用了个“”， 第2个图案用了个“”， 第3个图案用了个“”， 第4个图案用了个“”， ……， ∴第n个图案中“”的个数为， 故答案为：． —　2　— —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $