15.1.2线段的垂直平分线 课件 2026-2027学年人教版数学 八年级上册

该初中数学课件聚焦线段的垂直平分线，涵盖尺规作图、性质及判定。通过复习轴对称性质等旧知，引导学生思考作图需确定两点，依据“与两端点距离相等的点在垂直平分线上”，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点是融合数学思维与数学眼光，以尺规作图为核心，通过“半径选择”的正反对比培养推理意识，性质与判定的互逆命题提升抽象能力，实例“仓库位置设计”体现应用意识。帮助学生掌握技能与推理，为教师提供系统资源与分层练习，提高教学效率。

第十五章　轴对称 15.1.2　线段的垂直平分线 能用尺规作已知线段的垂直平分线． 进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据． 能够运用尺规作图的方法解决简单的作图问题． 【学习目标】 [学习目标] 复习旧知 1. 轴对称的性质是什么？　 2. 线段垂直平分线的性质？ 3. 如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？ ∙ A ∙ B 如图，已知线段AB，要作线段AB的垂直平分线. 由于“两点确定一条直线”，所以作线段AB的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点.根据与A，B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，可以作出这样的两个点. 4 ∙ C D B ∙ A 作法：如图所示： （1）分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧线相交于C，D两点； （2）作直线CD， CD就是线段AB的垂直平分线. 可以用这种方法确定线段的中点 5 以小于 AB的长为半径，两弧无交点； 以等于 AB的长为半径，不易操作. 【思考】为什么以大于 AB的长为半径作弧？ 6 通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质. 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =BC，点P在l上． 求证PA=PB． A B P C l 证明：当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB． 又AC=CB，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）． ∴PA=PB． 当点P与点C重合时，显然成立. 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. A B P C l 符号语言： 如图，∵直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上，∴PA=PB. 通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质. 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =BC，点P在l上． 求证PA=PB． A B P C l 证明：当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB． 又AC=CB，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）． ∴PA=PB． 当点P与点C重合时，显然成立. 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 思 考 (2)(课本P67练习第1题)如图，AD⊥BC，BD ＝DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB＋BD与DE 有什么关系？ 解　∵AD⊥BC，BD＝DC， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴AB＝AC. ∵点C在AE的垂直平分线上， ∴AC＝CE， ∴AB＝AC＝CE. ∵AB＝CE，BD＝DC， ∴AB＋BD＝CE＋DC， 即AB＋BD＝DE. 如图，已知点P为△ABC边AC上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线： (1)如图①，作一条直线l，使得点B 关于l的对称点为P． (2)如图②，作一条过点C的直线m， 使得点P关于m的对称点落在BC上． （保留作图痕迹，不写作法） （2）解 如图②，作∠ACB的平分线，则∠ACB的平分线所在的直线m即为所求． 1、如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) O N M A B 练一练 提示　点P在线段AB的垂直平分线上. 理由：如图，过点P作线段AB的垂线PC， 垂足为C. 则∠PCA＝∠PCB＝90°. 在Rt△PCA和Rt△PCB中， ∵PA＝PB，PC＝PC， ∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL). ∴AC＝BC. 又∵PC⊥AB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 知识梳理 1.与线段两个端点距离 的点在这条线段的垂直平分线上. 2.符号语言： 如图，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上. 相等 C 当堂小练 1. 下面是“作线段的垂直平分线”的尺规作图过程.请依据作法填空并完成作图. 已知：线段AB（如图）. 求作：线段AB的垂直平分线. 作法：(1) 分别以 和 为圆心，大于 ⁠的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； 点A 点B　 AB　 解：如图所示，直线CD即为所求作的直线. (2) 作直线 ⁠. 即为所求作的直线. CD　 CD　 例2 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于O. 求证：点O在BC的垂直平分线上． 证明：连接OA，OB，OC，如图. ∵ 点O在AB的垂直平分线l1上， ∴ OA＝OB. 同理，OA＝OC. ∴ OB＝OC. ∴ 点O在BC的垂直平分线上. B A C O l1 分析：根据线段垂直平分线的定理及逆定理证明即可. 三角形三条边的垂直平分线 交于一点，且该点到三角形 三个顶点的距离相等. 总结 l2 经典例题 例3 AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，连接EF，EF与AD交于点G.求证：AD 是EF 的垂直平分线. 分析：要利用线段垂直平分线的判定定理证AD是EF 的垂直平分线，只需要证明点A，D到线段EF两端点的距离相等，即AE =AF，DE=DF. 经典例题 根据角平分线的判定定理可得DE=DF. 根据Rt△ADE ≌ Rt△ADF 可得AE =AF. A F E G C D B 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线线上 B 练习3 下列各命题的逆命题不成立的是( ) A.两直线平行,同旁内角互补 B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等 C.对顶角相等 D.如果 那么 解析：A、逆命题是同旁内角互补，两直线平行，成立； B、逆命题是如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等，成立； C、逆命题是相等的角是对顶角，不成立； D、逆命题是如果 ，那么 ，成立， 故选C. 练习7 .小军做了一个如图所示的风筝，其中 ，小军说不用测量就知道 是 的垂直平分线.其中蕴含的道理是 . 解析：∵ , ∴直线 是线段 的垂直平分线, ∴D是 的中点 ∴ ,故选：B 练习8 如图,在 中, ,D是 上的一点,O是 上一点,且 ,若 ,则 的长为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 $