专题09投影与视图精讲学案 (核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学投影与视图专题复习讲义从生活影子现象切入，通过知识框架图梳理投影（平行、中心、正投影）与三视图的核心概念，用对比表格呈现投影类型特征，结合思维导图构建几何体与三视图转化的逻辑关系，突出正投影性质、三视图“长对正、高平齐、宽相等”原则等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的简单几何体三视图判断到拔高的小正方体堆叠表面积计算（如已知三视图求最多最少方块数），通过“解题思路步骤化”培养空间观念与几何直观。易错点集锦针对性解决投影混淆、虚线漏画等问题，助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

专题09投影与视图精讲学案 核心立意 本章由生活影子现象引入，区分平行投影、中心投影，掌握正投影性质；理解三视图概念，牢记三视图作图三原则，培养空间想象能力；实现几何体与三视图相互转化。中考以选择、填空为主，两大必考方向：投影实际应用题；三视图还原及表面积、体积中档计算题。 投影相关概念： 光线照射物体，在平面上形成影子叫做投影；照射光线叫投影线，影子所在平面叫投影面。 平行投影： 太阳光形成的平行光线投影；同一时刻物高与影长成正比，可用于测量物体高度；不同时刻影子长短、方向发生变化；投影线垂直投影面时，平行投影即为正投影。 中心投影： 灯光、手电筒点光源形成的投影；物体离光源越近，影子越长；投影线汇聚于光源，可反向确定光源位置。 正投影： 投影线垂直投影面，是三视图的理论基础； 线段平行投影面，投影长度不变； 线段倾斜投影面，投影缩短； 线段垂直投影面，投影积聚为一个点。 三视图定义： 主视图（从前向后看，反映长、高）； 俯视图（从上向下看，反映长、宽）； 左视图（从左向右看，反映高、宽）。 三视图三大铁律： 长对正（主、俯视图长相等）； 高平齐（主、左视图高相等）； 宽相等（俯、左视图宽相等），作图严格遵守尺寸与位置关系。 作图线型规范： 看得见轮廓画实线；被遮挡看不见的轮廓必须画虚线，不可省略，不能画成实线。 常见基础几何体三视图： 正方体三视图均为正方形；圆柱主、左视图为矩形，俯视图为圆；圆锥主、左视图为三角形，俯视图是带圆心的圆；球体三视图都是圆。 组合几何体两类考法： 👉小正方体堆叠：会画三视图，依靠三视图还原几何体；数方块总数求体积；统计各个方向外露面求表面积。 👉圆柱、圆锥旋转组合体：从三视图提取半径、高等关键数据，结合公式计算侧面积、表面积、体积，常与展开图综合考查。 ①混淆两类投影：平行投影（太阳光）可用物高影长比例；中心投影（灯光）无固定比例，禁止乱用比例计算影子长度。 ②三视图作图错误：不遵守长对正、高平齐、宽相等；看不见的棱漏画虚线、误用实线，属于高频丢分点。 ③几何体还原误区：不可仅凭单一视图判断立体图形，三视图结合分析；俯视图确定底层方块数量，是还原几何体突破口。 ④正投影理解错误：线段垂直投影面，投影积聚成点；平面垂直投影面，投影积聚成线段。 ⑤表面积计算陷阱：组合几何体互相贴合的重合面，不计入表面积，避免重复或漏算面。 ⑥体积计算易错：堆叠正方体不要漏数被遮挡方块；圆柱、圆锥计算分清题目给的是半径还是直径，防止公式混用。 题型 考察方向 难度 题型一 平行投影 ★★ 题型二 中心投影 ★★ 题型三 正投影 ★★ 题型四 判断简单几何体的三视图 ★ 题型五 判断简单组合体的三视图 ★★★ 题型六 判断非实心几何体的三视图 ★★★ 题型七 已知一种或两种视图，判断其他视图 ★★★ 题型八 画简单几何体的三视图 ★★ 题型九 画简单组合体的三视图 ★★★ 题型十 画小立方块堆砌图形的三视图 ★★★ 题型十一 由三视图还原几何体 ★★★ 题型十二 已知三视图求边长 ★★★ 题型十三 已知三视图求侧面积或表面积 ★★★★ 题型十四 求小立方块堆砌图形的表面积 ★★★★ 题型十五 已知三视图求体积 ★★★★ 题型十六 求几何体视图的面积 ★★★ 题型十七 由三视图，判断小立方体的个数 ★★★★ 题型十八 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 ★★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★巩固；★★★提升；★★★★拔高★★★★★难题 题型一：平行投影 解题思路：①识别光源为太阳光，光线互相平行；②利用同一时刻物高与影长成正比例建立等量；③代入已知数值列出比例式计算求解；④根据时间变化判断影子长短、方向改变情况。 1．小华手拿一个矩形木框，在阳光的照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（     ） A． B． C． D． 2．如图，被平行光照射，于点与光线平行，在投影面上，则线段的投影是_______；线段的投影是_______；线段的投影是_______． 3．如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 题型二：中心投影 解题思路：①识别光源为路灯、手电筒这类点光源；②将两组影子顶端反向延长，交点即为光源位置；③依据物体到光源的距离，判断影子长短变化。 4．如图所示，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射正下方的球，当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是（   ） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变小，再变大 5．如图，点光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为_____． 6．如图，一块三角形硬纸板平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若与的周长之比为，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型三：正投影 解题思路：①明确正投影投影线垂直投影面，是三视图理论基础；②物体平行投影面，投影大小和原图形保持一致；③物体倾斜投影面，得到的投影图形发生缩小；④物体垂直投影面，投影积聚为点或者线段。 7．下列投影中，正投影有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则的最小值为______． 题型四：判断简单几何体的三视图 解题思路：①分别从正面、上面、左面三个方向观察几何体；②对照正方体、圆柱、圆锥、球体的视图特征比对；③看得见的轮廓按照要求用实线完成判断。 10．将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 11．填写如图直六棱柱的三个视图的名称______，______，______． 12．从图1的正方体上截去一个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 题型五：判断简单组合体的三视图 解题思路：①把组合体拆分为多个基础简单几何体；②分别分析每一个基础几何体对应的视图；③将各部分视图进行合并，兼顾物体遮挡关系。 13．如图所示的几何体，下列说法正确的是（     ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三视图各不相同 14．如图是由个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（     ） A．主视图不变，左视图不变 B．主视图改变，左视图改变 C．俯视图不变，主视图不变 D．主视图改变，俯视图改变 15．如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体搭成的，将小正方体A移到小正方体B上方后，新的几何体的俯视图为（     ） A． B． C． D． 题型六：判断非实心几何体的三视图 解题思路：①区分几何体外部实体轮廓与内部挖空结构；②几何体外部直接可见的棱按照实线识别；③内部被遮挡看不见的棱，识别为虚线。 16．水盂是文房第五宝，古时用于给砚池添水，如图是清晚时期六方水盂，则它的主视图是（    ） A． B． C． D． 17．若一种机器零部件如图所示，则该零部件的主视图是（    ） A．B． C． D． 18．如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A．B． C． D． 题型七：已知一种或两种视图，判断其他视图 解题思路：①从已有视图读出几何体对应的长、宽、高；②套用“长对正、高平齐、宽相等”三视图规则；③推导缺失视图的轮廓，兼顾内部遮挡结构。 19．如图是某几何体的俯视图，图中所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（    ） A．B． C． D． 20．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为：（     ） A．B．C． D． 21．若一个几何体的主视图、俯视图如图所示，那么它的左视图为（    ） A． B． C． D． 题型八：画简单几何体的三视图 解题思路：①严格落实长对正、高平齐、宽相等作图准则；②保证主、俯、左三者位置对齐，尺寸对应；③物体看得见的轮廓，全部使用实线画出。 22．从左面看如图所示的几何体，看到的平面图形是（    ）    A．   B．   C．   D．   23．如图，几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 24．如图所示为一个工件的示意图，该工件的左视图为（   ） A． B． C． D． 题型九：画简单组合体的三视图 解题思路：①拆分组合几何体，确定各部分长、宽、高；②遵循三视图三等规则确定各视图大小位置；③可见棱绘制实线，被遮挡不可见棱绘制虚线。 25．如图，几何体的左视图为（     ） A． B． C． D． 26．如图，5个完全相同的小正方体组成了一个几何体，请在方格纸中用实线画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．    27．如图所示的几何体，其左视图是（    ） A． B． C． D． 题型十：画小立方块堆砌图形的三视图 解题思路：①借助俯视图确定底层小方块摆放位置；②主视图读取每一列方块的最大堆叠层数；③左视图读取每一行方块的最大堆叠层数；④只画出每一列最高方块对应的外轮廓。 28．如图是由6个大小相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 29．老师用10个的小正立方体摆出一个立体图形，它的正视图如图①所示，且图中任两相邻的小正立方体至少有一棱边（）共享，或有一面（）共享．老师拿出一张的方格纸（如图②），请小荣将此10个小正立方体依正视图摆放在方格纸中的方格内，请问小荣摆放完后的左视图有________种．（小正立方体摆放时不得悬空，每一小正立方体的棱边与水平线垂直或平行）    30．如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若将标号为①的小正方体取走，得到的新几何体的主视图与俯视图，与原几何体的主视图与俯视图对比，下列说法正确的是（     ）． A．主视图一样，俯视图一样 B．主视图一样，俯视图不一样 C．主视图不一样，俯视图一样 D．主视图不一样，俯视图不一样 题型十一：由三视图还原几何体 解题思路：①利用俯视图确定底层方块摆放分布；②通过主视图确定每一列方块最大高度；③通过左视图确定每一行方块最大高度；④结合三组视图综合拼搭还原立体几何体。 31．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 32．如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为_____（结果保留）． 33．由8个大小相同的正方体搭成的几何体，被嘉琪拿掉1个后，得到如图1所示的几何体，图2是原几何体的三视图．请你判断嘉琪拿掉的那个正方体原来放在（     ） A．①号的前面 B．②号的前面 C．③号的前面 D．④号的右边 题型十二：已知三视图求边长 解题思路：①利用长对正、高平齐、宽相等对应关系；②从视图中提取几何体真实长、宽、高数据；③换算计算，求出题目需要的线段长度。 34．如图，根据长方体的三视图标注的尺寸，可以判断长方体中三条棱的长分别是（     ） A． B． C． D． 35．一个透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图①所示），此时液面刚好过棱，并与棱交于点，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图②所示．当将该正方体平放（正方形在桌面上）时，液体的深度是（   ） A． B． C． D． 36．榫卯结构在我国古代建筑中应用广泛．如图为某个古代建筑榫卯部件中“卯”的三视图（单位：mm）．根据三视图所提供的数据，主视图上线段的长度为________． 题型十三：已知三视图求侧面积或表面积 解题思路：①从三视图提取棱长、半径、高等关键数据；②基础几何体直接代入侧面积、表面积公式；③组合几何体，扣除互相贴合重叠部分的面积。 37．如图，根据三视图，得出这个几何体的侧面积是（   ） A． B． C． D． 38．如图是某几何体的三视图，若俯视图的面积为，则左视图的面积为____． 39．如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为4的正方形，左视图是宽为2的矩形，俯视图是直径为4的半圆，这个几何体的表面积是（     ） A． B． C． D． 题型十四：求小立方块堆砌图形的表面积 解题思路：①从前、后、左、右、上、下六个方向观察；②统计每个方向外露的小正方形面的数量；③汇总全部外露面，单块面积乘总面数得结果。 40．如图，由若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，该几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 41．下图是用棱长为1厘米的小正方体摆成的物体，现将它靠墙摆放，露在外面的面积是( )平方厘米，如果在它的表面贴上装饰画（靠墙面、地面除外），三个面都有装饰画的小正方体有( )个． 42．如图，图1是一个涌泉蜜桔包装箱，现将8个这样的包装箱按图2的四种方式分别叠放成一个大长方体．在仅知道一个包装箱表面积的情况下，就能推算出其中一个大长方体的表面积，这个大长方体的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型十五：已知三视图求体积 解题思路：①小方块类，统计方块总数量，单块体积相乘；②旋转体从视图读出半径、高的实际数值；③代入对应体积公式计算几何体体积。 43．如图是某鱼缸的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．若该鱼缸装有一半水，根据图中所标示的数据（单位：），计算鱼缸内水的体积为（   ） A． B． C． D． 44．一个几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积为______．（得数保留） 45．如图所示的是某几何体的三视图，根据图中的数据求得该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 题型十六：求几何体视图的面积 解题思路：①锁定题目指定的主视图、俯视图或左视图；②把视图图形拆解成若干简单平面图形；③分别计算面积，求和得到视图图形面积。 46．如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，如果左视图面积为5，则俯视图的面积为（     ） A．4 B． C．7 D． 47．如图一个三棱柱的俯视图是一个等腰三角形，其中，；若此三棱柱的高为6，则这个三棱柱的左视图的面积为 ______ ． 48．3个完全相同的小正方体按下列不同方式摆放，则这3个小正方体组成的图形左视图面积最小的为（     ） A． B． C． D． 题型十七：由三视图，判断小立方体的个数 解题思路：①用俯视图标记全部方块可以摆放的位置；②结合主视图、左视图确定每个位置方块层数；③把所有位置方块层数相加，得到方块总个数。 49．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 50．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图和左视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最少有________个． 51．如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型十八：已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 解题思路：①俯视图固定底层方块摆放位置不变；②求最多：每一格取视图允许的最大层数；③求最少：满足视图高度，其余位置层数取最小；④全部格子层数相加，得到最多、最少方块数。 52．由若干个完全相同的小正方体搭建了一个积木，从积木正面、上面两个方向看到的形状如图所示，则这个积木的块数最少是（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 53．如图是由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则这个几何体可能是由________个正方体搭成的． 54．将几个完全相同的正方体，堆放在桌面上，从上面看到的图形是图1，从正面和侧面看到的图形都是图2，这些正方体至少有（     ）个． A．6 B．8 C．9 D．7 解答题 1．如图所示是一个直四棱柱及其主视图和俯视图（等腰梯形）． (1)根据图中所给数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为________； (2)在虚线框内画出其左视图，并标出各边的长．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)求这个几何体的表面积． 2．如图所示，是由10个完全相同的棱长为的小正方体组成的几何体． (1)请分别画出该图形的三视图； (2)求这个几何体的表面积．（包括底部） 3．如图是几何体得到的三视图． (1)说出这个几何体的名称； (2)画出它的一种表面展开图； (3)求这个几何体的表面积和体积． 4．如图是由棱长都为1的小立方块搭成的几何体． (1)该几何体有______个小立方块搭成； (2)请画出这个图形的三视图； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． 5．如图是一个直三棱柱的立体图和三视图，根据立体图中的尺寸，求： (1)主视图中线段的长； (2)左视图的面积． 6．一棵树（）和一根木杆（）在同一时刻的投影如图所示，木杆高3米，影子长2米；若树的影子长6米，则树高多少米？ 7．综合与实践 主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点A离地面高度为4米，点A，B之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为．如图（2），点B的正上方有一路灯P，夜晚在路灯P的照射下木棍在地面上的投影为． 【问题解决】 (1)如图（1），测得米，为验证木棍，投影线，投影线，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明：． (2)如图（2），发现木棍，投影线，投影线，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯P距地面的高度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09投影与视图精讲学案 核心立意 本章由生活影子现象引入，区分平行投影、中心投影，掌握正投影性质；理解三视图概念，牢记三视图作图三原则，培养空间想象能力；实现几何体与三视图相互转化。中考以选择、填空为主，两大必考方向：投影实际应用题；三视图还原及表面积、体积中档计算题。 投影相关概念： 光线照射物体，在平面上形成影子叫做投影；照射光线叫投影线，影子所在平面叫投影面。 平行投影： 太阳光形成的平行光线投影；同一时刻物高与影长成正比，可用于测量物体高度；不同时刻影子长短、方向发生变化；投影线垂直投影面时，平行投影即为正投影。 中心投影： 灯光、手电筒点光源形成的投影；物体离光源越近，影子越长；投影线汇聚于光源，可反向确定光源位置。 正投影： 投影线垂直投影面，是三视图的理论基础； 线段平行投影面，投影长度不变； 线段倾斜投影面，投影缩短； 线段垂直投影面，投影积聚为一个点。 三视图定义： 主视图（从前向后看，反映长、高）； 俯视图（从上向下看，反映长、宽）； 左视图（从左向右看，反映高、宽）。 三视图三大铁律： 长对正（主、俯视图长相等）； 高平齐（主、左视图高相等）； 宽相等（俯、左视图宽相等），作图严格遵守尺寸与位置关系。 作图线型规范： 看得见轮廓画实线；被遮挡看不见的轮廓必须画虚线，不可省略，不能画成实线。 常见基础几何体三视图： 正方体三视图均为正方形；圆柱主、左视图为矩形，俯视图为圆；圆锥主、左视图为三角形，俯视图是带圆心的圆；球体三视图都是圆。 组合几何体两类考法： 👉小正方体堆叠：会画三视图，依靠三视图还原几何体；数方块总数求体积；统计各个方向外露面求表面积。 👉圆柱、圆锥旋转组合体：从三视图提取半径、高等关键数据，结合公式计算侧面积、表面积、体积，常与展开图综合考查。 ①混淆两类投影：平行投影（太阳光）可用物高影长比例；中心投影（灯光）无固定比例，禁止乱用比例计算影子长度。 ②三视图作图错误：不遵守长对正、高平齐、宽相等；看不见的棱漏画虚线、误用实线，属于高频丢分点。 ③几何体还原误区：不可仅凭单一视图判断立体图形，三视图结合分析；俯视图确定底层方块数量，是还原几何体突破口。 ④正投影理解错误：线段垂直投影面，投影积聚成点；平面垂直投影面，投影积聚成线段。 ⑤表面积计算陷阱：组合几何体互相贴合的重合面，不计入表面积，避免重复或漏算面。 ⑥体积计算易错：堆叠正方体不要漏数被遮挡方块；圆柱、圆锥计算分清题目给的是半径还是直径，防止公式混用。 题型 考察方向 难度 题型一 平行投影 ★★ 题型二 中心投影 ★★ 题型三 正投影 ★★ 题型四 判断简单几何体的三视图 ★ 题型五 判断简单组合体的三视图 ★★★ 题型六 判断非实心几何体的三视图 ★★★ 题型七 已知一种或两种视图，判断其他视图 ★★★ 题型八 画简单几何体的三视图 ★★ 题型九 画简单组合体的三视图 ★★★ 题型十 画小立方块堆砌图形的三视图 ★★★ 题型十一 由三视图还原几何体 ★★★ 题型十二 已知三视图求边长 ★★★ 题型十三 已知三视图求侧面积或表面积 ★★★★ 题型十四 求小立方块堆砌图形的表面积 ★★★★ 题型十五 已知三视图求体积 ★★★★ 题型十六 求几何体视图的面积 ★★★ 题型十七 由三视图，判断小立方体的个数 ★★★★ 题型十八 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 ★★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★巩固；★★★提升；★★★★拔高★★★★★难题 题型一：平行投影 解题思路：①识别光源为太阳光，光线互相平行；②利用同一时刻物高与影长成正比例建立等量；③代入已知数值列出比例式计算求解；④根据时间变化判断影子长短、方向改变情况。 1．小华手拿一个矩形木框，在阳光的照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行投影的性质：平行直线的平行投影是平行或重合的直线，矩形两组对边分别平行，故其影子（非线段时）应为平行四边形． 【详解】解∶∵太阳光线是平行光线， ∴矩形木框在地面上的影子属于平行投影． ∵矩形的两组对边分别平行， ∴根据平行投影的性质，其在地面上的影子（当不重合为一条线段时）两组对边也应分别平行，即影子应为平行四边形（包含矩形）． 当矩形木框所在平面与光线平行时，影子为一条线段． ∴A是梯形，只有一组对边平行，不可能是矩形的影子； B是线段，可能是矩形平面与光线平行时的影子； C是矩形，可能是矩形平面与地面平行时的影子； D是平行四边形，可能是矩形平面倾斜时的影子． 综上所述，矩形木框在地面上的影子不可能是A． 2．如图，被平行光照射，于点与光线平行，在投影面上，则线段的投影是_______；线段的投影是_______；线段的投影是_______． 【答案】 线段 点 线段 【分析】本题考查了正投影，解题的关键是理解正投影的定义． 根据正投影的定义进行填空即可． 【详解】解：被平行光照射，于点与光线平行，在投影面上， 由正投影的定义可知：线段的投影是线段；线段的投影是点；线段的投影是线段． 故答案为：线段，点，线段． 3．如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影性质和相似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的相似性质、相似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键． 根据平行投影性质得与相似，求出相似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ． 由题意得：， ． ． ． 故选：D． 题型二：中心投影 解题思路：①识别光源为路灯、手电筒这类点光源；②将两组影子顶端反向延长，交点即为光源位置；③依据物体到光源的距离，判断影子长短变化。 4．如图所示，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射正下方的球，当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是（   ） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变小，再变大 【答案】C 【分析】此题主要考查了中心投影的性质，中心投影的性质：等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短． 根据中心投影的特点即可得出答案． 【详解】解：当点光源在物体上方，向下照射物体时，点光源离物体越近，影子越大，点光源离物体越远，影子越小． 即当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是变大． 故选：C． 5．如图，点光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为_____． 【答案】10 【分析】证明，推出，构建方程求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．如图，一块三角形硬纸板平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若与的周长之比为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，和是位似图形，位似中心为点O，再根据周长比等于位似比，即可求解． 【详解】解：由题意得，和是位似图形，位似中心为点O， ∴， ∵与的周长之比为， ∴， ∴， ∴． 题型三：正投影 解题思路：①明确正投影投影线垂直投影面，是三视图理论基础；②物体平行投影面，投影大小和原图形保持一致；③物体倾斜投影面，得到的投影图形发生缩小；④物体垂直投影面，投影积聚为点或者线段。 7．下列投影中，正投影有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查正投影的判断，掌握正投影是平行光线且与投影面垂直的投影，据此逐一判断投影类型是解题的关键． 根据正投影的定义，判断每个投影是否为平行光线且与投影面垂直的投影． 【详解】解：正投影是平行光线且与投影面垂直的投影． 第一个投影是中心投影，不是正投影； 第二个投影是平行投影但光线不垂直于投影面，不是正投影； 第三个投影是平行光线且垂直于投影面，是正投影； 所以正投影有1个． 故选：B． 8．如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，过作，交于点，求出的值，可得结论． 【详解】解：过作，交于点， ∵线段在平面内的正投影为，， ∴， ∴，且，则即为所求， ， ∴， 故选：C． 9．如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作A关于l的对称点，连接，，，过作于E，根据轴对称的性质可得出过点C，，，证明四边形是矩形，得出，，在中，根据勾股定理求出，根据，则当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为，即可求解． 【详解】解：由题意，得，，，，， 作A关于l的对称点，连接，，，过作于E， 则过点C，，四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为， 即的最小值为． 题型四：判断简单几何体的三视图 解题思路：①分别从正面、上面、左面三个方向观察几何体；②对照正方体、圆柱、圆锥、球体的视图特征比对；③看得见的轮廓按照要求用实线完成判断。 10．将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据俯视图：是从物体正上方向下看得到的视图，依次判断各选项即可． 【详解】解：以俯视图的视角，正方体截去一个角，从上往下看，外轮廓依旧是正方形， 切割留下的那条棱可以看到，即为正方体上表面从左下角到右上角的对角线， ：外轮廓不是正方形，不符合题意； ：对角线方向错误，不符合题意； ：外轮廓是正方形，实线对角线是从左下角到右上角的对角线，符合题意． 11．填写如图直六棱柱的三个视图的名称______，______，______． 【答案】 俯视图 左视图 主视图 【分析】由三视图的概念填空即可． 【详解】略． 12．从图1的正方体上截去一个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据俯视图的定义，从上向下观察几何体，确定其投影形状及内部可见棱的位置即可． 【详解】解： 该几何体是由正方体截去右前上方的一个三棱锥得到的， 从上面看，其外轮廓依然是正方体的底面，即一个正方形， 截去部分后，顶面留下了一条连接左前上顶点和右后上顶点的棱， 在俯视图中，这条棱表现为连接正方形左下角和右上角的对角线， 该几何体的俯视图是 ． 题型五：判断简单组合体的三视图 解题思路：①把组合体拆分为多个基础简单几何体；②分别分析每一个基础几何体对应的视图；③将各部分视图进行合并，兼顾物体遮挡关系。 13．如图所示的几何体，下列说法正确的是（     ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三视图各不相同 【答案】D 【分析】分别从正面、左面、上面三个方向观察几何体，得到三个视图后逐一对比特征，判断选项正误． 【详解】解：从正面看，底层是一个较大的正方形，上层右边是一个小正方形； 从左面看，底层是一个较大的正方形，上层左边是一个小正方形； 从上面看，是一个较大的正方形，正方形内部的右上角是一个小正方形； 所以三视图各不相同． 14．如图是由个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（     ） A．主视图不变，左视图不变 B．主视图改变，左视图改变 C．俯视图不变，主视图不变 D．主视图改变，俯视图改变 【答案】A 【详解】解：将小正方体①移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，主视图和左视图没有发生改变，俯视图发生了改变． 15．如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体搭成的，将小正方体A移到小正方体B上方后，新的几何体的俯视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将小正方体A移到小正方体B上方后，得到俯视图为 ． 题型六：判断非实心几何体的三视图 解题思路：①区分几何体外部实体轮廓与内部挖空结构；②几何体外部直接可见的棱按照实线识别；③内部被遮挡看不见的棱，识别为虚线。 16．水盂是文房第五宝，古时用于给砚池添水，如图是清晚时期六方水盂，则它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，根据主视图的含义即可得出答案． 【详解】解：结合图形知，可看到外面正六棱柱的4条棱，里面的圆柱的主视图是矩形，但因在内部看不到，故应用虚线，所以该几何体的主视图如下图： 故选：B． 【点睛】本题考查了三视图，注意：内部看不到的部分用虚线． 17．若一种机器零部件如图所示，则该零部件的主视图是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】解：从正面观察，外部正方体轮廓可见为实线，内部圆柱通孔看不到为虚线，所以D答案正确． 18．如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线，确定通孔位置的左视图为虚线；再求解通孔的底面正方形的对角线长即可确定． 【详解】解：通孔底面正方形的对角线长为， 该零部件的左视图及其尺寸标注如B选项所示． 题型七：已知一种或两种视图，判断其他视图 解题思路：①从已有视图读出几何体对应的长、宽、高；②套用“长对正、高平齐、宽相等”三视图规则；③推导缺失视图的轮廓，兼顾内部遮挡结构。 19．如图是某几何体的俯视图，图中所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看看到的图形分为上中下三层，共两列，从左边数起，第一列，中下两层各有一个小正方形，第二列上中下各有一个小正方形，即看到的图形如下： 故选：B． 20．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为：（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】通过主视图的列数与俯视图的列数相同，每列的高度等于俯视图中该列小正方形内数字的最大值，从而求解． 【详解】解：由俯视图可知主视图共有列，第一列数字为，最大值为；第二列数字为，，，最大值为；第三列数字为，，最大值为； ∴主视图从左到右的列数分别为，，， 故选项符合题意． 21．若一个几何体的主视图、俯视图如图所示，那么它的左视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由俯视图是带对角线的正方形，可知该几何体是正四棱锥；结合主视图是带中线的等腰三角形，可知棱锥的一条侧棱在正面可见，因此左视图也应为带中线的等腰三角形． 【详解】解：由主视图和俯视图可知，该几何体为正四棱锥，其底面为正方形，顶点在底面的投影为正方形中心． 左视图为等腰三角形，且中间有一条可见的棱（实线）． A、三角形无中线，此选项不符合题意； B、三角形有中线，此选项符合题意； C、为矩形，此选项不符合题意； D、为矩形，此选项不符合题意． 题型八：画简单几何体的三视图 解题思路：①严格落实长对正、高平齐、宽相等作图准则；②保证主、俯、左三者位置对齐，尺寸对应；③物体看得见的轮廓，全部使用实线画出。 22．从左面看如图所示的几何体，看到的平面图形是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据从左面看到的平面图形求解即可． 【详解】解：从左面看如图所示的几何体可得到的平面图形是    ， 故选：D． 【点睛】本题考查了几何体三视图的问题，掌握几何体三视图的性质是解题的关键． 23．如图，几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图即可解答． 【详解】解：从正面看图形为 故选：A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看得到的图形是主视图成为解题的关键． 24．如图所示为一个工件的示意图，该工件的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三视图，掌握三视图中看不见的线条用虚线表示成为解题的关键． 根据左视图就是从几何体左侧看到的图形是解题的关键． 【详解】解：该工件的左视图为： 故选C． 题型九：画简单组合体的三视图 解题思路：①拆分组合几何体，确定各部分长、宽、高；②遵循三视图三等规则确定各视图大小位置；③可见棱绘制实线，被遮挡不可见棱绘制虚线。 25．如图，几何体的左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何体的左视图，熟练掌握“左视图的高、宽要对齐，看得见的轮廓线用实线，看不见但实际存在的用虚线表示”是解题的关键． 【详解】解：从左面看，是一个正方形被剪掉了右上角部分． 故选：D． 26．如图，5个完全相同的小正方体组成了一个几何体，请在方格纸中用实线画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．    【答案】 从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如下图所示，    【分析】三视图的具体画法及步骤为：①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”.画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了画三视图，画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图.要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线． 27．如图所示的几何体，其左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握主视图、左视图、俯视图分别是从物体的正面、左面、上面看得到的图形成为解题的关键． 根据左视图即从左边观察得到的图形即可解答． 【详解】解：从左边看，可得如图所示几何体的左视图是： ． 故选：D． 题型十：画小立方块堆砌图形的三视图 解题思路：①借助俯视图确定底层小方块摆放位置；②主视图读取每一列方块的最大堆叠层数；③左视图读取每一行方块的最大堆叠层数；④只画出每一列最高方块对应的外轮廓。 28．如图是由6个大小相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：这个几何体的俯视图是． 29．老师用10个的小正立方体摆出一个立体图形，它的正视图如图①所示，且图中任两相邻的小正立方体至少有一棱边（）共享，或有一面（）共享．老师拿出一张的方格纸（如图②），请小荣将此10个小正立方体依正视图摆放在方格纸中的方格内，请问小荣摆放完后的左视图有________种．（小正立方体摆放时不得悬空，每一小正立方体的棱边与水平线垂直或平行）    【答案】16 【分析】小荣摆放完后的左视图有：①从左往右依次是3个正方形、1个正方形、1个正方形；②从左往右依次是3个正方形、1个正方形、2个正方形；③从左往右依次是3个正方形、2个正方形、1个正方形；④从左往右依次是3个正方形、2个正方形、2个正方形；⑤从左往右依次是2个正方形、3个正方形、1个正方形；⑥从左往右依次是2个正方形、3个正方形、2个正方形；⑦从左往右依次是2个正方形、1个正方形、3个正方形；⑧从左往右依次是2个正方形、2个正方形、3个正方形；⑨从左往右依次是1个正方形、3个正方形、1个正方形；⑩从左往右依次是1个正方形、3个正方形、2个正方形；（11）从左往右依次是1个正方形、1个正方形、3个正方形；（12）从左往右依次是1个正方形、2个正方形、3个正方形；（13）从左往右依次是3个正方形、1个正方形；（14）从左往右依次是3个正方形、2个正方形；（15）从左往右依次是2个正方形、3个正方形；（16）从左往右依次是1个正方形、3个正方形； 【详解】解：由题意可知，立体图形只有一排左视图有3个正方形，有两到三排． 三排的左视图有：种； 两排的左视图有：种； 共种． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查三视图，解决问题的关键是掌握主视图是从物体的正面看到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 30．如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若将标号为①的小正方体取走，得到的新几何体的主视图与俯视图，与原几何体的主视图与俯视图对比，下列说法正确的是（     ）． A．主视图一样，俯视图一样 B．主视图一样，俯视图不一样 C．主视图不一样，俯视图一样 D．主视图不一样，俯视图不一样 【答案】C 【分析】先分别画出标号为①的小正方体取走前后的主视图和俯视图，然后对比即可解答． 【详解】解：标号为①的小正方体取走前的主视图和俯视图如下：        标号为①的小正方体取走后的主视图和俯视图如下：     所以标号为①的小正方体取走前后的主视图不一样，俯视图一样． 题型十一：由三视图还原几何体 解题思路：①利用俯视图确定底层方块摆放分布；②通过主视图确定每一列方块最大高度；③通过左视图确定每一行方块最大高度；④结合三组视图综合拼搭还原立体几何体。 31．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由俯视图是“凸”字形，可知该几何体为“凸”字形柱体，排除A、B． 由主视图是矩形且内部有两条虚线，可知该几何体前宽、后窄，后方棱被遮挡不可见． C选项符合题意．D选项不符合题意． 32．如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为_____（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了由三视图还原几何体以及圆锥体积的计算公式和勾股定理，根据三视图准确判断几何体的形状并提取出底面半径和高的数据是解题的关键． 【详解】解：由图可知：底面直径为， 所以底面半径， 母线长， 则利用勾股定理： ， ， ， 则， ， ， ． 33．由8个大小相同的正方体搭成的几何体，被嘉琪拿掉1个后，得到如图1所示的几何体，图2是原几何体的三视图．请你判断嘉琪拿掉的那个正方体原来放在（     ） A．①号的前面 B．②号的前面 C．③号的前面 D．④号的右边 【答案】B 【分析】先分析原几何体总数：原几何体共8个正方体，拿掉1个后剩7个（即图1），结合三视图可知：原几何体底层共6个正方体（前后两排，每排3个，左右共三列），上层共2个正方体（都在后排的左右两列上方），总和正好为8个，再对比原几何体的三视图与图1（拿掉后的几何体）后的图形即可． 【详解】原几何体的三视图对比图1（拿掉后的几何体）：观察俯视图发现缺少前排中间位置的正方体，再结合左视图这个位置正好是后排中间的②号的正前方． 题型十二：已知三视图求边长 解题思路：①利用长对正、高平齐、宽相等对应关系；②从视图中提取几何体真实长、宽、高数据；③换算计算，求出题目需要的线段长度。 34．如图，根据长方体的三视图标注的尺寸，可以判断长方体中三条棱的长分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三视图的对应关系：主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽；左视图反映物体的高和宽，即可求解. 【详解】解：根据题意，得，，. 35．一个透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图①所示），此时液面刚好过棱，并与棱交于点，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图②所示．当将该正方体平放（正方形在桌面上）时，液体的深度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理、三棱柱的三视图及体积公式，熟练掌握勾股定理和三棱柱的体积公式是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再利用三棱柱的体积公式求出液体的体积，从而求出液体的深度． 【详解】解：、 ， 液体的体积为： 当将该正方体平放时，液体的深度为， 故选：C． 36．榫卯结构在我国古代建筑中应用广泛．如图为某个古代建筑榫卯部件中“卯”的三视图（单位：mm）．根据三视图所提供的数据，主视图上线段的长度为________． 【答案】 【分析】根据三视图的数据，确定线段所在直角三角形的两条直角边长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据三视图的定义，可得： 在水平方向上，线段对应的直角边长度为： ， 在竖直方向上，线段对应的直角边长度为． 由勾股定理，得： ， ， ， ． 答：主视图上线段的长度为． 题型十三：已知三视图求侧面积或表面积 解题思路：①从三视图提取棱长、半径、高等关键数据；②基础几何体直接代入侧面积、表面积公式；③组合几何体，扣除互相贴合重叠部分的面积。 37．如图，根据三视图，得出这个几何体的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三视图易判断，该几何体是一个圆柱，由已知三视图中标识的数据，易判断圆柱的底面直径为，高为，代入公式即可计算侧面积． 【详解】由三视图可知，这个几何体是一个圆柱， 该几何体的侧面积是． 故选：. 【点睛】此题主要考查了利用三视图的判断几何体形状以及求几何体的侧面积，根据三视图得出几何体的各边长是解决问题的关键． 38．如图是某几何体的三视图，若俯视图的面积为，则左视图的面积为____． 【答案】18 【分析】先根据俯视图的面积求出圆的半径，也就是主视图的长和左视图的宽，然后利用矩形的面积计算公式计算即可． 【详解】解：设俯视图的半径为， ∵俯视图的面积为， ∴， ∴， ∴左视图的长为， ∴左视图的面积为：． 39．如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为4的正方形，左视图是宽为2的矩形，俯视图是直径为4的半圆，这个几何体的表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为4，高为4， 故其表面积为 题型十四：求小立方块堆砌图形的表面积 解题思路：①从前、后、左、右、上、下六个方向观察；②统计每个方向外露的小正方形面的数量；③汇总全部外露面，单块面积乘总面数得结果。 40．如图，由若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，该几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多个小正方体堆叠求表面积，表面积从左边看有6个面，右边6个面，前面6个面，后面6个面，上面6个面，下面6个面，另外还有两个隐藏的面，共计38个面，再乘以1个面的小正方形面积即可求解． 【详解】解：， 即表面积为， 故选：D． 41．下图是用棱长为1厘米的小正方体摆成的物体，现将它靠墙摆放，露在外面的面积是( )平方厘米，如果在它的表面贴上装饰画（靠墙面、地面除外），三个面都有装饰画的小正方体有( )个． 【答案】 27 4 【分析】计算露在外面的面积；每个小正方体的一个面的面积为平方厘米．物体靠墙摆放，我们只需数出正面、右面、上面三个方向的外露面数量． 统计三个面都有装饰画的小正方体“三个面都有装饰画” 意味着小正方体的正面、右面、上面都外露．我们逐层排查即可求解． 【详解】解：正面：可以看到9个小正方形的面． 右面：可以看到9个小正方形的面． 上面：可以看到9个小正方形的面． 总外露面数为个， 因此露在外面的面积为平方厘米． 底层：1个；中层：1个；顶层：2个．个， 因此，共有4个小正方体三个面都有装饰画． 42．如图，图1是一个涌泉蜜桔包装箱，现将8个这样的包装箱按图2的四种方式分别叠放成一个大长方体．在仅知道一个包装箱表面积的情况下，就能推算出其中一个大长方体的表面积，这个大长方体的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了求小立方块堆砌图形的表面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意以及图形特征得1个前面个后面个左面个右面个上面个下面的面积是定值，再分别研究每种方式的特征，运用整体思想进行作答即可． 【详解】解：设这个涌泉蜜桔包装箱的6个面分别记作，前、后、上、下、左、右， 则1个前面个后面个左面个右面个上面个下面的面积是定值， 而图2中①表面积为4个前，4个后，4个左面，4个右面，4个上面，4个下面的和； ②表面积为4个前，4个后，8个左面，8个右面，4个上面，4个下面的和； ③表面积为4个前，4个后，4个左面，4个右面，2个上面，2个下面的和； ④表面积为2个前，2个后，8个左面，8个右面，4个上面，4个下面的和； ∴在仅知道一个包装箱表面积的情况下，就能推算出其中一个大长方体的表面积，这个大长方体的序号是①， ∴第①叠放方式符合题意， 故选：A． 题型十五：已知三视图求体积 解题思路：①小方块类，统计方块总数量，单块体积相乘；②旋转体从视图读出半径、高的实际数值；③代入对应体积公式计算几何体体积。 43．如图是某鱼缸的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．若该鱼缸装有一半水，根据图中所标示的数据（单位：），计算鱼缸内水的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三视图可知，鱼缸的长为，宽为，高为，根据长方体的体积公式即可求出鱼缸内水的体积． 【详解】解：由三视图可知，鱼缸的长为，宽为，高为， 鱼缸内水的体积为． 44．一个几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积为______．（得数保留） 【答案】 【分析】观察可知，几何体为底面半径为1，高为2的圆柱体的一半，根据圆柱体的体积公式进行求解即可. 【详解】解：由题意，该几何体的体积为. 45．如图所示的是某几何体的三视图，根据图中的数据求得该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析该几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，得到圆柱底面直径和高，长方体的长宽高，即可求得体积． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的． 圆柱的底面直径为，高为； 长方体的长为，宽为，高为． 故该几何体的体积为． 故选：D ． 【点睛】本题考查了对三视图的理解． 题型十六：求几何体视图的面积 解题思路：①锁定题目指定的主视图、俯视图或左视图；②把视图图形拆解成若干简单平面图形；③分别计算面积，求和得到视图图形面积。 46．如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，如果左视图面积为5，则俯视图的面积为（     ） A．4 B． C．7 D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知：该几何体的左视图是由个小正方形组成，俯视图是由三个小正方形组成， ∵左视图面积为5， ∴每个正方形的面积为， ∴俯视图的面积为． 47．如图一个三棱柱的俯视图是一个等腰三角形，其中，；若此三棱柱的高为6，则这个三棱柱的左视图的面积为 ______ ． 【答案】 【分析】过点A作于点D，利用三线合一定理和勾股定理求出的长，根据题意可知该三棱柱的左视图是一个长方形，确定其长和宽即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于点D， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， 由题意得，该三棱柱的左视图是一个长方形，其长为6，宽为3， ∴这个三棱柱的左视图的面积为． 48．3个完全相同的小正方体按下列不同方式摆放，则这3个小正方体组成的图形左视图面积最小的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何体的形状画出对应几何体的左视图，进而求出对应几何体的左视图面积，比较即可得到答案． 【详解】解：设小正方体的棱长为1， A选项中左视图为，则左视图面积为， B选项中左视图为，则左视图面积为， C选项中左视图为，则左视图面积为， D选项中左视图为，则左视图面积为， ∵， ∴A选项中的左视图面积最小． 题型十七：由三视图，判断小立方体的个数 解题思路：①用俯视图标记全部方块可以摆放的位置；②结合主视图、左视图确定每个位置方块层数；③把所有位置方块层数相加，得到方块总个数。 49．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据三视图的意义，列式计算即可． 【详解】解：根据题意，得，几何体数目如下： 有（个）， 故选：B． 50．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图和左视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最少有________个． 【答案】7 【分析】根据俯视图和左视图来确定几何体的可能结构，从而找出小立方块最少的情况． 【详解】解：由俯视图知，最底层有4个小立方块； 由左视图知，第二层最少有2个小立方块，第三层最少有1个小立方块， 搭成这个几何体的小立方块的最少有个． 51．如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据主视图和左视图，把各个位置小方块的个数标在俯视图上，根据各个位置小正方体的个数计算出组成这个几何体的小正方体的个数． 【详解】解：如下图所示，把各个位置小方块的个数标在俯视图上， 组成这个几何体的小正方体的个数是个． 题型十八：已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 解题思路：①俯视图固定底层方块摆放位置不变；②求最多：每一格取视图允许的最大层数；③求最少：满足视图高度，其余位置层数取最小；④全部格子层数相加，得到最多、最少方块数。 52．由若干个完全相同的小正方体搭建了一个积木，从积木正面、上面两个方向看到的形状如图所示，则这个积木的块数最少是（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：由图可得，第一层个，第二层最少个， ∴这个积木的块数最少是 ． 53．如图是由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则这个几何体可能是由________个正方体搭成的． 【答案】7或8或9或10或11 【分析】根据俯视图和主视图判断出几何体最少和最多需要由几个正方体搭成即可． 【详解】解：从俯视图可知，底层的小正方体分布在5个不同位置，因此底层固定有5个小正方体； 主视图显示几何体的左侧列最高有3层，右侧列最高只有1层，对应到俯视图里： 俯视图的右侧2个位置属于主视图的右列，这两个位置都只能是1层，没有额外叠加的正方体； 俯视图的左侧3个位置属于主视图的左列，这部分的总层数需要满足最高为3层：最少的情况是其中1个位置叠3层、另外2个位置仅1层，额外叠加2个正方体；最多的情况是3个位置分别叠3层、3层、3层，额外叠加6个正方体； ∴总正方体数的范围是到，所有可能的取值为． 54．将几个完全相同的正方体，堆放在桌面上，从上面看到的图形是图1，从正面和侧面看到的图形都是图2，这些正方体至少有（     ）个． A．6 B．8 C．9 D．7 【答案】D 【详解】解：根据题意，标注正方体最少的情况如下： ∴这些正方体至少有个 解答题 1．如图所示是一个直四棱柱及其主视图和俯视图（等腰梯形）． (1)根据图中所给数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为________； (2)在虚线框内画出其左视图，并标出各边的长．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)求这个几何体的表面积． 【答案】(1) (2)解：如图所示即为所作， (3)这个几何体的表面积是 【分析】（1）利用矩形的性质，等腰梯形的性质以及勾股定理求解即可； （2）根据三视图的定义画图即可； （3）利用梯形面积公式，矩形面积公式以及表面积的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，在俯视图中过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ， 俯视图是等腰梯形， ，， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，，， 俯视图（等腰梯形）的高为； （2）略 （3）解：， 答：这个几何体的表面积是． 2．如图所示，是由10个完全相同的棱长为的小正方体组成的几何体． (1)请分别画出该图形的三视图； (2)求这个几何体的表面积．（包括底部） 【答案】(1) (2)该几何体的表面积是 【分析】（1）由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，1，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1．据此可画出图形； （2）分别得到各个方向看的正方形面数，相加后乘1个面的面积即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 故该几何体的表面积是． 3．如图是几何体得到的三视图． (1)说出这个几何体的名称； (2)画出它的一种表面展开图； (3)求这个几何体的表面积和体积． 【答案】(1)三棱柱 (2)如图即为所求； (3)表面积为，体积为 【分析】（1）根据三视图求解即可； （2）画出三棱柱的一种表面展开图即可； （3）利用三棱柱的表面积和体积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：这个几何体的表面积为， 这个几何体的体积为． 4．如图是由棱长都为1的小立方块搭成的几何体． (1)该几何体有______个小立方块搭成； (2)请画出这个图形的三视图； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． 【答案】(1)6 (2) (3)3 【分析】（1）先分层统计底层和上层的小立方块数量，再求和得到总数． （2）主视图从正面观察，确定列数和每列的最高层数；左视图从左面观察，确定行数和每行的最高层数；俯视图从上面观察，确定行列分布和底层小立方块的位置，按对应规则绘制； （3）因为要保持俯视图和左视图不变，所以先根据俯视图确定可添加方块的位置范围，再根据左视图确定每个位置允许的最大层数，结合原有方块的层数，计算可添加的总数． 【详解】（1）解：底层能看到5个小立方块，上层仅在底层左数第2个方块上方搭有1个，总数为． 该几何体有6个小立方块搭成． （2） 略 （3） 解：要保持俯视图不变，说明底层小立方块的摆放位置不能新增，只能在已有底层方块的上方加方块； 要保持左视图不变，说明几何体前后两行的最大层数限制为：靠前行最大层数为1，靠后行最大层数为2． 原本仅靠后行左数第2个位置有2层方块，靠后行剩下的3个位置都可以各加1个方块，靠前行不能加方块， 因此最多添加3个． 5．如图是一个直三棱柱的立体图和三视图，根据立体图中的尺寸，求： (1)主视图中线段的长； (2)左视图的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形面积公式、直三棱柱的三视图性质以及矩形面积公式，熟练掌握利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，结合面积法求斜边上的高，并明确三视图与立体图形的尺寸对应关系是解题的关键． （1）先利用勾股定理的逆定理判断底面三角形为直角三角形，再通过面积法求出斜边上的高，该高即为主视图中线段的长． （2）确定左视图为矩形，其一边长为直三棱柱的高，另一边长为底面直角三角形斜边上的高，根据矩形面积公式计算左视图的面积． 【详解】（1）解：如图，俯视图中过点作边上的垂线，由题意可得，，，点为垂足， ，，， ， ，即， ， ， ， ∴； （2）解： 6．一棵树（）和一根木杆（）在同一时刻的投影如图所示，木杆高3米，影子长2米；若树的影子长6米，则树高多少米？ 【答案】9米 【详解】解：由题意，， ∴ ，即， ， 故树高9米． 7．综合与实践 主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点A离地面高度为4米，点A，B之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为．如图（2），点B的正上方有一路灯P，夜晚在路灯P的照射下木棍在地面上的投影为． 【问题解决】 (1)如图（1），测得米，为验证木棍，投影线，投影线，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明：． (2)如图（2），发现木棍，投影线，投影线，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯P距地面的高度． 【答案】(1) 证明：如图所示，过点作交于点G， 由题意得， 又∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴米， ∵米， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)米 【分析】（1）过点作交于点，证明四边形为平行四边形可得，即可证明； （2）过点作于点，于点，可知四边形是矩形，由题意可知，，三点在同一直线上，且，根据轴对称图形得到米，证明，进而求出，求出的长即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图，过点作于点，于点，则四边形是矩形． 路灯在点正上方． ，，三点在同一直线上，且， 米，米， 米，（米）． 四边形是轴对称图形， （米）． ，， ， ， ， 米， （米）， 答：路灯距地面高度为米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $