第30章 投影与视图（6考点+6易错+易错训练）（知识清单）数学新教材沪教版九年级上册

第30章 投影与视图 知识点一 投影 1.投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的______.照射光线叫做______，投影所在的平面叫做______. 2.平行投影 （1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面． （2）平行投影：由平行光线形成的投影是______，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． （3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是______的． （4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影． （5）正投影：在平行投影中，投影线______投影面产生的投影叫做正投影． 3.中心投影 （1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做______．如物体在灯光的照射下形成的影子就是______． （2）中心投影的光线特点是从______出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． （3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是______． 4.正投影 正投影：在平行投影中，如果投影线与投影面______，当就称为正投影. 平面图形的正投影记忆口诀：平行形状不变，倾斜形状改变，垂直变成线段.（简称;平行，形不变；倾斜，形改变；垂直，成线段.） 知识点二 三视图 1.三视图的有关概念 （1）视图：当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的图形叫做物体的一个视图. （2）三视图：一个物体在三个投影面内同时进行正投影， ①在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做______； ②在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做______； ③在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做______. 主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 2.简单几何体的三视图 （1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． （2）常见的几何体的三视图： 圆柱的三视图： 3.简单组合体的三视图 （1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． （2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． （3）画物体的三视图的口诀为： 主、俯：长对正； 主、左：高平齐； 俯、左：宽相等． 易错点1 混淆平行投影与中心投影 易错提醒：平行投影与中心投影的概念弄混。方法1.看光线特征：光线平行无交点→平行投影；光线汇聚于一点→中心投影；2.看场景特征：日光、户外日影为平行投影；灯光、点光源照射为中心投影；3.看影子变化规律：固定比例变化为平行投影，无固定比例、近长远短为中心投影。 【对点训练】1．小华手拿一个矩形木框，在阳光的照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（     ） A． B． C． D． 易错点2 利用物高与影长比例计算（平行投影） 易错提醒：计算时容易出现错误。方法①同一时刻，物高与影长成正比，比值固定（可利用相似计算）；②等高平行物体，影子长度一致； 【对点训练】2．如图，1米竹竿垂直于地面，在太阳光照射下形成的影子为1.5米，树影投射在墙上的影高等于2米，若树根到墙的距离等于9米，则树高等于_____米． 易错点3 正投影的三大性质应用（判断投影形状、大小） 易错提醒 容易判断错误形状。方法①真实性：物体的面平行于投影面 → 投影与该面形状、大小完全相同（全等）。 ②积聚性：物体的面垂直于投影面 → 投影积聚为线段 / 点。③类似性：物体的面倾斜于投影面 → 投影与该面相似但缩小。 【对点训练】3．如图，当正方形纸板平行于投影面时，其正投影是正方形，则当正方形纸板垂直于投影面放置时，其正投影的形状为（   ） A．正方形 B．平行四边形 C．线段 D．三角形 易错点4 判断简单几何体的三视图 易错提醒 容易漏画虚线。方法①看主视图定物体的长、高与正面形状；②看俯视图定长、宽与顶面形状；③看左视图定高、宽与左面形状； 【对点训练】4. 在下面的四个立体图形中，主视图是长方形的有__________．（填序号） 易错点5 画简单几何体 / 组合体的三视图，规范实线 / 虚线。 易错提醒 方法1.看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线（不可省略）。2.严格遵循 “长对正、高平齐、宽相等”，尺寸与实物一致。3.组合体先分解为基本几何体，分别画三视图再整合。 【对点训练】5 画出下面立体图形的三视图． 易错点6 利用三视图求简单几何体表面积、体积 易错提醒 容易重复计算重叠的面的面积。方法 1.根据三视图，提取几何体的长、宽、高、底面半径等核心参数；2.套用基础几何体体积、表面积公式计算；3.组合几何体需扣除贴合、重合的面，避免重复计算面积。 【对点训练】6 把边长为1厘米的6个相同正方体摆成如图的形状，则该立体图形俯视图的面积为（　　）平方厘米．   A．3 B．4 C．5 D．6 一、单选题 1．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）下列各组中的四条线段是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南郑州·期中）已知，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·北京海淀·二模）小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·山东烟台·期末）黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．（2023·上海奉贤·一模）如图，以为斜边作等腰直角三角形，再以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，那么等于（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，，点在边上，与相交于点，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，D，E分别是上的点，连接交于点，已知是的中点且，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 8．（2022·江苏泰州·模拟预测）地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 9．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________． 10．（25-26八年级下·山东泰安·期末）要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 11．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 12．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，把一个等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别是和，点在轴负半轴上．的平分线交轴于点，则点的坐标是________． 13．（25-26八年级下·山东淄博·期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 14．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 15．（2022·四川内江·三模）如图，正方形中，，点是边的中点，连接，与交于点，点在上，点在上，且．若，则______． 16．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿，折叠，点落在点处，点落在点处，点，，恰好在同一直线上，若，，，则线段的长是____________． 三、解答题 17．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 18．（22-23九年级上·山东枣庄·期中）如图，点，，连接，动点M、N分别同时从点A，O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示点M的坐标为_____，点N的坐标为____． (2)当四边形的面积恰好为76时，求此时t的值； (3)试求t为何值时，与相似? 19．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，已知，，． (1)求证：四边形与四边形位似． (2)若，，求． 20．（2026·湖北襄阳·二模）在矩形中，将绕点A逆时针旋转到位置，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点E恰好落在对角线上时，若，，求的长； (3)如图3，直线分别交于点G，交于点M，且，． ①求证：； ②设的面积为，的面积为，直接写出的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30章 投影与视图 知识点一 平行投影 1.投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的_投影___.照射光线叫做___投影线___，投影所在的平面叫做_投影面____. 2.平行投影 （1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面． （2）平行投影：由平行光线形成的投影是__平行投影____，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． （3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是__全等__的． （4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影． （5）正投影：在平行投影中，投影线___垂直于___投影面产生的投影叫做正投影． 知识点二 中心投影 （1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做_中心投影___．如物体在灯光的照射下形成的影子就是_中心投影_____． （2）中心投影的光线特点是从___一点__出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． （3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是_中心投影___． 知识点三 正投影 正投影：在平行投影中，如果投影线与投影面____互相垂直__，当就称为正投影. 平面图形的正投影记忆口诀：平行形状不变，倾斜形状改变，垂直变成线段.（简称;平行，形不变；倾斜，形改变；垂直，成线段.） 知识点四 三视图的有关概念 （1）视图：当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的图形叫做物体的一个视图. （2）三视图：一个物体在三个投影面内同时进行正投影， ①在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做_主视图_____； ②在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做___俯视图___； ③在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做__左视图____. 主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 知识点五 简单几何体的三视图 （1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． （2）常见的几何体的三视图： 圆柱的三视图： 知识点六 简单组合体的三视图 （1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． （2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． （3）画物体的三视图的口诀为： 主、俯：长对正； 主、左：高平齐； 俯、左：宽相等． 易错点1 混淆平行投影与中心投影 易错提醒：平行投影与中心投影的概念弄混。方法1.看光线特征：光线平行无交点→平行投影；光线汇聚于一点→中心投影；2.看场景特征：日光、户外日影为平行投影；灯光、点光源照射为中心投影；3.看影子变化规律：固定比例变化为平行投影，无固定比例、近长远短为中心投影。 【对点训练】1．小华手拿一个矩形木框，在阳光的照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解∶∵太阳光线是平行光线， ∴矩形木框在地面上的影子属于平行投影． ∵矩形的两组对边分别平行， ∴根据平行投影的性质，其在地面上的影子（当不重合为一条线段时）两组对边也应分别平行，即影子应为平行四边形（包含矩形）． 当矩形木框所在平面与光线平行时，影子为一条线段． ∴A是梯形，只有一组对边平行，不可能是矩形的影子； B是线段，可能是矩形平面与光线平行时的影子； C是矩形，可能是矩形平面与地面平行时的影子； D是平行四边形，可能是矩形平面倾斜时的影子． 综上所述，矩形木框在地面上的影子不可能是A． 易错点2 利用物高与影长比例计算（平行投影） 易错提醒：计算时容易出现错误。方法①同一时刻，物高与影长成正比，比值固定（可利用相似计算）；②等高平行物体，影子长度一致； 【对点训练】2．如图，1米竹竿垂直于地面，在太阳光照射下形成的影子为1.5米，树影投射在墙上的影高等于2米，若树根到墙的距离等于9米，则树高等于_____米． 【答案】8 【分析】本题考查平行投影的相似性质，解题的关键是利用平行光线形成的相似三角形对应边成比例． 先根据竹竿与影子的比例确定光线的相似比，再结合树到墙的距离计算树在地面的投影长度，最后加上墙上的影高得到树高． 【详解】解：由题意，1米竹竿的影子长1.5米， 光线形成的物体高度与水平影子长度的比为： 如图，过点作于点， 则米，米， 设树在水平地面的投影对应的树高部分为，根据相似性质：， 代入，得：， 树高（米）． 故答案为：8． 易错点3 正投影的三大性质应用（判断投影形状、大小） 易错提醒 容易判断错误形状。方法①真实性：物体的面平行于投影面 → 投影与该面形状、大小完全相同（全等）。 ②积聚性：物体的面垂直于投影面 → 投影积聚为线段 / 点。③类似性：物体的面倾斜于投影面 → 投影与该面相似但缩小。 【对点训练】3．如图，当正方形纸板平行于投影面时，其正投影是正方形，则当正方形纸板垂直于投影面放置时，其正投影的形状为（   ） A． 正方形 B．平行四边形 C．线段 D．三角形 【答案】C 【分析】本题考查了正投影的概念，理解正投影的定义是解题的关键． 根据“投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影”判断即可． 【详解】解：如图： 当平面图形垂直于投影面时，其正投影是线段； 故选：C． 易错点4 判断简单几何体的三视图 易错提醒 容易漏画虚线。方法①看主视图定物体的长、高与正面形状；②看俯视图定长、宽与顶面形状；③看左视图定高、宽与左面形状； 【对点训练】4. 在下面的四个立体图形中，主视图是长方形的有__________．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握从正面看得到的图形是主视图是解决本题的关键，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：①球的主视图是圆，不符合题意； ②圆柱的主视图是长方形，符合题意； ③四棱柱的主视图是中间有两条虚线的长方形，符合题意； ④三棱柱的主视图是三角形，不符合题意． 所以主视图是长方形的是②③． 易错点5 画简单几何体 / 组合体的三视图，规范实线 / 虚线。 易错提醒 方法1.看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线（不可省略）。2.严格遵循 “长对正、高平齐、宽相等”，尺寸与实物一致。3.组合体先分解为基本几何体，分别画三视图再整合。 【对点训练】5 画出下面立体图形的三视图． 【答案】画出的三视图如下: 易错点6 利用三视图求简单几何体表面积、体积 易错提醒 容易重复计算重叠的面的面积。方法 1.根据三视图，提取几何体的长、宽、高、底面半径等核心参数；2.套用基础几何体体积、表面积公式计算；3.组合几何体需扣除贴合、重合的面，避免重复计算面积。 【对点训练】6 把边长为1厘米的6个相同正方体摆成如图的形状，则该立体图形俯视图的面积为（　　）平方厘米．   A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：这个立体图形的俯视图如下： 则该立体图形俯视图的面积为（平方厘米）， 故选：C． 一、单选题 1．（2026·山东威海·模拟预测）下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平行投影的性质：同一时刻太阳光线平行；物高与影长成正比； 【详解】解：太阳光线是平行光线， 在同一时刻，两棵树的影子方向应相同，且树高与影长成正比，观察各选项图形： A、B选项中，两棵树的影子方向均不相同，故不符合题意； D选项中，两棵树的影子方向相同，但较高的树影子较短，较矮的树影子较长，不符合平行投影的特征； C选项中，两棵树的影子方向相同，且较高的树影子较长，较矮的树影子较短，符合平行投影的特征． 2．（2026·广东佛山·二模）数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立体图形的展开图、三视图、截面及投影，结合圆锥、圆柱、球体及三角板的几何特征，逐一判断各选项得到的平面图形形状即可． 【详解】解：A选项，圆锥的侧面展开图是扇形，不符合题意； B选项，竖直放置的圆柱的左视图是矩形，符合题意； C选项，球体的截面是圆，不符合题意； D选项，三角板的中心投影是三角形，不符合题意 ． 3．（2026·贵州贵阳·一模）如图，用发光的手电筒垂直照射吊在空中静止的不透明小球，小球落在竖直墙面上影子的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．球 D．三角形 【答案】A 【分析】根据球体的几何特征及光线照射方向判断影子的形状． 【详解】解：∵小球是球体，手电筒垂直照射， ∴光线方向与竖直墙面垂直， ∴小球在墙面上的影子即为球体的正投影， ∵球体在垂直于光线的平面上的影子是圆， ∴影子的形状是圆． 4．（2026·浙江·一模）如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（    ） A．36 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】证明，推出，构建方程求出即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图1所示，是中国研制的新型激光武器，图2是其射出的激光束中截取的线段，线段在投影面上的正投影为，已知，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影，解直角三角形的应用，过A作于C，在中，根据余弦的定义求出，然后证明四边形是矩形，根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：过A作于C， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故选：B． 6．（25-26九年级下·湖南株洲·开学考试）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由俯视图是“凸”字形，可知该几何体为“凸”字形柱体，排除A、B． 由主视图是矩形且内部有两条虚线，可知该几何体前宽、后窄，后方棱被遮挡不可见． C选项符合题意．D选项不符合题意． 二、填空题 7．（2026·四川雅安·一模）如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是______ ． 【答案】 【分析】设两条光线分别切皮球于点，交地面于点，由题意可得， ，过点作于点 ，根据平行线的性质，矩形的判定和性质可得，四边形是矩形 ， ，根据太阳光线与地面成的角，余角的性质，求出，利用解直角三角形进行解答，即可． 【详解】解：如图，设两条光线分别切皮球于点，交地面于点， ∴ ， 过点作于点 ， ∵太阳光线是平行的 ， ∴ ， ∵是皮球直径，光线与球相切， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴四边形是矩形 ， ∴ ， ∵太阳光线与地面成的角， ∴ ， ∴， ∴在中，， ∴， ∴皮球的直径是 ． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列投影中，是正投影的是________（填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了投影的概念和分类，即“一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面；包括正投影和斜投影两类。熟练掌握其概念和分类是解题的关键. 【详解】解：根据正投影的定义“ 投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影”可知 是正投影 故答案为： ． 9．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，阳光下一根长的木棒在地面上的影子长为，此时旗杆的影子有一部分落在距离旗杆的墙上，旗杆的影子落在墙上的高度为，则旗杆的高度为___________． 【答案】 【分析】根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长成正比．通过作辅助线构造矩形，将旗杆高度分为两部分，一部分对应墙上的影子高度，另一部分对应地面上的影子长度，利用比例关系求解即可． 【详解】解：过点作于点． 则四边形为矩形． ． 根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长成正比． ． 即． 解得． ． 10．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的周长为4，则影子的周长为__________． 【答案】 【分析】根据证明，得到，根据矩形与矩形位似得，再求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 矩形与矩形位似， ， 矩形的周长为4， 矩形的周长为． 11．（20-21七年级上·四川自贡·期末）从正面看和从左面看长方体得到的平面图形如图所示，则从上面看到的平面图形的面积是________． 【答案】12 【分析】先根据从左面、从正面看到的形状图的相关数据可得，从上面看到的形状图是长为4宽为3的长方形，再根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据从左面、从正面看到的形状图的相关数据可得： 从上面看到的形状图是长为4宽为3的长方形， 则从上面看到的形状图的面积是4×3=12； 故答案为：12． 【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，关键是根据从左面、从正面看到的形状图的相关数据得出从上面看到的形状图是长为4宽为3的长方形． 12．（2026·宁夏银川·三模）如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为的正方形，左视图是宽为的矩形，俯视图是直径为的半圆，这个几何体的表面积是________． 【答案】 【分析】根据三视图特征得到该几何体为底面半径、高为的半圆柱，进而求出这个几何体的表面积． 【详解】解：由三视图可得，该几何体是底面为半圆的半圆柱， 底面半圆直径为，因此半径；由主视图为边长的正方形，可知半圆柱的高（母线长）， 半圆柱的表面积由三部分组成： 两个半圆形底面：两个半圆可拼接为个完整的圆， 面积：， 曲面侧面积：等于完整圆柱侧面积的一半， 面积：， 轴截面（矩形平面）：即半圆柱的截面，长为圆柱的高，宽为底面直径， 面积：， 总表面积：． 13．（26-27七年级·全国·小升初衔接）下图是用棱长为1厘米的小正方体摆成的物体，现将它靠墙摆放，露在外面的面积是( )平方厘米，如果在它的表面贴上装饰画（靠墙面、地面除外），三个面都有装饰画的小正方体有( )个． 【答案】 27 4 【分析】计算露在外面的面积；每个小正方体的一个面的面积为平方厘米．物体靠墙摆放，我们只需数出正面、右面、上面三个方向的外露面数量． 统计三个面都有装饰画的小正方体“三个面都有装饰画” 意味着小正方体的正面、右面、上面都外露．我们逐层排查即可求解． 【详解】解：正面：可以看到9个小正方形的面． 右面：可以看到9个小正方形的面． 上面：可以看到9个小正方形的面． 总外露面数为个， 因此露在外面的面积为平方厘米． 底层：1个；中层：1个；顶层：2个．个， 因此，共有4个小正方体三个面都有装饰画． 14．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是三棱柱的三视图，在中，，则的长为______． 【答案】5 【分析】此题主要考查了由三视图解决实际问题，根据已知得出是解题关键． 过点E作交于点H．根据三视图的对应情况可得出，中上的高即为的长，进而求出即可． 【详解】解：如图，过点E作交于点H． ， ． 根据左视图可得到． 故答案为：． 15．（2026·湖南·模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的全面积为______． 【答案】 【分析】首先得到此几何体为圆锥，再根据圆锥全面积等于侧面积加底面积求解即可． 【详解】解：根据三视图得，此几何体为圆锥， ∵直径为，母线长为， ∴半径为， ∴这个几何体的全面积为． 16．（2025九年级·全国·专题练习）如图，点O为正方体的中心，点E为面的中心，点F为的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影可能是__________________（填出所有可能的序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查空间几何体的正投影，掌握从不同面观察空间四边形，确定各顶点投影的位置关系是解题的关键． 分别从正方体的不同面观察空间四边形，确定其在各个面上的正投影形状． 【详解】解：从正面投影：的投影形成的图形与①相符； 从侧面投影：的投影形成的图形与②相符； 从上面投影：的投影形成的图形与③相符； 图形④的形状不符合空间四边形在任何面上的正投影． 故答案为：①②③． 17．（2019七年级上·全国·专题练习）一个几何体的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最多有m个小正方体组成，最少有n个小正方体组成，m+n＝_____． 【答案】16 【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看所得到的图形． 【详解】易得第一层有4个正方体，第二层最多有3个正方体，最少有2个正方体，第三层最多有2个正方体，最少有1个正方体， m＝4＋3＋2＝9，n＝4＋2＋1＝7， 所以m＋n＝9＋7＝16． 故答案为：16． 【点睛】此题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 三、解答题 18．（25-26九年级上·山东威海·期末）一个几何体的三视图如图所示（单位：），求该几何体的表面积． 【答案】该几何体的表面积是 【分析】先通过三视图得出几何体是一个圆柱上半部分切除半圆柱，分别算出侧面积和以及底面积和，然后两者相加即可． 【详解】解：． ， ， 所以，该几何体的表面积是． 19．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）（1）如图①是一个组合几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名称； （2）根据两种视图中尺寸（ 单位：），计算这个组合几何体的表面积．（ π取3.14） 【答案】（1）主，俯；（2） 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，以及几何体的表面积，关键是掌握三视图所看的位置． （1）找到从正面和上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中． （2）根据题目所给尺寸，计算出下面长方体表面积+上面圆柱的侧面积． 【详解】解：（1）如图所示： （2）表面积 ． 20．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）从棱长为2的正方体的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到如图所示的几何体． (1)请画出该几何体的三视图； (2)计算该几何体的表面积． 【答案】(1) 如图所示为所求： (2)24 【分析】本题考查了画几何体的三视图及几何体表面积的计算． （1）根据题中所给出的几何体正确将正视图、左视图及俯视图画出即可； （2）观察整个几何体发现有3个边长为2的正方形，3个六边形及3个边长为1的小正方形，分别计算其表面积后最终相加即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：该几何体中有3个边长为2的正方形，表面积为， 有3个六边形，其表面积为， 有3个边长为1的小正方形，表面积为， ∴该几何体的表面积为． 21．（2026·广西贵港·三模）石磙是我国传统农耕文明中典型的圆柱形农具（如图1），其在外力拉动下主要用于平整晒谷场、碾压谷物脱粒等．图2为某石磙抽象成的实心均匀圆柱体，其三视图如图3所示．结合以上数据信息，回答下列问题： (1)求该石磙的侧面积和体积；（结果保留） (2)为了在圆柱体石磙的两个底面安装转轴，需要在石磙两底面的中心位置各开凿一个底面半径为的圆柱形孔（开凿深度相等），若开凿圆柱形孔后，石磙的质量不低于原来质量的（石磙材质均匀，密度为），求开凿的圆柱形孔的深度最大值为多少？（质量=密度×体积） 【答案】(1)侧面积为，体积为 (2) 【分析】（1）先认真理解题意，运用空间想象能力得出石磙的底面半径，结合侧面积公式以及体积公式列式计算，即可作答． （2）先算出两个圆柱形孔的质量，然后得到开凿后石磙的质量，又因为石磙的质量不低于原来质量的，列出不等式，解得，即可作答． 【详解】（1）解：由三视图可以得到石磙的底面半径， ； 则体积． （2）解：由（1） 依题意，原石磙的质量 两个圆柱形孔的体积： 则两个圆柱形孔的质量 ∴开凿后石磙的质量， ∵开凿后石磙的质量不低于原来质量的， 则 ， 化简， 解得， 开凿的圆柱形孔的最大深度 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $