专题08解直角三角形精讲学案 (核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

本讲义聚焦解直角三角形核心知识点，从锐角三角比基础出发，梳理可解条件（已知两边或一边一锐角）、三大关系（角互余、勾股定理、边角三角比），结合特殊角函数值，构建从基础计算到实际应用（仰角俯角、坡度坡比）的完整知识支架。 该资料以中考高频题型为导向，通过“读题-画图-构造直角三角形-列式”四步解题模板，培养学生几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维）。常见误区提示（如坡比易混）和分层题型设计，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识（数学语言）。

专题08解直角三角形精讲学案 核心立意 本节课是锐角三角比的综合应用，中考高频大题考点。核心是利用直角三角形三组边角关系求解未知边角；重点掌握仰角俯角、坡度坡比两类实际题型，遇到斜三角形会作高构造直角三角形，将实际情境转化为直角三角形模型解题。 解直角三角形的可解条件 （一）直角三角形除去直角，剩余5个元素：3条边、2个锐角。由已知元素求出全部未知元素，叫做解直角三角形。 （二）可解前提：已知2个元素，至少包含1条边，才可完整求解；仅知道两个锐角，只能确定形状，无法求出边长，三角形不可解。 直角三角形三大基础等量关系 在Rt ABC， C=90，c为斜边 （一）角的关系：两锐角互余 A+B=90；互余三角比：sin A=cos B，cos A=sin B。 （二）边的关系：勾股定理a2+b2=c2 （三）边角三角比关系 1.sin A= 2.cos A= 3.tan A= 特殊角三角函数值（计算必背，直接套用） sin30°=, sin45=, sin60= cos30=, cos45=, cos60= tan30=, tan45=1 ,tan60= 提示：角度不是特殊角，计算结果一般要取近似值。 两类基础解题模板（课内基础题型） （一）已知两条边 1.勾股定理求第三条边； 2.选取三角比求其中一个锐角； 3.利用锐角互余求剩余角。 已知一条边、一个锐角 1.互余关系求出另一锐角； 2.三角比列式计算剩余边长。 实际应用两大必考模型（中考大题核心） 通用解题步骤：读题→画示意图→作高构造直角三角形→标记边角→列式求解； 斜三角形通过作高拆分为直角三角形，公共边是列方程的解题桥梁。 仰角、俯角问题 1.仰角：视线向上，水平线与视线的夹角。 2.俯角：视线向下，水平线与视线的夹角。 3.关键点：角度以水平线为基准，常考双直角共边模型。 坡度、坡比问题 1.坡比（坡度）i：坡面垂直高度h与水平宽度l之比，i==tanα 为坡角。 2.坡角：坡面与水平面的夹角。 3.关键点：坡比本质是坡角的正切值。 1. 仅有两个锐角、没有边长，三角形不可解，无法求线段长度。 2. tan A是对边比邻边，分清对边、邻边、斜边，三角比公式切勿记混。 3. 仰角、俯角是相对于水平线，不是竖直线，画图极易定位错误。 4. 坡比是垂直高度比水平宽度，不是高度比斜边，是高频失分点。 5. 30、60正弦、余弦数值容易记颠倒，造成计算错误。 6. 双直角共边题型，不会利用公共边建立等量关系列方程。 7. 严格按照题干要求保留小数与近似值，不能随意取舍。 题型 考察方向 难度 题型一 解直角三角形的相关计算 ★★ 题型二 解非直角三角形 ★★★ 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 ★★★ 题型四 仰角俯角问题 ★★★ 题型五 方位角问题 ★★★ 题型六 坡度坡比问题 ★★★ 题型七 其他问题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★综合 题型一：解直角三角形的相关计算 解题思路：①确认已知条件，至少要有一条边；②利用锐角互余求角度，勾股定理求边长，借助sin、cos、tan联系边角；③遇到30、45、60直接代入特殊角函数值；④无特殊角按要求取近似值，无需作辅助线。 1．在中，，延长到点，使，连接．若，则___________（结果保留根号）． 2．由于保管不慎，小南正在解的一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在中，，，，求的长”．小南查找了书本提供的答案：，通过计算得知污渍部分的内容是（    ） A． B．1 C． D． 3．如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________． 4．在学习勾股弦图时，小白利用四个全等的四边形拼成正方形，其中，，且．若图中两个正方形的面积差为94，则四边形的对角线长度为（     ） A． B． C． D． 题型二：解非直角三角形 解题思路：①图形没有直角，作高分割成两个直角三角形；②找准两个直角三角形的公共高；③利用公共高建立等式，分别列式计算；④求出其余边角，不要破坏题目已知角。 5．如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则____________________． 6．阅读材料：余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：；；．已知在中，＝2，＝4，＝，则的长为（  ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为______．    8．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 题型三：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 解题思路：①过顶点作水平、竖直垂线；②把原图拆成直角三角形+矩形；③求边长：分段计算再相加；④求面积：分割求和或补全作差，全部回归直角三角形边角关系。 9．如图，将两直角边边长之差为3的四个全等直角三角形分别拼成一个长方形和一个正方形，中间空白部分面积分别记作，，则________． 10．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 11．如图，中，，，，则_____． 12．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 题型四：仰角俯角问题 解题思路：①仰角、俯角基准是水平线；②画出示意图，标注已知角和线段；③识别双直角共边模型；④利用公共高度列方程，求解高度、水平距离，切勿把竖直线当作角度基准。 13．如图，某同学为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度是，测得教学楼的顶部A处的仰角为，则教学楼的高度约是______m．（结果精确到．参考数据：，，） 14．陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 15．甲乙两栋垂直地面的楼房、，工作人员在A处测得C点俯角，测得D点仰角，已知，求的长．参考数据：，，，，， 题型五：方位角问题 解题思路：①方位角以正北、正南为基准，画出十字方向线；②作垂线构造直角三角形；③利用平行线内错角，把方位角转为三角形内角；④用三角比、勾股定理求距离，角度不从正东正西算起。 16．周末，小宇和几个同学相约到清明上河园游玩．他们计划在入口A处集合后，先去位于入口西南方向的景点，然后去位于景点南偏西方向的景点，最后再去景点．他们的游览路线如图所示，已知景点位于景点的正东方向，入口的正南方向，．景点和景点之间的距离约为________m（结果精确到1m，参考数据：） 17．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正北方向，且在的北偏西方向，则河宽（的长）可以表示为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 18．近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） 题型六：坡度坡比问题 解题思路：①牢记坡比i=（为坡角）；②分清竖直边、水平边、坡面斜边；③已知坡比相当于知道坡角的正切；④结合勾股定理求线段长，注意坡比不是高度比斜边。 19．水坝是人类治水的重要工程，类型多样．图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，已知背水坡的坡度i为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（     ） A． B． C． D． 20．某学校准备改善原有户外楼梯的安全性能，已知原楼梯长为6米，坡角的度数为，调整后的楼梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．则楼梯底部A向外延伸的长度为________米．（结果精确到0.1，参考数据：，） 21．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形．，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度（结果精确到，参考数据：） 题型七：其他问题 解题思路：①把实际场景抽象成几何图形；②拆解复杂条件，识别混合模型，必要时多次作辅助线；③找出图形中的公共边；④列方程分步运算，最后还原实际问题作答。 22．快递员往卡车上装载较重的货物时，常常会在车尾斜搭一块木板，将货物沿着木板往上推，这样比直接向上抬起货物省力很多．如图所示，木板与水平面夹角，车尾距地面高米，则木板长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 23．如图1是一台刷脸支付仪，由底柱、水平托板、支撑板和电子器材构成，图2是其上半部分的侧面示意图．电子器材长，支撑板长，水平托板离地面的高度为，，，已知摄像头在点A处，支撑点B是的中点，如图2，则摄像头（点A）离地面的高度h是______（精确到，参考数据：，） 24．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由O位置运动到与底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)若米，求M、N两点的距离．（结果精确到0.1米） 解答题 1．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 2．已知：如图，在中，是边上的高，E为边的中点，，，． (1)求线段的长； (2)计算的值． 3．一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点、、在同一条直线上，测得，，，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆， (1)求的距离； (2)求支撑杆上的到水平地面的距离是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据，，，） 4．如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 5．如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在处测得北偏东方向上距离为海里的处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在处成功拦截不明船只． (1)求及的大小； (2)问不明船只从被发现到被拦截行驶了多少海里？此时海监执法船行驶了多少海里？（最后结果保留整数）（参考数据：，，） 6．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行． (1)求点F到直线的距离（结果保留根号）； (2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的高度（结果精确到0.1米，，）． 7．图1，图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实景图与示意图，此时运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，为头部，且，，三点共线．若滑雪杖长为，，，，求此时运动员头部到斜坡的距离的长度．（精确到）（参考数据：，，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08解直角三角形精讲学案 核心立意 本节课是锐角三角比的综合应用，中考高频大题考点。核心是利用直角三角形三组边角关系求解未知边角；重点掌握仰角俯角、坡度坡比两类实际题型，遇到斜三角形会作高构造直角三角形，将实际情境转化为直角三角形模型解题。 解直角三角形的可解条件 （一）直角三角形除去直角，剩余5个元素：3条边、2个锐角。由已知元素求出全部未知元素，叫做解直角三角形。 （二）可解前提：已知2个元素，至少包含1条边，才可完整求解；仅知道两个锐角，只能确定形状，无法求出边长，三角形不可解。 直角三角形三大基础等量关系 在Rt ABC， C=90，c为斜边 （一）角的关系：两锐角互余 A+B=90；互余三角比：sin A=cos B，cos A=sin B。 （二）边的关系：勾股定理a2+b2=c2 （三）边角三角比关系 1.sin A= 2.cos A= 3.tan A= 特殊角三角函数值（计算必背，直接套用） sin30°=, sin45=, sin60= cos30=, cos45=, cos60= tan30=, tan45=1 ,tan60= 提示：角度不是特殊角，计算结果一般要取近似值。 两类基础解题模板（课内基础题型） （一）已知两条边 1.勾股定理求第三条边； 2.选取三角比求其中一个锐角； 3.利用锐角互余求剩余角。 已知一条边、一个锐角 1.互余关系求出另一锐角； 2.三角比列式计算剩余边长。 实际应用两大必考模型（中考大题核心） 通用解题步骤：读题→画示意图→作高构造直角三角形→标记边角→列式求解； 斜三角形通过作高拆分为直角三角形，公共边是列方程的解题桥梁。 仰角、俯角问题 1.仰角：视线向上，水平线与视线的夹角。 2.俯角：视线向下，水平线与视线的夹角。 3.关键点：角度以水平线为基准，常考双直角共边模型。 坡度、坡比问题 1.坡比（坡度）i：坡面垂直高度h与水平宽度l之比，i==tanα 为坡角。 2.坡角：坡面与水平面的夹角。 3.关键点：坡比本质是坡角的正切值。 1. 仅有两个锐角、没有边长，三角形不可解，无法求线段长度。 2. tan A是对边比邻边，分清对边、邻边、斜边，三角比公式切勿记混。 3. 仰角、俯角是相对于水平线，不是竖直线，画图极易定位错误。 4. 坡比是垂直高度比水平宽度，不是高度比斜边，是高频失分点。 5. 30、60正弦、余弦数值容易记颠倒，造成计算错误。 6. 双直角共边题型，不会利用公共边建立等量关系列方程。 7. 严格按照题干要求保留小数与近似值，不能随意取舍。 题型 考察方向 难度 题型一 解直角三角形的相关计算 ★★ 题型二 解非直角三角形 ★★★ 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 ★★★ 题型四 仰角俯角问题 ★★★ 题型五 方位角问题 ★★★ 题型六 坡度坡比问题 ★★★ 题型七 其他问题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★综合 题型一：解直角三角形的相关计算 解题思路：①确认已知条件，至少要有一条边；②利用锐角互余求角度，勾股定理求边长，借助sin、cos、tan联系边角；③遇到30、45、60直接代入特殊角函数值；④无特殊角按要求取近似值，无需作辅助线。 1．在中，，延长到点，使，连接．若，则___________（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形． 设，在中，利用锐角三角函数可得，再结合，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．由于保管不慎，小南正在解的一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在中，，，，求的长”．小南查找了书本提供的答案：，通过计算得知污渍部分的内容是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】过点C作于H．利用正弦求得，利用余弦求得，求出，然后求得的值． 【详解】解：如图，过点C作于H． ∵， ∴，， ∴， ∴． ∴污渍部分内容为． 3．如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，根据可求得，进而可求得，根据勾股定理即可求得． 【详解】解：在正方形中，， ，， ，即， ， ， 中，． 4．在学习勾股弦图时，小白利用四个全等的四边形拼成正方形，其中，，且．若图中两个正方形的面积差为94，则四边形的对角线长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得到，，根据得到，因此，，．过点D作于点M，过点C作于点N，设，，则，，在中通过解直角三角形得到，．证明四边形是矩形，得到，，在中通过解直角三角形得到，，因此，从而得到，求出．根据得到，求得，因此，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵四个全等的四边形拼成正方形， ∴，， ∵， ∴，即 ∴， ∵两个正方形的面积差为94， ∴， ∴． 过点D作于点M，过点C作于点N，则， 设，，则，， ∵，， ∴， ， ． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， ， ∴， ∵， ∴，解得． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴在中，． 题型二：解非直角三角形 解题思路：①图形没有直角，作高分割成两个直角三角形；②找准两个直角三角形的公共高；③利用公共高建立等式，分别列式计算；④求出其余边角，不要破坏题目已知角。 5．如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则____________________． 【答案】 【分析】过作于，则，求出和的长，再解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，过作于， ∴， ∵小正方形的边长为， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形．理解和掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 6．阅读材料：余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：；；．已知在中，＝2，＝4，＝，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查学生类比迁移思想，直接画出题目中描述的三角形，按照题干中的方程代入已知量解方程即可． 【详解】由题可知，需要画出满足条件的，如下图所示； ∵，； ∴，； ∴在中； ； ∵； ∴； 整理得：； ，（舍）； ∴； 故选．    7．如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为______．    【答案】5 【分析】本题考查了解三角形以及旋转的性质，作垂线构造直角三角形是解题关键． 作，设，则，，根据旋转可得，推出，；设，则，，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示：    ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 8．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 题型三：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 解题思路：①过顶点作水平、竖直垂线；②把原图拆成直角三角形+矩形；③求边长：分段计算再相加；④求面积：分割求和或补全作差，全部回归直角三角形边角关系。 9．如图，将两直角边边长之差为3的四个全等直角三角形分别拼成一个长方形和一个正方形，中间空白部分面积分别记作，，则________． 【答案】9 【分析】本题主要考查不规则图形面积的求法，熟练掌握割补法求不规则图形的面积是解题的关键． 设直角三角形中较短直角边为a，利用割补法分别求出，，进而可得答案． 【详解】解：设直角三角形中较短直角边为a，则较长的直角边为， ，， ， 故答案为：9． 10．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 【答案】A 【分析】根据斜坡BC的坡比为i=5：12和坝高，如图可求出BF的长度，在Rt△BCF中根据勾股定理可求出BC的长度． 【详解】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么， ∵坝高，CF⊥AB， ∴DE=CF=5cm 又斜坡的坡比为 ∴BF=12cm， 在RtBCF中 BC= = =13cm 【点睛】本题考查的直角三角形坡度的问题.解题的关键是理解坡度的定义． 11．如图，中，，，，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 构造直角三角形，过点作于点，利用特殊角的三角函数值求出、的长，进而求出的长，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 在中， ， ， ， ， ， 在中， ． 故答案为：． 12．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出； 【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG=DO， 同理可得：BH=BO， S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH =×AC××（DO+BO） =， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键． 题型四：仰角俯角问题 解题思路：①仰角、俯角基准是水平线；②画出示意图，标注已知角和线段；③识别双直角共边模型；④利用公共高度列方程，求解高度、水平距离，切勿把竖直线当作角度基准。 13．如图，某同学为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度是，测得教学楼的顶部A处的仰角为，则教学楼的高度约是______m．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点D作于点E，解直角三角形得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点D作于点E，如图所示： 根据题意可得：，，， 在中，， 即， ∴， ∴． 14．陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】在中，，在中，，即可求出答案． 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中，， ∴米． 15．甲乙两栋垂直地面的楼房、，工作人员在A处测得C点俯角，测得D点仰角，已知，求的长．参考数据：，，，，， 【答案】 【分析】过点A作于E，由题意易得四边形为矩形，则有，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：过点A作于E，如图所示： ∴， ∴四边形为矩形， ， 在中，，， 在中，，． 题型五：方位角问题 解题思路：①方位角以正北、正南为基准，画出十字方向线；②作垂线构造直角三角形；③利用平行线内错角，把方位角转为三角形内角；④用三角比、勾股定理求距离，角度不从正东正西算起。 16．周末，小宇和几个同学相约到清明上河园游玩．他们计划在入口A处集合后，先去位于入口西南方向的景点，然后去位于景点南偏西方向的景点，最后再去景点．他们的游览路线如图所示，已知景点位于景点的正东方向，入口的正南方向，．景点和景点之间的距离约为________m（结果精确到1m，参考数据：） 【答案】647 【分析】过点分别作、的垂线，垂足分别是，，则四边形是矩形，可得，，由解三角形得，的长度，从而得出的长度，最后求解即可． 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别是，则四边形是矩形， ， ， ， 在，中， ， ， 故景点和景点之间的距离约为m． 故答案为： 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 17．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正北方向，且在的北偏西方向，则河宽（的长）可以表示为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】在中，利用的长，以及的度数，根据三角函数即可求得的长． 【详解】解：根据题意得：在中，， ∴， ∴米． 即河宽为米． 18．近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） 【答案】该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里 【分析】过点作于点，在中，利用三角函数求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，然后根据即可求解． 【详解】解：由题意，得海里，，， 过点作于点， ， 在中，， 在中，， ． 海里， ， 解得海里． 答：该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里． 题型六：坡度坡比问题 解题思路：①牢记坡比i=（为坡角）；②分清竖直边、水平边、坡面斜边；③已知坡比相当于知道坡角的正切；④结合勾股定理求线段长，注意坡比不是高度比斜边。 19．水坝是人类治水的重要工程，类型多样．图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，已知背水坡的坡度i为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据坡度的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：，坡度i为， ， ， ． 20．某学校准备改善原有户外楼梯的安全性能，已知原楼梯长为6米，坡角的度数为，调整后的楼梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．则楼梯底部A向外延伸的长度为________米．（结果精确到0.1，参考数据：，） 【答案】2.3 【分析】先解求出，再解求出，然后根据求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴在中，，， 在中，∵， ∴， ∴， ∴． 21．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形．，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度（结果精确到，参考数据：） 【答案】20.61米 【分析】先利用勾股定理求出，再根据坡度的定义求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解 ∵坡度为， 在，， ， 在中，， ， ， 四边形ABCD为矩形， ， 斜坡的坡度为， ， ， 在中，， 斜坡的长度为20.61米． 题型七：其他问题 解题思路：①把实际场景抽象成几何图形；②拆解复杂条件，识别混合模型，必要时多次作辅助线；③找出图形中的公共边；④列方程分步运算，最后还原实际问题作答。 22．快递员往卡车上装载较重的货物时，常常会在车尾斜搭一块木板，将货物沿着木板往上推，这样比直接向上抬起货物省力很多．如图所示，木板与水平面夹角，车尾距地面高米，则木板长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】首先判断为直角三角形，为直角，这是解题的突破口．根据正弦函数公式，变形即可得到的表达式． 【详解】由题意可知，是直角三角形，， ， 米． 23．如图1是一台刷脸支付仪，由底柱、水平托板、支撑板和电子器材构成，图2是其上半部分的侧面示意图．电子器材长，支撑板长，水平托板离地面的高度为，，，已知摄像头在点A处，支撑点B是的中点，如图2，则摄像头（点A）离地面的高度h是______（精确到，参考数据：，） 【答案】 【分析】过点A、B分别作的垂线，垂足分别为F、G，过点B作于点H，则可求得的长，再证明四边形是矩形，得，，则可求得及，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点A、B分别作的垂线，垂足分别为F、G，过点B作于点H， 在中，， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，点B是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 即摄像头（点A）离地面的高度h是． 24．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由O位置运动到与底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)若米，求M、N两点的距离．（结果精确到0.1米） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点作于点，可得四边形为矩形，利用锐角三角函数即可求出的长； （2）过点作的延长线于点，利用锐角三角函数和勾股定理即可求出M、N两点的距离． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意知，，， 四边形是矩形， 米， 米． ， 米． （2）解：如图，过点作的延长线于点， ， ， ， 米，米， 米， 米． 解答题 1．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 2．已知：如图，在中，是边上的高，E为边的中点，，，． (1)求线段的长； (2)计算的值． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）在中，根据已知条件求出边的长，再由的长，可以求出的长； （2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可得，从而求出的正切值即求出了的值． 【详解】（1）解：是边上的高， 和是直角三角形， 在中，，， ， ． 又， ； （2）解：在中，为斜边的中点， ， ， ． 3．一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点、、在同一条直线上，测得，，，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆， (1)求的距离； (2)求支撑杆上的到水平地面的距离是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据，，，） 【答案】(1)16cm (2)105cm 【分析】（1）根据直角三角形中60°角解直角三角形即可； （2）如图作DG⊥EF，，证明EF=EG+QC+CP，再分别运用解直角三角形求出EG、QC、CP即可． 【详解】（1）∵，，AB=32cm ∴(cm) （2）如图，作DG⊥EF于点G，过点C作，交DG于点Q，交AB于点P， ∵DG⊥EF，AF⊥EF， ∴DG⊥PQ，AF⊥PQ， ∴四边形FPQG是矩形，FG=PQ， ∴(cm)，(cm)， ∵ ∴∠EDG=75°-60°=15° ∴(cm) ∴EF=EG+FG=EG+PQ=EG+CQ+PC=(cm) 故E到地面的距离EF为105cm． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，作辅助线构造相等线段，熟练运用解直角三角形求线段长度是解题关键． 4．如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过作于，过作于，根据斜坡的坡度，得出，设，，由勾股定理可求得，值即可求解，从而得到的长；由题意得，在中，即可求解的长，再根据三个角是直角的四边形是矩形，得到四边形为矩形，从而有，由此可以得到的长． 【详解】解：如图，过作，垂足为,延长交于点． 斜坡的坡度， ． 设，， ， 又， ， ． 由题意得，， ，解得． ，， ， ， , 又， ， 四边形为矩形， , ． 建筑物顶部到的距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角、矩形的判定及性质，解题的关键在于根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解． 5．如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在处测得北偏东方向上距离为海里的处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在处成功拦截不明船只． (1)求及的大小； (2)问不明船只从被发现到被拦截行驶了多少海里？此时海监执法船行驶了多少海里？（最后结果保留整数）（参考数据：，，） 【答案】(1)， (2)不明船只从被发现到被拦截行驶了海里，此时海监执法船行驶了海里 【分析】（1）根据方位角可以求出，根据平行线的性质即可求出； （2）过作，在中，解直角三角形得到与的长，在中，求出的长，由求出的长即可． 【详解】（1）解：如下图所示， ，， ，， ， ； （2）解：如下图所示，过点作， 在中，，，海里， 海里，海里， 在中，，， ，海里， 海里， 海里， 答：不明船只从被发现到被拦截行驶了海里，此时海监执法船行驶了海里． 6．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行． (1)求点F到直线的距离（结果保留根号）； (2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的高度（结果精确到0.1米，，）． 【答案】(1)米 (2)4.3米 【分析】（1）过点作于，依题意知，，；得到四边形是矩形；根据矩形的性质得到；解直角三角形即可得到结论； （2）根据求出，在中，求出米，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：过点作于， 依题意知，，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， (米)， ∴点到地面的距离为米； （2）解：∵斜坡的坡度， ∴中，(米)， ∴米． ∵，， ∴， ∴． 在中，(米)， ∴(米)． 答：宣传牌的高度约为4.3米． 7．图1，图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实景图与示意图，此时运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，为头部，且，，三点共线．若滑雪杖长为，，，，求此时运动员头部到斜坡的距离的长度．（精确到）（参考数据：，，） 【答案】 【分析】由，，推导出，在中求出；再在中求出；由求得最终长度． 【详解】解：， ∴， ∵， ． 在中，，，， ． 在中，，，， ． ， 答：运动员头部到斜坡的距离的长度为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $