专题 13.1 三角形的概念（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦三角形的概念这一核心知识点，系统梳理三角形的定义、基本元素及表示方法，衔接等腰三角形（含等边三角形）的特性，进而按边分类，通过基础题型（如基本概念辨析、三角形个数计数）和综合题型（如规律探究）搭建递进式学习支架。 该资料以知识梳理与题型精析融合为特色，基础题型巩固概念理解培养抽象能力，综合题型（如三角形个数规律探究）发展推理意识，同步检测多样化题目助力学生用数学语言表达。课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升几何直观与应用能力。

专题 13.1 三角形的概念（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】三角形的概念 1 【题型 1】三角形的基本概念 2 【题型 2】三角形的个数 3 【知识点二】等腰三角形 4 【题型 3】利用等腰三角形定义进行判断形状 4 【题型 4】利用等腰三角形定义求值 5 【知识点三】三角形按边的关系分类 5 【题型 5】三角形的分类 5 二.综合培优题型精析 6 【题型 6】三角形个数规律探究 7 三.同步检测 8 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 10 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 11 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】三角形的概念 1、 三角形及相关概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角. 2、构成三角形的基本元素 基本元素 三个顶点 三条边 三个内角 表示方法 点必须用大写字母表示 方法1：线段. ，，. 方法2：顶点所对的边用表示. 图示 三条边（或），三内角，，. 顶点： 3、三角形的表示方法：顶点A、B、C的三角形，记作，读作“三角形” 【要点提示】符号“”代表三角形，其后表示三角形的字母必须用大写字母表示. 【题型 1】三角形的基本概念 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，写出以为角的三角形，写出以为边的三角形． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，在中，所对的边是_____；在中，边所对的角是_____． 【变式3】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，分别是边上的点，连接，，相交于点． （1）的三个顶点是什么?三条边是什么? （2）是哪些三角形的边? 【题型 2】三角形的个数 【例题2】（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点． （1）以为边的三角形有几个？用符号表示； （2）以点为顶点的三角形有几个？用符号表示． 【变式1】（23-24七年级下·重庆铜梁·周测）如图，图中有_______个三角形． 【变式2】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 【变式3】（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）小星想通过多边形分割三角形的活动探究多边形的边数、多边形内点的个数以及分割三角形的个数之间的关系，于是他做了如下操作：在一个n边形内部取m个点，连同n边形的n个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有区域都变成三角形．设分得三角形的个数为y（不计被分割的三角形）． 【问题解决】 （1）如图①，当，时，_____；如图②，当，时，_____； 【问题探究】 （2）当时，直接写出n，m的值，并画出图形； 【拓展延伸】 （3）直接写出y，m，n之间的关系：_____． 【知识点二】等腰三角形 1、 等腰三角形：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角。 2、 等边三角形：三边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形. 【题型 3】利用等腰三角形定义进行判断形状 【例题3】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）已知a，b，c分别为的三边长，若b，c满足，且a为方程的解，请判断的形状，并说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·广东江门·期中）已知a，b，c是的三边长，且，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】（25-26八年级下·山东枣庄·期中）已知，是的两边，且满足，则的形状一定是__________． 【变式3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，点D在BC上，且，图中的等腰三角形有几个？请写出来． 【题型 4】利用等腰三角形定义求值 【例题4】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边长的2倍，那么底边长是多少？ 【变式1】（25-26七年级上·山东东营·期中）已知等腰三角形的一边长为，周长为，则另两边长为（   ） A． ， B． ， C． ， D． ，或， 【变式2】（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）一个等腰三角形的周长是36厘米，一条腰与底边长之比是，这个三角形的底边长是____厘米． 【变式3】（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知等腰三角形的周长为20，若腰长是底边长的2倍，求底边的长． 【知识点三】三角形按边的关系分类 【题型 5】三角形的分类 【例题5】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D在边上，． （1）写出以点C为顶点的三角形； （2）写出以为边的三角形； （3）找出图中的等腰三角形和等边三角形． 二.综合培优题型精析 【题型 6】三角形个数规律探究 【例题6】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【变式1】（23-24七年级上·福建泉州·开学考试）平面上有5个三角形，这些三角形最多将平面划分成（   ）个部分 A．45 B．54 C．62 D．72 【变式2】（2024七年级下·全国·专题练习）根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是（    ） A．6（n-1） ； B．6n； C．6（n+1） ； D．12n； 【变式3】（25-26七年级上·山东济南·期中）通过对现象的观察、分析，从特殊到一般的探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳法．运用归纳法探求如下规律： 在三角形的内部取个点，连同三角形的3个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到三角形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 如图，为了解决这个问题，我们可以从、、等具体简单的情形入手，探索最多可得到三角形个数的变化规律：    统计几种简单的情况如下表： 三角形内点的个数 1 2 3 … 最多三角形的个数 3 5 … （1）________，当三角形的内部取4个点时，最多可以得到________个三角形； （2）观察和比较下面的式子：，，，则下一个式子为______； 分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加________个； 归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到________个三角形； （3）请你尝试用上面的方法探索：在十边形的内部取个点，连同十边形的10个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，顶点C所对的边是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河南安阳·期末）图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 6．（25-26八年级上·甘肃金昌·期中）如图，已知在中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可以画（  ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 7．（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）如图表示三角形的分类，关于A，B两个区域的说法，正确的是（   ） A．A区域是等边三角形，B区域是锐角三角形 B．A区域是锐角三角形，B区域是钝角三角形 C．A区域是等腰三角形，B区域是等边三角形 D．A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形 8．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图， 在中，． 若某个三角形与能拼成一个等腰三角形 （无重叠），则拼成的等腰三角形有（      ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 10．（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，顶点F的对边是______． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）图中以AE为边的三角形有_______个；在中，所对的边是_______，边OB所对的角是_______． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）如图，点在中，写出图中所有三角形：________； （2）如图，的3个内角是________，三条边是________． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）图①中直角三角形共有______个； （2）如图②，已知，，则图中共有______个等腰三角形，______个等边三角形． 14．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）的三边为，且满足关系，则是___________三角形． 15．（25-26八年级上·吉林松原·阶段检测）从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则__________． 16．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如果依次用分别表示图3中内三角形的个数，那么，______________． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·全国·课后作业）请找出图中的三角形，并分别写出这些三角形的边和角． 18．（25-26八年级上·吉林松原·阶段检测）如图，过五个点中任意三点画三角形． （1）以为一边画出一个三角形，其中以为一边可以画出__________个三角形； （2）以为顶点画出一个三角形，其中以为顶点可以画出__________个三角形． 19．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D在边上，． （1）写出以点C为顶点的三角形； （2）写出以为边的三角形； （3）找出图中的等腰三角形和等边三角形． 20．（22-23七年级下·山东·期中）【思路探究】 （1）上学期我们学习了线段，如图1，B，C，D是线段上异于点A，E的三个点，图中共有多少条线段？    （2）本学期我们又学习了角，如图2，从的顶点O引出3条射线，且在的内部，图中共有多少个大于且小于的角？    （3）图3是同学练习写字用的米字格，图3中含有多少个三角形？    【问题解决】 （4）若从的顶点O出发，在的内部引出条射线，则图中共有多少个大于而小于的角？ （5）图4是同学练习写字用的九宫格，图中含有多少个长方形（包括正方形）？                                                             2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 13.1 三角形的概念（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】三角形的概念 1 【题型 1】三角形的基本概念 2 【题型 2】三角形的个数 4 【知识点二】等腰三角形 6 【题型 3】利用等腰三角形定义进行判断形状 7 【题型 4】利用等腰三角形定义求值 8 【知识点三】三角形按边的关系分类 10 【题型 5】三角形的分类 10 二.综合培优题型精析 12 【题型 6】三角形个数规律探究 12 三.同步检测 16 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 16 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 20 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 24 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】三角形的概念 1、 三角形及相关概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角. 2、构成三角形的基本元素 基本元素 三个顶点 三条边 三个内角 表示方法 点必须用大写字母表示 方法1：线段. ，，. 方法2：顶点所对的边用表示. 图示 三条边（或），三内角，，. 顶点： 3、三角形的表示方法：顶点A、B、C的三角形，记作，读作“三角形” 【要点提示】符号“”代表三角形，其后表示三角形的字母必须用大写字母表示. 【题型 1】三角形的基本概念 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，写出以为角的三角形，写出以为边的三角形． 【答案】，；，， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，根据三条线段，两两相交在一起所构成的一个密闭的平面图形叫做三角形得出所有三角形是解题关键．根据图形直接得出所有的三角形进而得出答案． 解：以为角的三角形有，， 以为边的三角形有，，． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，在中，所对的边是_____；在中，边所对的角是_____． 【答案】 / 【分析】本题考查了三角形的有关概念，根据三角形的概念即可求解，正确理解三角形的概念是解题的关键． 解：在中，所对的边是；在中，边所对的角是， 故答案为：；． 【变式3】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，分别是边上的点，连接，，相交于点． （1）的三个顶点是什么?三条边是什么? （2）是哪些三角形的边? 【答案】（1）的三个顶点是点，，，三条边是，，；（2）是，，，的边 【分析】（1）根据三角形的边和顶点解答即可； （2）根据三角形的边解答即可． 解：（1）解：的三个顶点是点，，，三条边是，，； （2）解：是，，，的边． 【点拨】本题考查三角形，解题的关键是掌握三角形的角和边的概念． 【题型 2】三角形的个数 【例题2】（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点． （1）以为边的三角形有几个？用符号表示； （2）以点为顶点的三角形有几个？用符号表示． 【答案】（1）个，；（2）个， 【分析】本题考查认识三角形，熟记三角形的定义是解决问题的关键． （1）根据三角形的定义，由图数出以为边的三角形即可； （2）根据三角形的定义，由图数出以点为顶点的三角形即可． 解：（1）解：以为边的三角形有个， 用符号表示：； （2）解：以点为顶点的三角形个， 用符号表示：． 【变式1】（23-24七年级下·重庆铜梁·周测）如图，图中有_______个三角形． 【答案】6 【分析】直接根据三角形的定义即可得出答案． 解：图中有6个三角形，分别是． 【变式2】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 【答案】 ． 【分析】本题考查了三角形的定义，根据三角形的定义数出三角形的个数，找出以为边的三角形以及以为一个内角的三角形，即可求解． 解：图中的三角形有、、、、、，共个； 以为边的三角形有、、， 以为一个内角的三角形是、、． 故答案为：；；． 【变式3】（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）小星想通过多边形分割三角形的活动探究多边形的边数、多边形内点的个数以及分割三角形的个数之间的关系，于是他做了如下操作：在一个n边形内部取m个点，连同n边形的n个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有区域都变成三角形．设分得三角形的个数为y（不计被分割的三角形）． 【问题解决】 （1）如图①，当，时，_____；如图②，当，时，_____； 【问题探究】 （2）当时，直接写出n，m的值，并画出图形； 【拓展延伸】 （3）直接写出y，m，n之间的关系：_____． 【答案】（1）3，6；（2），，图见详解；（3） 【分析】本题主要考查了图形规律探索，利用数形结合正确找出三角形的个数与n边形内点的个数关系是解题的关键． （1）根据三角形内有1个点时，三角形个数为3；四边形内有2个点时，三角形个数为6； （2）根据四边形内有2个点时，三角形个数为6；四边形内有1个点时，三角形个数为4；得出三角形个数为5时，多边形是三角形，三角形内的点数大于1，验证即可； （3）由（1）（2）中的规律可得n边形的规律． 解：（1）如图①，三角形内有1个点时，三角形个数为3， 即当，时，； 如图②，四边形内有2个点时，三角形个数为6， 即当，时，； 故答案为：3；6； （2）当，时，；当，时，； 故当时，， 当，时，如图，； 综上，，； （3）根据（1）（2）可知当，时，； 当，时，； 当，时，； ， 当，时，； 当，时，； 综上，． 【知识点二】等腰三角形 1、 等腰三角形：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角。 2、 等边三角形：三边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形. 【题型 3】利用等腰三角形定义进行判断形状 【例题3】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）已知a，b，c分别为的三边长，若b，c满足，且a为方程的解，请判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见分析 【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a，b，c的值是解题关键．利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而解方程得出a的值，进而判断出其形状． 解：是等腰三角形，理由如下： 因为， 所以． 所以， 又因为， 所以． 所以是等腰三角形． 【变式1】（25-26八年级上·广东江门·期中）已知a，b，c是的三边长，且，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查绝对值与平方数的非负性、三角形形状的判定，解题的关键是利用非负性求出边的关系． 根据绝对值和平方数的非负性，由已知等式得出，进而判断三角形形状． 解：绝对值和平方数均具有非负性，即， 且，即， ， 由于是的两边长，因此有两边相等，是等腰三角形． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·山东枣庄·期中）已知，是的两边，且满足，则的形状一定是__________． 【答案】等腰三角形 【分析】根据，是的两边可知，进而根据得到，可知的形状一定是等腰三角形． 解：∵，是的两边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的形状一定是等腰三角形． 【变式3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，点D在BC上，且，图中的等腰三角形有几个？请写出来． 【答案】等腰三角形有3个，分别是，， 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键； 由在中，，根据等腰三角形的定义即可得出答案． 解：∵， ∴是等腰三角形； ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等腰三角形， ∴图中的等腰三角形有3个，分别是，，． 【题型 4】利用等腰三角形定义求值 【例题4】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边长的2倍，那么底边长是多少？ 【答案】底边长是． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，设底边长是，则腰长为，依题意列出方程，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：设底边长是，则腰长为，依题意得： ， 解得：， 答：底边长是． 【变式1】（25-26七年级上·山东东营·期中）已知等腰三角形的一边长为，周长为，则另两边长为（   ） A． ， B． ， C． ， D． ，或， 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；首先根据等腰三角形的性质可分为两种情况讨论：当8为腰或者当8为一条腰长． 解：当8是腰时，底边是，即另外两边是8，4，能构成三角形； 当底边是8时，腰长是，即另外两边是6，6，能构成三角形． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）一个等腰三角形的周长是36厘米，一条腰与底边长之比是，这个三角形的底边长是____厘米． 【答案】6 【分析】本题考查了比的应用，设三边长度分别为厘米、厘米、厘米，再根据等腰三角形的周长建立方程求出的值，由此即可得出答案． 解：∵一条腰与底边长之比是， ∴设这个等腰三角形的三边长度分别为厘米、厘米、厘米， 则， 解得， 则这个等腰三角形的底边长是（厘米）， 故答案为：6． 【变式3】（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知等腰三角形的周长为20，若腰长是底边长的2倍，求底边的长． 【答案】底边的长为4 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．根据题意得腰长为x，则底边长为，利用三边之和等于20列出方程求解即可； 解：设腰长为x，则底边长为， ∴ 解得， 则 答：底边的长为4． 【知识点三】三角形按边的关系分类 【题型 5】三角形的分类 【例题5】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】等边三角形有，等腰三角形． 【分析】本题考查了三角形的分类，根据等边三角形和等腰三角形的定义，对各个三角形逐一分析，即可得到答案． 解：∵， ∴等边三角形有，等腰三角形． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 解：根据三角形按边分类情况：等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 分类正确，故选项B正确，符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项C错误，不符合题意； 分类不完整，故选项D错误，不符合题意； 故选：B 【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D在边上，． （1）写出以点C为顶点的三角形； （2）写出以为边的三角形； （3）找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】（1），；（2），；（3）等腰三角形是，；等边三角形是 【分析】本题考查三角形的定义、三角形的分类： （1）根据三角形的定义，找出以点C为顶点的三角形即可； （2）根据三角形的定义，找出以为边的三角形即可； （3）根据题中边长关系，找出有两条边相等的三角形为等腰三角形，三边均相等的三角形为等边三角形． 解：（1）解：以点C为顶点的三角形有，； （2）解：以为边的三角形有，； （3）解：∵， ∴等腰三角形有，， 等边三角形有． 二.综合培优题型精析 【题型 6】三角形个数规律探究 【例题6】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为； 第③个图中三角形的个数为； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑧个图形中三角形的个数为：． 【变式1】（23-24七年级上·福建泉州·开学考试）平面上有5个三角形，这些三角形最多将平面划分成（   ）个部分 A．45 B．54 C．62 D．72 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律，解决本题的关键是逐一增加三角形个数进行判断． 平面被n个三角形最多分成的区域数遵循递推规律，每新增一个三角形，其每条边与之前每个三角形的两条边相交，新增区域数等于交点数． 解：初始状态：平面未被分割时，区域数为1． 第1个三角形：将平面分成2部分，即新增1部分，累计区域数， 第2个三角形：每条边与第1个三角形的两条边相交，产生个交点，新增6部分，累计区域数， 第3个三角形：每条边与前2个三角形的各两条边相交，产生个交点，新增12部分，累计区域数， 第4个三角形：每条边与前3个三角形的各两条边相交，产生个交点，新增18部分，累计区域数， 第5个三角形：每条边与前4个三角形的各两条边相交，产生个交点，新增24部分，累计区域数， 综上，5个三角形最多将平面划分成62个部分， 故选C． 【变式2】（2024七年级下·全国·专题练习）根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是（    ） A．6（n-1） ； B．6n； C．6（n+1） ； D．12n； 【答案】C 【分析】从这三个图中找规律，可以先分别找出每个图形中三角形的个数，再分析三个数字之间的关系，从而得出第n个图形中三角形的个数． 解：图（1）中，三角形的个数是 , 图（2）中，三角形的个数是 , 图（3）中，三角形的个数是 , 第n个图形中三角形的个数是， 故选：C． 【点拨】本题考查了图形的变化规律，利用图形之间的练习，得出数字间的运算规律，从而解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想． 【变式3】（25-26七年级上·山东济南·期中）通过对现象的观察、分析，从特殊到一般的探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳法．运用归纳法探求如下规律： 在三角形的内部取个点，连同三角形的3个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到三角形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 如图，为了解决这个问题，我们可以从、、等具体简单的情形入手，探索最多可得到三角形个数的变化规律：    统计几种简单的情况如下表： 三角形内点的个数 1 2 3 … 最多三角形的个数 3 5 … （1）________，当三角形的内部取4个点时，最多可以得到________个三角形； （2）观察和比较下面的式子：，，，则下一个式子为______； 分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加________个； 归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到________个三角形； （3）请你尝试用上面的方法探索：在十边形的内部取个点，连同十边形的10个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 【答案】（1）7；9；（2）；2；；（3）最多可以得到个三角形 【分析】本题考查了三角形的个数问题，数字规律，图形类规律探索，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先充分理解题意，再调整图形，运用数形结合思想，进行作答即可； （2）先充分理解题意，观察式子特征，进行总结归纳，即可作答． （3）先充分理解题意，模仿（1）（2）的解题过程，且作图分析，进行总结归纳，即可作答． 解：（1）解：依题意，三角形内点的个数，最多三角形的个数是，如图所示： 依题意，三角形内点的个数，最多三角形的个数是7，如图所示： ∴， 同理：三角形内点的个数，最多三角形的个数是9，如图所示： 即当三角形的内部取4个点时，最多可以得到9个三角形； （2）解：观察和比较下面的式子：，，， 则下一个式子为 分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加2个； 归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到个三角形； （3）解：当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， 当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， 当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， …… 依次类推：十边形内点的个数为时，则最多三角形的个数， 即保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到个三角形． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 2．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，顶点C所对的边是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形的识别与有关概念求解． 解：在中，顶点C所对的边是， 故选：B． 3．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的内角的定义判断解得即可． 本题考查了三角形的内角，熟练掌握定义是解题的关键． 解：根据定义，得以为角的三角形是，， 故选：A． 4．（25-26八年级上·河南安阳·期末）图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义，熟练掌握相关知识是关键． 不在同一直线上的三个点可以确定一个三角形，使用列举法即可． 解：如图， 图中三角形为、、、、、共个． 故选：B． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据平方和绝对值的非负性得到，，求出，即可得结论． 解：∵， ，， ， ∴是等边三角形． 6．（25-26八年级上·甘肃金昌·期中）如图，已知在中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可以画（  ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 根据题意画图即可． 解：如图，腰为3的等腰三角形有3种情况， 底为3的有一种情况， 故选：D． 7．（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）如图表示三角形的分类，关于A，B两个区域的说法，正确的是（   ） A．A区域是等边三角形，B区域是锐角三角形 B．A区域是锐角三角形，B区域是钝角三角形 C．A区域是等腰三角形，B区域是等边三角形 D．A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据题意可得B区域是至少有两条边相等的三角形，再结合等边三角形一定是锐角三角形，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形，等边三角形一定是等腰三角形即可得到答案． 解：等边三角形一定是锐角三角形，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形，等边三角形一定是等腰三角形， 根据题意可得，B区域包含A区域，且B区域是至少有两条边相等的三角形， ∴A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形， 故选：D． 8．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图， 在中，． 若某个三角形与能拼成一个等腰三角形 （无重叠），则拼成的等腰三角形有（      ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质．熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 分以为腰，为腰两种情况求解即可． 解：分以为腰，为腰两种情况；如图， ∴拼成的等腰三角形有5种， 故选：B． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的基本构成，掌握角、边的表示是关键，根据图示，写出角、边即可． 解：与的夹角是， ，的公共边是， 故答案为：①，②． 10．（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，顶点F的对边是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，掌握三角形的相关定义是解题的关键． 由的三边分别为，其中与顶点F相邻，与顶点F相对，据此即可解答． 解：由题意得，在中，顶点F的对边是． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）图中以AE为边的三角形有_______个；在中，所对的边是_______，边OB所对的角是_______． 【答案】 2 【分析】本题考查了三角形，掌握三角形的有关概念是解题的关键． 根据三角形的有关概念即可解答． 解：①图中以为边的三角形有共个； ②在中，所对的边是； ③边所对的角是． 故答案为：①；②；③． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）如图，点在中，写出图中所有三角形：________； （2）如图，的3个内角是________，三条边是________． 【答案】 ，，， ，， ，， 解：（1）解：由题意知，图中所有三角形为，，，； （2）的3个内角是，，，三条边是，，. 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）图①中直角三角形共有______个； （2）如图②，已知，，则图中共有______个等腰三角形，______个等边三角形． 【答案】 3 4 1 【分析】本题主要考查三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键； （1）根据直角三角形的定义可进行求解； （2）根据等腰三角形的定义及等边三角形的定义可进行求解． 解：（1）图①中直角三角形共有3个； （2）图②中等腰三角形有，共4个；等边三角形有，共1个； 故答案为3；4；1． 14．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）的三边为，且满足关系，则是___________三角形． 【答案】等腰 【分析】题目主要考查乘法的性质，等腰三角形的定义，熟练掌握是解题关键． 根据乘积为零的性质，至少有一个因子为零，从而得到至少有两边相等，因此三角形为等腰三角形． 解：∵， ∴或或，即或或， ∴至少有两边相等，是等腰三角形， 故答案为：等腰． 15．（25-26八年级上·吉林松原·阶段检测）从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则__________． 【答案】 【分析】本题考查三角形个数问题，在找三角形时，要做到不重不漏．根据三角形的定义，得出所有的三角形，进一步确定可以落在三角形内的个数即可． 解：所有三角形为：共个． 从大小判断，青蛙不能落在中，其它均可，即个． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如果依次用分别表示图3中内三角形的个数，那么，______________． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，三角形的个数问题，是分层有序计数，归纳规律是解题的关键． 根据图形结构灵活选择分层，通过已知数据验证规律的合理性，最终得出答案． 解：， ， 故答案为：． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·全国·课后作业）请找出图中的三角形，并分别写出这些三角形的边和角． 【答案】见分析 【分析】本题考查三角形的知识，掌握三角形的有关概念是解题的关键．三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；三条线段是三角形的边，两条线段构成的角是三角形的内角，据此即可得到答案． 解：图中三角形有：、、、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 18．（25-26八年级上·吉林松原·阶段检测）如图，过五个点中任意三点画三角形． （1）以为一边画出一个三角形，其中以为一边可以画出__________个三角形； （2）以为顶点画出一个三角形，其中以为顶点可以画出__________个三角形． 【答案】（1）3；（2）6 【分析】本题考查了三角形的定义； （1）根据三角形定义，再选择一个点，然后顺次连接即可画出图形； （2）根据三角形的定义，再、、、中任意选择两个点，然后顺次连接即可画出图形． 解：（1）解：其中以为一边可以画出3个三角形为： 故答案为：． （2）其中以为顶点可以画出6个三角形为：， 故答案为：． 19．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D在边上，． （1）写出以点C为顶点的三角形； （2）写出以为边的三角形； （3）找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】（1），；（2），；（3）等腰三角形是，；等边三角形是 【分析】本题考查三角形的定义、三角形的分类： （1）根据三角形的定义，找出以点C为顶点的三角形即可； （2）根据三角形的定义，找出以为边的三角形即可； （3）根据题中边长关系，找出有两条边相等的三角形为等腰三角形，三边均相等的三角形为等边三角形． 解：（1）解：以点C为顶点的三角形有，； （2）解：以为边的三角形有，； （3）解：∵， ∴等腰三角形有，， 等边三角形有． 20．（22-23七年级下·山东·期中）【思路探究】 （1）上学期我们学习了线段，如图1，B，C，D是线段上异于点A，E的三个点，图中共有多少条线段？    （2）本学期我们又学习了角，如图2，从的顶点O引出3条射线，且在的内部，图中共有多少个大于且小于的角？    （3）图3是同学练习写字用的米字格，图3中含有多少个三角形？    【问题解决】 （4）若从的顶点O出发，在的内部引出条射线，则图中共有多少个大于而小于的角？ （5）图4是同学练习写字用的九宫格，图中含有多少个长方形（包括正方形）？                                                             【答案】（1）条；（2）个；（3）个；（4）个；（5）个 【分析】（1）数出线段的条数即可； （2）数出角的个数即可； （3）数出三角形的个数即可； （4）根据角的定义，得到每相邻两条射线组成的角有个，每相隔1条射线的两条射线组成的角有个，，每相隔条射线的两条射线组成的角有2个，每相隔条射线的两条射线组成的角有1个，再进行相加即可； （5）由一个格子组成的长方形有9个；由两个格子组成的长方形的个数有（个）；由3个格子组成的长方形的个数有6个；由4个格子组成的长方形的个数有4个；由6个格子组成的长方形的个数有4个；由9个格子组成的长方形的个数有1个；再进行相加即可． 解：（1）图中的线段有条：． 答：图中共有条线段． （2）图中共有个大于且小于的角： 答：图中共有个大于且小于的角． （3）由一个三角形组成的三角形个数有8个，由两个三角形组成的三角形个数有4个，由四个三角形组成的三角形个数有4个，所以共有：（个）． 答：图3中含有个三角形． （4）若从一个角的顶点出发，在角的内部引出条射线，则大于且小于的角中，每相邻两条射线组成的角有个，每相隔1条射线的两条射线组成的角有个，，每相隔98条射线的两条射线组成的角有2个，每相隔条射线的两条射线组成的角有1个， ∴大于且小于的角共有：（个）； （5）由一个格子组成的长方形有9个；由两个格子组成的长方形的个数有（个）；由3个格子组成的长方形的个数有6个；由4个格子组成的长方形的个数有4个；由6个格子组成的长方形的个数有4个；由9个格子组成的长方形的个数有1个； ∴共有（个）． 【点拨】本题考查了线段、角、三角形、长方形的个数，注意在数个数时要不重不漏． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $