专题 3.4 勾股定理全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学勾股定理全章复习讲义通过知识框架图系统梳理了勾股定理的知识体系，将勾股定理、逆定理、勾股数、二级结论、四大应用模型等要点按照“由形推数-由数判形-综合应用”的逻辑组织，并用对比表格清晰呈现勾股定理与逆定理的条件、结论及推理方向，突出斜边分类讨论、不规则图形面积求解等重难点的内在联系。 讲义的亮点在于“分层递进式”题型设计，基础题型如勾股数判定、数轴构造无理数，帮助学生夯实运算能力；综合题型如分类讨论已知两边求第三边、古代数学问题（赵爽弦图、《九章算术》门高问题），培养推理意识与模型意识。同步检测覆盖不同难度，基础薄弱学生可掌握方法，优秀学生能提升综合能力，教师可实施精准分层教学，提升复习效率。

专题 3.4 勾股定理全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 2 （一）学习目标 2 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】勾股定理（由形推数） 2 【知识点二】勾股定理的逆定理（由数判形） 2 【知识点三】勾股数 3 【知识点四】直角三角形重要二级结论（考试高频） 3 【知识点五】勾股定理全章四大应用模型 3 【知识点六】勾股定理与逆定理对比总结 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】勾股定理直接计算（基础求边） 4 【题型 2】勾股数判定 4 【题型 3】逆定理判定直角三角形 5 【题型 4】数轴构造无理数 5 四.题型精析（综合提升） 6 【题型 5】分类讨论思想（已知两边求第三边） 6 【题型 6】不规则四边形面积求解 7 【题型 7】斜边上高综合计算 8 【题型 8】古代数学与实际应用 8 五.同步检测 9 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 9 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 知识目标：系统掌握勾股定理、勾股定理逆定理的内容、证明与区别；熟记勾股数定义及性质；熟练掌握勾股定理在几何计算、几何证明、实际生活、数轴作图中的全部基础应用。 2. 能力目标：熟练掌握“由形推数、由数判形”的双向推理；能利用方程思想、分类讨论思想解决直角三角形边长问题；能将实际问题抽象为直角三角形模型，具备全章综合解题能力。 3. 素养目标：深化数形结合、转化建模、分类讨论数学思想，构建完整的直角三角形边长体系，提升几何推理、运算求解与综合应用核心素养。 （二）重难点 1. 全章重点：勾股定理与逆定理的理解与应用；勾股数识别；直角三角形边长、面积计算；勾股定理实际应用建模。 2. 全章难点：斜边未知的分类讨论问题；不规则图形面积拆分求解；动态滑动、折叠、垂直平分线综合题型；逆定理几何证明与综合推理。 3. 易错点汇总 （1）未区分直角边与斜边，直接套用公式出错；（2）忽略勾股数必须为正整数；（3）已知两边求第三边未分类讨论；（4）实际问题未舍去不合理负根。 二.知识梳理与解读 【知识点一】勾股定理（由形推数） 1. 定理内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 在 中，，直角边为 ，斜边为 ，则： 2. 变形公式： 3. 适用条件：仅限直角三角形，非直角三角形不可直接使用。 4. 常用证明方法：赵爽弦图、拼图面积法（苏科版课本重点），利用整体面积与局部面积相等化简推导定理。 【知识点二】勾股定理的逆定理（由数判形） 1. 定理内容：若三角形三边长 满足，则该三角形为直角三角形，且 边所对的角为直角。 2. 判定步骤 ① 找出三边中最长边；② 验证较短两边平方和是否等于最长边平方；③ 相等即为直角三角形，不相等则不是。 3. 核心作用：无需测量角度，通过边长数量关系判定直角三角形。 【知识点三】勾股数 1. 定义：满足 的三个正整数，称为一组勾股数。 2. 两大必备条件：① 均为正整数；② 满足平方和关系。 3. 性质：若 为勾股数， 为正整数，则 仍为勾股数。 4. 常见基础勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17 5. 通用构造公式： 正整数， 【知识点四】直角三角形重要二级结论（考试高频） 在 ，， 于 1. 面积法求高： 2. 射影结论： 3. 斜边中线性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。 【知识点五】勾股定理全章四大应用模型 1. 边长计算模型：已知两边求第三边，注意分类讨论斜边情况。 2. 几何判定模型：利用逆定理判定直角、证明垂直。 3. 实际应用模型：折竹、梯子滑动、航海测距、高度测量。 4. 拓展作图模型：利用整数直角边，在数轴上构造无理数 。 【知识点六】勾股定理与逆定理对比总结 名称 条件 结论 推理方向 用途 勾股定理 直角三角形 由形到数 求边长、算面积 逆定理 直角三角形 由数到形 判直角、证垂直 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】勾股定理直接计算（基础求边） 【例题1】（24-25八年级下·江西赣州·阶段检测）在中，，a、b、c分别表示、、的对边． （1）已知，，求a； （2）已知，，求a、c． 【变式1】（24-25八年级下·新疆吐鲁番·阶段检测）已知Rt的三边长分别为a，b，c，且，，，则b的值为（  ） A．1 B．5 C． D． 【变式2】（第01讲勾股定理（2个知识点 6类热点题型讲练 习题巩固）-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学下册同步学与练（人教版））在中，，a，b，c为其三边长． （1）若，，则______；（2）若，，则_______． （3）若，，则_____；（4）若，，则______． 【变式3】（25-26八年级下·新疆伊犁·期中）如图，在中，，，，．求的长． 【题型 2】勾股数判定 【例题2】（【浙教版课时练习】八年级上册2.7探索勾股定理）说出三个互不全等的直角三角形的边长，且要求它们的边长均为正整数． 【变式1】（25-26八年级下·重庆秀山·期末）在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 【变式2】（25-26八年级上·广西贵港·期末）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑥组勾股数为________ 【变式3】（24-25八年级上·福建漳州·期末）小明在学习勾股数组知识后发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个分别可以写成，如，． （1）请你再写出另外一组满足这个规律的勾股数组； （2）判断：满足这个规律的数组都是勾股数组吗？说明理由． 【题型 3】逆定理判定直角三角形 【例题3】（25-26八年级上·四川成都·期中）已知的算术平方根是 （1）求的值． （2）判断以为边长的三角形的形状，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）在如图所示的正方形网格中，和的顶点都在网格线的交点上，则与的和为（    ） A．30° B．40° C．45° D．60° 【变式2】（25-26八年级下·广东广州·期中）在中，，，，则的度数为______． 【变式3】（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的面积； （2）判断线段和的位置关系，并说明理由． 【题型 4】数轴构造无理数 【例题4】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段检测）在如图所示的数轴上画出表示、的点．（不写画法，保留画图痕迹） 【变式1】（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，在数轴上点A 表示的实数是（    ） A．2 B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广西河池·阶段检测）如图，数轴上点A表示的实数是______． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． （1）甲同学所做的点表示的数是_______； （2）仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点． 四.题型精析（综合提升） 【题型 5】分类讨论思想（已知两边求第三边） 【例题5】（24-25八年级下·广西河池·期中）已知直角三角形的两边长m，n满足，若设该直角三角形的第三边长为x，求x的值． 【变式1】（25-26八年级下·陕西延安·阶段检测）已知一个直角三角形的两边长分别为4和3，则第三边长为（   ） A．25 B．或5 C．5 D． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）已知直角三角形两边长为1和，则此直角三角形斜边上的中线长是__________． 【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知△ABC三条边的长分别为a、b、c． （1）若，当△ABC为等腰三角形，求△ABC的周长； （2）若（1）中所得的a、b是Rt△ABC的两条边长，求第三边长c的值． 【题型 6】不规则四边形面积求解 【例题6】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中的度数应为．连接，现测得，，，，．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即的度数是否为）． 【变式1】（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（   ） A．108 B．114 C．122 D．158 【变式2】（25-26八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，，，，，，则阴影部分图形的面积为_________． 【变式3】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在四边形中，，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【题型 7】斜边上高综合计算 【例题7】（23-24八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，四边形中，已知，，，，，且，求的边上的高． 【变式1】（23-24八年级上·广东佛山·阶段检测）一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形最长边上的高为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知三角形的三边分别为，则最长边上的高等于________． 【变式3】（24-25八年级下·云南曲靖·期末）如图，在中，是边上的高，若，，，求的长． 【题型 8】古代数学与实际应用 【例题8】（23-24九年级上·吉林延边·期末）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图①），赵州桥是我国古代石拱桥的代表，图②是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，，为半径，半径，垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）． （1）直接写出与的数量关系； （2）求这座石拱桥主桥拱的半径． 【变式1】（25-26八年级下·湖北随州·期末）在《天工开物》这部古代科学技术著作中，描述了多种工具和机械的制作与应用，其中有一种古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具，如图，这种工具的形状类似于一个直角三角形，若书中所描述的“矩尺”的一条较短的直角边长为尺，斜边比较长的直角边多尺，则“矩尺”的较长的直角边的长为（     ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【变式2】（25-26八年级上·福建宁德·阶段检测）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是______． 【变式3】（25-26八年级下·全国·周测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为13，求小正方形的边长． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·广东广州·期末）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 2．（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）《九章算术》中卷九“勾股”有一个问题：“今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”意思是有一扇门，不知道它的高度和宽度；有一根竹竿，不知道它的长度．将竹竿横着放，比门宽长出尺；竖着放，比门高长出尺；斜着放，恰好能与门的对角线重合，求门的高度、宽度和对角线的长度？设门的对角线长度为尺，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东聊城·开学考试）下面四组数，其中是勾股数组的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，点D在上，点E在上，将沿直线翻折，点A的对称点落在上，若，则的长是（    ）． A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·山东济宁·期中）如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙角线的距离为，则梯子顶端的高度h为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，某小区为加固围墙，将一根木质立柱垂直立在地面，立柱在离地面的处发生弯折，弯折后的立柱顶端恰好落在距离立柱底部点的位置处，则这根木质立柱原本的总高度为 A． B．7 C．5 D．4 8．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行海里到达处，此时与灯塔的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 9．（24-25八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，将一个有角的直角三角板的直角顶点C放在一张宽为的纸带边沿上，另一个顶点B落在纸带的另一边沿上，测得，则直角三角板的斜边的长为（     ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，，平分交于点D，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线，交于点P，则的长为（     ） A．1 B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·北京西城·期末）如图，在中，，D是的中点．若，，则的长为________． 12．（25-26八年级下·福建福州·期末）若一个等边三角形的边长为，面积为，则关于的函数关系式为__________． 13．（2026·河南周口·一模）三国时期数学家赵爽创制“赵爽弦图”，由四个全等直角三角形与小正方形拼成大正方形，若直角三角形短直角边为2，长直角边为4，则空白部分的小正方形的面积为_____． 14．（25-26八年级下·福建莆田·期中）已知的三边长分别为a、b、c，且，则的面积为___． 15．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 16．（2026·陕西商洛·三模）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，经过一次平移后得到，点B的对应点的位置如图所示，则平移距离为________． 17．（24-25八年级下·甘肃金昌·期中）如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足A距离底端．如果梯子的顶端B下滑，那么梯足将滑动________． 18．（2024·四川自贡·三模）如图，中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；…按此规律继续旋转，直到点为止，则等于_________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24八年级上·陕西西安·阶段检测）在如图所示的数轴上作出所对应的点（不要求写作法，保留作图痕迹）．    20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·新疆昌吉·期中）学校操场角落有一块直角三角形空地，两条互相垂直的地面边长分别为12米和16米，学校计划在空地边缘铺设防护围栏． （1）计算该直角三角形空地斜边的边长； （2）计算完整铺设整块空地外围围栏的总长度． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·陕西汉中·阶段检测）勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形（两条直角边长分别为，，且，斜边为）拼成一个边长为的正方形（如图），直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”． （1）请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理． （2）若，，求中间小正方形（阴影部分）的面积． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江西南昌·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． （1）求初始状态下细绳的总长度； （2）如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广东广州·期末）如图是某公园的局部平面图，四边形为草坪，已知米，米，米，米，． （1）为了让市民去点看桃花更方便，公园管理处决定从正门点处修一条笔直小路通往点处，求小路的长度； （2）求四边形草坪的面积． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·云南玉溪·期末）在物理实验课上，老师准备了一套单摆装置，细绳上端固定点被保护壳遮挡，无法直接用刻度尺测量细绳长度． 小华在实验过程中观察到，单摆在往复摆动时细绳长度始终保持不变，据此他打算利用数学知识构造直角三角形，借助勾股定理计算出细绳的实际长度． 【实践发现】 （1）结合实际测量数据，构建出如图所示的几何图形．细绳上端固定点为点，将小球拉至一侧合适位置，使细绳始终保持拉直状态，标记此时小球位置为点，小球自然下垂的静止位置记为点，过点作，垂足为点（图中的，，，在同一平面内）．通过测量得到以下数据：小球静止点与垂足之间的距离；小球在点时，到竖直直线的垂直距离．设细绳的长度，则线段__________．（用含的代数式表示） 【问题解决】 （2）请结合上述建模过程，利用勾股定理列方程，求出细绳的长度． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.4 勾股定理全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 2 （一）学习目标 2 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】勾股定理（由形推数） 2 【知识点二】勾股定理的逆定理（由数判形） 2 【知识点三】勾股数 3 【知识点四】直角三角形重要二级结论（考试高频） 3 【知识点五】勾股定理全章四大应用模型 3 【知识点六】勾股定理与逆定理对比总结 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】勾股定理直接计算（基础求边） 4 【题型 2】勾股数判定 5 【题型 3】逆定理判定直角三角形 7 【题型 4】数轴构造无理数 10 四.题型精析（综合提升） 12 【题型 5】分类讨论思想（已知两边求第三边） 12 【题型 6】不规则四边形面积求解 14 【题型 7】斜边上高综合计算 17 【题型 8】古代数学与实际应用 19 五.同步检测 22 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 22 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 28 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 32 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 知识目标：系统掌握勾股定理、勾股定理逆定理的内容、证明与区别；熟记勾股数定义及性质；熟练掌握勾股定理在几何计算、几何证明、实际生活、数轴作图中的全部基础应用。 2. 能力目标：熟练掌握“由形推数、由数判形”的双向推理；能利用方程思想、分类讨论思想解决直角三角形边长问题；能将实际问题抽象为直角三角形模型，具备全章综合解题能力。 3. 素养目标：深化数形结合、转化建模、分类讨论数学思想，构建完整的直角三角形边长体系，提升几何推理、运算求解与综合应用核心素养。 （二）重难点 1. 全章重点：勾股定理与逆定理的理解与应用；勾股数识别；直角三角形边长、面积计算；勾股定理实际应用建模。 2. 全章难点：斜边未知的分类讨论问题；不规则图形面积拆分求解；动态滑动、折叠、垂直平分线综合题型；逆定理几何证明与综合推理。 3. 易错点汇总 （1）未区分直角边与斜边，直接套用公式出错；（2）忽略勾股数必须为正整数；（3）已知两边求第三边未分类讨论；（4）实际问题未舍去不合理负根。 二.知识梳理与解读 【知识点一】勾股定理（由形推数） 1. 定理内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 在 中，，直角边为 ，斜边为 ，则： 2. 变形公式： 3. 适用条件：仅限直角三角形，非直角三角形不可直接使用。 4. 常用证明方法：赵爽弦图、拼图面积法（苏科版课本重点），利用整体面积与局部面积相等化简推导定理。 【知识点二】勾股定理的逆定理（由数判形） 1. 定理内容：若三角形三边长 满足，则该三角形为直角三角形，且 边所对的角为直角。 2. 判定步骤 ① 找出三边中最长边；② 验证较短两边平方和是否等于最长边平方；③ 相等即为直角三角形，不相等则不是。 3. 核心作用：无需测量角度，通过边长数量关系判定直角三角形。 【知识点三】勾股数 1. 定义：满足 的三个正整数，称为一组勾股数。 2. 两大必备条件：① 均为正整数；② 满足平方和关系。 3. 性质：若 为勾股数， 为正整数，则 仍为勾股数。 4. 常见基础勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17 5. 通用构造公式： 正整数， 【知识点四】直角三角形重要二级结论（考试高频） 在 ，， 于 1. 面积法求高： 2. 射影结论： 3. 斜边中线性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。 【知识点五】勾股定理全章四大应用模型 1. 边长计算模型：已知两边求第三边，注意分类讨论斜边情况。 2. 几何判定模型：利用逆定理判定直角、证明垂直。 3. 实际应用模型：折竹、梯子滑动、航海测距、高度测量。 4. 拓展作图模型：利用整数直角边，在数轴上构造无理数 。 【知识点六】勾股定理与逆定理对比总结 名称 条件 结论 推理方向 用途 勾股定理 直角三角形 由形到数 求边长、算面积 逆定理 直角三角形 由数到形 判直角、证垂直 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】勾股定理直接计算（基础求边） 【例题1】（24-25八年级下·江西赣州·阶段检测）在中，，a、b、c分别表示、、的对边． （1）已知，，求a； （2）已知，，求a、c． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了勾股定理，含直角三角形的性质； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）先根据含直角三角形的性质求出，再利用勾股定理计算即可． （1）解：∵在中，， ∴； （2）∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·新疆吐鲁番·阶段检测）已知Rt的三边长分别为a，b，c，且，，，则b的值为（  ） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的简单计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，列出式子，求解即可得到答案． 解：∵Rt中， ∴c为斜边， ∴， 故选：C． 【变式2】（第01讲勾股定理（2个知识点 6类热点题型讲练 习题巩固）-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学下册同步学与练（人教版））在中，，a，b，c为其三边长． （1）若，，则______；（2）若，，则_______． （3）若，，则_____；（4）若，，则______． 【答案】 5 12 6 12 【分析】本题考查了勾股定理，在直角三角形中，已知三条边中的两条边长，都可利用公股定理求得第三条边长． 解：（1）斜边； （2）直角边； （3）直角边； （4）， ， ， 解得（负值已舍）． 故答案为：5，12，6，12． 【变式3】（25-26八年级下·新疆伊犁·期中）如图，在中，，，，．求的长． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 【题型 2】勾股数判定 【例题2】（【浙教版课时练习】八年级上册2.7探索勾股定理）说出三个互不全等的直角三角形的边长，且要求它们的边长均为正整数． 【答案】3，4，5；5，12，13；7，24，25（答案不唯一） 【分析】根据勾股数、勾股定理及其逆定理求解即可． 解：∵，，， ∴三个直角三角形的三边长分别为：3，4，5；5，12，13；7，24，25，且这三个三角形的三边长都不相等，也不会全等，符合题意． 【点拨】题目主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股数及勾股定理的逆定理是解题关键． 【变式1】（25-26八年级下·重庆秀山·期末）在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 【答案】C 【分析】四个选项中的数均为正整数，只需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方. 解：A. ，不是勾股数. B. ，不是勾股数. C. ，是勾股数. D. ，不是勾股数. 【变式2】（25-26八年级上·广西贵港·期末）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑥组勾股数为________ 【答案】13，84，85 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察勾股数序列，每组第一个数为奇数，且第n组第一个数为；设第二个数为x，第三个数为，根据勾股定理列方程求解． 解：由题意得，第⑥组第一个数为，设第二个数为x，则第三个数为， 由勾股定理得， 解得，则， 故第⑥组勾股数为13,84,85． 故答案为：13，84，85． 【变式3】（24-25八年级上·福建漳州·期末）小明在学习勾股数组知识后发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个分别可以写成，如，． （1）请你再写出另外一组满足这个规律的勾股数组； （2）判断：满足这个规律的数组都是勾股数组吗？说明理由． 【答案】（1）5，12，13；（2）满足这个规律的数组都是勾股数组． 理由：， ， ． 是勾股数． 【分析】（1）确定一组正整数且满足勾股定理的逆定理，并且满足，的形式即可； （2）证明即可得到结论． （1）解：∵， 且，，， ∴，，是符合规律的一组勾股数； （2）略 【点拨】本题考查的是勾股定理的逆定理的含义，勾股数的含义，熟记勾股定理的逆定理以及勾股数的含义是解本题的关键． 【题型 3】逆定理判定直角三角形 【例题3】（25-26八年级上·四川成都·期中）已知的算术平方根是 （1）求的值． （2）判断以为边长的三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）, , ；（2）直角三角形 【分析】本题考查了偶次方、绝对值、算术平方根的非负性，勾股定理逆定理，根据题意得出a、b、c的值是解本题的关键． （1）根据偶次方的非负性，绝对值的非负性，算术平方根的非负性得出a、b、c的值即可； （2）根据勾股定理逆定理即可得出答案． （1）解：∵的算术平方根是， ∴， 解得：． （2）解：以为边长的三角形是直角三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴以为边长的三角形是直角三角形． 【变式1】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）在如图所示的正方形网格中，和的顶点都在网格线的交点上，则与的和为（    ） A．30° B．40° C．45° D．60° 【答案】C 【分析】连，可得是等腰直角三角形，过点C作，则有，即，，解题即可． 解：连，过点C作， 则， ∴，， 由网格可知：，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选C． 【点拨】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级下·广东广州·期中）在中，，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】可证明，则由勾股定理逆定理即可求解的度数． 解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴ 【变式3】（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的面积； （2）判断线段和的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）17.5；（2）解：， 理由：如图，连接，   ，，， ， 是直角三角形且， 即． 【分析】本题考查了四边形的面积，三角形的面积，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据四边形的面积等于长方形的面积减去四个直角三角形的面积和一个小长方形的面积计算即可； （2）根据勾股定理的逆定理判断即可． （1）解：四边形的面积为： ； （2）略 【题型 4】数轴构造无理数 【例题4】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段检测）在如图所示的数轴上画出表示、的点．（不写画法，保留画图痕迹） 【答案】如图所示． 【分析】根据勾股定理，在数轴上构造直角边为2和，构造直角边为2和，利用画弧截取的方式得出答案． 解：略 【点拨】本题考查数轴表示数的意义和方法，利用勾股定理构造直角三角形是解决问题的关键． 【变式1】（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，在数轴上点A 表示的实数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 解：如图，由勾股定理得 ∴在数轴上点A 表示的实数是． 【变式2】（24-25八年级下·广西河池·阶段检测）如图，数轴上点A表示的实数是______． 【答案】/ 【分析】由图可知直角三角形的斜边长为，则点A表示的数可确定． 解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为， ∴点A表示的数为． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． （1）甲同学所做的点表示的数是_______； （2）仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点． 【答案】（1）；（2）点表示的数是． 【分析】本题主要考查了勾股定理、用数轴上的点表示无理数． （1）根据勾股定理可得，可知，所以点表示的数是； （2）构造，使，，，根据勾股定理可得，所以点表示的数是． （1）解：在中，，，， ， ， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：如下图所示，在中，，，， ， 四.题型精析（综合提升） 【题型 5】分类讨论思想（已知两边求第三边） 【例题5】（24-25八年级下·广西河池·期中）已知直角三角形的两边长m，n满足，若设该直角三角形的第三边长为x，求x的值． 【答案】或4 【分析】先根据算术平方根及偶次方的非负性求得，，进而利用勾股定理即可得解。 解：∵， ∴， ∴，， ∴， 当m，n均为直角边时， 当斜边为5时， 【点拨】本题主要考查了算术平方根及偶次方的非负性以及勾股定理，熟练掌握算术平方根及偶次方的非负性是解题的关键。 【变式1】（25-26八年级下·陕西延安·阶段检测）已知一个直角三角形的两边长分别为4和3，则第三边长为（   ） A．25 B．或5 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题未明确给出的两边中哪条是斜边，因此需要分两种情况讨论，利用勾股定理计算第三边长即可． 解：∵直角三角形的两边长分别为4和3，未明确哪条边是斜边，∴分两种情况讨论： ① 当4为斜边，3为直角边时，由勾股定理得，第三边长为； ② 当3和4都为直角边时，由勾股定理得，第三边长为； 因此第三边长为或5． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）已知直角三角形两边长为1和，则此直角三角形斜边上的中线长是__________． 【答案】或1/1或 【分析】本题需分类讨论，分已知两边均为直角边和较长边为斜边两种情况，利用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 解：分两种情况讨论： 情况1：当和均为直角边时， 由勾股定理得，斜边长为， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 斜边上的中线长为； 情况2：当为斜边，为直角边时， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 斜边上的中线长为． 综上所述，此直角三角形斜边上的中线长是或． 【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知△ABC三条边的长分别为a、b、c． （1）若，当△ABC为等腰三角形，求△ABC的周长； （2）若（1）中所得的a、b是Rt△ABC的两条边长，求第三边长c的值． 【答案】（1）周长为10；（2）或 【分析】（1）根据非负数的意义列出关于、的方程并求出、的值，再根据是腰长和底边长两种情况讨论求解； （2）要分情况进行讨论，两边长分别为2和4，4可能是直角边也可能为斜边，再根据勾股定理计算出第三边长即可． 解：（1）， ，， 解得：，， ①若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、4， 不能组成三角形； ②若2是底边长，则三角形的三边长为：2、4、4， 能组成三角形， 则的周长为； （2） a、b是Rt△ABC的两条边长分别为2、4， 4可能是直角边也可能为斜边， 当4为直角边时，斜边长为， 当4为斜边时，另一直角边为：， 故或． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系、勾股定理，解题的关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断． 【题型 6】不规则四边形面积求解 【例题6】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中的度数应为．连接，现测得，，，，．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即的度数是否为）． 【答案】符合标准，理由如下： ，，， 在中，由勾股定理，得， 在中，， ， 该零件符合标准． 【分析】由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明，即可得出结论． 解：略 【变式1】（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（   ） A．108 B．114 C．122 D．158 【答案】B 【分析】连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 解：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴四边形的面积． 【变式2】（25-26八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，，，，，，则阴影部分图形的面积为_________． 【答案】24 【分析】先用勾股定理解求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，进而即可求解． 解：中，，，， ， ，， ， 是直角三角形， 阴影部分图形的面积． 【变式3】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在四边形中，，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据勾股定理进行解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理求出．再根据即可求出答案． （1）解：在中，，，． ． （2）解：在中，，，， ，． ． ． ． 【题型 7】斜边上高综合计算 【例题7】（23-24八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，四边形中，已知，，，，，且，求的边上的高． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 先根据勾股定理求出，，进而得出，再根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，最后根据，即可解答． 解：， ， 在中， 由勾股定理，得． 同理：在中 由勾股定理得：． ． 在中，由，，， 得：． 是直角三角形， 设的边上的高为， 则， 即． ． 【变式1】（23-24八年级上·广东佛山·阶段检测）一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形最长边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理逆定理可判定该三角形为直角三角形，则可利用等面积法求斜边上的高． 解：， 该三角形为直角三角形，且斜边为． 设斜边上的高为， 则该三角形的面积， 解得． 故选：A． 【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知三角形的三边分别为，则最长边上的高等于________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形等面积公式的运用，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据题干条件和勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，再利用等面积公式即可求出答案； 解：设三角形的最长边上的高的长度是h， 三角形的三边分别为， ∴， ∴三角形是直角三角形（斜边长是）， ∵， ∴解得， ∴最长边上的高等于； 故答案为：； 【变式3】（24-25八年级下·云南曲靖·期末）如图，在中，是边上的高，若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理可推出，然后根据三角形的面积公式可求得的长度，最后在中利用勾股定理即可求得． 解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴中，， ∴的长为． 【题型 8】古代数学与实际应用 【例题8】（23-24九年级上·吉林延边·期末）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图①），赵州桥是我国古代石拱桥的代表，图②是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，，为半径，半径，垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）． （1）直接写出与的数量关系； （2）求这座石拱桥主桥拱的半径． 【答案】（1）；（2）这座石拱桥主桥拱半径约为 【分析】此题考查垂径定理和勾股定理，是重要考点，根据题意利用勾股定理列出方程是解题关键． （1）根据垂径定理即可得出结论； （2）设主桥拱半径为，在中，根据勾股定理列出方程，即可得出答案． （1）解：∵半径， ∴． （2）解:设主桥拱半径为， ∵，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 因此，这座石拱桥主桥拱半径约为． 【变式1】（25-26八年级下·湖北随州·期末）在《天工开物》这部古代科学技术著作中，描述了多种工具和机械的制作与应用，其中有一种古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具，如图，这种工具的形状类似于一个直角三角形，若书中所描述的“矩尺”的一条较短的直角边长为尺，斜边比较长的直角边多尺，则“矩尺”的较长的直角边的长为（     ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【分析】设较长的直角边长为尺，则斜边长为尺，根据勾股定理列方程求解． 解：设较长的直角边长为尺，则斜边长为尺， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：， “矩尺”的较长的直角边的长为尺． 【变式2】（25-26八年级上·福建宁德·阶段检测）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，由题意得，所以，，则，，同理可得，再通过勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 解：如图， 由题意得，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·周测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为13，求小正方形的边长． 【答案】小正方形的边长为 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键． 观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积4个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案． 解：由题意可知中间小正方形的边长为，每一个直角三角形的面积为， ，即， ． ， ， ． （负值舍去），即小正方形的边长为． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·广东广州·期末）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，已知直角三角形的两条直角边长，直接利用勾股定理计算斜边长即可． 解：在中，，为斜边， 根据勾股定理得， ∵，， ∴， ∵边长为正数， ∴． 2．（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理可求出，进而求出正方形的面积． 解：在中，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）《九章算术》中卷九“勾股”有一个问题：“今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”意思是有一扇门，不知道它的高度和宽度；有一根竹竿，不知道它的长度．将竹竿横着放，比门宽长出尺；竖着放，比门高长出尺；斜着放，恰好能与门的对角线重合，求门的高度、宽度和对角线的长度？设门的对角线长度为尺，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设门的对角线长度为尺，则竹竿的长度为尺，表示出门宽、门高后，由勾股定理列方程即可． 解：设门的对角线长度为尺，则竹竿的长度为尺， 将竹竿横着放，比门宽长出尺；竖着放，比门高长出尺， 门宽尺；竖着放，门高尺， 则由勾股定理可得． 4．（24-25八年级上·山东聊城·开学考试）下面四组数，其中是勾股数组的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数称为勾股数，逐一验证选项即可． 解：对选项A：，且3，4，5都是正整数，∴A符合题意； 对选项B：0.3，0.4，0.5都不是整数，∴B不符合勾股数定义，不符合题意； 对选项C：，，，∴C不符合题意； 对选项D：，，，∴D不符合题意． 5．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，点D在上，点E在上，将沿直线翻折，点A的对称点落在上，若，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠性质得，由勾股定理得，即可求解． 解：，， ， 由折叠得， ， ． 6．（25-26八年级下·山东济宁·期中）如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙角线的距离为，则梯子顶端的高度h为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理解答即可． 解：根据勾股定理，得， 即， 所以梯子顶端的高度h为． 7．（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，某小区为加固围墙，将一根木质立柱垂直立在地面，立柱在离地面的处发生弯折，弯折后的立柱顶端恰好落在距离立柱底部点的位置处，则这根木质立柱原本的总高度为 A． B．7 C．5 D．4 【答案】A 【分析】根据勾股定理，得到,结合这根木质立柱原本的总高度为求解即可； 解：根据勾股定理，得到， 故木质立柱原本的总高度为； 8．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行海里到达处，此时与灯塔的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用．先求得，再利用勾股定理即可求解． 解：如图，过点作交于， 根据题意得，，海里，海里， ， 在中，根据勾股定理得， （海里）， 故此时与灯塔的距离为海里． 故选：B． 9．（24-25八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，将一个有角的直角三角板的直角顶点C放在一张宽为的纸带边沿上，另一个顶点B落在纸带的另一边沿上，测得，则直角三角板的斜边的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过C作于H，先根据含30度角的直角三角形的性质求得，再根据勾股定理求解即可． 解：过C作于H，则， 由题意，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 10．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，，平分交于点D，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线，交于点P，则的长为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可以得到既是高线又是中线，进而可得到，的长度，然后由垂直平分线的性质得到，最后在中通过勾股定理求得的长． 解：连接，如图所示： 由题可得为等腰三角形，，，为的垂直平分线， ∵平分， ∴且D点为的中点， ∴，， 设，则， 在中，， 解得：， 即． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·北京西城·期末）如图，在中，，D是的中点．若，，则的长为________． 【答案】6 解：∵在中，，D是的中点， ∴， ∴． 12．（25-26八年级下·福建福州·期末）若一个等边三角形的边长为，面积为，则关于的函数关系式为__________． 【答案】/ 【分析】先利用等边三角形三线合一的性质得到底边一半的长度，再利用勾股定理求出边上的高，最后代入三角形面积公式得到关于的函数关系式． 解：如图：过点作于点， 是边长为的等边三角形， ， 由勾股定理得：， 根据三角形面积公式得： ． 13．（2026·河南周口·一模）三国时期数学家赵爽创制“赵爽弦图”，由四个全等直角三角形与小正方形拼成大正方形，若直角三角形短直角边为2，长直角边为4，则空白部分的小正方形的面积为_____． 【答案】4 【分析】理解“赵爽弦图”，结合小正方形的面积等于边长乘边长进行列式计算，即可作答． 解：如图所示： 依题意，， 则 ∴空白部分的小正方形的面积为． 14．（25-26八年级下·福建莆田·期中）已知的三边长分别为a、b、c，且，则的面积为___． 【答案】30 【分析】根据非负数的性质求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，最后根据三角形面积公式计算面积即可． 解：，，，且， ，，， 解得，，． ，， ， 根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，直角边为和， 的面积为． 15．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，由作图可知，，再结合等面积法求解即可． 解：在中，，，， ， 是直角三角形，， 由作图可知，， ， ． 16．（2026·陕西商洛·三模）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，经过一次平移后得到，点B的对应点的位置如图所示，则平移距离为________． 【答案】 【分析】在网格中以为斜边构建直角三角形，利用勾股定理即可求解． 解：如图，以为斜边构建直角三角形， 平移距离． 17．（24-25八年级下·甘肃金昌·期中）如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足A距离底端．如果梯子的顶端B下滑，那么梯足将滑动________． 【答案】2 【分析】先由勾股定理求解，即可得到，根据梯子的长度不变，再由勾股定理求解，即可求解． 解：在中，，， ∴由勾股定理得 梯子顶端下滑至 在中，，， 由勾股定理得 ． 18．（2024·四川自贡·三模）如图，中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；…按此规律继续旋转，直到点为止，则等于_________． 【答案】 【分析】根据含角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，可得每旋转一次，的长度依次增加，，，且三次一循环，进而可得出答案． 解：∵，，， ∴，， ∴，，， ∴按此规律继续旋转，每旋转一次，的长度依次增加，，，且三次一循环， ∵， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24八年级上·陕西西安·阶段检测）在如图所示的数轴上作出所对应的点（不要求写作法，保留作图痕迹）．    【答案】如图所示：    【分析】以2和3为直角边的直角三角形，其斜边长为；再以原点为圆心，以为半径画弧与数轴的正半轴的交点即为所求． 解：略 【点拨】本题考查勾股定理与无理数．注意计算的准确性． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·新疆昌吉·期中）学校操场角落有一块直角三角形空地，两条互相垂直的地面边长分别为12米和16米，学校计划在空地边缘铺设防护围栏． （1）计算该直角三角形空地斜边的边长； （2）计算完整铺设整块空地外围围栏的总长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用勾股定理求斜边即可； （2）计算直角三角形的周长即可． （1）解：该直角三角形空地斜边的边长， 答：该直角三角形空地斜边的边长为； （2）解：， 答：铺设整块空地外围围栏的总长度为． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·陕西汉中·阶段检测）勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形（两条直角边长分别为，，且，斜边为）拼成一个边长为的正方形（如图），直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”． （1）请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理． （2）若，，求中间小正方形（阴影部分）的面积． 【答案】（1）证明：∵最外面的大正方形的边长为c， ∴最外面的大正方形的面积为； ∵中间小正方形的边长为， ∴中间小正方形的面积为； 又∵最外面的大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴； （2） 【分析】本题主要考查了勾股定理及其证明方法，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键． （1）根据最外面的大正方形的边长为c，且大正方形的边长等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积进行证明即可； （2）根据勾股定理可求出a的值，进而可求出中间小正方形的面积． 解：（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴或（舍去）， ∴中间小正方形的面积为． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江西南昌·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． （1）求初始状态下细绳的总长度； （2）如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． （1）解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． （2）由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广东广州·期末）如图是某公园的局部平面图，四边形为草坪，已知米，米，米，米，． （1）为了让市民去点看桃花更方便，公园管理处决定从正门点处修一条笔直小路通往点处，求小路的长度； （2）求四边形草坪的面积． 【答案】（1）20米；（2）246平方米． 【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可； （2）先判断出是直角三角形，再分别求出两个直角三角形的面积，即可得出结论． （1）解：， 根据勾股定理可得（米）， 答：小路的长度为20米； （2）解：由（1）知，， ， ， 是直角三角形，且， （平方米）． 答：四边形草坪的面积是246平方米． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·云南玉溪·期末）在物理实验课上，老师准备了一套单摆装置，细绳上端固定点被保护壳遮挡，无法直接用刻度尺测量细绳长度． 小华在实验过程中观察到，单摆在往复摆动时细绳长度始终保持不变，据此他打算利用数学知识构造直角三角形，借助勾股定理计算出细绳的实际长度． 【实践发现】 （1）结合实际测量数据，构建出如图所示的几何图形．细绳上端固定点为点，将小球拉至一侧合适位置，使细绳始终保持拉直状态，标记此时小球位置为点，小球自然下垂的静止位置记为点，过点作，垂足为点（图中的，，，在同一平面内）．通过测量得到以下数据：小球静止点与垂足之间的距离；小球在点时，到竖直直线的垂直距离．设细绳的长度，则线段__________．（用含的代数式表示） 【问题解决】 （2）请结合上述建模过程，利用勾股定理列方程，求出细绳的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设的长为，则，根据，即可求解． （2）建立方程即可求解． （1）解：设的长为，则， ， ， （2），， 中，，即， 解得， 答：细绳的长度为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $