3.2 勾股定理的逆定理 教学设计2025-2026学年 苏科版八年级 数学上册

第三章 勾股定理 3.2勾股定理的逆定理   一、教材分析 本节课《勾股定理的逆定理》是苏教版八年级上册第3章第二节内容，勾股定理的逆定理是对直角三角形的判定方法的补充，本节课从反问引入新课内容，从直角三角形三边满足的关系，反之探究三边满足某种关系是否是直角三角形出发证明.逆向探究几何图形，建立数与形的联系，另外在方法的归纳和例题的选择都体现了特殊与一般的思想.本节课学生经历问题、猜想、证明、应用的探究，感受研究几何对象的一般思路，培养学生自主学习的意识和能力，发展学生运算能力、推理能力.   二、学习目标 1．经历勾股定理的逆定理的探索过程，掌握勾股定理的逆定理，理解勾股定理及其逆定理之间的关系，发展推理能力. 2．能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形为直角三角形，发展应用意识. 3．了解勾股数的概念，熟悉常用的勾股数.   三、教学重难点 重点：经历勾股定理的逆定理的探索过程，掌握勾股定理的逆定理，理解勾股定理及其逆定理之间的关系，发展推理能力. 难点：能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形为直角三角形，发展应用意识.   四、教学过程 · 情境导入 问题：勾股定理的内容是什么？ 预设答案：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 追问：如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形？ 一起来探究吧！ 师生活动：学生回顾，教师给出提示． 设计意图：根据上节课内容回顾所学，并抛出问题，引导学生思考，激发学生好奇心. · 探究新知 活动一：勾股定理的逆定理探究 问题：已知：在中，，， ，． 求证：是直角三角形． 预设答案：证明：作一个，使，，． 根据勾股定理，得 . 因为 ，所以 根据“SSS”，可知. 于是，，是直角三角形． 【概念形成】 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形是直角三角形． 符号语言： 在中，，，的对边长 分别为a，b，c，且． 为直角三角形，且. 追问：勾股定理与其逆定理有什么区别与联系？ 预设答案： 师生活动：教师引导学生证明勾股定理逆定理，并分析勾股定理和逆定理的区别和联系． 设计意图：通过证明逆定理，能让学生认识到 “性质” 与 “判定” 的对应关系，形成 “从特殊形状到数量关系，再从数量关系到特殊形状” 的闭环逻辑，避免知识碎片化. 活动二：勾股数的探究 问题：四千多年前，古埃及人在建造金字塔时，他们在一根绳子上打上距离相等的结，然后把绳子分成12等份，再分别取3份、4份、5份的长度做边长，用木桩钉成三角形这样得到的三角形是直角三角形吗？ 预设答案：，，， . 所以得到的三角形是直角三角形. 追问：如何确定c？ 预设答案：三边中最长边为c． 追问：三个正整数3、4、5，满足，则称3、4、5为勾股数．你能想到其它的勾股数吗？ 预设答案： 6、8、10;5、12、13 如果三个正整数，a，b，c满足关系，称a，b，c为勾股数． 思考 你能发现勾股数有什么规律吗？ 总结：若a、b、c是一组勾股数， 则ak、bk、ck也是一组勾股数（k为正整数）． 师生活动：教师引导学生探究勾股数，总结常见勾股数． 设计意图：通过3、4、5探究直角三角形，初步感知勾股数，明确勾股定理逆定理中c的确定解决学生最大的疑惑.也为勾股数的寻找奠定基础. · 应用新知 例1 已知：a，b，c为正整数，且． 求证：对于任意的正整数k，正整数ka，kb，kc构成勾股数． 证明：， ． a，b，c，k为正整数， ka，kb，kc为正整数，ka，kb，kc构成勾股数. 例2如图，AD是的中线，，，． 求AC的长． 解：AD是的中线，， ． ，， ，． ． (勾股定理的逆定理)． AD垂直平分BC．． 例3 如图，在平面直角坐标系中 ，OA=OB=，AB=，若点A的坐标为（1,2），则点B的坐标为（ ） A．(-1,2) B．(,1) C．(-2,1) D．(-2,2) 分析：证明是直角三角形利用一线三等角解题 解：过点，分别作轴，轴，垂足分别为，   ，  ， ， 易证≌， ， 点的坐标为， 点的坐标为． 师生活动：教师引导学生解答，并总结出勾股数的规律．并完成例题 设计意图：通过一般到特殊的学习，得出勾股数的规律，方便学生后续答题.勾股定理的逆定理的应用让学生学以致用，通过勾股定理在平面直角坐标系里应用，对全等三角形的一个全新认识，巩固知识点. · 课堂练习 【教材习题】 1.下列各组数是勾股数吗？为什么？ (1)12，15，18；(2)11，60，61；(3)15，36，39；(4)36，35，12． 2.下列条件中，不能判定是直角三角形是（ ） A. ：：：： B. C. ：：：： D. ，， 3. 计算图中四边形ABCD的面积． 4. 一个三角形三边长的比为，它的周长是60. 求这个三角形的面积. 5.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出： (1)当时，b＝________，c＝________； (2)当时，求b，c的值； (3) 用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由． 6.已知的三边，，满足，那么是(     ) A.   直角三角形 B.   等边三角形 C.   等腰三角形 D.   不能判断 【答案】 1．解：(1) 122＋152＝144＋225＝369，182＝324， 122＋152≠182． 12，15，18不是勾股数． (2) 112＋＝121＋3600＝3721，， 112＋． 1，60，61是勾股数． (3) 152＋362＝225＋1296＝1521，， 152＋362＝392． 15，36，39是勾股数． (4) 122＋352＝144＋1225＝1369，，  122＋352≠362． 36，35，12不是勾股数． 2．D 3．解：在中，根据勾股定理，得BD2＝122＋162＝400， ， CD2＋BD2＝152＋202＝625，BC2＝252＝625． CD2＋BD2＝BC2 (勾股定理的逆定理)． ， ． 4．解：设三角形的三边长分别为3x，4x，5x． 由题意，得，解得． 三边长分别为15，20，25． ， 这个三角形是直角三角形． ． 5．解：(1)180,181 (2)通过观察知， ， c2－b2＝(2n＋1)2(b＋c)(c－b)＝(2n＋1)2， (2n＋1)2. 又，(2n＋1)2， 2n2＋2n，2n2＋2n＋1. (3) 不是． 理由如下：由(2)知，，，为一组勾股数． 当时，，112－111＝1，但， 15，111，112不是一组勾股数． 6.解：， ，，， 解得，，， ， 是直角三角形. 师生活动：学生独立完成，教师批阅． 设计意图：从勾股数出发，到勾股定理逆定理的综合应用形成螺旋上升的知识链条，全面提升学生对勾股定理逆定理的应用，培养学生的逻辑思维、知识迁移、综合运算以及数形结合等多种数学能力，切实提高学生的数学核心素养. 归纳总结 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识． 学科网（北京）股份有限公司 $