专题 2.2 立方根（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦立方根核心知识点，系统梳理定义、性质、开立方运算及三大核心公式，通过与平方根对比构建知识网络，前承平方根学习，后续支撑实数运算与实际问题解决，形成完整学习支架。 资料以“知识梳理-题型分层-同步检测”为主线，基础题型夯实定义与运算，综合题型通过规律探究（如华罗庚速算立方根案例）培养推理意识，实际应用（正方体体积问题）强化模型意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升运算能力与应用能力。

专题 2.2 立方根（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】立方根的定义与性质 2 【知识点二】开立方运算 2 【知识点三】立方根三大核心公式 2 【知识点四】平方根与立方根核心对比（必考辨析） 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】求实数的立方根 3 【题型 2】立方根公式化简计算 4 【题型 3】立方根公式化简计算 6 四.题型精析（综合提升） 9 【题型 4】概念辨析易错题 9 【题型 5】已知一个数立方根，求这个数 10 【题型 6】立方根与规律问题探究 12 【题型 7】立方根实际应用（正方体体积模型） 16 五.同步检测 18 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 18 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 21 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 23 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解立方根的概念，掌握立方根的专属符号表示，明确立方根与平方根的区别。 2. 熟练掌握任意实数的立方根性质，能够准确求解正数、0、负数的立方根。 3. 理解立方与开立方互为逆运算，能利用逆运算求解简单的三次方程。 4. 掌握立方根核心恒等式，熟练完成根式化简与基础计算。 5. 能够运用立方根知识，解决正方体体积、球体体积等相关实际应用问题。 （二）重难点 重点：立方根的定义与符号表示；任意实数立方根的求解；立方根基础运算。 难点：立方根与平方根的性质辨析；负数立方根的运算；立方根公式的灵活运用与实际应用。 二.知识梳理与解读 【知识点一】立方根的定义与性质 定义：如果一个数的立方等于（即），那么这个数叫做的立方根，也称为三次方根。 符号表示：数的立方根记作，读作“三次根号”，根指数3不可省略。 立方根核心性质（区别于平方根）： 1. 正数有一个正的立方根； 2. 0的立方根是0； 3. 负数有一个负的立方根； 4. 任意实数都有且只有一个立方根。 【知识点二】开立方运算 求一个数立方根的运算，叫做开立方。 核心关系：立方运算与开立方运算互为逆运算，可相互检验计算结果。 【知识点三】立方根三大核心公式 1. （先开立方、再立方，结果等于原数） 2. （先立方、再开立方，结果等于原数，无需绝对值） 3. （立方根负号可自由移出、移入根号内） 【知识点四】平方根与立方根核心对比（必考辨析） 1. 平方根：仅非负数有平方根，正数两个互为相反数，结果可正可负； 2. 立方根：全体实数都有立方根，任意数的立方根唯一，符号与原数一致。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】求实数的立方根 【例题1】（26-27八年级·上海·暑假作业）求下列各数的立方根： （1）27； （2）； （3）； （4）0． 【答案】（1）3；（2）；（3）；（4）0 （1）解：因为， 所以27的立方根是； （2）解：因为， 所以的立方根是； （3）解：因为， 所以的立方根是； （4）解：因为， 所以0的立方根是． 【变式1】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：∵， ∴的立方根是． 【变式2】（24-25七年级下·山东日照·阶段检测）若，则的立方根为________． 【答案】 【分析】利用平方和算术平方根的非负性，先求出a和b的值，再计算，最后求出的立方根． 解：∵，，且满足， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方根为． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题主要考查立方根的求解，解题的关键是熟知立方根的性质与求解方法． 根据立方根的性质依次求解即可得到答案． 解：（1）解：∵， ∴的立方根为． （2）解：∵， ∴的立方根为． （3）解：∵， ∴的立方根为． 【题型 2】立方根公式化简计算 【例题2】（24-25七年级下·云南昆明·期中）计算：． 【答案】 【分析】先根据乘方、算术平方根、立方根的性质分别计算每一项的结果，再进行加减合并得到最终答案； 解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用算术平方根的含义、立方根的含义可快速排除错误选项． 解：，A错误． ，B错误． ，C错误． ，D正确． 【变式2】（23-24七年级下·广东汕头·期中）的绝对值是______；的立方根是______；的算术平方根是______； 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的相关性质，灵活准确的利用绝对值，立方根、算术平方根是关键．根据算术平方根、立方根、绝对值的概念进行求解． 解：的绝对值是； 的立方根是； ， 的算术平方根是， 故答案为：，，． 【变式3】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）计算： （1）； （2） ． 【答案】（1）9；（2）0 【分析】（1）根据算术平方根，绝对值，乘方的计算法则分别算出各数的结果，再计算加减即可； （2）分别算出绝对值，算术平方根，立方根，乘方的值，再计算加减即可． （1）解： ； （2）解： ． 【题型 3】立方根公式化简计算 【例题3】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查平方根，立方根求方程的解，掌握平方根，立方根的计算是关键． （1）运用立方根的计算求解即可； （2）运用平方根的计算求解即可． 解：（1）解：， 开立方，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 移项、合并同类项，得， 开平方，得， ∴或， 解得． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了运用平方根、立方根解方程等知识点，掌握平方根、立方根的定义是解题的关键． （1）直接运用平方根解方程即可； （2）先整体求得，再根据立方根求解即可． 解：（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·重庆万州·阶段检测）解方程： （1） （2） 【答案】（1）或；（2） 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，理解掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）先移项化简，再将方程两边直接开平方，得到两个一元一次方程，解一元一次方程即可； （2）将方程变形为，然后利用立方根的定义即可求解． 解：（1）解：， 开平方得，， 即或， 解得或； （2）解： 移项得，， 方程两边同除以3，得， ∴， 解得． 【变式3】（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）求x的值： （1）； （2）． 【答案】（1）或；（2） 【分析】本题考查了立方根，平方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 解：（1）解：， ， ， ∴， 即或； （2）解： ， ， ∴． 四.题型精析（综合提升） 【题型 4】概念辨析易错题 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题利用立方根的性质对选项逐一判断，即可求解． 解：A．的立方根是，故选项正确； B．的立方根是，故选项正确； C．0的立方根是0，故选项正确； D．∵，∴的立方根等于5，故选项错误． 故选：D 【变式1】（25-26八年级上·山东东营·开学考试）下列说法中，不正确的是（     ） A．是的立方根 B．的平方根和立方根都是 C．的算术平方根是 D．的算术平方根和立方根都是它本身 【答案】C 【分析】分别根据立方根的定义，平方根以及算术平方根的定义逐一判断即可． 解：、是的立方根，说法正确，故此选项不符合题意； B、的平方根和立方根都是，说法正确，故此选项不符合题意； C、，负数没有平方根，故原说法错误，故此选项符合题意； D、1的算术平方根是1,1的立方根是1，∴的算术平方根和立方根都是它本身，说法正确，故此选项不符合题意． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）下列说法中正确的是（    ） A．1的平方根和立方根都等于它本身 B．若，则 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，根据平方根，立方根，算术平方根的定义逐句进行判断即可．熟练掌握相关定义是解题的关键． 解：A、1的平方根是，故A选项错误； B、若，则，故B选项错误； C、，，故C选项错误； D、，故D选项正确． 故选：D． 【变式3】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列说法中正确的是（    ） A．64的立方根是 B． 没有立方根 C． 是64的平方根 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查了立方根、平方根，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，任何一个数都有立方根逐一判断即可． 解：A. 64的立方根是，原说法错误； B. 的立方根是，原说法错误； C. 是64的平方根，说法正确； D. 的平方根是，原说法错误； 故选：C． 【题型 5】已知一个数立方根，求这个数 【例题5】（25-26七年级下·陕西延安·期末）已知的平方根是，的立方根为． （1）求与的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1）；（2）． 【分析】由题意列方程组，然后解方程组即可；　　 把，，代入得，然后通过算术平方根定义即可求解． 解：（1）解：∵的平方根是，的立方根为， ∴， 解得； （2）解：由知，， ∴， ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根为． 【变式1】（25-26七年级下·宁夏固原·期中）已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 解：∵的平方根是，的立方根是， ∴，， 解得，， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知和分别是一个正数的平方根，实数b的立方根是，则的值为________． 【答案】 【分析】由平方根的性质可得，即得，由立方根的定义可得，最后代入即可求解． 解：∵和分别是一个正数的平方根， ∴， ∴， ∵实数b的立方根是， ∴， ∴， 【变式3】（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）已知的立方根是，的算术平方根为3，，且． （1）求，，的值； （2）求的平方根； （3）求的立方根． 【答案】（1），，；（2）；（3） （1）解：的立方根是， ， ； 的算术平方根为3， ， ，且， ； （2）解：由（1）可知：，，， ∴， 的平方根为； （3）解：， 的立方根为. 【题型 6】立方根与规律问题探究 【例题6】（25-26七年级下·广东广州·期中）著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： （1）由，，请问是几位数？答：_______位数； （2）由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； （3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 【答案】（1）两；（2）；（3）；； 【分析】本题考查立方根的估算，按照题干给出的方法，先根据的整数次幂的大小确定立方根的位数，再根据原数的个位数字确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，通过对比相邻整数的立方确定高位数字，即可求出结果． 解：（1）解：判断的位数：因为，，且，所以是两位数； （2）解：确定的个位数字：因为的个位数字是，且只有的个位数字为，所以的个位数字是； （3）解：确定的十位数字：划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是， 故； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为 的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去 的后三位，得到， 因为，，且 ， 所以的十位数字是，故 ． 【变式1】（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 解：∵， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）观察下表规律，利用规律解答，若，则_________． 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 【答案】2.872 【分析】根据表格中的数据可知，被开立方的数的小数点每向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，解答即可． 解：， ． 【变式3】（25-26七年级下·山东日照·期中）人教版七年级数学下册第59页《数学活动2》讲述我国著名数学家华罗庚的故事，同时揭示了数学中求立方根的奥秘．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）求． ①由，，可以确定是________位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是________； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是________，由此求得________； （2）请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①________，②________． 【答案】（1）①两；②9；③3，39；（2）①；② 【分析】（1）①由可知是两位数； ②由可知的个位上的数是9； ③由可知的十位上的数是3，进而得出； （2）①的立方根是负数，由可知是两位数；由可知的个位上的数是8；由可知的十位上的数是4；进而得出，即可求出的值； ②由于，仿照①的步骤求出即可求解． 解：（1）解：①，，， ， 是两位数； ②的个位上的数是9，而， 的个位上的数是9； ③，，， 的十位上的数是3， 又的个位上的数是9， ； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵110592的个位上的数是2，而， ∴个位上的数是8， ∵划去后面的三位得到数，而，， ， 十位上的数为4， ∴， ∴； ②∵， ，，， ， 是两位数， ∵个位上的数是，而， 个位数是1， ∵划去后面的三位得到数，而， ∴， 十位数为8， ∴， ∴． 【题型 7】立方根实际应用（正方体体积模型） 【例题7】（25-26七年级下·湖北孝感·期中）将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 【答案】长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 【分析】设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，．根据“将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块”列方程求解即可． 解：设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，． 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 【变式1】（26-27八年级·上海·暑假作业）已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是 【变式2】（25-26七年级下·陕西延安·期中）小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 【答案】6 【分析】先根据正方体体积公式求出印章的棱长，得到长方体木匣的宽，再设木匣的长为未知数，根据长方体体积公式求解即可． 解：设正方体印章的棱长为， 由正方体体积公式得：， ∴， 因此木匣的宽为， 设木匣的长为，则木匣的高也为， 根据长方体体积公式可得：，即， 所以， 即木匣的长为． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）一个铅球体积是，则它能否被装到容积为的立方体容器中？请说明理由．（球的体积公式为，其中为球的体积，为球的半径） 【答案】能，理由见分析 【分析】本题考查了利用立方根解题，熟练掌握相关知识是解题的关键； 先根据球的体积公式求出铅球半径，进而得到直径，再根据立方体容积求出棱长，最后比较铅球直径与立方体棱长的大小． 解：能． 理由：设铅球的半径为， 根据题意，得 ， 即， ． 设立方体容器从里面测量棱长为， 则， ． ， 铅球能被装到容积为的立方体容器中． 五.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）下列式子错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根和立方根的定义，根据定义计算每个选项，即可找出错误的式子. 解： 表示的算术平方根，结果为非负数，，本选项错误； ，，本选项正确； ，，本选项正确； ，，本选项正确； 2．（24-25七年级下·四川南充·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义求解即可． 解：∵，∴选项A错误； ，∴选项B错误； ∵，∴选项C正确，符合题意； ∵，∴选项D错误． 3．（25-26七年级下·云南曲靖·期中）若，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 解：∵ ∴． 4．（25-26七年级下·福建南平·期中）若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 【答案】A 【分析】将所求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根的性质计算即可． 解：， ， 又 ， ． 5．（25-26七年级下·广西桂林·期中）一种正方体形状的集装箱，体积是，这种正方体集装箱的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方体体积等于棱长的三次方，已知体积求棱长，计算得出结果即可． 解：设这种正方体集装箱的棱长为． ∵正方体体积公式为体积等于棱长的三次方， ∴． ∵，棱长为正数， ∴． 6．（24-25七年级下·山东德州·阶段检测）的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的运算，算术平方根，立方根，掌握实数的运算，算术平方根，立方根是解题的关键．先求出的立方根与的算术平方根，再求出其和即可． 解：∵， ∴的立方根是； ∵， ∴的算术平方根是， ∴． 故选：A． 7．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）有下列说法： ①平方根是它本身的数有，； ②算术平方根是它本身的数有，； ③立方根是它本身的数有，，； ④如果一个数的负的平方根等于它的立方根，那么这个数是或． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的基本概念逐一判断每个说法的正误即可得到答案． 解：① 平方根是本身的数：∵ 的平方根是 ，不等于它本身，只有 的平方根是它本身，∴①错误； ② 算术平方根是本身的数：∵ 的算术平方根是 ， 的算术平方根是 ，∴算术平方根是本身的数是 和 ，∴②正确； ③ 立方根是本身的数：∵ ，，，∴立方根是本身的数有 ，，，③正确； ④ 若一个数的负的平方根等于它的立方根：∵负数没有平方根， 不存在平方根，只有 满足条件，∴④错误． 综上，正确的说法是②③． 8．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）下列说法：①；②64的平方根是，立方根是；③；④已知，则．其中结论正确的序号是（    ） A．①③ B．①②④ C．③④ D．只有①④ 【答案】C 解：判断①：∵表示4的算术平方根，结果为非负数， ∴，①错误； 判断②：∵，， ∴64的平方根是，立方根是4，②错误； 判断③：∵， ∴，③正确； 判断④：要使和有意义，需满足解得且， ∴，④正确； 综上，正确的序号是③④． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级上·福建三明·期末）一个数的立方等于，那么这个数是_____． 【答案】 【分析】此题考查了立方根的概念，解题的关键是掌握立方根的概念． 根据立方根的定义求解． 解：因为， 所以这个数是． 故答案为：． 10．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）若是64的算术平方根，是的立方根，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义求出的值，根据立方根的定义求出的值，再代入代数式计算即可得到结果． 解：是的算术平方根， ， 是的立方根， ， 将代入得： ． 11．（25-26七年级下·四川南充·期末）若，则x的值为__________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义，对等式变形即可求出的值. 解：， 又， . 12．（25-26七年级下·云南红河·期末）已知的立方根是，的算术平方根是．则________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义和算术平方根的定义，求出，的值，再代入计算即可． 解：的立方根是，的算术平方根是， ，， 解得，， ． 13．（25-26七年级下·内蒙古通辽·阶段检测）已知，，则____________． 【答案】 【分析】本题考查立方根的运算性质，将变形为，再利用立方根的乘法性质拆分计算，结合已知条件即可求出结果． 解：． 14．（25-26七年级下·福建福州·期末）四个棱长相等的正方体的体积之和是，则每个正方体的棱长是______． 【答案】 【分析】先根据四个正方体体积之和求出单个正方体的体积，再结合正方体体积公式计算得到棱长． 解：设每个正方体的棱长为， 根据题意列方程得： 系数化为得： 对等式两边开立方得： 棱长为正数，符合实际意义， 故每个正方体的棱长是． 15．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）已知，则的立方根是______． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出和的值，再代入代数式求出的值，最后计算该值的立方根即可． 解：，且， ，， 解得，， 将，代入得：， ， 的立方根是，即的立方根是． 16．（24-25七年级下·甘肃定西·阶段检测）观察下列各式：，，，，按照此规律，第8个等式是_____． 【答案】 【分析】观察已知等式中各部分的数字特征，归纳出一般性规律，即可得到第8个等式． 解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， 第个等式：， ∴第8个等式为：． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·广东东莞·期中）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）11；（2） （1）解： ； （2）解： ． 18．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）已知的算术平方根是，的立方根是2． （1）求x，y的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用算术平方根和立方根的定义求解； （2）利用平方根的定义求解． （1）解：∵的算术平方根是，的立方根是2， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴其平方根为． 19．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）升降阻车桩是一种安防设备，用于升降隔离车辆，实现交通管制和人车分流．某市在路口安装圆柱形的升降阻车桩，已知一个升降阻车桩的体积是，升降阻车桩的高是底面半径的6倍，求这个升降阻车桩的底面半径．（圆柱体积计算公式，是圆柱的高，是底面半径，取） 【答案】 解：设这个升降阻车桩的底面半径是，则高为， 由题意可得：． 解得． 答：这个升降阻车桩的底面半径是． 20．（24-25七年级下·山西忻州·期中）综合与探究 本学期第八章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写表格： 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ． （2）探究性质：①1的四次方根是 ；②16的四次方根是 ；③0的四次方根是 ；④ （选填“有”或“没有”）四次方根．类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ； （3） ； 【拓展应用】 （4） ． 【答案】（1），，，一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；（2）①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；（3）；（4） 【分析】本题考查了平方根和立方根的拓展，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键； （1）根据实数的乘方运算即可填表，仿照平方根和立方根的定义即可给四次方根下定义； （2）根据四次方根的定义结合平方根的性质解答即可； （3）根据四次方根的定义求解即可； （4）根据四次方根的定义求解即可． 解：（1）∵，，， ∴填写表格如下： 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； 故答案为：，，，一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）探究性质：①1的四次方根是；②16的四次方根是；③0的四次方根是0；④没有四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质如下：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 故答案为：①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； （3）； （4）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.2 立方根（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】立方根的定义与性质 2 【知识点二】开立方运算 2 【知识点三】立方根三大核心公式 2 【知识点四】平方根与立方根核心对比（必考辨析） 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】求实数的立方根 3 【题型 2】立方根公式化简计算 3 【题型 3】立方根公式化简计算 3 四.题型精析（综合提升） 4 【题型 4】概念辨析易错题 4 【题型 5】已知一个数立方根，求这个数 4 【题型 6】立方根与规律问题探究 5 【题型 7】立方根实际应用（正方体体积模型） 6 五.同步检测 6 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 6 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 8 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解立方根的概念，掌握立方根的专属符号表示，明确立方根与平方根的区别。 2. 熟练掌握任意实数的立方根性质，能够准确求解正数、0、负数的立方根。 3. 理解立方与开立方互为逆运算，能利用逆运算求解简单的三次方程。 4. 掌握立方根核心恒等式，熟练完成根式化简与基础计算。 5. 能够运用立方根知识，解决正方体体积、球体体积等相关实际应用问题。 （二）重难点 重点：立方根的定义与符号表示；任意实数立方根的求解；立方根基础运算。 难点：立方根与平方根的性质辨析；负数立方根的运算；立方根公式的灵活运用与实际应用。 二.知识梳理与解读 【知识点一】立方根的定义与性质 定义：如果一个数的立方等于（即），那么这个数叫做的立方根，也称为三次方根。 符号表示：数的立方根记作，读作“三次根号”，根指数3不可省略。 立方根核心性质（区别于平方根）： 1. 正数有一个正的立方根； 2. 0的立方根是0； 3. 负数有一个负的立方根； 4. 任意实数都有且只有一个立方根。 【知识点二】开立方运算 求一个数立方根的运算，叫做开立方。 核心关系：立方运算与开立方运算互为逆运算，可相互检验计算结果。 【知识点三】立方根三大核心公式 1. （先开立方、再立方，结果等于原数） 2. （先立方、再开立方，结果等于原数，无需绝对值） 3. （立方根负号可自由移出、移入根号内） 【知识点四】平方根与立方根核心对比（必考辨析） 1. 平方根：仅非负数有平方根，正数两个互为相反数，结果可正可负； 2. 立方根：全体实数都有立方根，任意数的立方根唯一，符号与原数一致。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】求实数的立方根 【例题1】（26-27八年级·上海·暑假作业）求下列各数的立方根： （1）27； （2）； （3）； （4）0． 【变式1】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）的立方根是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东日照·阶段检测）若，则的立方根为________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根： （1）； （2）； （3）． 【题型 2】立方根公式化简计算 【例题2】（24-25七年级下·云南昆明·期中）计算：． 【变式1】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·广东汕头·期中）的绝对值是______；的立方根是______；的算术平方根是______； 【变式3】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）计算： （1）； （2） ． 【题型 3】立方根公式化简计算 【例题3】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）解方程： （1）； （2）． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）解方程： （1）； （2）． 【变式2】（25-26八年级上·重庆万州·阶段检测）解方程： （1） （2） 【变式3】（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）求x的值： （1）； （2）． 四.题型精析（综合提升） 【题型 4】概念辨析易错题 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 【变式1】（25-26八年级上·山东东营·开学考试）下列说法中，不正确的是（     ） A．是的立方根 B．的平方根和立方根都是 C．的算术平方根是 D．的算术平方根和立方根都是它本身 【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）下列说法中正确的是（    ） A．1的平方根和立方根都等于它本身 B．若，则 C． D． 【变式3】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列说法中正确的是（    ） A．64的立方根是 B． 没有立方根 C． 是64的平方根 D．的平方根是 【题型 5】已知一个数立方根，求这个数 【例题5】（25-26七年级下·陕西延安·期末）已知的平方根是，的立方根为． （1）求与的值； （2）求的算术平方根． 【变式1】（25-26七年级下·宁夏固原·期中）已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D． 【变式2】（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知和分别是一个正数的平方根，实数b的立方根是，则的值为________． 【变式3】（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）已知的立方根是，的算术平方根为3，，且． （1）求，，的值； （2）求的平方根； （3）求的立方根． 【题型 6】立方根与规律问题探究 【例题6】（25-26七年级下·广东广州·期中）著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： （1）由，，请问是几位数？答：_______位数； （2）由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； （3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 【变式1】（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【变式2】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）观察下表规律，利用规律解答，若，则_________． 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 【变式3】（25-26七年级下·山东日照·期中）人教版七年级数学下册第59页《数学活动2》讲述我国著名数学家华罗庚的故事，同时揭示了数学中求立方根的奥秘．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）求． ①由，，可以确定是________位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是________； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是________，由此求得________； （2）请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①________，②________． 【题型 7】立方根实际应用（正方体体积模型） 【例题7】（25-26七年级下·湖北孝感·期中）将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 【变式1】（26-27八年级·上海·暑假作业）已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西延安·期中）小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）一个铅球体积是，则它能否被装到容积为的立方体容器中？请说明理由．（球的体积公式为，其中为球的体积，为球的半径） 五.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）下列式子错误的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川南充·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·云南曲靖·期中）若，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（25-26七年级下·福建南平·期中）若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 5．（25-26七年级下·广西桂林·期中）一种正方体形状的集装箱，体积是，这种正方体集装箱的棱长是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·山东德州·阶段检测）的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 7．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）有下列说法： ①平方根是它本身的数有，； ②算术平方根是它本身的数有，； ③立方根是它本身的数有，，； ④如果一个数的负的平方根等于它的立方根，那么这个数是或． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 8．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）下列说法：①；②64的平方根是，立方根是；③；④已知，则．其中结论正确的序号是（    ） A．①③ B．①②④ C．③④ D．只有①④ （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级上·福建三明·期末）一个数的立方等于，那么这个数是_____． 10．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）若是64的算术平方根，是的立方根，则代数式的值为______． 11．（25-26七年级下·四川南充·期末）若，则x的值为__________． 12．（25-26七年级下·云南红河·期末）已知的立方根是，的算术平方根是．则________． 13．（25-26七年级下·内蒙古通辽·阶段检测）已知，，则____________． 14．（25-26七年级下·福建福州·期末）四个棱长相等的正方体的体积之和是，则每个正方体的棱长是______． 15．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）已知，则的立方根是______． 16．（24-25七年级下·甘肃定西·阶段检测）观察下列各式：，，，，按照此规律，第8个等式是_____． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·广东东莞·期中）计算 （1）； （2）． 18．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）已知的算术平方根是，的立方根是2． （1）求x，y的值； （2）求的平方根． 19．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）升降阻车桩是一种安防设备，用于升降隔离车辆，实现交通管制和人车分流．某市在路口安装圆柱形的升降阻车桩，已知一个升降阻车桩的体积是，升降阻车桩的高是底面半径的6倍，求这个升降阻车桩的底面半径．（圆柱体积计算公式，是圆柱的高，是底面半径，取） 20．（24-25七年级下·山西忻州·期中）综合与探究 本学期第八章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写表格： 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ． （2）探究性质：①1的四次方根是 ；②16的四次方根是 ；③0的四次方根是 ；④ （选填“有”或“没有”）四次方根．类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ； （3） ； 【拓展应用】 （4） ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $