26.2.3 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和性质 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以11个核心知识点为纲，通过基础辨析、技能应用、综合探究三级分层，构建从概念理解到逻辑推理的知识巩固路径，适配新授课"理解-应用-迁移"教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|11个知识点的概念辨析与公式直接应用|选择填空题为主，如判断开口方向、对称轴位置，强化抽象能力| |提升层|单一知识点的运算深化与简单综合|解答题（1-2问），如配方法转化、待定系数法求解析式，培养运算能力| |综合层|跨知识点的参数讨论与数形结合|含证明、最值探究的综合题，如用顶点坐标公式解决不等关系，发展推理意识与几何直观|

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十六章 二次函数 26.2.3 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和性质 ▌课时目标 1. 掌握用配方法将二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，理解配方法的步骤与依据，并能熟练运用对称轴公式和顶点坐标公式。 2. 能根据一般式中a,b,c的符号判断抛物线的开口方向、对称轴位置、与y轴交点及最值，理解a,b符号与对称轴位置的“左同右异”关系。 3. 能运用待定系数法求二次函数解析式，根据一般式画出抛物线草图，并解决简单的增减性与最值问题，形成数形结合思想。 ▌课时目录 知识点01：一般式化为顶点形式（配方法） 知识点02：待定系数法求二次函数解析式 知识点03：对称轴公式 知识点04：顶点坐标公式 知识点05：开口方向 知识点06：最值 知识点07：与y轴交点 知识点08：a、b符号与对称轴位置的关系 知识点09：a、c与图象过点的关系 知识点10：增减性 知识点11：一般式下画抛物线草图的方法 ▌知识点01：一般式化为顶点形式（配方法） 对于，配方步骤： 1. 提取二次项系数：； 2. 括号内加上并减去一次项系数一半的平方：； 3. 化为完全平方式：； 4. 合并常数项：。 注意：配方时等式两边需保持平衡，且a≠0。 1．（2026·山西晋中·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】先将抛物线的一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可. 【详解】解：将抛物线解析式配方得 ， 二次项系数， 抛物线开口向上， 故A选项错误； 由顶点式可知，抛物线顶点坐标为， 故B选项正确； 由抛物线的解析式可知，对称轴为直线， 故C选项错误； 根据二次函数性质，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而而减小， 故D选项错误. 2．（25-26八年级下·山东济南·期末）用配方法把二次函数化成的形式． 【答案】 【详解】解： ． 3．（2026·福建泉州·模拟预测）已知二次函数．若点，都是该二次函数图象上的点． (1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)若，，求证：； (3)若，，且点在对称轴的左侧，求证：． 【答案】(1) (2)证明：当时，． ，是函数图象上的点，且， ， ， ， ． ， 当时，的最小值为， 即； (3)证明：， 该二次函数图象的对称轴为直线， 点在对称轴的左侧， ，即． ， ， ， ． 【分析】（1）将函数化为顶点式，求解顶点坐标即可； （2）先表示出二次函数解析式，再表示出与，结合的最小值即可证明； （3）求解出二次函数的对称轴，表示出，由此可证明． 【详解】（1）解：， ， 该二次函数图象的顶点坐标为． （2）略 （3）略 4．（2026·山东菏泽·二模）在直角坐标系中，抛物线（，是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，，求，的值； (2)已知，若，有最大值，求的值． 【答案】(1)的值分别为 (2)或 【分析】（）利用待定系数法，将函数图像经过的两个点坐标代入二次函数解析式，构造出关于参数的二元一次方程组，通过解方程组直接求出a、b的数值； （）先根据用表示，代入解析式配成顶点式确定对称轴；再按照开口向上、开口向下分类讨论，结合自变量的取值范围判断最大值对应的，分别列式求解，最后汇总所有符合条件的的值． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， 解得， ∴的值分别为； （2）解：∵， ∴， ∴抛物线为， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，， ∴当时，为最大值， 即，解得； ②当时，抛物线开口向下， ∴当时，为最大值， 即， 解得； 综上所述，或． ▌知识点02：待定系数法求二次函数解析式 已知二次函数图象上三个任意点的坐标，可设一般式，将三点坐标代入得到关于的三元一次方程组，解方程组求出待定系数。 若已知顶点坐标或对称轴，设顶点式计算更简便。 一般式适用于无特殊已知条件的三点。 5．（2026·陕西西安·模拟预测）将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先求出抛物线关于轴对称的抛物线解析式，再根据抛物线平移规律得到原抛物线向下平移2个单位后的解析式，对比对应系数即可求出和的值． 【详解】解：∵抛物线关于轴对称时，只需将原解析式中的替换为， ∴抛物线关于轴对称的抛物线为： ， ∵抛物线向下平移2个单位， ∴平移后解析式为， 又∵平移后抛物线与上述关于轴对称的抛物线是同一个，对应系数相等， ∴，， 解得，， 6．（25-26九年级下·全国·暑假作业）若点是抛物线上一点，则________． 【答案】2或4/4或2 【分析】点在抛物线上，因此点的坐标满足抛物线的解析式，将点的坐标代入解析式，得到关于的一元二次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：点在抛物线上， 将，代入抛物线解析式得， ， 解得或， 故答案为或． 7．（2026·云南昭通·模拟预测）已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)若，该二次函数的最大值与最小值的差为3，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把点代入函数，求解即可； （2）根据二次函数的图象及性质得到函数图象是开口向上的一条抛物线，对称轴是直线，顶点坐标是，根据与的取值进行分类分析，根据二次函数的最大值与最小值的差为3列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ，解得， 二次函数的解析式为． （2）解：∵二次函数， ∴该函数图象是开口向上的一条抛物线，对称轴是直线，顶点坐标是， ①当，即时，y随着x的增大而减小， 当时，， 当时，， ，解得， ∵ ∴不符合题意，舍去． ②当，即时，顶点的横坐标在取值范围内， 当时，． i）当，即时， 当时，， ，解得，． ， ∴舍去,即． ii）当，即时， 当时，， ，解得，． ， ∴舍去,即． ③当，即时，y随着x的增大而增大， 当时，， 当时，， ，解得． ， 不符合题意，舍去． 综上，或． 8．（2026·江苏南京·二模）已知二次函数的图象经过点． (1)求该函数图象的顶点坐标； (2)若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点，求m的值． 【答案】(1) 顶点坐标为 (2) 【分析】（1）把点代入函数，即可求出，再把一般式化为顶点式，即可得到该函数图象的顶点坐标； （2）根据二次函数图象平移“右减左加”的规律得到平移后的解析式，将已知点代入即可求出的值． 【详解】（1）解：将点代入，得 ， 解得， ∴二次函数的解析式为， 对解析式配方得 ， ∴该函数图象的顶点坐标为； （2）解：将函数图象向右平移3个单位长度， ∴平移后解析式为 ， 将点代入上式，得． ▌知识点03：对称轴公式 抛物线的对称轴为直线。 推导：由顶点式可知，故对称轴为。 该公式直接由系数a,b决定，无需化为顶点式即可使用。 9．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．对称轴是直线 B．对称轴是直线 C．对称轴是直线 D．对称轴是直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称轴为直线，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴是直线 故选：A 10．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线的部分图像，对称轴为直线，则的值（    ） A．－3 B．－2 C．－1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，解题关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数关于对称轴对称，可以求出与轴另一个交点坐标，再将坐标代入解析式中即可求解． 【详解】解：设抛物线与轴交点的横坐标为，， 由图像得，， 对称轴为直线， ，． 抛物线经过点． ． 故选：D． 11．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）若抛物线的对称轴是直线，则a的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称轴，二次函数的对称轴为直线． 根据抛物线的对称轴得到，然后求出a即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， ． 故选：C． 12．（2026·四川成都·模拟预测）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法正确的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C． D．当时，抛物线的顶点坐标为 【答案】D 【分析】由二次函数对称轴公式即可判断A选项，由二次函数的性质即可判断B选项，由图象可得当时，，即可判断C选项，当时，，结合二次函数的性质即可判断D选项． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，故A选项错误； ∵二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故B选项错误； 由图象可得当时，， ∴，故C选项错误； 当时，，此时抛物线的顶点坐标为，故D选项正确． ▌知识点04：顶点坐标公式 抛物线的顶点坐标为。 推导：由顶点式得，；也可将代入一般式求得。 注意分子是，不要误写为。 13．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过二次函数顶点坐标公式直接计算顶点坐标． 【详解】解： 二次函数为 ，其中 , , ， ∴ 顶点横坐标 ， 代入函数求纵坐标：， ∴ 顶点坐标为 ， 故选：A． 14．（25-26九年级上·北京石景山·期末）在平面直角坐标系中，若抛物线顶点坐标为，则的值分别是（） A．1，1 B． C．，1 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数解析式的顶点式公式，二次函数顶点式：，抛物线的顶点坐标为． 将抛物线方程化为顶点形式，根据顶点坐标求参数． 【详解】解∶抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 又∵顶点坐标为， ∴， ∴， ∴，． 故选∶A． 15．（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，已知平行四边形顶点的坐标为，点在轴上，且轴，过，，三点的抛物线的顶点坐标为，则抛物线的表达式是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质， 根据抛物线的对称性求得，根据平行四边形的性质求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得． 【详解】解：∵过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为，轴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵A的坐标为， ∴， 设抛物线为， 代入D的坐标得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． 故答案为：． 16．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）抛物线的顶点坐标为，则的最大值为____． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的顶点式和最值，由顶点坐标可得抛物线的顶点式，从而表示出和关于的表达式，代入得到关于的二次函数，求其最大值即可． 【详解】解：的顶点坐标为， 抛物线的解析式为， 展开得， ，． 则． 此为关于的二次函数，开口向下，当时取得最大值， 最大值为； 故答案为：3． ▌知识点05：开口方向 开口方向由a的符号决定： 1. 当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下。 2. ∣a∣的大小决定开口宽窄，∣a∣越大开口越窄，∣a∣越小开口越宽。 这与顶点式和基本式一致。 17．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）下列抛物线中，开口最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，绝对值越小，开口越大，据此解题即可． 【详解】解：∵ 二次函数 的开口大小取决于 ， 越小，开口越大； A：； B：； C：； D：； ∴ 最小的是选项A，故开口最大的是选项A中的抛物线． 故选：A． 18．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）下列函数中，其中开口向下的二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了判断二次函数的开口方向，根据抛物线的开口方向和二次项系数的关系逐一判断即可，掌握抛物线的开口方向和二次项系数的关系是解题的关键． 【详解】解：、由可知，， ∴开口向上，不符合题意； 、由可知，， ∴开口向下，符合题意； 、由可知，不是二次函数，不符合题意； 、由可知，不是二次函数，不符合题意； 故选：． 19．（25-26九年级上·广西崇左·期末）是一个开口向下的二次函数，那么__． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质及定义．先根据二次函数的定义求出或，再根据函数图象开口向下可得，即可求解． 【详解】解：根据题意，得，即 ， ∴， 解得 或 ， 又∵函数图象开口向下， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 20．（25-26九年级上·广西梧州·期中）抛物线与的形状相同，开口方向相反，则______． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图象性质． 根据二次函数的图象性质，形状相同则二次项系数的绝对值相等，开口方向相反则二次项系数符号相反． 【详解】解：抛物线 与 的形状相同， ， 又开口方向相反， ． 故答案为：． ▌知识点06：最值 1. 当a＞0时，抛物线开口向上，函数有最小值，在顶点处取得，即当时，； 2. 当a＜0时，抛物线开口向下，函数有最大值，即当时，。 最值公式也可写为，注意与判别式的关系，即。 21．（25-26九年级上·山东烟台·期中）在直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点和，则这个二次函数有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最小值2 D．最小值 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键．根据题意求得该函数图象的对称轴为求得，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：二次函数为常数）的图象经过点和， 该函数图象的对称轴为直线， ， ， 该函数解析式为， ， 该函数图象的开口向上， 当时，该二次函数有最小值． 故选：． 22．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知二次函数的图象，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值 C．有最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图象，应用数形结合的思想求解是解题的关键． 直接根据函数的图象确定顶点坐标、开口方向及对称轴，得取值范围内的最大值为，由对称性可知时，由图知时，，故时，函数有最大值，有最小值． 【详解】解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为，对称轴为， ∵此抛物线开口向下， ∴此函数有最大值，最大值为； ∵关于对称轴对称的点为，此时对应的函数值， 当时，， ∴当时，，即函数有最大值，有最小值． 故选：C． 23．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 由二次函数解析式可知抛物线开口向下，根据函数在不同区间内的最大值条件，确定对称轴位置及顶点坐标，通过代入点坐标和顶点公式列方程求解． 【详解】解：∵二次函数 的二次项系数为负， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ． ∵当 时函数最大值为 2，当 时函数最大值为 1， ∴对称轴位于 区间内，即 ， ∴． 当 时，函数值最大为 1，代入得 ， 即 ， 整理得 ， ∴ ． ∵顶点处函数值为 ，代入 得 ， 整理得 ，即 ， 解得 或 ． 又∵ ∴排除 ， 故 ， 则 ， ∴ ． 故答案为：． 24．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）已知二次函数（b，c是常数）．当时，y的最大值为，当时，y的最大值为3，则该抛物线的对称轴为：__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的增减性． 由题可得对称轴为直线，然后根据最值得到时，；抛物线顶点的纵坐标是3，然后求出的值解题即可． 【详解】解：由题意，得抛物线的对称轴是直线． ∵当时，y的最大值为，当时，y的最大值为3，， ∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，又抛物线的开口向下， ∴当时，， ∴； 当时，y的最大值为3，即抛物线顶点的纵坐标是3， ∴， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴该抛物线的对称轴为直线． 故答案为：． ▌知识点07：与y轴交点 求抛物线与y轴的交点，令x＝0，得y＝c，故交点坐标为(0,c)。 c是常数项，决定了抛物线与y轴交点的纵坐标。 若c＝0，抛物线过原点；若c＞0，交点在y轴正半轴；若c＜0，交点在y轴负半轴。 25．（25-26九年级上·上海静安·期末）如果将抛物线向下平移若干个单位，那么下列结论中错误的是（    ） A．顶点坐标不变 B．开口方向不变 C．对称轴不变 D．与轴交点个数不变 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设抛物线的顶点式为，向下平移个单位，则平移前抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线的解析式为， ∴平移后抛物线的顶点坐标为， ∴顶点坐标发生变化，故选项错误； ∵的值不变， ∴抛物线开口方向不变，故选项正确； ∵平移后抛物线的顶点坐标为， ∴平移后抛物线的对称轴为直线，与平移前的相同，故选项正确； ∵当时，对应的值只有个， ∴平移前后抛物线与轴的交点个数都是，故选项正确； 综上，结论中错误的是， 故选：． 26．（2026·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线（其中是常数，且），下列叙述中正确的是（    ） A．当时，抛物线开口向下 B．抛物线与轴交点坐标为 C．顶点坐标是 D．当时，顶点是抛物线的最低点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的联系，通过二次函数图象与性质，以及二次函数图象与系数的联系，逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、当时，抛物线开口向上，选项叙述错误，不符合题意； B、抛物线与轴交点坐标为；选项叙述错误，不符合题意； C、∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，正确，符合题意； D、当时，顶点是抛物线的最高点，选项叙述错误，不符合题意； 故选：C． 27．（25-26九年级上·北京·期中）请写出一个开口向上，与轴交点纵坐标为，且经过点的抛物线的解析式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数性质，解题的关键是掌握二次函数图象上点坐标的特征． 设，由图象与轴交点纵坐标为，可得，而图象经过点，故，又图象开口向上，可令，则，即可得到答案． 【详解】解：设， ∵图象与轴交点纵坐标为， ∴， ∴， ∵图象经过点， ∴， ∴， 由图象开口向上，可令，则， 此时抛物线的解析式为； 故答案为：（答案不唯一）． 28．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）抛物线与轴交于点，过点的直线轴，且与抛物线的另一交点为，则此抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；由抛物线与y轴交于点可求出c的值；直线过点C且平行于x轴，故可求得直线与抛物线的另一交点D的坐标，代入抛物线方程可求出b的值，从而求得抛物线的解析式． 【详解】解：∵抛物线与y轴交于点， ∴当时，，即， 即， ∵过点的直线轴，且与抛物线的另一交点为， ∴, 即， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， 故抛物线解析式为． 故答案为：． ▌知识点08：a、b符号与对称轴位置的关系 对称轴的位置由a,b的符号共同决定： 1. 若a,b同号，则＜0，对称轴在y轴左侧； 2. 若a,b异号，则＞0，对称轴在y轴右侧； 3. 若b＝0，则对称轴为y轴。 简记：“左同右异”（对称轴在左侧则a,b同号，在右侧则a,b异号）。 29．（2026·内蒙古通辽·二模）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有以下结论： ①； ②； ③； ④， 则其中正确的结论个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的开口方向、与y轴的交点及对称轴可确定a、c、b的符号，进而可判断①与②；由抛物线的对称轴可确定函数的最小值与时函数值的关系，可判断③；由a与b的关系，可判断④． 【详解】解：由图象知，抛物线的开口向上，所以， 抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上，则，故①错误； 抛物线的对称轴为直线，即，即，故②错误； 抛物线的对称轴为直线，且开口向上，即当时，二次函数取得最小值，而当时函数值为， 所以，故③正确； 由，故④错误； 所以正确的只有1个． 30．（2026·安徽马鞍山·三模）二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】根据抛物线图象特点，开口向上，与y轴交点在负半轴，对称轴，即，所以，选项A正确，，选项B正确，观察图象时，，即，选项C错误，选项D中方程的判别式为，正确． 【详解】解；抛物线图象开口向上，与y轴负半轴相交， ，， 对称轴， ，则， 选项A正确，不符合题意； ， 选项B正确，不符合题意； 观察图象可知，时，， ， 选项C错误，符合题意； 函数的图象与x轴有两个交点， ， 方程得判别式为， 又，， ，即方程有两个不相等的实数根， 选项D正确，不符合题意． 31．（2026·安徽马鞍山·三模）二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图像的性质，由开口方向确定 的符号，由对称轴确定 与 的关系，由与 轴交点确定 的符号，结合特殊点的函数值进行判断． 【详解】解： 抛物线开口向下， ． 对称轴是直线 ， ，即 ， ，故 C 选项正确． ， ． 抛物线与 轴交点在 轴上方， ． ，故 A 选项错误． 由图可知，当 时，， 即 ． 将 代入得 ，即 ，故 D 选项错误． 根据抛物线的对称性，当 时，，则当 时 ， 即 ，故 B 选项错误． 32．（2026·河南·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象以及对称轴得到，再根据当时，和当时，分别进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，， 对称轴为直线， ， ， ，①错误； 函数与轴有两个交点，故，②正确； 当时，，③正确； ， ， ， 当时，， ，④正确． ▌知识点09：a、c与图象过点的关系 a决定开口方向与宽窄，c决定与y轴交点。 图象经过的点可提供方程：如过点(1,m)，则a＋b＋c＝m；过点(－1,n)，则a－b＋c＝n。 这些关系常用于判断系数符号或求参数。 例如：若抛物线过(1,0)，则a＋b＋c＝0；若过(－1,0)，则a－b＋c＝0。 33．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将点代入二次函数解析式，得到与的关系，再结合二次函数的开口方向和对称性，逐一判断选项即可． 【详解】点在二次函数上 ， 将代入解析式得： ， 化简得， 即， 对选项A： 将代入解析式得， 把代入得： ， 移项得，故A错误； 对选项B： ， ， ，即，故B错误； 对选项C： 二次函数对称轴为， ，开口向上， 时取最小值，即是函数最小值， ，即，故C错误； 对选项D： ， ，二次函数在时，随增大而减小， ，当时，， 时的大于时的， 即， 得，故D正确． 34．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象，判断出、、的关系与符号，逐项验证即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 35．（2026·四川成都·三模）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，与轴负半轴的交点横坐标在和之间．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向、对称轴及与坐标轴交点位置确定的符号及数量关系；利用和时的函数值符号结合进行判断． 【详解】解：抛物线开口向上， ． 对称轴为直线， ，即． 抛物线与轴交于负半轴， ． ，故A错误． ， ，故B错误． 抛物线与轴负半轴交点在和之间， 当时，，即，故C错误． 当时，， ． 又， ，即，故D正确． 36．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，且抛物线与y轴的交点在x轴上方．下列结论：①；②；③对于任意实数t，不等式恒成立；④的两根分别为，；⑤若、是抛物线上的两点，且，当时总有，则．其中正确的结论有_____（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】先根据抛物线的对称轴和过定点的条件，推导的关系，再结合抛物线的性质，逐一判断每个结论的正确性． 【详解】解：已知抛物线过，对称轴为． 由对称轴公式得，整理得． 将代入解析式得：将代入上式得： ， 整理得， 故②正确． ∵抛物线与轴交点在轴上方， ∴，即，得， 故①正确． 对于结论③，将代入不等式左边得： ∵，， ∴， 当时，，不满足恒成立， 故③错误． 对于结论④，整理方程得． 代入，得， ， 解得：，，故④正确． 对于结论⑤， ： ∵，， ∴， ∴等价于． 由题意，当时总有， 可得，即，并非， 故⑤错误． ▌知识点10：增减性 增减性以对称轴为界。 1. 当a＞0时，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； 2. 当a＜0时，在时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小。 37．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知二次函数（）的图象开口向下，并且经过、两点，则下列结论正确的是（） A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而减小 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，正确掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数的图象开口向下和点的坐标，可得对称轴在y轴的左侧，再根据增减性判断即可． 【详解】解：二次函数（）的图象开口向下，经过、两点， 对称轴在y轴的左侧，即， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 则当时，随的增大而减小，选项B符合题意． 故选：B． 38．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，对于二次函数（a，b为常数，），当时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小． 先求出对称轴，进而判断即可． 【详解】解：对称轴为直线， ∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 只有C符合要求． 故选：C． 39．（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（m，n为常数）的图象经过点． (1)将该函数图象向右平移4个单位后仍过点A，则______； (2)当时，求n的取值范围； (3)当时，函数的最大值为M，则下列结论中正确的是______． A．M随m的增大而增大 B．M随m的增大而减小 C．M随m的增大先增大后减小 D．M随m的增大先减小后增大 【答案】(1)1 (2) (3)A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的最值，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意，得出关于m的方程，据此进行求解即可； （2）根据题意，结合m的范围进行计算即可求n的取值范围； （3）对m的取值范围进行分类讨论，据此进行判断即可． 【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移4个单位后得到函数， 点平移后对应点的坐标为， 新图象对称轴是直线，顶点坐标是； ，， 故答案为：1； （2）当时， 时，， 将代入，， ， 时，， 将代入，， ， n的取值范围为； （3）解：因为函数的对称轴为直线且开口向上， 所以当时，函数的最大值为离对称轴较远点的坐标． 当时，； 当时，， 又因为， 所以当时，， 则随的增大而增大； 当时，， 所以随的增大而增大，所以A选项符合题意． 故答案为：A． 40．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，先随增大而减小，后随增大而增大，求的取值范围； (3)将抛物线向上平移个单位（），得到图形，当时，图形与直线有且只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的性质求解即可； （3）求出直线的解析式为，将抛物线向上平移个单位（）得到，联立解析式得到，令，则问题转化为与在上只有一个交点，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线得， 解得， ； （2），， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，抛物线中随增大而减小，当时，随增大而增大， 当时，先随增大而减小，后随增大而增大， ， 解得； （3）设直线的解析式为，将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 将抛物线向上平移个单位（）得到， 联立， 得到， 令，则问题转化为与在上只有一个交点， 当时，；当时，；当时，； 由图象可知，要使只有一个交点，的取值范围为或，即或． 【点睛】掌握二次函数的图象与性质，并且数形结合是解题的关键． ▌知识点11：一般式下画抛物线草图的方法 步骤： 1. 由a确定开口方向； 2. 由确定对称轴； 3. 计算顶点； 4. 求与y轴交点(0,c)； 5. 利用对称性取对称轴另一侧的点（如取x＝1或x＝－1计算y）； 6. 用平滑曲线连接各点。草图需体现顶点、对称轴、与坐标轴交点及开口方向。 41．（2026·安徽芜湖·三模）已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据抛物线的开口方向和与y轴的交点可得，，可知一次函数的图象经过一、二、四象限，再根据对称轴可得二次函数，然后结合图象可得，最后根据一次函数，当时，判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． ∵抛物线的对称轴是， ∴，即二次函数． 当时，． 对于一次函数，当时，， 所以图象D符合题意． 42．（2026·陕西西安·一模）如图，抛物线与抛物线交于点，过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是的中点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】先推导出，，得到，进而推导出，将，代入，，可得到，则，即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为， ∵抛物线与抛物线相交于点， ∴由抛物线的对称性可知，， 即， ∴， ∵点B是的中点， ∴，即：， 将，代入，，得 ， 则， ∴， ∴， ∴． 43．（25-26八年级下·北京·期末）已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为_ ； (2)表格中空白处的值_ ，_ ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为_ ，对称轴方程为_ ； (4)当时，，则t的取值范围为_ ． 【答案】(1) (2)8；0 (3)图象如图所示： ； (4) 【分析】（1）运用待定系数法求解二次函数的解析式，即可作答． （2）理解题意，把，分别代入，求出的值； （3）用五点作图法即可，再化为顶点式，即可作答． （4）运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把分别代入， 得， 解得， ∴． （2）解：依题意，把代入， 得，即； 把代入， 得，即； （3）解：图略， ∴顶点坐标为，对称轴方程为． （4）解：观察（3）的函数图象： 当时，则 ∵当时，， ∴结合函数图象，得 44．（2026·河南信阳·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，． (1)求该抛物线的顶点坐标． (2)若， ①求该抛物线的解析式，并在给出的平面直角坐标系中画出这条抛物线． ②当时，的最大值与最小值的差为，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) ①该抛物线的解析式为： ②或 【分析】（1）根据配方法化为顶点式，进而求得顶点坐标； （2）①根据抛物线的对称轴为直线，，求得点代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； ②分情况讨论：，，，，根据二次函数的性质，分别求得最值，结合题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴该抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， （2）解：①∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于点，，且， ∴， 将代入得 解得： ∴该抛物线的解析式为： 图略 ②当时，最小值为，最大值为 依题意， 解得：； 当时，即时，最大值为，最小值为 依题意， 解得：， 当时，即时，最小值为， 当时，最大值为 依题意， 解得：（舍去）或（舍去） 当时，最大值为 依题意， 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，或 ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·甘肃嘉峪关·二模）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 则，故①正确． ②③由图可知，抛物线的开口向上，则， 抛物线的对称轴为，，故③正确； ，， 抛物线交轴于负半轴，可得：， ，故②正确． ④由图可知，当时，，故④不正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③． 2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点是抛物线的顶点，则b的值可能为（   ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】先对抛物线解析式配方，得到顶点纵坐标关于的表达式，再根据求出的取值范围，最后结合选项判断即可． 【详解】解： ， ∴顶点纵坐标， 当时，；当时，， ∵是开口向上的二次函数，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∴， 结合选项，只有符合范围． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且当 时， 随的增大而增大，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数开口向上，图像不经过第三、四象限，说明抛物线与x轴最多有一个交点，可得判别式 ，再根据当时 随增大而增大，可得对称轴位置满足不等式，联立两个不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解： 二次函数 中， ， ∴抛物线开口向上，且图像不经过第三、四象限， 抛物线与轴最多有一个交点，即判别式 ∴ 解得 ， 又 二次函数的对称轴为直线 ，且当时， 随的增大而增大， 对称轴满足 ， 综上，实数 的取值范围是． 4．（2026·江苏连云港·一模）已知二次函数的图像过点和．若此抛物线的顶点在第二象限，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入和，得出，根据此抛物线的顶点在第二象限，得出，，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：∵抛物线过点和， ∴，， 即， ∵此抛物线的顶点在第二象限，经过点和， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，即． 5．（25-26九年级下·黑龙江·期中）一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先观察每一个选项中二次函数图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 6．（2026·福建泉州·模拟预测）抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质，先求出抛物线对称轴，再得到与的关系，最后判断各选项即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和，两点纵坐标相等 ∴抛物线对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且到对称轴的距离相等， ∴两点关于抛物线对称轴对称， ∴两点纵坐标相等，即，得， 依次判断选项：A、，值随变化，不是定值，不符合题意； B、，值随变化，不是定值，不符合题意； C、，值恒为，是定值，符合题意； D、，值随变化，不是定值，不符合题意． 7．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，则这个函数图象必过点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数图象关于对称轴对称的性质，求出已知点关于对称轴的对称点，即可得到函数必过的点. 【详解】解：∵二次函数的图象关于对称轴对称，点在函数图象上， ∴点关于直线的对称点也在该函数图象上， 设对称点的横坐标为，则， 解得，纵坐标不变为，即对称点为， 因此这个函数图象必过点. 8．（2026·广西贺州·二模）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对称轴和点的坐标求出抛物线解析式，进而求出点和抛物线与轴另一交点的坐标；利用抛物线的对称性可知，将转化为，根据两点之间线段最短可知当、、三点共线时，最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】抛物线交轴于点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线解析式为， 令，得， ， 根据对称性可得，抛物线与轴另一交点为， 如图所示，连接， 点与点关于对称轴对称，点在对称轴上， ， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长， 在中，，， ， 的最小值为． 二、填空题 9．（2026·上海·模拟预测）若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 【答案】 【分析】 先求出抛物线的顶点坐标，将顶点坐标代入直线方程得到关于的一元二次方程，求解后根据第二象限点的坐标特征筛选出符合条件的的值即可； 【详解】解：， 顶点坐标为， 抛物线顶点在直线上， ， 整理得， 则， ， 解得：，， 顶点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于， 当时，顶点横坐标为，不符合要求，舍去； 当时，顶点横坐标为，纵坐标为，符合要求； 故的值为． 10．（2026·江苏南京·三模）二次函数过点，，则m的取值范围为____________． 【答案】 【分析】将已知两点坐标代入二次函数解析式，联立得到方程组，用表示出二次项系数，再根据的条件解一元一次不等式，即可得到的取值范围． 【详解】解：将点，代入得， 整理得， 由得， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（25-26九年级上·云南怒江·阶段检测）已知关于x的二次函数的图象如图所示，则点在第_________象限． 【答案】二 【分析】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，系数符号的确定是解题关键． 根据开口方向、函数与y轴的交点的位置判断出的符号即可求解． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 二次函数与y轴的交点在y轴正半轴， ， 在第二象限， 故答案为：二． 12．（25-26九年级上·北京顺义·期中）二次函数的图象如图所示，则______ ，______ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系；抛物线由抛物线开口方向得到，由抛物线对称轴为直线得 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， 故答案为：， 13．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示．图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（为常数）；④其中正确的是___________．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴， 故①正确； 由图知，当时，，即， ∴， 故②错误； 由图知，抛物线开口向下，对称轴为， ∴抛物线有最大值为， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∵图象过， ∴， ∴， ∴， 故④正确． 综上所述，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 14．（2022·四川乐山·模拟预测）如图，抛物线的对称轴是直线．有下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点为，则关于的方程无实数根．其中正确结论是________．（只需填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】由图象可知a与c的正负，再根据对称轴可得b的正负，由此可判断①；根据不等式的性质判断②；根据抛物线上的点到对称轴的距离即可判断③；根据二次函数的最值可得最小值，由此可判断④． 【详解】解：由图象可知，图象开口向上，且与y轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴为， ∴， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故结论②正确； ∵，， 此时表示点和到对称轴的距离， 当时， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∵抛物线开口向上， ∴，故结论③正确； ∵抛物线的顶点坐标为，抛物线开口向上 则y的最小值为m， ∴， ∴， ∴， ∴ 而方程变形为 ∴关于的方程无实数根，故结论④正确． ∴正确的结论是①②③④． 15．（2026·西藏林芝·二模）一条抛物线的对称轴为直线，的最大值是，且与抛物线的形状相同，则这条抛物线的解析式是________． 【答案】 【分析】利用对称轴和最值确定抛物线顶点，用顶点式设出解析式，再根据两抛物线形状相同确定二次项系数的值，代入即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，的最大值为， 抛物线的顶点坐标为， 设这条抛物线的解析式为， 该抛物线与的形状相同，且抛物线有最大值，开口向下， ， 这条抛物线的解析式为． 16．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）已知二次函数的图像如图所示，对称轴为直线．现有下列5个结论：①函数图像与x轴的另一交点为；②；③；④（n为实数且）；⑤若点在抛物线上，则当时，q的最大值为c．其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数的图像与性质，根据对称性可判断①；根据对称轴计算公式可判断②；根据当时，可判断③；当时，函数有最小值，最小值为，据此可判断④；由增减性可得当时，q随p的增大而增大，则当时，q有最大值，而当时，，据此可判断⑤． 【详解】解：①∵函数图像与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线， ∴函数图像与x轴的另一交点为，故①正确； ②∵对称轴为直线， ∴， ∴，故②正确； ③由①和图象得，时，， ∴，故③正确； ④∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值，最小值为， ∴当时，一定有， ∴，故④正确； ⑤∵点在抛物线上，当，且抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，q随p的增大而增大， ∴当时，q有最大值， ∵当时，， ∴当时，， ∴q的最大值一定大于c，故⑤错误； 故答案为：①②③④． 三、解答题 17．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握解析式的求法、函数的最值及函数图象的交点是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，由，进而结合求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与轴交于点，， ∴把，代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为9； 又当时，； 当时，； 所以，当时，． 18．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1)， 二次函数图象如下， (2)当时该二次函数的函数值y的取值范围为 【分析】（1）运用待定系数法即可求解，运用五点法作图即可； （2）根据自变量的取值范围分别算出临界点的函数值，结合顶点坐标得到函数值的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， 当时，， 当时，， 运用五点法作函数图象：略； （2）解：在二次函数中，当时， 时，；顶点坐标为；时，， ∴当时该二次函数的函数值y的取值范围为． 19．（2026·广东珠海·三模）已知二次函数，其中． (1)若二次函数的图像经过，求二次函数表达式； (2)若，当时，二次函数图像的最高点为，最低点为，点的纵坐标为6，求点和点的坐标； (3)若，在二次函数图像上任取两点，当时，总有，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入函数解析式中，求出的值，从而解出二次函数解析式； （2）求出二次函数的对称轴，对称轴在内，根据可知二次函数图像开口向上，在顶点处取得最小值，在离对称轴远的端点处取得最大值； （3）根据二次函数图像的增减性，判断的大致位置，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：把代入函数解析式得，， 解得， ∴函数解析式为； （2）解：， ∴拋物线的对称轴为，顶点为， ， ∴抛物线开口向上，且-1到1的距离大于2到1的距离， ∵当时，， ， ∴代入点和点坐标得：； （3）解：当时，如图所示： 则当时随增大而增大， 当时，随增大而减小， 又∵当时，总有， 此时， ． 20．（2026·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入函数解析式整理并化成顶点式即可求解． （2）根据对称轴为直线得出，把和分别代入二次函数求出对应的和，然后相减即可得出答案． （3）根据二次函数顶点坐标得出把点代入，得出，根据顶点坐标得出，，根据h的取值范围即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：当，时， 函数可化为． 整理得：． ∴该函数图象的顶点坐标为． （2）解：已知函数， 其对称轴为， ∵，即对称轴为， ∴， ∴， 将代入函数中，可得， 将代入函数中，可得， ∴， ∴． （3）解：把点代入， 得， ∴， 已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十六章二次函数 26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 课时目标 掌握用配方法将二次函数一般式y=x+bx+c化为顶点式y=a(x-m+k,理解配方 法的步骤与依据，并能熟练运用对称轴公式和顶点坐标公式。 2.能根据一般式中a,b,c的符号判断抛物线的开口方向、对称轴位置、与y轴交点及最 值，理解a,b符号与对称轴位置的“左同右异”关系。 3. 能运用待定系数法求二次函数解析式，根据一般式画出抛物线草图，并解决简单的增 减性与最值问题，形成数形结合思想。 课时目录 知识点01：一般式化为顶点形式（配方法) 知识点02：待定系数法求二次函数解析式 知识点03：对称轴公式 知识点04：顶点坐标公式 知识点05：开口方向 1/21 知识点06：最值 知识点07：与y轴交点 知识点O8:a、b符号与对称轴位置的关系 知识点09：a、c与图象过点的关系 知识点10：增减性 知识点11：一般式下画抛物线草图的方法 知识点1：一般式化为顶点形式（配方法） 对于y=ar+br+c(a≠0)，配方步骤： 提取二次项系数： 括号内加上并减去一次项系数一半的平方： r8a-a b2b2 y=ax+ +c 化为完全平方式： 2a 4a b2 4ac-b2 y=ax+- 合并常数项： 2a 4a。 注意：配方时等式两边需保持平衡，且a≠0。 1.(2026山西晋中·二模)对于抛物线 y=x2-4x+1 ,下列说法正确的是() A.抛物线的开口向下 B.抛物线的顶点坐标为2，-3) C.抛物线的对称轴为直线x=-2 2/21 D.当x>-2时，y随x的增大而增大 2.(25.26八年级下山东济南期末)用配方法把=次函数y-2x+3化成=c-A+k的形式 2 3.(2026福建泉州模拟预测)已知二次函数'=-2mx+2m-1.若点A A(a,x)B(6,）都是该二次函 数图象上的点 (I)求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）； ②)若m=-3,a+b=-4 ,求证： 出+y2≥-30 ⑧)若”=p,h=2m-P,且点4在对称轴的左侧，求证： y<y-1 4.(2026山东菏泽·二模)在直角坐标系中，抛物线 =+r+1“,b是常数，a≠0)与》轴相交 于点A. 0)若抛物线经过点.6).（23)，求4，力的值 (2)已知3a+b=0,若-1≤x≤2，y有最大值9，求a的值. 知识点02：待定系数法求二次函数解折式 已知二次函数图象上三个任意点的坐标，可设一般式y=+bx+c(a≠0)，将三点坐标代 入得到关于a,b,c的三元一次方程组，解方程组求出待定系数。 若己知顶点坐标或对称轴，设顶点式y=(x-h)+k计算更简便。 一般式适用于无特殊己知条件的三点。 5。(2026陕西西安模拟预测)将抛物线'=+r+ (a、b、c为常数，a≠0)向下平移2个单位长 度后，得到的新抛物线格好和抛物线+x4关于y轴对称，则人、c的值为《） A.b=-1,c=6B.b=-1,c=-2C.b=1,c=-2D.b=1,c=6 6.(25-26九年级下全国暑假作业)若点4(2，m)是抛物线y=-m+2上一点，则m= 3/21 7.（2026云南昭通模拟预测)已知二次函数'=？+(m-lx-m。 的图象过点1(2，-) (1)求二次函数的解析式： (2)若k≤x≤k+2,该二次函数的最大值与最小值的差为3，求k的值. 8.(2026江苏南京二模)已知二次函数'=t+br+2 (1,-10 的图象经过点 (1)求该函数图象的项点坐标： (2,m (2)若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点 ,求m的值. 知识点03：对称轴公式 b x= 抛物线y=ar+br+c(a≠0)的对称轴为直线=2a。 b2 4ac-b2 y=ax+- 2a h=、b s、b 推导：由顶点式 4a可知2a,故对称轴为 2a。 该公式直接由系数α，b决定，无需化为顶点式即可使用。 y=-2x2+4x+1 9.(25-26九年级上浙江嘉兴阶段检测)关于抛物线 下列说法正确的是() A.对称轴是直线x=1 B.对称轴是直线x=-1 1 1 C.对称轴是直线x=4 D.对称轴是直线x=2 0226九华级上指建厦门期)刻购，榄物线-+r+“的高分图低，对搭锁为有线=05， 则a-b+c的值() x=0.5 A.-3 B.-2 C.-1 D.0 4/21 =ax2+2x-10 11.(25-26九年级上福建厦门阶段检测)若抛物线 的对称轴是直线x=2」 ,则a的值为 () A.2 B.1 c.0.5 D.0.5 12.(2026四川成都模拟预测)二次函数'=子-r+e 的图象如图所示，对称轴为直线X=2,下列说法 正确的是() A.b=2 B.当x<3时，y随x的增大而增大 C.c<-5 D.当C=一4时，抛物线的顶点坐标为 2,-8) 知识点04：顶点坐标公式 b 4ac-b2 抛物线的项点坐标为 2a 4a h=、b k=4ac-b2 b 4ac-b2 推导：由顶点式得2a, 4a；也可将2a代入一般式求得 4a 注意分子是4ac-b,不要误写为b-4ac。 13。(25-26九年级上云南曲靖阶段检测)二次函数'=+6x+7 的顶点坐标是() A.（3,-2) B(3,-2) c.（3,) D.（3,2) 14。(2526九年级上北京石景山期末)在平面直角坐标系0巾，若抛物线”=子-2x+c便点坐标为 5/21 (h,0 ,则C的值分别是) A.1,1 B.1,-1 C.-1,1 D.-l,-1 15.(2526九年级上宁夏银川阶段检测)如图，己知平行四边形ABCD顶点A的坐标 2,60,点B在 (2,2) '轴上，且4D∥BC∥x轴，过B,C,D三点的抛物线的顶点坐标为2,2) 则抛物线的表达式是 B 16.(2526九年级上江苏泰州阶段检测)抛物线厂r+r+C的顶点坐标为 -2），则bc+l的最大值 为一 知识点05：口方向 开口方向由a的符号决定： 当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。 la的大小决定开口宽窄，Id越大开口越窄，|d越小开口越宽。 这与顶点式和基本式一致。 17.(25-26九年级上安徽安庆期中)下列抛物线中，开口最大的是（) A.少=-x2 B Y=2x2 C.y=3r2+2 D.y=-6r2-1 18.(25-26九年级上重庆阶段检测)下列函数中，其中开口向下的二次函数是() A.y=6x2 B.y=-3x2+5 C.y=x2_I D.y=-(x-1)2+x2 19,(25-26九年级上广西崇左期末)y=(k-3列-2+x-2 是一个开口向下的二次函数，那么k=_ 2526九年级上广西州期)抛物线y=m一2x-6与y=号？的形状相同，开口方向相反 6/21 m= 知识点06：最值 x=- 6 当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值，在顶点处取得，即当2a时， 4ac-b2 最小值= 4a; t、b 当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值，即当2a时， 限大做=4ac-b 4a 4ac-b2 4ac-B=-△ 最值公式也可写为4a，注意与判别式△=b2-4ac的关系，即4a 4a。 21.(25-26九年级上山东烟台期中)在直角坐标系中，二次函数'=-mx+m-m+2 (m为常数)的 图象经过点Q2)和2)， 则这个二次函数有() 7 1 A.最小值4 B.最小值-4 C.最小值2 D.最小值-2 2。(25:26九年级上浙江杭州期中)如图，已知二次函数的图象-2≤x≤6-)， 关于该函数在所给自 变量的取值范围内，下列说法正确的是() 6-1 -2 2 -2 A.有最大值4，无最小值 B.有最大值4，有最小值3 C.有最大值4，有最小值-2 D.有最大值3，有最小值-2 23.(25-26九年级上浙江杭州期中)已知二次函数'=-r+x+ ，当>1 时，函数的最大值为2；当 x≤1时，函数的最大值为1，则bC=一 7/21 y=-x2+2bx+c 24.(25-26九年级上河南信阳阶段检测)已知二次函数 (b,c是常数).当x≤0 时，y 的最大值为-1，当x>0时，y的最大值为3，则该抛物线的对称轴为：x= 知识点07：与y轴交点 求抛物线与y轴的交点，令x=0,得y=c,故交点坐标为(O,c)。 c是常数项，决定了抛物线与y轴交点的纵坐标。 若c=0,抛物线过原点；若c>0,交点在y轴正半轴；若c<0,交点在y轴负半轴。 a,b同号，c>0 a,b同号，c<0 a,b异号，c>0 a,b异号，c>0 y=ax+bx+c x=- b个v 2a y=ax2+bx+c y=ax+bx+c y=ax+bx+c 2a 2a 以上图象是在a>0的条件下，不考虑二次函数在顶点处所取最值的正负性 25.(25-26九年级上·上海静安期末)如果将抛物线 y=axr2+bx+c(a≠0) 向下平移若干个单位，那么下 列结论中错误的是() A.顶点坐标不变 B.开口方向不变 C.对称轴不变 D.与y轴交点个数不变 26.(2026上海金山-一模)在平面直角坐标系0中，对于范物线'=(++2（其中“是常数，且 a≠0)，下列叙述中正确的是() A.当a>0时，抛物线开口向下 B.抛物线与'轴交点坐标为 0,2) C.顶点坐标是12) D.当a<0时，顶点是抛物线的最低点 27.(25-26九年级上北京期中)请写出一个开口向上，与'轴交点纵坐标为1，且经过点 1,-3) 的抛物 线的解析式： 28.(25-26九年级上江苏苏州期中)抛物线y=2r+x+c与》轴交于点C(01),过点C的直线Nx 8/21 D(-2,n) 轴，且与抛物线的另一交点为 则此抛物线的解析式为， 知识点08：4五符号与对称轴位置的送系 b x=- 对称轴2a的位置由a,b的符号共同决定： b 若a,b同号，则2a<0,对称轴在y轴左侧： b 若a,b异号，则2a>0,对称轴在y轴右侧： 若b=0,则对称轴为y轴。 简记：“左同右异”（对称轴在左侧则a,b同号，在右侧则a,b异号)。 a,b同号，c>0 a,b同号，c<0 a,b异号，c>0 a,b异号，c>0 y=ax2+bx+c b个y Y= y=ax2+bx+o v=ax2+bx+c y=ax+bx+c b X= 2a x-2a 以上图象是在a>0的条件下，不考虑二次函数在顶点处所取最值的正负性 29 (2026:内蒙古通辽二模)已知二次函数y=2+br+C的图象如图所示，其对称轴为直线x=1,有 以下结论： ①c>0; ②b>0: ③a+b+c<4a-2b+c: ④2a+b>0, 则其中正确的结论个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 9/21 30,(2026安徽马鞍山三模)二次函数'=r+x+c(a≠0 的图象如图所示，其对称轴是直线=1，则 下列说法错误的是() X= A.2a+b=0 B.3a+2b<0 C.3a+c<0 D.方程 有两个不相等的实数根 3引.(2026~安徽马鞍山三模)二次函数'=a+br+ca≠0 的图像如图所示，对称轴是直线x=1,则 () 10 A.abc>0 B.9a+3b+c>0 C.2a+b=0 D.3a+c>0 32.(2026河南一模)二次函数y=r2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=-2,现给出以 下结论：①abc<0;②b2-4ac>0;③a-b+c>0,④(a+b)(2a+c)>0.其中正确的个数为() 10/21 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点09：4，c与图象过点的送系 a决定开口方向与宽窄，c决定与y轴交点。 图象经过的点可提供方程：如过点(1，m,则a十b十c=:过点（一1，），则a一b十c=。 这些关系常用于判断系数符号或求参数。 例如：若抛物线过(1,0)，则a十b十c=0:若过（一1,0），则a一b十c=0。 38.25,26八年级下福建福州期末)已知点42，cd,B(6m),D()都在二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象上，则下列结论正确的是() A.a+d>c B.a-b<0 C.d-n>0 D.n-c>0 34.25:26八年经下重庆期末)如图，二次函数'=+x+ca40)的图象与‘销交于点 -1,0),对 称轴为直线x=1,则下列讨论中错误的是() yA X=] A A.abc<0 B.2a+b=0 C.4a+2b+c>0 D.c+8a>0 35.(2026四川成都三模)二次函数'=+r+c(a≠0 的图象如图所示，对称轴为直线x=1,与轴 负半轴的交点横坐标在-2和-1之间.下列结论正确的是() 11/21 y A.abc<0 B.2a-b=0 C.a-b+c>0 D.8a+c>0 36。(25-26九年级下湖北武汉阶段检测)已知勒物线'=++C与x轴交于点10 ,对称轴为直 线x=1,且抛物线与y轴的交点在x轴上方.下列结论：①a<0；②c=-3a;③对于任意实数t,不 等式a㎡2+bM+a<0恒成立：④a+hx+cx2=0的两根分别为x=-1,名=3：⑤若M(:,小、N(x,) 是抛物线上的两点，且<5，当+5>2时总有之片，则K>1.其中正确的结论有一《填序 号)· 知识点10：增减性 s、b 增减性以对称轴2a为界。 b b x<- x>- 当a>0时，当2a时，y随x增大而减小，当2a时，y随x增大而增大； x<- b b x>- 当a<0时，在2a时，y随x增大而增大，当2a时，y随x增大而减小。 y=ax2+bx+c v=ax+bx+c a>0 a<0 b = x=- 2a 2a 37.(25-26九年级上安徽阜阳阶段检测)已知二次函数'=+x+c4≠0 的图象开口向下，并且 经过1(-2,0)B(0,-)】 两点，则下列结论正确的是（) 12/21 A.当x>O时，y随x的增大而增大B.当x>O时，y随x的增大而减小 C.当x<0时，y随x的增大而增大D.当x<0时，y随x的增大而减小 38。(25-26九年级上：广西南宁阶段检测)关于二次函数'=-+2 的图象，下列说法正确的是() A.当x>1时，y随x的增大而增大B.当x>-l时，y随x的增大而增大 C.当x<1时，y随x的增大而增大D.当x<-l时，y随x的增大而减小 39.(2526九年级上江苏南京期未)已知二次函数'=（任-m+”（m,n为常数）的图象经过点 A(3,2) (1)将该函数图象向右平移4个单位后仍过点A,则m=一 (2)当0≤m≤2时，求n的取值范围： 3)当0≤x≤2时，函数的最大值为M,则下列结论中正确的是一 A.M随的增大而增大 B.M随m的增大而减小 C.M随的增大先增大后减小 D.M随m的增大先减小后增大 40.(2026北京模拟预测)在平面直角坐标系0中，直线'与抛物线”=+(a≠0)交于4(4,0) B(1,-3) 两点. (1)求抛物线的解析式： 2)当m-2≤x≤m+1时，y先随x增大而减小，后随x增大而增大，求m的取值范围； 8)将抛物线向上平移n个单位(n>0),得到图形G,当2≤x≤3时，图形G与直线/有且只有一个 3 公共点，结合函数图象，求n的取值范围. 知识点11：一般式下画抛物线草图的方法 步骤： 由a确定开口方向： b X= 由 2a确定对称轴； 13/21 b 4ac-b2 计算顶点（2a 4a 求与y轴交点(0，c): 利用对称性取对称轴另一侧的点（如取x=1或x=一1计算y); 用平滑曲线连接各点。草图需体现顶点、对称轴、与坐标轴交点及开口方向。 41。(2026安徽芜湖三模)已知二次函数'=m+r+c(a≠0 的图象如图所示，则函数y=+C的图象 可能为() V 42.(2026陕西西安·一模)如图，抛物 与抛物线'=a,r+h: y=4x 交于点 A(3,m ,过点A作x轴的 a2= 平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是AC的中点，则a() 14/21 1 A.3 B.3 C.9 D.9 48.（25:26八年级下北京期末)已知：二次函数'=+x+ ,y与x的一些对应值如表： -1 0 1 2 … ax2+bx+c u 3 3 3 2 -4-3-2-10 1 234x -2 3 -4 (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为： (2)表格中空白处的值m=_,n=-; B)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数'=+x+ 的图象，并回答：顶点坐标为，对 称轴方程为： ④)当0<x≤1时，-1≤y<3,则t的取值范围为· 44.(2026河南信阳·三模)在平面直角坐标系中，已知抛物线 =m-2m+m-4与*轴交于点A,B 5 3 1 -5-4-3-2-10 12345x (1)求该抛物线的顶点坐标. (2)若AB=4, 15/21 ①求该抛物线的解析式，并在给出的平面直角坐标系中画出这条抛物线. ②当n-2≤x≤n时，y的最大值与最小值的差为8，请直接写出n的值. 课时训练 一、选择题 1.（2026甘肃嘉峪关·二模)已知二次函数'=r+br+ca≠0) 的图象如图所示，有下列结论：① b2-4ac>0 abc>0 b=-2a a+b+c>0 ② ③ 4) ,下列选项正确的是() 1 A.①②③④ B.①②④ C.①②③ D.①② 2.(2026陕西咸阳·模拟预测)己知点 a,b) y=mx2-2mx+m2+2m+1(0<m<1) 是抛物线 的顶点，则b 的值可能为() A.2 B.1 C.4 D.3 y=x2-2mx+m2+2m+3 3.(2026陕西西安·模拟预测)已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且 当x>1时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是() A.m>-3 3 3 m≤1 2 B.m≤1 C.-2<msl D.-2 4.(2026江苏连云港一模)已知二次函数'=+bx+C的图像过点 (2,0)C(0,4) 和 若此抛物线的顶 点在第二象限，设t=a-b+C,则t的取值范围是() A.2<t<3B.3<1<5 C.3<t<6 D.4<t<6 5（25-26九年级下黑龙江期中)一次函数'=+h和二次函数=m+hr+c46 是常数，且a≠0 16/21 )在同一平面直角坐标系中的图象可能是() 6（2026福建泉州模拟预测)揽物线”+加+a≠0)经过四点.(m-h-).(Q-),(d)】 (2-m-）,其中0，则下列选项中，值不变的是（） A.1-k B.k-2t C.k D.tk (5,4 7.(25-26九年级上：辽宁盘锦·期中)已知二次函数的图象过点 ,对称轴为直线x=2,则这个函数 图象必过点() A.（1,4) B.(0,3) c.(2,4) D.(3,4) 8,(2026广西贺州二模)如图，抛物线=-伽+C交轴于点1,0)，交'轴于点8，对称轴是直线 x=2,点P是抛物线对称轴上的一个动点，则PA+PB的最小值为() r=2 A.vio c.25 D.3V2 二、填空题 17/21 习（2026上海预级预烈》若满物线--6+645+的限去在直线+2 上，且位于第二象 限，则m的值为 10.(2026江苏南京三模)二次函数'=+x(a<0)过方（-m）(,m+2 过点 ,则心的取值范围为 1.（25-26九年级上云南怒江阶段检测)已知关于x的二次函数)=++C 的图象如图所示，则点 P(a,c) 在第」 象限. 12.(25-26九年级上北京顺义期中)二次函数'=+x+c(a≠0 的图象如图所示，则口一 0 b 0. 13。（25-26九年级上河北保定阶段检测)二次函数'=+x+ 的部分图象如图所示.图象经过点 (10,对称镇为直线x=2,给出下列结论：0c<0;②1a+c>26, 4a+2b≥m(am+b）m ③ 为常数)；④3b-2c>0.其中正确的是 (填序号) 18/21 y=ax+bx+c 14.(2022四川乐山模拟预测)如图，抛物线 的对称轴是直线=一1.有下列结论：① ac<0,②4a+c<2b:③若，和馬，)是抛物线上的两点，则当压+l>+时，片>乃：④ 抛物线的顶点为，则关于的方程+r+c=m- .（-l,m) 无实数根.其中正确结论是 (只需填写序号) X=- 1 15.(2026:西藏林艺·二模)一条抛物线的对称轴为直线x=1,y的最大值是3，且与抛物线y=一2的 形状相同，则这条抛物线的解析式是 16.(25:26九年级上浙江阶段检测)已知二次函数'=+x+c(a≠0)角 的图像如图所示，对称轴为直 线=1.现有下列5个结论：①函数图像与轴的另一交点为B,0),②0=-24，③4a+2b+c<0, (an+b)>a+b (p,9) (n为实数且n≠1)；⑤若点 在抛物线上，则当≤P≤4时，q的最大值为 C.其中正确的结论有（填序号）. 19121 三、解答题 17,(25-26九年缀上江西景德镇期末)二次函数'=a+r+5图象与*轴交于点4-1,0)，B(5,0) (1)求该二次函数解析式： (2)当1<x<4时，直接写出y的取值范围. 18.(25:26八年级下北京期末)已知二次函数'=r+x+C的图象经过点(0，-.(2，) y 4 1 2 2 (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象： (2)当0≤x≤3时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围 19.(2026:广东珠海三模)已知二次函数'=mr-2mx+3 其中m≠0 1)若二次函数的图像经过，4)，求二次函数表达式； (2)若m>0,当-1≤x≤2时，二次函数图像的最高点为M,最低点为W,点M的纵坐标为6，求点 M和点N的坐标： 3)若m<0,在二次函数图像上任取两点 ，)(x,）,当a+2≤≤时，总有片>为，请直接写 出a的取值范围。 20121 20.(2026浙江杭州一模)在平面直角坐标系中，已知函数'=-(x-m(x-+1m,n为常数)图象 (h,k) 的顶点坐标为 (1)当m=2,n=4时，求该函数图象的顶点坐标， ②考4），8(4)为该函数图象上的点，当h=2时，比较，为的大小 (3)若该函数的图象经过 点Q2),当h≥1时，求的取值范国. 21/21