26.2.3《二次函数的图象和性质》分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接）2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册第26章26.2第3课时同步练，以“基础巩固-综合应用-中考衔接”分层设计，覆盖二次函数一般式核心知识点，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|配方、对称轴、顶点坐标、增减性等单一知识点|选择填空为主，聚焦概念理解与基本运算，如配方转化、公式法求顶点| |进阶思维题|平移、综合性质判断、最值应用、解析式求解|解答题占比提升，结合图像分析与参数计算，如含参数二次函数最值探究| |中考链接题|中考高频考点：顶点坐标、对称轴、平移、实际应用|选用中考真题，强化模型意识，如与坐标轴交点及图形面积计算|

人教版九年级上册 第26章 二次函数 26.2二次函数的图象与性质 第3课时 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 本节知识点总结 1. 一般式化为顶点式（配方法）： y = ax² + bx + c = a(x + )² + 即 y = a(x - h)² + k，其中 h = -，k = 。 2. 一般式的对称轴和顶点坐标： 对称轴：直线 x = - 顶点坐标：(, ) 3. 一般式的增减性： 当 a > 0 时：x < -时，y 随 x 增大而减小；x > - 时，y 随 x 增大而增大。 当 a < 0 时：x < - 时，y 随 x 增大而增大；x > - 时，y 随 x 增大而减小。 4. 一般式的最值： 当 a > 0 时，x = - 时，y 有最小值 ； 当 a < 0 时，x = - 时，y 有最大值 。 5. 配方的步骤：①提（提取二次项系数）；②配（加一次项系数一半的平方再减）；③化（化为完全平方式）；④整（整理成顶点式）。 本节知识点总结 📅 一、基础过关题 题型01 一般式化为顶点式（配方） 1．（2024秋·北京朝阳·单元测）将二次函数 y = x² - 4x + 3 化为顶点式，结果正确的是（　　） A．y = (x - 2)² - 1 B．y = (x - 2)² + 1 C．y = (x + 2)² - 1 D．y = (x + 2)² + 1 【答案】 A 【分析】 利用配方法将一般式化为顶点式。 【详解】 解：y = x² - 4x + 3 = (x² - 4x + 4) - 4 + 3 = (x - 2)² - 1。 故选：A。 2．（2024-2025九年级上·上海浦东·期中）将二次函数 y = 2x² + 4x - 1 化为顶点式，正确的是（　　） A．y = 2(x + 1)² - 3 B．y = 2(x + 1)² - 2 C．y = 2(x - 1)² - 3 D．y = 2(x - 1)² - 2 【答案】A 【分析】先提取二次项系数2，再配方。 【详解】解：y = 2x² + 4x - 1 = 2(x² + 2x) - 1 = 2(x² + 2x + 1 - 1) - 1 = 2[(x + 1)² - 1] - 1 = 2(x + 1)² - 2 - 1 = 2(x + 1)² - 3。 故选：A。 3．（2024秋·广东深圳·月考）将二次函数 y = -x² + 6x - 5 化为顶点式为___y = -(x - 3)² + 4___。 【答案】 y = -(x - 3)² + 4 【分析】 先提取-1，再配方。 【详解】 解：y = -x² + 6x - 5 = -(x² - 6x) - 5 = -(x² - 6x + 9 - 9) - 5 = -[(x - 3)² - 9] - 5 = -(x - 3)² + 9 - 5 = -(x - 3)² + 4。 4．（2024-2025九年级上·江苏南京·单元测）将二次函数 y = 3x² - 6x + 2 化为顶点式，并写出它的对称轴和顶点坐标。 【答案】 y = 3(x - 1)² - 1，对称轴为直线x = 1，顶点坐标为(1, -1) 【分析】 先提取二次项系数3，再配方化为顶点式。 【详解】 解：y = 3x² - 6x + 2 = 3(x² - 2x) + 2 = 3(x² - 2x + 1 - 1) + 2 = 3[(x - 1)² - 1] + 2 = 3(x - 1)² - 3 + 2 = 3(x - 1)² - 1。 ∴ 对称轴为直线 x = 1，顶点坐标为 (1, -1)。 题型02 求抛物线的对称轴和顶点坐标（公式法） 5．（2024秋·浙江杭州·期中）抛物线 y = x² - 2x + 3 的对称轴是（　　） A．直线 x = -1 B．直线 x = 1 C．直线 x = -2 D．直线 x = 2 【答案】 B 【分析】 利用对称轴公式 x = -b/(2a) 计算。 【详解】 解：∵ a = 1，b = -2，∴ 对称轴为 x = -b/(2a) = -(-2)/(2×1) = 2/2 = 1。即对称轴为直线 x = 1。 故选：B。 6．（2024-2025九年级上·山东济南·月考）抛物线 y = 2x² + 4x - 3 的顶点坐标是（　　） A．(-1, -5) B．(1, -5) C．(-1, -1) D．(1, -1) 【答案】 A 【分析】 利用顶点坐标公式 (-, )计算。 【详解】 解：∵ a = 2，b = 4，c = -3， ∴ x = - = - = -1， y = = = = -5。 ∴ 顶点坐标为 (-1, -5)。 故选：A。 7．（2024秋·湖北武汉·单元测）抛物线 y = -x² + 4x - 1 的顶点坐标是___(2, 3)___。 【答案】 (2, 3) 【分析】 利用顶点坐标公式计算。 【详解】 解：∵ a = -1，b = 4，c = -1， ∴ x = - = - = 2， y = = = = 3。 ∴ 顶点坐标为 (2, 3)。 8．（2024-2025九年级上·四川成都·期中）已知抛物线 y = ax² + bx + c 的对称轴为直线 x = 2，且经过点 (1, 0)，则 a + b + c 的值为___0___。 【答案】 0 【分析】 点(1, 0)在抛物线上，直接代入得a + b + c = 0。 【详解】 解：∵ 抛物线经过点 (1, 0)， ∴ 当 x = 1 时，y = 0，即 a×1² + b×1 + c = 0， ∴ a + b + c = 0。 题型03 二次函数的增减性判断 9．（2024秋·河北石家庄·月考）对于二次函数 y = x² - 4x + 3，下列说法正确的是（　　） A．当 x > 2 时，y 随 x 的增大而减小 B．当 x > 2 时，y 随 x 的增大而增大 C．当 x < 2 时，y 随 x 的增大而增大 D．y 的最大值为 -1 【答案】 B 【分析】 先求对称轴，再根据a的正负判断增减性。 【详解】 解：∵ a = 1 > 0，对称轴为 x = - = = 2， ∴ 抛物线开口向上，当 x < 2 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > 2 时，y 随 x 的增大而增大。 当 x = 2 时，y 有最小值。 故选：B。 10．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）二次函数 y = -2x² + 8x - 5 的图象上，y 随 x 的增大而增大的 x 的取值范围是（　　） A．x < 2 B．x > 2 C．x < -2 D．x > -2 【答案】 A 【分析】 先求对称轴，再根据a<0判断增减性。 【详解】 解：∵ a = -2 < 0，对称轴为 x = -b/(2a) = -8/(2×(-2)) = -8/(-4) = 2， ∴ 抛物线开口向下，当 x < 2 时，y 随 x 的增大而增大；当 x > 2 时，y 随 x 的增大而减小。 故选：A。 11．（2024秋·重庆沙坪坝·期中）已知点 A(-3, y₁)、B(-1, y₂)、C(2, y₃) 都在抛物线 y = x² - 2x + 1 上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是（　　） A．y₁ > y₂ > y₃ B．y₁ > y₃ > y₂ C．y₃ > y₁ > y₂ D．y₂ > y₁ > y₃ 【答案】 A 【分析】 先求对称轴，再比较各点到对称轴的距离。 【详解】 解：抛物线 y = x² - 2x + 1 = (x - 1)²，对称轴为 x = 1，a = 1 > 0，开口向上。 点A到对称轴的距离：|-3 - 1| = 4 点B到对称轴的距离：|-1 - 1| = 2 点C到对称轴的距离：|2 - 1| = 1 ∵ 4 > 2 > 1，开口向上，距离越远函数值越大，∴ y₁ > y₂ > y₃。 故选：A。 12．（2024-2025九年级上·辽宁沈阳·月考）若二次函数 y = x² + bx + 5 配方后为 y = (x - 2)² + k，则 b、k 的值分别为（　　） A．4，1 B．-4，1 C．4，-1 D．-4，-1 【答案】 B 【分析】 将顶点式展开，与一般式比较系数。 【详解】 解：y = (x - 2)² + k = x² - 4x + 4 + k， 与 y = x² + bx + 5 比较，得：b = -4，4 + k = 5，解得 k = 1。 ∴ b = -4，k = 1。 故选：B。 题型04 二次函数的最值问题 13．（2024秋·湖南长沙·单元测）二次函数 y = x² - 4x + 7 的最小值是（　　） A．-2 B．2 C．3 D．7 【答案】 C 【分析】 利用顶点坐标公式求最小值。 【详解】 解：∵ a = 1 > 0，抛物线开口向上，有最小值。 y = = = = 3。 ∴ 最小值为 3。 故选：C。 14．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）二次函数 y = -x² + 2x + 3 的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 C 【分析】 利用顶点坐标公式求最大值。 【详解】 解：∵ a = -1 < 0，抛物线开口向下，有最大值。 y = = = 4。 ∴ 最大值为 4。 故选：C。 15．（2024秋·福建福州·月考）已知二次函数 y = 2x² - 8x + m 的最小值为 1，则 m 的值为__9____。 【答案】 9 【分析】 利用最小值公式列方程求解。 【详解】 解：∵ a = 2 > 0，抛物线开口向上，有最小值。 最小值 y = (4ac - b²)/(4a) = (8m - 64)/8 = m - 8。 由题意，m - 8 = 1，解得 m = 9。 16．（2024-2025九年级上·江西南昌·月考）当 x = ___-1___ 时，二次函数 y = x² + 2x - 3 有最小值，最小值为__-4____。 【答案】 -1；-4 【分析】 先求对称轴，再求顶点纵坐标。 【详解】 解：∵ a = 1 > 0，抛物线开口向上，有最小值。 当 x = - = - = -1 时，y 有最小值。 最小值 y = = = -4。 题型05 开口方向、对称轴、顶点综合判断 17．（2024秋·天津南开·期中）关于二次函数 y = -2x² + 4x + 1，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴为直线 x = -1 C．顶点坐标为 (1, 3) D．当 x > 1 时，y 随 x 的增大而增大 【答案】 C 【分析】 逐一判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性。 【详解】 解：A选项：a = -2 < 0，开口向下，错误； B选项：对称轴 x = - = - = 1，错误； C选项：x = 1，y = = = = 3，顶点坐标为 (1, 3)，正确； D选项：开口向下，对称轴 x = 1，当 x > 1 时，y 随 x 的增大而减小，错误。 故选：C。 18．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）抛物线 y = 3x² - 6x + 5 的顶点坐标是（　　） A．(1, 2) B．(1, 8) C．(-1, 2) D．(-1, 8) 【答案】 A 【分析】 利用顶点坐标公式计算。 【详解】 解：x = - = = 1， y = = = 2。 ∴ 顶点坐标为 (1, 2)。 故选：A。 19．（2024秋·云南昆明·单元测）已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交于正半轴，则下列结论正确的是（　　） A．a > 0 B．b < 0 C．c > 0 D．b² - 4ac < 0 【答案】 C 【分析】 根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号。 【详解】 解：A选项：抛物线开口向下，a < 0，错误； B选项：对称轴在y轴右侧，即 x = - > 0，∵ a < 0，∴ b > 0，错误； C选项：抛物线与y轴交于正半轴，当x=0时y=c>0，正确； D选项：无法确定抛物线与x轴的交点个数，不能判断b² - 4ac的符号，错误。 故选：C。 题型06 已知点在抛物线上求参数 20．（2024-2025九年级上·广西南宁·期中）已知点 (2, 3) 在抛物线 y = x² + bx + c 上，且对称轴为直线 x = 1，则 b、c 的值分别为（　　） A．-2，3 B．-2，-3 C．2，3 D．2，-3 【答案】 A 【分析】 利用对称轴公式求b，再代入点的坐标求c。 【详解】 解：∵ 对称轴为 x = 1，∴ - = - = 1，解得 b = -2。 ∵ 点 (2, 3) 在抛物线上，∴ 3 = 4 + (-2)×2 + c，3 = 4 - 4 + c，解得 c = 3。 ∴ b = -2，c = 3。 故选：A。 21．（2024秋·贵州贵阳·月考）若抛物线 y = x² - 2x + m 与 x 轴有两个交点，则 m 的取值范围是（　　） A．m > 1 B．m < 1 C．m ≥ 1 D．m ≤ 1 【答案】 B 【分析】 抛物线与x轴有两个交点，即判别式b² - 4ac > 0。 【详解】 解：∵ 抛物线与 x 轴有两个交点，∴ b² - 4ac > 0， 即 4 - 4m > 0，-4m > -4，解得 m < 1。 故选：B。 22．（2024-2025九年级上·甘肃兰州·单元测）已知二次函数 y = x² + bx + c 的图象经过点 A(-1, 0)、B(3, 0)，则 b、c 的值分别为__b = -2，c = -3____。 【答案】 b = -2，c = -3 【分析】 将两点坐标代入解析式，解方程组。 【详解】 解：将 A(-1, 0)、B(3, 0) 代入 y = x² + bx + c，得： 1 - b + c = 0 ...① 9 + 3b + c = 0 ...② ② - ①，得 8 + 4b = 0，解得 b = -2。 将 b = -2 代入①，得 1 + 2 + c = 0，解得 c = -3。 ∴ b = -2，c = -3。 题型07 函数值比较大小 23．（2024秋·青海西宁·期中）已知点 A(-2, y₁)、B(1, y₂)、C(3, y₃) 都在抛物线 y = x² - 2x - 3 上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是（　　） A．y₁ < y₂ < y₃ B．y₂ < y₁ < y₃ C．y₃ < y₁ < y₂ D．y₂ < y₃ < y₁ 【答案】 D 【分析】 先求对称轴，再比较各点到对称轴的距离。 【详解】 解：抛物线 y = x² - 2x - 3，对称轴 x = 1，a = 1 > 0，开口向上。 点A到对称轴的距离：|-2 - 1| = 3 点B到对称轴的距离：|1 - 1| = 0 点C到对称轴的距离：|3 - 1| = 2 ∵ 0 < 2 < 3，开口向上，距离越远函数值越大，∴ y₂ < y₃ < y₁。 故选：D。 24．（2024-2025九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）若点 (-2, y₁)、(1, y₂)、(3, y₃) 都在抛物线 y = -x² + 2x + 3 上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是（　　） A．y₁ < y₃ < y₂ B．y₁ < y₂ < y₃ C．y₃ < y₁ < y₂ D．y₂ < y₁ < y₃ 【答案】 A 【分析】 先求对称轴，再比较各点到对称轴的距离，注意开口向下。 【详解】 解：抛物线 y = -x² + 2x + 3，对称轴 x = 1，a = -1 < 0，开口向下。 点(-2, y₁)到对称轴的距离：|-2 - 1| = 3 点(1, y₂)到对称轴的距离：|1 - 1| = 0 点(3, y₃)到对称轴的距离：|3 - 1| = 2 ∵ 0 < 2 < 3，开口向下，距离越远函数值越小，∴ y₂ > y₃ > y₁，即 y₁ < y₃ < y₂。 故选：A。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·北京海淀·期中）将抛物线 y = x² - 2x + 3 向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到的抛物线解析式为（　　） A．y = (x + 1)² + 3 B．y = (x - 3)² + 3 C．y = (x + 1)² + 2 D．y = (x - 3)² + 2 【答案】 A 【分析】 先化为顶点式，再根据平移规律求解。 【详解】 解：y = x² - 2x + 3 = (x - 1)² + 2， 向左平移2个单位：y = (x - 1 + 2)² + 2 = (x + 1)² + 2， 再向上平移1个单位：y = (x + 1)² + 2 + 1 = (x + 1)² + 3。 故选：A。 2．（2024秋·上海闵行·月考）如图，已知二次函数 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的图象开口向下，对称轴为直线 x = 1，与 y 轴交于正半轴，则下列结论错误的是（　　） A．a < 0 B．b < 0 C．c > 0 D．b + 2a = 0 【答案】B 【分析】 根据图象判断a、b、c的符号，再逐一验证。 【详解】 解：由题意：开口向下，a < 0；对称轴 x = - = 1，∴ b = -2a。 ∵ a < 0，∴ b = -2a > 0；与y轴交于正半轴，c > 0。 A选项：a < 0，正确；B选项：b > 0，不是b < 0，错误； C选项：c > 0，正确；D选项：b + 2a = -2a + 2a = 0，正确。 故选：B。 3．（2024-2025九年级上·广东广州·单元测）若二次函数 y = x² - 2x + m 的最小值为 3，则 m 的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 C 【分析】 利用顶点纵坐标公式列方程求解。 【详解】 解：y = = = m - 1。 由题意，m - 1 = 3，解得 m = 4。 故选：C。 4．（2024秋·江苏苏州·期中）已知二次函数 y = -x² + 2x + k 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围是（　　） A．k > -1 B．k < -1 C．k > 1 D．k < 1 【答案】 A 【分析】 抛物线与x轴有两个交点，即判别式大于0。 【详解】 解：∵ 抛物线与 x 轴有两个交点，∴ b² - 4ac > 0， 即 4 + 4k > 0，4k > -4，解得 k > -1。 故选：A。 5．（2024-2025九年级上·浙江宁波·月考）已知抛物线 y = ax² + bx + c 经过点 (-1, 0)、(3, 0)，且与 y 轴交于点 (0, -3)，则这条抛物线的解析式为（　　） A．y = x² - 2x - 3 B．y = x² + 2x - 3 C．y = -x² + 2x - 3 D．y = -x² - 2x - 3 【答案】 A 【分析】 已知与x轴的两个交点，可用交点式求解。 【详解】 解：∵ 抛物线经过点 (-1, 0)、(3, 0)， ∴ 设抛物线解析式为 y = a(x + 1)(x - 3)。 将 (0, -3) 代入，得 -3 = a×1×(-3)，解得 a = 1。 ∴ y = (x + 1)(x - 3) = x² - 2x - 3。 故选：A。 6．（2024秋·山东青岛·单元测）对于二次函数 y = -2x² + 8x - 6，下列说法错误的是（　　） A．开口向下 B．对称轴为直线 x = 2 C．顶点坐标为 (2, 2) D．函数有最小值 2 【答案】 D 【分析】 逐一验证各选项。 【详解】 解：A选项：a = -2 < 0，开口向下，正确； B选项：对称轴 x = - = - = 2，正确； C选项：y = = = 2，顶点坐标为 (2, 2)，正确； D选项：开口向下，函数有最大值2，不是最小值，错误。 故选：D。 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·月考）抛物线 y = 2x² - 4x + 1 的对称轴是直线___x = 1___。 【答案】 x = 1 【分析】 利用对称轴公式计算。 【详解】 解：x = - = - = 1。 ∴ 对称轴为直线 x = 1。 8．（2024秋·四川成都·期中）二次函数 y = -x² + 6x - 5 的最大值是___4___。 【答案】 4 【分析】 利用顶点纵坐标公式计算。 【详解】 解：y = = = 4。 ∴ 最大值为 4。 9．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）已知抛物线 y = x² + bx + c 的对称轴为直线 x = 2，且经过点 (1, 4)，则 b = __-4____，c = ___7___。 【答案】 -4；7 【分析】 先由对称轴求b，再代入点坐标求c。 【详解】 解：∵ 对称轴为 x = 2，∴ - = 2，解得 b = -4。 将 (1, 4) 代入 y = x² - 4x + c，得 4 = 1 - 4 + c，解得 c = 7。 10．（2024秋·重庆渝中·月考）若二次函数 y = x² - 6x + m 的最小值为 1，则 m = ___10___。 【答案】 10 【分析】 利用最小值公式列方程求解。 【详解】 解：y = = = m - 9。 由题意，m - 9 = 1，解得 m = 10。 11．（2024-2025九年级上·辽宁大连·期中）已知点 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂) 在抛物线 y = x² - 4x + 3 上，若 x₁ < x₂ < 2，则 y₁ ___>___ y₂（填">"、"<"或"="）。 【答案】 > 【分析】 先判断对称轴，再根据增减性判断。 【详解】 解：抛物线 y = x² - 4x + 3，a = 1 > 0，开口向上，对称轴 x = 2。 ∵ x₁ < x₂ < 2，即在对称轴左侧，开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小， ∴ y₁ > y₂。 （三）解答题 12．（2024秋·湖南长沙·月考）已知二次函数 y = x² - 2x - 3。 （1）将其化为顶点式； （2）求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）求抛物线与 x 轴的交点坐标。 【答案】 （1）y = (x - 1)² - 4；（2）开口向上，对称轴x = 1，顶点(1, -4)；（3）(-1, 0)、(3, 0) 【分析】 （1）用配方法化为顶点式；（2）根据顶点式判断；（3）令y=0解方程。 【详解】 解：（1）y = x² - 2x - 3 = (x² - 2x + 1) - 1 - 3 = (x - 1)² - 4。 （2）∵ a = 1 > 0，∴ 抛物线开口向上。 对称轴为直线 x = 1，顶点坐标为 (1, -4)。 （3）令 y = 0，则 x² - 2x - 3 = 0，(x - 3)(x + 1) = 0， 解得 x₁ = 3，x₂ = -1。 ∴ 抛物线与 x 轴的交点坐标为 (-1, 0) 和 (3, 0)。 13．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数的图象经过点 (0, 3)、(1, 0)、(3, 0)。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）求它的对称轴和顶点坐标。 【答案】 （1）y = x² - 4x + 3；（2）对称轴x = 2，顶点(2, -1) 【分析】 已知与x轴的两个交点，用交点式求解。 【详解】 解：（1）∵ 抛物线经过点 (1, 0)、(3, 0)， ∴ 设抛物线解析式为 y = a(x - 1)(x - 3)。 将 (0, 3) 代入，得 3 = a×(-1)×(-3)，3 = 3a，解得 a = 1。 ∴ y = (x - 1)(x - 3) = x² - 4x + 3。 （2）y = x² - 4x + 3 = (x - 2)² - 1， ∴ 对称轴为直线 x = 2，顶点坐标为 (2, -1)。 14．（2024秋·福建福州·单元测）已知二次函数 y = -x² + 2x + 3。 （1）求函数的最大值； （2）当 0 ≤ x ≤ 3 时，求函数的最大值和最小值。 【答案】 （1）最大值为4；（2）最大值为4，最小值为0 【分析】 （1）利用顶点式求最大值；（2）在给定区间内求最值，注意顶点是否在区间内。 【详解】 解：（1）y = -x² + 2x + 3 = -(x² - 2x) + 3 = -(x² - 2x + 1 - 1) + 3 = -[(x - 1)² - 1] + 3 = -(x - 1)² + 1 + 3 = -(x - 1)² + 4。 ∵ a = -1 < 0，∴ 函数有最大值。当 x = 1 时，y 最大值 = 4。 （2）当 0 ≤ x ≤ 3 时，顶点 x = 1 在区间内， 当 x = 1 时，y 最大值 = 4； 比较端点：当 x = 0 时，y = 3；当 x = 3 时，y = -9 + 6 + 3 = 0。 ∴ 当 x = 3 时，y 最小值 = 0。 ∴ 当 0 ≤ x ≤ 3 时，函数的最大值为 4，最小值为 0。 15．（2024-2025九年级上·江西南昌·月考）已知抛物线 y = -x² + 2x + 3 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），与 y 轴交于点 C。 （1）求 A、B、C 三点的坐标； （2）求△ABC 的面积。 【答案】 （1）A(-1, 0)，B(3, 0)，C(0, 3)；（2）6 【分析】 （1）令y=0求A、B，令x=0求C；（2）用底乘高求面积。 【详解】 解：（1）令 y = 0，则 -x² + 2x + 3 = 0，x² - 2x - 3 = 0，(x - 3)(x + 1) = 0， 解得 x₁ = 3，x₂ = -1。∵ A 在 B 左侧，∴ A(-1, 0)，B(3, 0)。 令 x = 0，则 y = 3，∴ C(0, 3)。 （2）AB = 3 - (-1) = 4，点 C 到 x 轴的距离为 3， S△ABC = ½ × AB × OC = ½ × 4 × 3 = 6。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都中考）二次函数 y = x² - 4x + 3 的图象的顶点坐标是（　　） A．(2, -1) B．(2, 1) C．(-2, -1) D．(-2, 1) 【答案】 A 【分析】 利用顶点坐标公式计算。 【详解】 解：x = = = 2，y = = = -1。 ∴ 顶点坐标为 (2, -1)。 故选：A。 2．（2024·江苏苏州中考）抛物线 y = 2x² + 4x - 1 的对称轴是（　　） A．直线 x = -1 B．直线 x = 1 C．直线 x = -2 D．直线 x = 2 【答案】 A 【分析】 利用对称轴公式计算。 【详解】 解：x = - = - = -1。 ∴ 对称轴为直线 x = -1。 故选：A。 3．（2024·浙江杭州中考）设二次函数 y = x² - 4x + 3，当 0 ≤ x ≤ 5 时，函数 y 的最大值和最小值分别为（　　） A．3，-1 B．8，-1 C．3，0 D．8，0 【答案】 B 【分析】 先求顶点，再比较顶点和端点的函数值。 【详解】 解：y = x² - 4x + 3 = (x - 2)² - 1，对称轴 x = 2，顶点 (2, -1)。 当 x = 2 时，y 最小值 = -1；当 x = 0 时，y = 3；当 x = 5 时，y = 25 - 20 + 3 = 8。 ∴ 最大值为 8，最小值为 -1。 故选：B。 4．（2024·山东济南中考）将抛物线 y = x² - 2x + 3 向上平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位，得到的抛物线解析式为（　　） A．y = (x - 4)² + 4 B．y = (x - 4)² + 2 C．y = (x + 2)² + 4 D．y = (x + 2)² + 2 【答案】 A 【分析】 先化为顶点式，再根据平移规律求解。 【详解】 解：y = x² - 2x + 3 = (x - 1)² + 2， 向上平移2个单位：y = (x - 1)² + 4， 再向右平移3个单位：y = (x - 1 - 3)² + 4 = (x - 4)² + 4。 故选：A。 5．（2024·湖北武汉中考）已知抛物线 y = ax² + bx + c (a > 0) 的对称轴为直线 x = 1，则下列结论正确的是（　　） A．b > 0 B．2a + b = 0 C．当 x > 1 时，y 随 x 的增大而减小 D．当 x < 1 时，y 随 x 的增大而增大 【答案】 B 【分析】 根据对称轴公式和a的符号判断。 【详解】 解：∵ 对称轴为 x = 1，∴ - = 1，即 b = -2a。 A选项：∵ a > 0，∴ b = -2a < 0，错误； B选项：2a + b = 2a + (-2a) = 0，正确； C选项：a > 0，开口向上，当 x > 1 时，y 随 x 的增大而增大，错误； D选项：a > 0，开口向上，当 x < 1 时，y 随 x 的增大而减小，错误。 故选：B。 6．（2024·广东广州中考）已知二次函数 y = x² + bx + c 的图象经过点 (1, 0) 和 (2, 5)，则这个二次函数的解析式为__y = x² + 2x - 3____。 【答案】 y = x² + 2x - 3 【分析】 将两点代入解析式，解方程组。 【详解】 解：将 (1, 0)、(2, 5) 代入 y = x² + bx + c，得： 1 + b + c = 0 ...① 4 + 2b + c = 5 ...② ② - ①，得 3 + b = 5，解得 b = 2。 将 b = 2 代入①，得 1 + 2 + c = 0，解得 c = -3。 ∴ 二次函数解析式为 y = x² + 2x - 3。 7．（2024·陕西中考）已知二次函数 y = -x² + 4x - 3。 （1）求该二次函数的最大值； （2）求该二次函数图象与 x 轴的交点坐标。 【答案】 （1）最大值为1；（2）(1, 0)、(3, 0) 【分析】 （1）化为顶点式求最大值；（2）令y=0解方程。 【详解】 解：（1）y = -x² + 4x - 3 = -(x² - 4x) - 3 = -(x² - 4x + 4 - 4) - 3 = -[(x - 2)² - 4] - 3 = -(x - 2)² + 4 - 3 = -(x - 2)² + 1。 ∵ a = -1 < 0，∴ 函数有最大值。当 x = 2 时，y 最大值 = 1。 （2）令 y = 0，则 -x² + 4x - 3 = 0，x² - 4x + 3 = 0，(x - 1)(x - 3) = 0， 解得 x₁ = 1，x₂ = 3。 ∴ 二次函数图象与 x 轴的交点坐标为 (1, 0) 和 (3, 0)。 8．（2024·重庆中考）如图，抛物线 y = x² + bx + c 与 x 轴交于 A(-1, 0)、B(3, 0) 两点，与 y 轴交于点 C。 （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC 的面积。 【答案】 （1）y = x² - 2x - 3；（2）6 【分析】 （1）用交点式求解析式；（2）求C点坐标，再求面积。 【详解】 解：（1）∵ 抛物线经过 A(-1, 0)、B(3, 0)， ∴ 设抛物线解析式为 y = a(x + 1)(x - 3)。 又∵ 二次项系数为1，∴ a = 1。 ∴ y = (x + 1)(x - 3) = x² - 2x - 3。 （2）令 x = 0，则 y = -3，∴ C(0, -3)。 AB = 3 - (-1) = 4，OC = 3， S△ABC = × AB × OC = × 4 × 3 = 6。 9．（2024·天津中考）已知抛物线 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 经过点 (0, 0) 和 (4, 0)，且最高点的纵坐标为 2。求这条抛物线的解析式。 【答案】 y = -x² + 2x 【分析】 已知与x轴的两个交点，用交点式，再由最高点纵坐标求a。 【详解】 解：∵ 抛物线经过 (0, 0) 和 (4, 0)， ∴ 对称轴为 x = = 2，顶点坐标为 (2, 2)。 设抛物线解析式为 y = ax(x - 4)。 将顶点 (2, 2) 代入，得 2 = a×2×(-2)，2 = -4a，解得 a = -。 ∴ y = -x(x - 4) = -x² + 2x。 10．（2024·河南中考）如图，抛物线 y = -x² + bx + c 与 x 轴交于 A(1, 0)、B 两点，与 y 轴交于点 C。 （1）求抛物线的解析式； （2）求点 B 的坐标和△ABC 的面积。 【答案】 （1）y = -x² - 2x + 3；（2）B(-3, 0)，面积为6 【分析】（1）代入两点坐标求解析式；（2）求B点坐标，计算面积。 【详解】 解：（1）将 A(1, 0)、C(0, 3) 代入 y = -x² + bx + c，得： -1 + b + c = 0 ...① c = 3 ...② 将②代入①，得 -1 + b + 3 = 0，解得 b = -2。 ∴ 抛物线解析式为 y = -x² - 2x + 3。 （2）令 y = 0，则 -x² - 2x + 3 = 0，x² + 2x - 3 = 0，(x + 3)(x - 1) = 0， 解得 x₁ = -3，x₂ = 1。∵ A(1, 0)，∴ B(-3, 0)。 AB = 1 - (-3) = 4，OC = 3， S△ABC = × AB × OC = × 4 × 3 = 6。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册 第26章 二次函数 26.2二次函数的图象与性质 第3课时 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 本节知识点总结 1. 一般式化为顶点式（配方法）： y = ax² + bx + c = a(x + )² + 即 y = a(x - h)² + k，其中 h = -，k = 。 2. 一般式的对称轴和顶点坐标： 对称轴：直线 x = - 顶点坐标：(, ) 3. 一般式的增减性： 当 a > 0 时：x < -时，y 随 x 增大而减小；x > - 时，y 随 x 增大而增大。 当 a < 0 时：x < - 时，y 随 x 增大而增大；x > - 时，y 随 x 增大而减小。 4. 一般式的最值： 当 a > 0 时，x = - 时，y 有最小值 ； 当 a < 0 时，x = - 时，y 有最大值 。 5. 配方的步骤：①提（提取二次项系数）；②配（加一次项系数一半的平方再减）；③化（化为完全平方式）；④整（整理成顶点式）。 本节知识点总结 📅 一、基础过关题 题型01 一般式化为顶点式（配方） 1．（2024秋·北京朝阳·单元测）将二次函数 y = x² - 4x + 3 化为顶点式，结果正确的是（　　） A．y = (x - 2)² - 1 B．y = (x - 2)² + 1 C．y = (x + 2)² - 1 D．y = (x + 2)² + 1 2．（2024-2025九年级上·上海浦东·期中）将二次函数 y = 2x² + 4x - 1 化为顶点式，正确的是（　　） A．y = 2(x + 1)² - 3 B．y = 2(x + 1)² - 2 C．y = 2(x - 1)² - 3 D．y = 2(x - 1)² - 2 3．（2024秋·广东深圳·月考）将二次函数 y = -x² + 6x - 5 化为顶点式为______。 4．（2024-2025九年级上·江苏南京·单元测）将二次函数 y = 3x² - 6x + 2 化为顶点式，并写出它的对称轴和顶点坐标。 题型02 求抛物线的对称轴和顶点坐标（公式法） 5．（2024秋·浙江杭州·期中）抛物线 y = x² - 2x + 3 的对称轴是（　　） A．直线 x = -1 B．直线 x = 1 C．直线 x = -2 D．直线 x = 2 6．（2024-2025九年级上·山东济南·月考）抛物线 y = 2x² + 4x - 3 的顶点坐标是（　　） A．(-1, -5) B．(1, -5) C．(-1, -1) D．(1, -1) 7．（2024秋·湖北武汉·单元测）抛物线 y = -x² + 4x - 1 的顶点坐标是______。 8．（2024-2025九年级上·四川成都·期中）已知抛物线 y = ax² + bx + c 的对称轴为直线 x = 2，且经过点 (1, 0)，则 a + b + c 的值为______。 题型03 二次函数的增减性判断 9．（2024秋·河北石家庄·月考）对于二次函数 y = x² - 4x + 3，下列说法正确的是（　　） A．当 x > 2 时，y 随 x 的增大而减小 B．当 x > 2 时，y 随 x 的增大而增大 C．当 x < 2 时，y 随 x 的增大而增大 D．y 的最大值为 -1 10．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）二次函数 y = -2x² + 8x - 5 的图象上，y 随 x 的增大而增大的 x 的取值范围是（　　） A．x < 2 B．x > 2 C．x < -2 D．x > -2 11．（2024秋·重庆沙坪坝·期中）已知点 A(-3, y₁)、B(-1, y₂)、C(2, y₃) 都在抛物线 y = x² - 2x + 1 上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是（　　） A．y₁ > y₂ > y₃ B．y₁ > y₃ > y₂ C．y₃ > y₁ > y₂ D．y₂ > y₁ > y₃ 12．（2024-2025九年级上·辽宁沈阳·月考）若二次函数 y = x² + bx + 5 配方后为 y = (x - 2)² + k，则 b、k 的值分别为（　　） A．4，1 B．-4，1 C．4，-1 D．-4，-1 题型04 二次函数的最值问题 13．（2024秋·湖南长沙·单元测）二次函数 y = x² - 4x + 7 的最小值是（　　） A．-2 B．2 C．3 D．7 14．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）二次函数 y = -x² + 2x + 3 的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 15．（2024秋·福建福州·月考）已知二次函数 y = 2x² - 8x + m 的最小值为 1，则 m 的值为______。 16．（2024-2025九年级上·江西南昌·月考）当 x = ______ 时，二次函数 y = x² + 2x - 3 有最小值，最小值为______。 题型05 开口方向、对称轴、顶点综合判断 17．（2024秋·天津南开·期中）关于二次函数 y = -2x² + 4x + 1，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴为直线 x = -1 C．顶点坐标为 (1, 3) D．当 x > 1 时，y 随 x 的增大而增大 18．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）抛物线 y = 3x² - 6x + 5 的顶点坐标是（　　） A．(1, 2) B．(1, 8) C．(-1, 2) D．(-1, 8) 19．（2024秋·云南昆明·单元测）已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交于正半轴，则下列结论正确的是（　　） A．a > 0 B．b < 0 C．c > 0 D．b² - 4ac < 0 题型06 已知点在抛物线上求参数 20．（2024-2025九年级上·广西南宁·期中）已知点 (2, 3) 在抛物线 y = x² + bx + c 上，且对称轴为直线 x = 1，则 b、c 的值分别为（　　） A．-2，3 B．-2，-3 C．2，3 D．2，-3 21．（2024秋·贵州贵阳·月考）若抛物线 y = x² - 2x + m 与 x 轴有两个交点，则 m 的取值范围是（　　） A．m > 1 B．m < 1 C．m ≥ 1 D．m ≤ 1 22．（2024-2025九年级上·甘肃兰州·单元测）已知二次函数 y = x² + bx + c 的图象经过点 A(-1, 0)、B(3, 0)，则 b、c 的值分别为______。 题型07 函数值比较大小 23．（2024秋·青海西宁·期中）已知点 A(-2, y₁)、B(1, y₂)、C(3, y₃) 都在抛物线 y = x² - 2x - 3 上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是（　　） A．y₁ < y₂ < y₃ B．y₂ < y₁ < y₃ C．y₃ < y₁ < y₂ D．y₂ < y₃ < y₁ 24．（2024-2025九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）若点 (-2, y₁)、(1, y₂)、(3, y₃) 都在抛物线 y = -x² + 2x + 3 上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是（　　） A．y₁ < y₃ < y₂ B．y₁ < y₂ < y₃ C．y₃ < y₁ < y₂ D．y₂ < y₁ < y₃ 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·北京海淀·期中）将抛物线 y = x² - 2x + 3 向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到的抛物线解析式为（　　） A．y = (x + 1)² + 3 B．y = (x - 3)² + 3 C．y = (x + 1)² + 2 D．y = (x - 3)² + 2 2．（2024秋·上海闵行·月考）如图，已知二次函数 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的图象开口向下，对称轴为直线 x = 1，与 y 轴交于正半轴，则下列结论错误的是（　　） A．a < 0 B．b < 0 C．c > 0 D．b + 2a = 0 3．（2024-2025九年级上·广东广州·单元测）若二次函数 y = x² - 2x + m 的最小值为 3，则 m 的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2024秋·江苏苏州·期中）已知二次函数 y = -x² + 2x + k 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围是（　　） A．k > -1 B．k < -1 C．k > 1 D．k < 1 5．（2024-2025九年级上·浙江宁波·月考）已知抛物线 y = ax² + bx + c 经过点 (-1, 0)、(3, 0)，且与 y 轴交于点 (0, -3)，则这条抛物线的解析式为（　　） A．y = x² - 2x - 3 B．y = x² + 2x - 3 C．y = -x² + 2x - 3 D．y = -x² - 2x - 3 6．（2024秋·山东青岛·单元测）对于二次函数 y = -2x² + 8x - 6，下列说法错误的是（　　） A．开口向下 B．对称轴为直线 x = 2 C．顶点坐标为 (2, 2) D．函数有最小值 2 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·月考）抛物线 y = 2x² - 4x + 1 的对称轴是直线______。 8．（2024秋·四川成都·期中）二次函数 y = -x² + 6x - 5 的最大值是_____。 9．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）已知抛物线 y = x² + bx + c 的对称轴为直线 x = 2，且经过点 (1, 4)，则 b = ______，c = ______。 10．（2024秋·重庆渝中·月考）若二次函数 y = x² - 6x + m 的最小值为 1，则 m = ______。 11．（2024-2025九年级上·辽宁大连·期中）已知点 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂) 在抛物线 y = x² - 4x + 3 上，若 x₁ < x₂ < 2，则 y₁ ______ y₂（填">"、"<"或"="）。 （三）解答题 12．（2024秋·湖南长沙·月考）已知二次函数 y = x² - 2x - 3。 （1）将其化为顶点式； （2）求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）求抛物线与 x 轴的交点坐标。 13．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数的图象经过点 (0, 3)、(1, 0)、(3, 0)。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）求它的对称轴和顶点坐标。 14．（2024秋·福建福州·单元测）已知二次函数 y = -x² + 2x + 3。 （1）求函数的最大值； （2）当 0 ≤ x ≤ 3 时，求函数的最大值和最小值。 15．（2024-2025九年级上·江西南昌·月考）已知抛物线 y = -x² + 2x + 3 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），与 y 轴交于点 C。 （1）求 A、B、C 三点的坐标； （2）求△ABC 的面积。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都中考）二次函数 y = x² - 4x + 3 的图象的顶点坐标是（　　） A．(2, -1) B．(2, 1) C．(-2, -1) D．(-2, 1) 2．（2024·江苏苏州中考）抛物线 y = 2x² + 4x - 1 的对称轴是（　　） A．直线 x = -1 B．直线 x = 1 C．直线 x = -2 D．直线 x = 2 3．（2024·浙江杭州中考）设二次函数 y = x² - 4x + 3，当 0 ≤ x ≤ 5 时，函数 y 的最大值和最小值分别为（　　） A．3，-1 B．8，-1 C．3，0 D．8，0 4．（2024·山东济南中考）将抛物线 y = x² - 2x + 3 向上平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位，得到的抛物线解析式为（　　） A．y = (x - 4)² + 4 B．y = (x - 4)² + 2 C．y = (x + 2)² + 4 D．y = (x + 2)² + 2 5．（2024·湖北武汉中考）已知抛物线 y = ax² + bx + c (a > 0) 的对称轴为直线 x = 1，则下列结论正确的是（　　） A．b > 0 B．2a + b = 0 C．当 x > 1 时，y 随 x 的增大而减小 D．当 x < 1 时，y 随 x 的增大而增大 6．（2024·广东广州中考）已知二次函数 y = x² + bx + c 的图象经过点 (1, 0) 和 (2, 5)，则这个二次函数的解析式为______。 7．（2024·陕西中考）已知二次函数 y = -x² + 4x - 3。 （1）求该二次函数的最大值； （2）求该二次函数图象与 x 轴的交点坐标。 8．（2024·重庆中考）如图，抛物线 y = x² + bx + c 与 x 轴交于 A(-1, 0)、B(3, 0) 两点，与 y 轴交于点 C。 （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC 的面积。 9．（2024·天津中考）已知抛物线 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 经过点 (0, 0) 和 (4, 0)，且最高点的纵坐标为 2。求这条抛物线的解析式。 10．（2024·河南中考）如图，抛物线 y = -x² + bx + c 与 x 轴交于 A(1, 0)、B 两点，与 y 轴交于点 C。 （1）求抛物线的解析式； （2）求点 B 的坐标和△ABC 的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $