26.2.2 课时3 二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学九年级上册二次函数顶点式同步练，以"基础巩固-能力提升-综合应用"分层设计，通过单一知识点到多要素综合的递进路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|顶点坐标/对称轴/开口方向|直接应用概念的选择填空题，如顶点象限判断| |提升层|增减性/平移规律|结合符号辨析的中档题，如平移方向与解析式关系| |综合层|图象特征与综合应用|含参数的解答题，如平移后抛物线交点及取值范围讨论|

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十六章 二次函数 26.2.2 二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质 课时3 二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质 ▌课时目标 1. 掌握二次函数顶点式y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标、对称轴、开口方向及最值，理解其与y＝ax2的平移关系，能准确运用“左加右减、上加下减”的平移规律。 2. 能根据顶点式确定函数的增减性，解决简单的函数值比较与最值求解问题，规范书写解题步骤。 3. 能由顶点式直接读出图象特征并画出抛物线草图，初步形成数形结合思想，为后续学习函数应用打下基础。 ▌课时目录 知识点01：顶点形式y＝a(x－h)²＋k的顶点 知识点02：对称轴 知识点03：开口方向 知识点04：最值 知识点05：增减性 知识点06：平移规律总结（左加右减、上加下减） 知识点07：由顶点形式直接读出图象特征与画草图 ▌知识点01：顶点形式y＝a(x－h)²＋k的顶点 对于二次函数的顶点形式，其顶点坐标为(h,k)。 需注意h和k的符号：若解析式为，则h＝3，k＝1，顶点为(3,1)； 解析式为，则h＝－3，k＝－1，顶点为(－3,－1)。 顶点是抛物线的最高点或最低点。 1．（2026·广西百色·三模）二次函数的图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为，求出该二次函数的顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为，可变形为，符合顶点式的形式， ∴该二次函数图象的顶点坐标为， ∵顶点横坐标，纵坐标，符合第二象限内点的坐标特点， ∴顶点在第二象限． 2．（25-26九年级下·湖北黄石·阶段检测）写出一个开口向下，顶点坐标为的二次函数解析式，其顶点式可以表示为__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由二次函数的顶点式为，其中 为顶点坐标． ∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴二次函数的解析式为， ∵开口向下， ∴， 二次函数的解析式为（答案不唯一）． 3．（25-26九年级上·山东德州·期末）抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，该抛物线解析式已为顶点形式，可直接根据顶点式写出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的特点，根据二次函数的顶点式形式为，其顶点坐标为 ，直接应用此公式求解． 【详解】解：抛物线 ， ∴顶点坐标为， 故答案为：． ▌知识点02：对称轴 抛物线的对称轴是直线。 对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线。 同样需注意符号，如的对称轴为直线x＝－1。 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．二次函数的顶点坐标是，对称轴为直线．据此求解即可． 【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线， 故选：A． 6．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）抛物线的对称轴是（   ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的顶点式及其性质，解题的关键是利用抛物线的顶点式来确定其对称轴． 根据抛物线方程为顶点式，对称轴为直线，找到对应的对称轴即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 顶点横坐标，对称轴为直线． 故选：． 7．（25-26九年级上·安徽六安·期末）抛物线的对称轴是直线_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴为直线，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·福建厦门·期中）二次函数的对称轴是直线_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，由二次函数的顶点式得出顶点坐标，进而即可求解，掌握二次函数的顶点式 是解题的关键． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴是直线， 故答案为：． ▌知识点03：开口方向 开口方向由系数a的符号决定： 1. 当a＞0时，抛物线开口向上； 2. 当a＜0时，抛物线开口向下。 a的大小还决定开口宽窄，∣a∣越大开口越窄，∣a∣越小开口越宽。 9．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）下列抛物线中，顶点为，且与抛物线的开口方向相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；首先根据顶点坐标和开口向上，对选项中的抛物线逐一判断，然后可得答案． 【详解】解：所求抛物线与抛物线的开口方向相同， 所求抛物线开口向上， A、的顶点为，开口向上，与题干所要求的抛物线不相符； B、的顶点为，开口向上，与题干所要求的抛物线相符； C、的顶点为，开口向下，与题干所要求的抛物线不相符； D、的顶点为，开口向下，与题干所要求的抛物线不相符； 故选：B 10．（25-26九年级上·江西上饶·期中）抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（   ） A．开口向上，对称轴是直线，顶点是 B．开口向上，对称轴是直线，顶点是 C．开口向上，对称轴是直线，顶点是 D．开口向下，对称轴是直线，顶点是 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数的开口方向由a的正负决定、对称轴为，顶点坐标． 直接根据二次函数的顶点式的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴ 开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 故选：B． 11．（25-26九年级上·天津武清·阶段检测）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标 C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质． 根据抛物线顶点式的性质，a的符号决定开口方向，顶点坐标为作答即可． 【详解】解：对于抛物线， ∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标． 故选：B． 12．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）对于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标 C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标 【答案】A 【分析】抛物线的顶点式中，的符号决定抛物线开口方向，为抛物线的顶点坐标．先根据的符号判断开口方向，排除不符合的选项，再根据顶点式确定顶点坐标，最终选出正确选项． 【详解】解：对于二次函数的顶点式： ①当时抛物线开口向上，当时抛物线开口向下． 在抛物线中，， ∴抛物线开口向下，因此选项B、D错误； ②顶点式的顶点坐标为． 在抛物线中，，， ∴顶点坐标为，因此选项C错误，选项A正确． ▌知识点04：最值 函数的最值在顶点处取得。 1. 当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点，函数有最小值，当x＝h时，y最小值＝k； 2. 当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点，函数有最大值，当x＝h时，y最大值＝k。 13．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）关于二次函数的最大值或最小值，下列叙述正确的是（     ） A．当时，有最大值4 B．当时，有最小值4 C．当时，有最大值4 D．当时，有最小值4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，掌握顶点式中参数与函数最值的关系是解题关键． 【详解】解：∵二次函数表达式为，是顶点式的形式． 又∵． ∴抛物线开口向上，函数有最小值． ∵该函数的顶点坐标为． ∴当时，有最小值4． 故选：B． 14．（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）关于二次函数的最值，下列说法正确的是（   ） A．有最大值3 B．有最小值3 C．有最大值4 D．有最小值4 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点式，通过系数判断开口方向，从而确定最值类型（最大值或最小值），顶点坐标给出最值点。 【详解】解：∵函数是顶点形式，其中， ∴抛物线开口向上，有最小值， ∴顶点坐标为， ∴最小值为 4． 故选：D． 15．（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知函数，那么的最大值为__________． 【答案】 3 【分析】本题主要考查二次函数的性质 ，由二次函数解析式可知，抛物线开口向下，顶点处取得最大值． 【详解】解：函数是二次函数的顶点式，其中，故抛物线开口向下，顶点坐标为，因此当时，取得最大值3． 故答案为：3． 16．（2026·广西·中考真题）二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值． 【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． ▌知识点05：增减性 增减性以对称轴为分界。 1. 当a＞0时，在对称轴左侧（x＜h），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x＞h），y随x的增大而增大。 2. 当a＜0时，在对称轴左侧（x＜h），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x＞h），y随x的增大而减小。 17．（25-26九年级下·黑龙江·期中）对于二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，有最大值为7 B．图象的对称轴是直线 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【详解】解：∵二次函数，， ∴当时，有最大值为7，故A选项说法错误，不符合题意； 图象的对称轴是直线，故B选项说法正确，符合题意；C选项说法错误，不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故D选项说法错误，不符合题意． 18．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）抛物线的开口方向是_________，顶点坐标是___________，对称轴是直线___________．当x__________时，函数y随x的增大而增大；当x__________时，函数y随x的增大而减小． 【答案】 向下 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，主要包括：抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，函数的增减性，理解和掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的顶点式性质，结合条件，直接得出开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性． 【详解】解：由抛物线是顶点式，可写为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，函数随的增大而增大，当时，函数随的增大而减小． 故答案为：向下；，，，． 19．（2026·江苏南通·二模）二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 【答案】（答案不唯一，任意负数均可） 【分析】根据顶点式得到对称轴，结合给定的增减性判断的取值范围，即可写出符合条件的的值． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 二次函数图象开口向下， ， （答案不唯一）． 20．（25-26九年级上·江西宜春·期末）抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于的不等式，求解即可得答案．根据二次函数解析式得出对称轴为是解题关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为， 且二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧随增大而增大， ∵当时，随增大而增大， ∴， 解得：， 即的取值范围是． 故答案为：． ▌知识点06：平移规律总结（左加右减、上加下减） 抛物线可由平移得到： 1. 左右平移——针对x：“左加右减”。即解析式中x变为x＋h时左移∣h∣单位，x变为x－h时右移h单位。 2. 上下平移——针对整体y：“上加下减”。即整个函数加k时上移k单位，减∣k∣时下移∣k∣单位。 综合平移顺序：先左右，后上下。平移过程中抛物线的形状和开口方向保持不变。 21．（25-26八年级下·北京·期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 【答案】A 【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴顶点从平移到，需要先向左平移3个单位，再向上平移5个单位． 22．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则，得到平移后解析式的特征，即可判断正确选项． 【详解】解：原函数为，设向右平移个单位，再向下平移个单位， 平移规则为右减自变量，下减常数项， 平移后解析式为，满足，． 选项A：，得，，符合向右平移再向下平移的要求，正确； 选项B：常数项为，不符合要求，错误； 选项C：平方项底数为，，属于向左平移，不符合要求，错误； 选项D：平方项底数为，，未进行向右平移，不符合要求，错误． 23．（25-26八年级下·重庆·期末）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 【答案】 【分析】根据“自变量加减左右移，函数值加减上下移”的平移规律求解即可． 【详解】据题意可得： 24．（2026·江苏盐城·三模）将二次函数的图象向下平移个单位长度，则平移后的函数表达式为_____． 【答案】 【分析】根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”求解即可. 【详解】解：将二次函数的图象向下平移个单位长度， 根据平移规律可得平移后的函数表达式为． ▌知识点07：由顶点形式直接读出图象特征与画草图 已知顶点式，可直接读出：顶点(h,k)、对称轴x＝h、开口方向（a的符号）、最值（k）。 画草图步骤： 1. 在坐标系中标出顶点(h,k)； 2. 画出对称轴直线x＝h（用虚线）； 3. 根据a的开口方向及宽窄，利用对称性选取顶点两侧各一个x值（如取x＝h＋1和x＝h－1）计算对应的y值，描出这两个点； 4. 用平滑曲线连接各点，得到抛物线的大致图象。 25．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．根据抛物线的开口方向、顶点所在象限进行判断即可． 【详解】解：由得，该二次函数图象开口向下，对称轴为直线，在y轴的左侧，顶点坐标为，位于第二象限， 当时，，即函数图象过， 故选项D符合题意； 选项A的顶点在第三象限，不符合题意； 选项B的对称轴在y轴右侧，不符合题意； 选项C中图象满足在y轴的左侧，顶点位于第二象限，但图象不经过原点，不符合题意， 故选：D． 26．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）二次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象，掌握二次函数图象的特征是解题的关键．根据二次函数的顶点式即可判断大致图象． 【详解】解：二次函数的顶点式为， ，顶点坐标为， 二次函数图象是开口向上，顶点坐标为的抛物线， 故选：B． 27．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列叙述错误的是（    ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．当时，y随着x的增大而增大 D．图象经过点 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式的性质，逐一判断开口方向、对称轴、增减性及点是否在图象上． 【详解】解：∵函数为，， ∴图象开口向上，A正确； 对称轴为直线，B正确； ∴当时，随增大而增大，C正确； 当时，， ∴图象不经过点，D错误． 故选：D． 28．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列关于二次函数（为常数）的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是（    ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，通过分析二次函数的性质，判断各结论的正误．结论①中，形状由二次项系数的绝对值决定，但开口方向不同，故错误；结论②代入点验证；结论③依赖对称轴位置，不一定成立；结论④通过顶点坐标验证． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为，函数的二次项系数为 1，两者绝对值相等但开口方向不同， ∴图象形状不同，故①错误； 当时，， ∴图象经过点，故②正确； ∵抛物线的开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x增大而减小，当时， y 随x增大而增大， ∵ m为常数，可能小于0， ∴ 当时， y不一定随的增大而减小，故③错误； ∵抛物线的顶点坐标为，把代入得， ∴ 顶点在函数图象上，故④正确． ∴ 正确结论为②④， 故选D． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·山东济南·期末）二次函数的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数顶点式的顶点坐标为， ∴的顶点坐标为． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 3．（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于轴对称的抛物线开口大小方向一致，顶点关于轴对称，先求出的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到和的值，即可计算出结果 【详解】解：抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线， 二者开口大小方向一致，顶点坐标关于轴对称， 对配方得 ， 的顶点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为，即的顶点坐标为， 又的顶点式为，其顶点坐标为， ，， 4．（2026·广东广州·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点式的性质，逐项分析，即可求解． 【详解】解：对于抛物线，顶点坐标为，对称轴为直线； ∵， ∴抛物线的开口向上， 对A选项：令，则，即抛物线与轴交点为，故A选项说法错误，不符合题意； 对B选项：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意； 对C选项：当时，有最小值；故C选项说法正确，符合题意； 对D选项：抛物线的顶点坐标为，故D选项说法错误，不符合题意． 二、填空题 5．（2026·甘肃嘉峪关·二模）将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 【答案】 【分析】原抛物线已经是顶点式，直接根据二次函数平移的“左加右减，上加下减”规律计算即可． 【详解】解：根据抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项． ∵原抛物线解析式为， ∴向左平移1个单位，对自变量加1，得， 再向上平移2个单位，对整体加2，得， ∴最后得到的新抛物线解析式为：． 6．（2026·广东江门·三模）已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）． 【答案】< 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合比较与的大小． 【详解】二次函数 中，二次项系数，因此抛物线开口向上， 该抛物线的对称轴为直线 ， 根据二次函数的性质，当 时， 随 的增大而减小， 已知 ，所以 ． 7．（2026·江苏无锡·二模）如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________． 【答案】3 【分析】先根据抛物线平移规律得到平移后的抛物线解析式，再将原点坐标代入解析式，求解得到的值． 【详解】解：根据抛物线平移的“上加下减”规律，可得平移后抛物线的解析式为 平移后的抛物线经过原点， ， 解得，． 8．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于 的二次函数 ，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．二次函数开口向下时，在对称轴右侧函数值随自变量增大而减小；根据条件时减小，可确定对称轴位置需满足的不等式． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小． 当时，随的增大而减小， ，解得． 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26九年级下·浙江温州·期中）已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)将抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点． ①求点的纵坐标． ②若点，分别在抛物线，上，若，，求的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)①点的纵坐标为；② 【分析】（1）化为顶点式求解即可． （2）①利用抛物线平移的性质（左加右减变横坐标）求出平移后的抛物线解析式，将两个抛物线联立方程推出即点横坐标，代入任意一个抛物线即可求出点纵坐标．②根据题意，将分别代入各自的抛物线，表示出，将其转化成 关于的一次函数，利用一次函数的图像性质和取值范围即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：①， ， 顶点坐标为． （2）解：①∵， ∴抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线的解析式为． 是和的交点， ， ， ， 将代入得． ②；，点、分别在抛物线，上，， ∴， ． 是关于的一次函数，且， 的值是随着的增加而减小， 当时，； 当时，， ． 10．（25-26九年级上·浙江金华·期末）将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 【答案】(1)； (2)开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； (3)当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 【分析】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移规律：左加右减、上加下减是解题的关键． （1）由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，，进行计算即可； （2）根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线平移后的解析式为， ∴，，， ∴； （2）解：由（1）知，抛物线为抛物线， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：∵， ∴当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十六章二次函数 26.2.2二次函数y=a(c-)2+k的图象和性质 课时3二次函数y=ac-)2+k的图象和性质 课时目标 1. 掌握二次函数顶点式y=(x一+k的顶点坐标、对称轴、开口方向及最值，理解其 与y=x的平移关系，能准确运用“左加右减、上加下减”的平移规律。 2.能根据顶点式确定函数的增减性，解决简单的函数值比较与最值求解问题，规范书写 解题步骤。 3.能由顶点式直接读出图象特征并画出抛物线草图，初步形成数形结合思想，为后续学 习函数应用打下基础。 课时目录 知识点01：顶点形式y=(c一)2+k的顶点 知识点02：对称轴 知识点03：开口方向 知识点04：最值 1/11 知识点05：增减性 知识点06：平移规律总结（左加右减、上加下减） 知识点07：由顶点形式直接读出图象特征与画草图 知识点01：顶点形式y=4c-+k的顶点 对于二次函数的顶点形式y=a(x-)+k(a≠0)， 其顶点坐标为(h,)。 需注意h和k的符号：若解折式为y=2(x-3)+1,则=3，k=1,顶点为61)： 解析式为y=2(+3-1,则n=一3，=-1，顶点为(-3，-)。 顶点是抛物线的最高点或最低点。 a>0,h>0,k>0 a>0,h>0,k<0 a>0,h<0,k>0 a>0,h<0,k<0 y=a(x-h)'+k y=a(x-h)+k y=ax2 y=ax r=h y=a(x-h)'+k y=a(x-h)+k a<0,h>0,k>0 a<0,h>0,k<0 a<0,h<0,k>0 a<0,h<0,k<0 y=a(x-h)+k y=a(x-h)+kTy x=h =a(x-h)2+k y=a(x-h)+k 1.(2026广西百色三模)二次函数y=-(x+3+2 的图象的顶点所在的象限是() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(25-26九年级下·湖北黄石·阶段检测)写出一个开口向下，顶点坐标为 ,2)的二次函数解析式，其顶 点式可以表示为 2/11 3。(25-26九年级上山东德州期末)抛物线y=2(x-3-2 的顶点坐标是 4.（25-26九年级上江苏南通阶段检测)抛物线)=3(x-2-6 项点坐标是 知识点02：对称轴 抛物线”=(c-h+人的对称轴是直线t=h。 对称轴是过项点且垂直于x轴的直线。 同样需注意符号，如=2(x+-3的对称轴为直线x=一1。 5.(25-26九年级上浙江杭州期未)二次函数'=(x+)-2 象的对称轴是() A.直线x=-1B.直线x=1 C.直线x=2 D.直线x=-2 6.(25-26九年级上·甘肃临夏阶段检测)抛物线'=(x+2- 的对称轴是()· A.直线x=1B.直线x=-2 C.直线x=2 D.直线x=-1 7(25-26九年级上安徽六安期末)抛物线’=(x-刂+7 的对称轴是直线 8.（25-26九年级上·福建厦门期中)二次函数y=(x--2 的对称轴是直线 知识点03：口方向 开口方向由系数a的符号决定： 当a>0时，抛物线开口向上； 当a<0时，抛物线开口向下。 a的大小还决定开口宽窄，|d越大开口越窄，Id越小开口越宽。 3,2) 9.(25-26九年级上河北石家庄·阶段检测)下列抛物线中，顶点为 y=2x2 ,且与抛物线 的开口方向 相同的是() A.y=2(x+3}2+2 B.y=2x-3)}2+2 C.y=-2(x+3)2+2 D.y=-2(x-3)2+2 3/11 10,(25-26九年级上江西上饶期中)抛物线y=(x-2-8 开口方向、对称轴和顶点坐标分别是 () A开口向上，对称轴是直线x=2,顶点是2,8) B.开口向上，对称轴是直线×=2，顶点是2，-8) C,开口向上，对称轴是直线=-2顶点是2，-8) D.开口向下，对称轴是直线x=2,顶点是 （2,-8) 11.(25-26九年级上·天津武清阶段检测)对于抛物线y=（x-2+1,下列说法正确的是() -2,1) A.开口向下，顶点坐标 B.开口向上，顶点坐标 2,1) 1,-2) C.开口向下，项点坐标 D,开口向上，顶点坐标1,2) 12.(2526九年级上安微合肥阶段检测)对于抛物线)=-3(x-5+1,下列说法正确的是（) A开口向下，顶点坐标5，) 5,1) B.开口向上，顶点坐标 C.开口向下，顶点坐标(-5，) （-5,1) D.开口向上，顶点坐标 知识点04：最值 函数的最值在项点处取得。 当a>0时，抛物线开口向上，顶点是最低点，函数有最小值，当x=h时，y最小值=k; 4/11 当α<0时，抛物线开口向下，顶点是最高点，函数有最大值，当x=h时，y最大值=k。 a>0,h>0,k>0 a>0,h>0,k<0 a>0,h<0,k>0 a>0,h<0,k<0 y=a(x-h)+k y=a(x-h)+k ,y= y=ax2 y=ax 0 =h v=a(x-h)+k y=a(x-h)+k a<0,h>0,k>0 a<0,h>0,k<0 a<0,h<0,k>0 a<0,h<0,k<0 y个 y=a(x-h)+k y=a(x-h)+kTy x=h =2 y=a(x-h)+k y=a(x-h)+k 13. (25-26九年级上浙江绍兴期末)关于二次函数’=3(x-2+4 最大值或最小值，下列叙述正确的 是() A.当x=2时，y有最大值4 B.当x=2时，y有最小值4 C.当x=-2时，y有最大值4 D.当x=-2时，y有最小值4 14,(25-26九年级上·甘肃临夏期中)关于二次函数”=2(x-3)+4。 的最值，下列说法正确的是() A.有最大值3B.有最小值3 C.有最大值4 D.有最小值4 15.(2526九年级上浙江合州期末)已知函数=-2(x-+3,那么'的最大值为 16.(2026广西中考真题)二次函数 y=(x-20)2+26 的最小值为 知识点05：增减性 增减性以对称轴x=h为分界。 当a>0时，在对称轴左侧(x<h),y随x的增大而减小；在对称轴右侧(x>h),y随x 的增大而增大。 当a<0时，在对称轴左侧(x<h),y随x的增大而增大；在对称轴右侧(x>h),y随x 的增大而减小。 5/11 a>0,h>0,k>0 a>0,h>0,k<0 a>0,h<0,k>0 a>0,h<0,k<0 y=a(x-h)+k x=h ya(x-h)+k y=ax y=ax2 个1 y=ax y=ax =ax-+ y=a(x-h)+k a<0,h>0,k>0 a<0,h>0,k<0 a<0,h<0,k>0 a<0,h<0,k<0 y y=a(x-h)+k 1 y=a(x-h)2+kTy x=h y=a(x-h)+k y=a(x-h) 17.(2526九年级下熙龙江期中)对于二次函数=-3(x-+7,下列结论正确的是() A.当x=-1时，y有最大值为7 B.图象的对称轴是直线x=1 C.图象的对称轴是直线x=-1 D.当x>1时，y随x的增大而增大 18.(25-26九年级上安微合肥期末)抛物线y=a(x+h+k(a<0的开口方向是 顶点坐标 是」 对称轴是直线， 当x 时，函数y随x的增大而增大；当 x 时，函数y随x的增大而减小 19。(2026江苏南道二模)二次函数'=x-)+6,当<1时，'随的增大而增大，写出一个符合条 件的a的值 20.(2526九年级上江西宜春期末)抛物线'=(x-2m+1,当x>4时，y随×增大而增大，则m的 取值范围是 知识点06：平移规律总结（左加右减。上加下减） 抛物线y=a(x-)+k可由y=am平移得到： 左右平移一一针对x:“左加右减”。即解析式中x变为x十h时左移|单位，x变为x一h 时右移h单位。 上下平移一一针对整体y:“上加下减”。即整个函数加k时上移k单位，减|时下移 6/11 I单位。 综合平移顺序：先左右，后上下。平移过程中抛物线的形状和开口方向保持不变。 a>0,h>0,k>0 a>0,h>0,k<0 a>0,h<0,k>0 a>0,h<0,k<0 y=a(x-h)+k x=h v=a(x-h)+k y=ax2 y=ax y=ax y=a(x-h)+ y=a(x-h)+k a<0,h>0,k>0 a<0,h>0,k<0 a<0,h<0,k>0 a<0,h<0,k<0 y=a(x-h)+k y=a(x-h)+kTy x= y=a(x-h)+k y=a(x-h) 21,(25:26八年级下北京期末)将抛物线y=2r平移，得到抛物线”=2(x+3+5 下列平移方式中， 正确的是() ○A.向左平移3个单位，向上平移5个单位 B.向右平移3个单位，向上平移5个单位 C.向左平移5个单位，向下平移3个单位 D.向右平移5个单位，向上平移3个单位 22。(25-26八年级下渐江宁波期末)将函数"=+4 图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解 析式可能是() A.y=(x-3)2+3 B.y=x-32+5 C.y=(x+3)2+3 D.y=x2+1 23.(25-26八年级下重庆期末)将抛物线'=2r-1 先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度， 则平移后的抛物线的解析式是 24。(2026江苏盐城三模)将二次函数'=2r+ 的图象向下平移个单位长度，则平移后的函数表达式 7/11 为 知识点0：由顶点形式直接读出图像特征与画草图 己知顶点式y=a(x-h)+ ,可直接读出：顶点(，)、对称轴x=h、开口方向(a的符 号)、最值(k)。 画草图步骤： 在坐标系中标出顶点(h,): 画出对称轴直线x=h(用虚线)： 根据α的开口方向及宽窄，利用对称性选取顶点两侧各一个x值（如取x=h十1和x=h一 1)计算对应的y值，描出这两个点； 用平滑曲线连接各点，得到抛物线的大致图象。 25. (25-26九年级上浙江湖州阶段检测)二次函数'=-2(x+少+2 的图象大致是() D 26.(25-26九年级上河北邯郸阶段检测)二次函数’=2(x+-4 图象大致是() 8/11 27.(25-26九年级上浙江温州阶段检测)关于二次函数”=(x-3+2的图象，下列叙述错误的是 () A.图象开口向上 B.图象的对称轴为直线x=3 C.当>3时，随若x的增大而增大D.图象经过点32列 28,(2526九年级上辽宁葫芦岛阶段检测)下列关于二次函数)=-(x-m+m+1(m为常数)的结 论：①该函数的图象与函数'=”的图象形状相同：②该函数的图象一定经过点 0,1) ;®当>0时， y 随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 y=x+1 的图像上，其中所有正确的结论序号是 () A.①③ B.①② C.③④ D.②④ 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下·山东济南期末)二次函数y=3(x+2- 的顶点坐标为() A.（2) B.（2,-) c.(2) D.(2-) 2.(25-26八年级下浙江杭州期末)已知二次函数”=-(-少+k(k为常数)，若点4(-少) B(2,乃），(4，为)都在该函数的图象上，则片，片，少的大小关系是〈) A.片>为>为B.为>%>% C.为>5> D.为>为> 3.(2026广东深圳三模)当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线. 9/11 如果抛物线G:y=r-2x与抛物线9：y=(x-+b是关于y轴的对称曲线，则h+b的值为《) A.3 B.0 C.-1 D.-2 4,(2026广东广州二模)对于抛物线"=7(x-2-1, 下列说法正确的是()· A.图象与y轴无交点 B.当x>0时，y随x的增大而增大 C.当x=2时，y有最小值-1 -2,-1) D.图象的顶点坐标为 二、填空题 5.(2026甘肃嘉峪关二模)将抛物线”=-(x-1-3向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到 的新抛物线的解析式为 6.(2026广东江门三模)已知点4(，）、B(,乃)在二次函数'=(x-1+1的图象上，若1>>， 则_片（填之”、<”或“=”） 7.(2026江苏无锡二模)如果将抛物线'=(x--4向上平移m(m>0)个单位后经过原点，那么m 的值是 8(25-26九年级上江苏泰州阶段检测)己知'关于x的二次函数y=-(x+m+1,当>4时，y随 x的增大而减小，则实数m的取值范围是 三、解答题 9.(25-26九年级下浙江温州期中)已知抛物线4：y=)2+-)m㎡'+8m>0） 21 2 (1)求抛物线的项点坐标（用含m的代数式表示）； (②)将抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点A. 10/11 ①求点A的纵坐标. ②若点 (x,)(,) 分别在抛物线，上，若x=8,m-3≤≤m,求4”的取值范 围 10.(25-26九年级上浙江金华期末)将抛物线”=a(x-+ 先向右平移5个单位长度，再向上平移2 个单位长度，得到抛物线'=-2 (I)求a,h,k的值； 2)指出抛物线y=a(x-h)+k 的开口方向、对称轴和项点坐标： (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值. 11/11