26.2.2 课时3 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（人教版·新教材）

同步练测·九年级数学（上册） y=-(x+2)2,开口向下， 对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,0)， 当x<-2时，y随x的增大而增大， 当x>-2时，y随x的增大而减小。 y=-(x-1)2,开口向下， 对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,0)， 当x<1时，y随x的增大而增大， 当x>1时，y随x的增大而减小. 6.解：(1)因为二次函数y=a(x-h)2的图象的对称轴是直 线x=2,所以y=a(x-2)2. 因为y=a(x-2)2的图象经过点(1,2)， 所以a×(1-2)2=2,解得a=2, 所以二次函数的解析式为y=2(x-2)2. (2)当x>2时，y随x的增大而增大 7.D8.y=-2(x+1)2 9.解：将抛物线y=ax2向右平移3个单位长度后得到的抛物 线的函数解析式为y=a(x-3)2. 因为抛物线y=a(x-3)2经过点(-1,4)， 1 所以a(-1-3)2=4,解得a=4, 因此平移后抛物线的函数解析式为y=4(x-3)只 【能力提升练】 1.B2.C3.D4.C5.1或36.0-16 7.解：(1)：抛物线y=a(x+m)2的顶点为(-1,0)， .m=1. :抛物线y=a(:+1)2经过点A-2,-2）》 a(-2+1)2。-号解得a=-之 y=-2(x+12 (2)不经过 设平移后的新抛物线的函数解析式为y=一子(：+1+m)尸， 该抛物线经过点B(2,-2), -(2+1+2=-2,解得n=-1或-5， 将抛物线了=-(x+1)2向右平移1个或5个单位长 度即可过点B(2,-2). 平移后的新抛物线的函数解析式为y=-之2或y -2x-42 8解：由厂， -2A[ 根据等腰直角三角形的性质可知，当AB=xp一xA或AB= 2lxp-xAI时，△PAB是等腰直角三角形， ①当t≤1时，(t-2)2-t=2-t或(t-2)2-t=2(2-t), 獬得t=2-√2或t=0; ②当1<t≤2时，t-(t-2)2=2-t或t-(t-2)2=2(2-t), ·12· 解得t=3-5或：=7-7 2 ③当2<t≤4时，1-(t-2)2=t-2或6-(t-2)2=2(t-2), 解得t=2+√2或t=3; ④当1>4时，(t-2)2-t=t-2或(t-2)2-t=2(6-2), 解得=3+5或1=7+7 2 综上所述，满足条件的t的值为0或3或2±√2或3±√5或 7±17 2 课时3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 【基础巩固练】 1.A2.D3.B4.C5.>-1<-1 6.解：(1)列表： … -3-2-10 1 2 3 4 y= -4.5-2 -0.50 -0.5-2 -4.5 -2501.521.50 -2.5… -1)2+2 画图： 2 x-1)2+2 -3-2 1！ 3 --125 y=- 6题答图 (2)①下x=0(0,0)②下x=1(1,2) 7.A 8.解：(1)由题意，得a=-2,-h+2=3,k-3=1, .∴.a=-2,h=-1,k=4. (2)由(1)知y=-2(x+1)2+4, ∴.当x<-1时，y随x的增大而增大； 当x>-1时，y随x的增大而减小； 当x=-1时，y取最大值4. 9y=20x-42+号12 【能力提升练】 1.B2A3(1,0)4子5①g 6.解：(1)喷出的水流离地面的最大高度为2.25m. (2)喷嘴离地面的高度为1.25m. (3)圆形喷水池的半径至少为2.5m时，才能使喷出的水流 不落在水池外 7.解：由题意，得点M(c,d). 当x=0时，y=2(0-c)2+d=2c2+d, .点N(0,2c2+d) 经过点M,N的直线l上存在无数个“厚德点”， .直线1的函数解析式为y=x, ∴.c=d,且2c2+d=0,解得c=- 1 1 2d=-2, 二次函数的函数解析式为y=2(+宁厂-分 点M(-7,) 当m-1≤m时，数y=2(+-有最小值识。 .x=- 2不可能在x=m-1和x=m之间. 若m<-之，则当x=m时，函数取得最小值。 即2(m+安月 1-15 -2=2 解得m子m=(合去： 5 若m-1>分，则当x=m-1时，函数取得最小值， 即2(-1+， 115 解得网子=（合去） 综上所述，m的值为±子 26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 【基酬巩固练】 1.B2.y=-3(x+3)2+33.C4.D5.B 6x<17, -8.1200 9解：(1)y=2--3=(x-22-4, 所以函数图象的顶点为(2，-4)，对称轴为直线x=2,开口 向上 (2)画出函数图象如答图. 4 2 4 2 、 9题答图 参考答案及解析 10.D11.y=x2+5x+2 【能力提升练】 1.C2.B3.-4.4 5.解：(1)令y=0,则22-2x-6=0, 所以x1=-2,x2=6,所以A(-2,0),B(6,0) 令x=0,则y=-6,所以C(0,-6). 设直线BC的函数解析式为y=kx+b(k≠0)， 将B6,0),C0,-6代入，得6+6-0解得=l, b=-6, 1b=-6, 所以直线BC的函数解析式为y=x-6. (2)设P(m,0)(0<m<6), 则(ma-6).n(m,子-2m-6） 所以0E=m-6-(分2-2m-6）-2+3m, PE=0-(m-6)=-m+6. 当DB=2PE时，-之m2+3m=2(-m+6), 解得m1=4,m2=6(不合题意，舍去)， 所以DB=-7x4+3×4=4 6.解：(1)把(1,0)代入y=x2-ax+5, 得1-a+5=0,解得a=6. (2)由(1)知y=x2-6x+5, 对称轴为直线=2片=3 点A(0,t)在y轴上，过点A(0,)与x轴平行的直线交抛 物线于B,C两点， ∴.B,C关于对称轴对称，B,C的纵坐标均为t 又，B为线段AC的中点，.xc=2xg, 2=3=2 2 把x=2代人y=x2-6x+5,得y=22-6×2+5=-3, ∴.t=-3. (3)y=x2-6x+5=(x-3)2-4, .抛物线的顶点坐标(3，-4). :抛物线的一段y=x2-ax+5(m≤x≤n)夹在两条均与 x轴平行的直线l1,2之间时，且m<3<n, .下方的平行线不能在顶点(3，-4)上方， ∴.要使n-m最大，则m,n为一条直线与抛物线的交点的 横坐标，且x=m和x=n关于抛物线的对称轴对称. 又：直线1,2之间的距离为16， ∴.当一条直线恰好经过抛物线的顶点(3，-4)， 即y=-4时，另一条直线的函数解析式为y=16-4=12, 如答图，此时n-m最大 令x2-6x+5=12,解得x1=7,x2=-1, 即n=7,m=-1, ·13·同步练测·九年级数学（上册） 课时3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 《基础巩固练> [答案P12] 细跟点（①二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 称轴是直线 顶点坐标为 日（哈尔案中考）抛物线y=-2(x-3)》+4的顶 1 点坐标是 ( ②抛物线y=-2(x-1)2+2的开口向 A.(3,4) B.(-3,4) ,对称轴是直线 ,顶点 C.(-3,-4) D.(3,-4) 坐标为 2二次函数y=(x+2)2-1的图象大致为( 知限点@抛物线y=ar2与y=a(x-h)+k的关系/ :郭 7将抛物线y=2x2平移，得到抛物线y=2(x+4)2 +1,下列平移过程正确的 A.先向左平移4个单位长度，再向上平移1个 单位长度 B.先向左平移4个单位长度，再向下平移1个 3(甘孜州中考)对于抛物线y=2(x-1)2+3,下 单位长度 列说法正确的是 A.抛物线的开口向下 C.先向右平移4个单位长度，再向上平移1个 单位长度 B.抛物线的顶点坐标为(1,3) C.抛物线的对称轴为直线x=-1 D.先向右平移4个单位长度，再向下平移1个 D.当x>-3时，y随x的增大而增大 单位长度 4(浙江温州期中)甲、乙两个二次函数分别为y甲 8将抛物线y=a(x-h)2+k先向左平移2个单位 =(x+10)2+30,yz=-(x-20)2+30,下列叙 长度，再向下平移3个单位长度，得到二次函数 述正确的是 y=-2(x+3)2+1的图象. A.当x=10时，y甲有最大值30 (1)确定a,h,k的值； B.当x=10时，y甲有最小值30 (2)写出二次函数y=a(x-h)2+k的增减性和 C.当x=20时，yz有最大值30 最值， D.当x=20时，yz有最小值-30 5已知二次函数y=(x+1)2+4,当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x 的增大而减小， 日（1)在同-直角坐标系中，画出函数y=一之式与 Y=- 2(x-1)”+2的图象.填写下列表格： 2-101 3 y- 2(x-1)2+2 知银点③二次函数y=a(x-h)P+k的简单应用 12 9在体育测试中，九年级 1 的一名男生推铅球，已 8 -3-2-012.34x 知铅球经过的路线是某 1 个二次函数图象的一部 2 0 4 3 分，如图所示，若这个男 9题图 4 生的出手处点A的坐标是(0,2)，铅球路线的最 -5 6题图 高处点B的坐标是(4，），则这个二次函数的 (2)观察(1)中所画的图象，回答下面的问题： 解析式为 该男生能把铅球 ①抛物线y=-之的开口向 ,对 推出去 米 38 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩 第二十六章 二次函数 《能力提升练> [答案P12] 1将二次函数y=(x-1)2+2的图象先向右平移 相同的抛物线落下（如图）.已知水流喷出的高 2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到 度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函 的图象对应的函数解析式是 数解析式为y=-(x-1)2+2.25. A.y=(x+2)2+4B.y=(x-3)2-1 (1)求喷出的水流离地面的最大高度； C.y=(x-3)2+5D.y=(x+1)2+5 (2)求喷嘴离地面的高度； 2二次函数y=a(x-3)2+c与一次函数y=cx+a (3)圆形喷水池的半径至少为多少时，才能使喷 在同一坐标系中的大致图象是 出的水流不落在水池外？ y/m 和来 0 x/m B C 6题图 3新考向如图，是二次函数y=a(x+1)2+2图象 的一部分，该图象在y轴右侧与x轴交点的坐标 是 4q.2.3x 2 7[核心素养]新定义：在平面直角坐标系中，我们 3题图 把横、纵坐标相等的点称为“厚德点”，把横、纵 4如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别 坐标互为相反数的点称为“求真点”，把函数图 为(0,2)，(4,2).若抛物线y=-(x-A)2+6 象至少经过一个“厚德点”和一个“求真点”的函 数称为“厚德求真函数”.已知二次函数y=2(x- (h,k为常数)与线段AB交于C,D两，点，且CD c)2+d(c,d为常数，c≠0)的图象的顶点为M, =2AB,则k的值为 与y轴交于点N,经过点M,N的直线l上存在无 数个“厚德点”.当m-1≤x≤m时，函数y= 2(x-c)+d有最小值2，求m的值 y CAD.B 4题图 5题图 日如图，物线=(x+1)2+1与2=a(x 4)2-3交于点A(1,3),过点A作x轴的平行 线，分别交两条抛物线于B,C两点，且D,E分别 为顶点，则下列结论：①a=子；②若连接AB,则 AC=AE;③若连接AD,BD,则△ABD是等腰直 角三角形；④当x>1时，y1>y2:其中正确的结 论有一·（请填写序号) 6某公园有一圆形喷水池，在水池中央有一垂直 于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩 39