26.2.2(第2课时)二次函数y=a(x-h)²的图象和性质（分层作业）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本同步练以“二次函数y=a(x-h)²的图象和性质”为核心，通过“夯实基础-提升能力-拓展培优”三层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，适配新授课分层教学需求，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|顶点坐标、对称轴、开口方向等基本概念|选择填空直接考查图象识别与概念辨析，强化抽象能力| |提升能力|解析式求解、增减性、最值等性质应用|解答题结合点坐标与函数性质，培养推理意识| |拓展培优|平移变换、几何综合、动态问题等综合应用|综合题融合图形与函数关系，发展应用意识与创新意识|

26.2.2(第2课时)二次函数y=a(x-h)²的图象和性质（原卷版） 目 录 A.夯实基础 1 B.提升能力 5 C.拓展培优 6 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．下列抛物线的顶点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 4．某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 7．已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．抛物线的对称轴是（    ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 9．下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 10．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 11．写一个对称轴是直线且开口向下的二次函数解析式为______． 12．若，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（请按从小到大的顺序排列）． 13．若点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称，则___． 14．已知，为二次函数图象上的两点，那么_____（填“>”“<”或“=”）． 15．下列函数的图象，顶点在轴上的有______，顶点在轴上的有______．（填序号） ①；②；③；④． 16．形状与的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是的抛物线解析式是___________ 17．抛物线的开口______；顶点坐标为______；对称轴是______；当时，______；当时，有______值是______． 18．抛物线的对称轴是直线_________． 19．下面是三位同学对某个二次函数的描述． 甲：图像的形状、开口方向与的相同； 乙：顶点在x轴上； 丙：对称轴是直线． 请写出这个二次函数的表达式：________． 20．在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为_______． 21．已知，两点都在二次函数的图象上，则，的大小关系为________． 22．如果二次函数的开口方向向下，那么a的取值范围是__________． 23．写出一个函数______，使得该函数在时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 24．已知二次函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是________． 25．如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______． 26．已知抛物线的对称轴为直线，且过点，求抛物线的解析式． 27．已知抛物线经过点，解答下列问题： (1)求此抛物线的解析式； (2)填空： ①此抛物线的开口 ；顶点坐标是 ；对称轴是 ； ②当x 时，y 随 x 的增大而减小； ③ 当x 时，函数有最 值为 ； 28．如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 29．已知函数 是关于x的二次函数． 求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 30．如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求的值； (3)若点，在此抛物线上，比较与大小，并说明理由． 31．已知抛物线向左平移两个单位长度后，所得抛物线的解析式为． (1)求，的值； (2)说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 32．在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象．根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 33．抛物线经过点． (1)求的值； (2)写出该抛物线顶点坐标，对称轴． 34．已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 35．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为________． 36．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是______． 37．对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知：_______，_______． 38．若，，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是________．（用“<”连接） 39．已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为__________． 40．已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 __； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ___． 41．已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 42．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点D的坐标及的面积． 43．如图，已知二次函数的图象与轴交于点A，与y轴交于点B． (1)写出该抛物线的对称轴并求点A，B的坐标； (2)求； (3)在对称轴上是否存在一点P，使以为顶点的四边形为平行四边形？ 44．点在二次函数（为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为______． 45．已知，设函数．直线与函数，的图象分别交于点．若，则的取值范围是___________ 46．如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 47．如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点.    (1)请直接写出点A，B的坐标及该抛物线的解析式：A ，B ， . (2)连接、，求的面积； (3)将抛物线向上平移个单位，使顶点落在直线上，求平移后的抛物线解析式． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.2(第2课时)二次函数y=a(x-h)²的图象和性质（解析版） 目 录 A.夯实基础 1 B.提升能力 15 C.拓展培优 22 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 2．下列抛物线的顶点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．先根据二次函数的性质确定各抛物线的顶点坐标，然后进行判断． 【详解】解：A、，顶点坐标为，本选项不符合题意； B、，顶点坐标为，本选项不符合题意； C、，顶点坐标为，本选项符合题意； D、，顶点坐标为，本选项不符合题意； 故选：C． 3．抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的顶点式，根据顶点式直接写出顶点坐标，判断其位置． 【详解】解：顶点坐标为，在轴上， 故选：A． 4．某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，形状相同则二次项系数绝对值相等，开口向下则系数为负，顶点代入顶点式解答即可． 【详解】解：∵抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下． ∴该抛物线的函数表达式为． 故选：C． 5．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的解析式，判断图象即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ∴符合条件的只有选项D； 故选D． 6．抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质求解即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 故选：D． 7．已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，准确计算是解题的关键．通过直接计算各点在抛物线上的值，比较大小即可． 【详解】解： ∵、和都在抛物线上， ∴，，， ∴， 故选：A． 8．抛物线的对称轴是（    ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查抛物线的对称轴问题，核心是熟练掌握顶点式的性质． 由已知结合抛物线顶点式的对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：抛物线， 对称轴为直线． 故选：B． 9．下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称轴，算出每个选项中函数的对称轴逐一进行判断即可． 【详解】A、对称轴为直线，本选项不合题意； B、对称轴为直线，本选项不合题意； C、对称轴为直线，本选项不合题意； D、对称轴为直线，本选项符合题意； 故选：D． 10．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是关键；抛物线方程为顶点形式，直接根据顶点式公式写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选 C． 11．写一个对称轴是直线且开口向下的二次函数解析式为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质，对称轴可由顶点式中的确定，开口方向由系数的符号决定；当时，开口向下．据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，二次函数满足对称轴是直线且开口向下， 故答案为： 12．若，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（请按从小到大的顺序排列）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 通过计算二次函数在各点的函数值，比较，，的大小． 【详解】解：对于点，， 对于点，， 对于点，， ∴． 故答案为：． 13．若点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称，则___． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，根据对称性求出对称轴，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称， ∴； 故答案为：1． 14．已知，为二次函数图象上的两点，那么_____（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质知识点，解题的关键是掌握二次函数的对称轴、开口方向以及点到对称轴的距离对函数值大小的影响． 根据点到对称轴的距离越近，函数值越大，即可判断、的大小． 【详解】解：∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 故答案为：． 15．下列函数的图象，顶点在轴上的有______，顶点在轴上的有______．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】 ②④ ①③ 【分析】当二次函数的对称轴为时，函数图象的顶点在轴上；当顶点的纵坐标为时，函数图象的顶点在轴上． 【详解】解：①，对称轴为直线，顶点坐标为，故顶点在轴上； ②，对称轴为直线，顶点坐标为，故顶点在轴上； ③，对称轴为直线，顶点坐标为，故顶点在轴上； ④，对称轴为直线，顶点坐标为，故顶点在轴上； 综上所述，顶点在轴上的有②④，顶点在轴上的有①③， 故答案为：②④，①③． 【点睛】本题考查二次函数的顶点坐标的运用，理解题意是解题的关键． 16．形状与的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是的抛物线解析式是___________ 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据所给条件灵活选用恰当的方法设出解析式是解题的关键． 根据形状和开口确定的值，再根据顶点坐标列出顶点式即可． 【详解】解：根据形状相同可得的绝对值相等， 两条抛物线开口方向不同， ∴， ∵顶点坐标是， ∴解析式为， 故答案为：． 17．抛物线的开口______；顶点坐标为______；对称轴是______；当时，______；当时，有______值是______． 【答案】 向上 随的增大而增大 最小 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 由抛物线解析式可求得开口方向、顶点坐标、对称轴，再结合函数的增减性可求得答案． 【详解】 ， 抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为， 当时，随的增大而增大，当时，有最小值， 故答案为：向上；；；随的增大而增大；最小；． 18．抛物线的对称轴是直线_________． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的顶点式是解决问题的关键．直接利用抛物线顶点式即可求得对称轴． 【详解】 解：∵， ∴其对称轴为直线． 故答案为：． 19．下面是三位同学对某个二次函数的描述． 甲：图像的形状、开口方向与的相同； 乙：顶点在x轴上； 丙：对称轴是直线． 请写出这个二次函数的表达式：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线，可得抛物线的顶点坐标为，再由抛物线的形状、开口方向与的相同，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的形状、开口方向与的相同， ∴可设二次函数的表达式为． 故答案为： 20．在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键．先求出平移后的解析式，再求顶点坐标即可． 【详解】解：函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数解析式为， ∴顶点为：， 故答案为：． 21．已知，两点都在二次函数的图象上，则，的大小关系为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．先分别计算出自变量为，3时的函数值，然后比较函数值得大小． 【详解】解：把、分别代入得 ，， 所以． 故答案是：． 22．如果二次函数的开口方向向下，那么a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的开口方向确定的取值范围即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的开口方向向下， ∴， 故答案为：． 23．写出一个函数______，使得该函数在时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的性质．由题可知对称轴为，又根据在对称轴左侧随的增大而增大，右侧随的增大而减小，所以二次项系数为负数，所以只需写出一个二次项系数为负数，且对称轴为的二次函数即可． 【详解】解：符合题意的二次函数可写为， 故答案为：（答案不唯一）． 24．已知二次函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，能够将增减性与对称轴及开口方向联系起来是解题关键．根据二次函数的图象和性质即可得解． 【详解】二次函数开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而减小， ， 故答案为：． 25．如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线在它对称轴左侧部分是上升的，得到抛物线的开口向下，即可得出结果． 【详解】解：∵二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的， ∴抛物线的开口向下， ∴； 故答案为： 26．已知抛物线的对称轴为直线，且过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式，根据抛物线的对称轴为直线，得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， ， 抛物线解析式为， 抛物线经过， ， 解得， 抛物线解析式为． 27．已知抛物线经过点，解答下列问题： (1)求此抛物线的解析式； (2)填空： ①此抛物线的开口 ；顶点坐标是 ；对称轴是 ； ②当x 时，y 随 x 的增大而减小； ③ 当x 时，函数有最 值为 ； 【答案】(1)此抛物线的解析式为 (2)①向上；；；②；③，小， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数图像和性质，掌握这些知识是解题的关键； （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据二次函数图像和性质即可得出． 【详解】（1）解：把代入解析式得： ， 解得， ∴此抛物线的解析式为：； （2）①∵， ∴所以此抛物线开口向上； ∵顶点为，对称轴为， ∴此抛物线顶点坐标是；对称轴是； ②∵此抛物线开口向上，对称轴是， ∴当时，y 随 x 的增大而减小； ③∵，顶点坐标是， ∴当 时，函数有最小值为； 故答案为：①向上；；；②；③，小，． 28．如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点； （2）设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵点在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：， ∵在第一象限内， ∴， ∴点的坐标为． 29．已知函数 是关于x的二次函数． 求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1) (2)，该点坐标为；当时，y随x的增大而增大． 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的定义： （1）直接根据二次函数的定义进行求解即可； （2）二次函数有最低点，则二次项系数大于0，在对称轴右侧y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵函数 是关于x的二次函数， 解得 ； （2）解：∵抛物线有最低点， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为y轴，且开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大． 30．如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求的值； (3)若点，在此抛物线上，比较与大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由： ∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用增减性判断函数值的大小． （1）由点坐标求出，进一步得到点坐标，再利用待定系数法求解； （2）将代入，即可求出值； （3）根据对称轴和开口方向判断增减性，再结合，两点的横坐标判断即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为A， ∴，则， ∵， ∴，代入中， 得：， 解得：， ∴； （2）将代入中， 得：， 解得：； （3）略 31．已知抛物线向左平移两个单位长度后，所得抛物线的解析式为． (1)求，的值； (2)说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)， (2)抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是 【分析】（1）根据二次函数的平移规律求解即可； （2）根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的表达式解析式可以确定其对称轴和顶点的坐标． 【详解】（1）因为平移不改变图象的形状， 所以， 抛物线向左平移两个单位长度得到， 即， 所以； （2）抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质以及平移规律，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 32．在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象．根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 【答案】 三个函数图象如下： 填表如下： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 开口向下 y轴 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小． 开口向下 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小． 开口向下 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小． 【分析】利用描点法即可画出函数的图象，再根据图象填写表格。 【详解】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象． 先列表： x … 0 1 2 3 … … 0 … … 0 … … 0 … 【点睛】本题主要考查描点法画函数图象，并通过函数图象得到抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性．熟练画出函数图象并得到抛物线的性质是解题的关键． 33．抛物线经过点． (1)求的值； (2)写出该抛物线顶点坐标，对称轴． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线 【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，直接把（1，-1）代入可求出a=-1； （2）根据顶点式可直接写出顶点坐标与对称轴． 【详解】（1）解：把（1，-1）代入得=-1， 解得； （2）∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握顶点式是解题的关键． 34．已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的大小比较． 通过直接计算各点的函数值，比较大小即可． 【详解】解：∵点，和都在二次函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 即． 故选：C． 35．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数定点式，对称轴为直线． 根据题意可得二次函数的对称轴为直线，进而可得，从而可得函数解析式，再把代入函数解析式可得y��的值． 【详解】解：由二次函数的性质可知，二次函数的图象的对称轴为直线． 根据题意可知，，解得， 即二次函数的解析式为， ∴当时，． 故答案为：． 36．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 37．对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知：_______，_______． 【答案】 4 5 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可． 【详解】解：对于二次函数和， 由表格中的数据得：当时，， 即； ， ∴； 当时，， 代入得，， ，代入得， 化简得，， 解得：或； 若，代入则可得，此情况不存在， 当时，代入则可得， 解得，符合， ∴，， ∴； 故答案为：4；5． 38．若，，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是________．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查抛物线上点的坐标特征，掌握抛物线上的点的坐标满足其解析式是解题关键．将，，分别代入，再比较即可． 【详解】解：把，，分别代入， 得：，，． ∵， ∴． 故答案为：． 39．已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题． 先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分，和三种情况，分别根据二次函数的最值列式求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴若，即时，则当时，函数y取最大值，即， 解得：或（舍去）， 若，即，则当时，函数y取最大值0，不符合题意； 若，即时，则当时，函数y取最大值，即， 解得：（舍去）或， 综上，h的值为-1或， 故答案为：或． 40．已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 __； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ___． 【答案】 0 6或1/1或6 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据顶点式可直接得出答案； （2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可． 【详解】解：（1）当时，二次函数为， ∴当时，函数有最大值为0， 故答案为：0； （2）∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为， ∴若，则当时，y最大，即， 解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 综上，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 41．已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 【答案】(1) 描点，连线 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】（1）根据列表，描点，连线的步骤画出图象； （2）根据二次函数的图象及性质即可解答； （3）求出当和时的函数值，结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：当时，， 当时，， ∴由图象可得时，． 42．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点D的坐标及的面积． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的面积为16 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，二次函数的解析式求解，平行四边形的性质等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点为即可求解； （2）根据抛物线的解析式求出，，再根据四边形是平行四边形即可求出点D的坐标及的面积． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴将代入得：，即， 故该抛物线的解析式为． （2）解：该抛物线的对称轴为直线， 当时，， ， ， 四边形是平行四边形， ． ， ， 点的坐标为． 的面积为． 43．如图，已知二次函数的图象与轴交于点A，与y轴交于点B． (1)写出该抛物线的对称轴并求点A，B的坐标； (2)求； (3)在对称轴上是否存在一点P，使以为顶点的四边形为平行四边形？ 【答案】(1)，， (2)4 (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据函数的性质直接写出对称轴即可，分别令，求出点A，B的坐标即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）根据点，点在对称轴上，得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； 当时，，当时，，解得：， ∴，； （2）∵，， ∴， ∴； （3）存在，设， ∵，，， ∴， ∴当时，以为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴或． 44．点在二次函数（为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为______． 【答案】 【分析】把点代入，结合，求出的值，即可得到，然后根据的取值范围求出最大值与最小值，再作差即可． 【详解】解：∵点在二次函数（为常数）的图象上， ∴ ， 解得（舍去）， ， 抛物线的对称轴为直线． ， ， 即 ． 当时，有最大值，； 当时，有最小值，． 故二次函数的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 45．已知，设函数．直线与函数，的图象分别交于点．若，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可． 【详解】解：函数图象的对称轴分别为直线：，，， 联立与，，解得， 即与的交点的横坐标为， 同理可得，与的交点的横坐标为2， 如图， 由图可知，当时，， 故答案为：． 46．如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的性质． （1）根据二次函数解析式写出对称轴方程即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； （2）解：存在， 令，则， 令，则， ， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， 设， 当为对角线时，则， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 综上所述，P点坐标为或或． 47．如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点.    (1)请直接写出点A，B的坐标及该抛物线的解析式：A ，B ， . (2)连接、，求的面积； (3)将抛物线向上平移个单位，使顶点落在直线上，求平移后的抛物线解析式． 【答案】(1)；； (2) (3)平移后的抛物线为： 【分析】（1）把代入求出A的坐标，可得抛物线的解析式，再求出直线与抛物线的交点坐标即可； （2）如图，连接，，，求解顶点，求解，，，结合，从而可得答案； （3）由题意可得平移后的顶点坐标为：把代入中，，则平移后的抛物线的顶点坐标为：，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵直线， 当时，， ∴A的坐标是， ∴，解得：， 抛物线的解析式是． ∴，解得：或， 联立直线与抛物线解析式可得B点坐标为. （2）如图，连接，，，    ∵， ∴顶点， ∵，， ∴，，， ∴； （3）由题意可得平移后的顶点坐标为： 把代入中，， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为：， ∴平移后的抛物线为：； 【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点坐标，坐标与图形，二次函数的图象平移，掌握以上基础知识是解本题的关键. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $