26.2.2 课时1 二次函数y＝ax²＋k的图象和性质 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数y=ax²+k图象性质，以“基础巩固-综合应用-探究提升”分层设计，通过概念辨析与情境问题培养抽象能力、几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一知识点（开口方向、对称轴等）|概念辨析题（如判断平移方向、顶点坐标）| |提升层|跨知识点综合（增减性与最值结合）|性质应用题（如比较函数值、判断k符号）| |综合层|实际应用与探究|情境探究题（如关联点问题、平移路径描述）|

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十六章 二次函数 26.2.2 二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质 课时1 二次函数y＝ax²＋k的图象和性质 ▌课时目标 1. 理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的图象关系，掌握“上加下减”的平移规律，能准确描述其开口方向、对称轴和顶点坐标。 2. 能根据解析式y＝ax2＋k确定函数的最值和增减性，并会运用这些性质解决简单的函数值比较与求最值问题。 3. 理解k的正负对图象位置的影响，能根据图象特征判断k的符号，初步形成数形结合思想。 ▌课时目录 知识点01：y＝ax²＋k的图象与y＝ax²的关系 知识点02：开口方向 知识点03：对称轴 知识点04：顶点 知识点05：最值 知识点06：增减性 知识点07：k的正负对图象位置的影响 ▌知识点01：y＝ax²＋k的图象与y＝ax²的关系 二次函数的图象是一条抛物线，它可由抛物线沿y轴平移∣k∣个单位得到： 1. 当k＞0时，向上平移k个单位； 2. 当k＜0时，向下平移∣k∣个单位。 平移过程中，抛物线的形状和开口方向保持不变，仅位置发生改变。 1．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 【答案】A 【分析】本题考查了利用抛物线的性质求解参数，抛物线的形状和开口方向由二次项系数a决定，形状与开口方向相同的抛物线二次项系数a相同，再将顶点坐标代入解析式即可求出c． 【详解】∵抛物线的形状及开口方向与相同， ∴， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴将，代入解析式得： ， ∴． 2．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）对任何实数，抛物线和，以下说法正确的是（    ） A．形状相同 B．顶点相同 C．最小值相同 D．最大值相同 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线是由抛物线向上（下）平移个单位得到，进而求解． 【详解】解：∵抛物线是由抛物线向上（下）平移个单位得到， ∴抛物线和形状相同， 故A正确，符合题意； ∵抛物线，开口向上，顶点坐标为，有最小值为m；抛物线，开口向上，顶点坐标为，有最小值为0．故B、C、D错误，不符合题意； 故选：A． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）抛物线，，共有的性质是(　　) A．开口向上 B．顶点坐标都是 C．对称轴是y轴 D．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；分别分析每个二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，找出共同点即可． 【详解】解：对于： ∵， ∴开口向上，顶点，对称轴为轴，在时随增大而增大； 对于： ∵， ∴开口向下，顶点，对称轴为轴，在时随增大而减小； 对于： ∵， ∴开口向下，顶点，对称轴为轴，在时随增大而减小； 综上，三条抛物线对称轴均为轴； 故选C． 4．（25-26九年级上·福建厦门·期中）将抛物线向下平移3个单位，所得到的新抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【分析】解题思路是先确定原抛物线的顶点坐标，再根据抛物线 “向下平移则顶点纵坐标相应减少” 的规律，计算平移后的顶点坐标．本题考查抛物线的平移规律与顶点坐标，涉及的知识点是抛物线的顶点式与平移性质．解题中用到的方法是顶点式平移法，即通过顶点式分析原顶点，结合 “上加下减” 的平移规则确定新顶点．解题关键是掌握抛物线平移时顶点坐标的变化规律，避免混淆 “上下平移” 对应的坐标轴（误改横坐标）．易错点是将平移方向对应的坐标轴搞反，导致顶点纵坐标计算错误． 【详解】原抛物线 的顶点坐标为 ，向下平移3个单位后，顶点纵坐标减少3，横坐标不变，因此新顶点坐标为 ． 故答案为 ． ▌知识点02：开口方向 抛物线的开口方向与相同，由a的符号决定：当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下。 k的加减不改变二次项系数a，因此开口方向不变。 5．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）比较二次函数与的图象，则（     ） A．开口大小相同 B．开口方向相同 C．对称轴相同 D．顶点坐标相同 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数的性质逐一分析开口方向、大小、对称轴及顶点坐标即可． 【详解】解：开口大小由决定，越大，开口越小，中，中，不相等，开口大小不同，A错误； 中，开口向下，中，开口向上，方向不同，B错误； 对称轴为直线，对称轴为直线，两函数对称轴均为直线，C正确； 顶点坐标为，顶点坐标为，顶点坐标不同，D错误； 故选：C． 6．（25-26九年级上·河南许昌·期中）小马同学在绘制抛物线的图象时，将“3”看成了“”，则图象发生改变的是（    ）． A．对称轴 B．开口方向 C．开口大小 D．与y轴的交点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 通过比较原函数和错误函数的二次项系数、对称轴、开口大小及与轴交点，判断发生改变的性质． 【详解】解：依题意得：原函数为，错误函数为 A、原函数与错误函数的对称轴均为轴， 对称轴不变，故此选项不符合题意； B、原函数的开口向上，错误函数为开口向下， 开口方向发生改变，故此选项符合题意； C、原函数与错误函数的开口大小均由决定， 开口大小不变，故此选项不符合题意； D、原函数与错误函数与轴的交点均为， 与轴的交点不变，故此选项不符合题意． 故选 ：B． 7．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）抛物线与抛物线的开口方向和开口大小相同，则__． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小由的值决定是解题的关键． 根据二次函数的性质，开口方向由二次项系数的正负决定，开口大小由二次项系数的绝对值决定．由于两抛物线开口方向和大小相同，故二次项系数相等． 【详解】解：∵抛物线 与抛物线 的开口方向和开口大小相同， ∴． 故答案为 ：2． 8．（24-25九年级上·广西南宁·阶段检测）二次函数图象开口向________． 【答案】上 【分析】本题考查二次函数的定义及性质，先根据二次函数的定义求出解析式，再判断开口方向即可． 【详解】解：∵中，， ∴二次函数解析式为图象开口向上． 故答案为：上． ▌知识点03：对称轴 抛物线的对称轴与相同，为y轴（即直线x＝0）。 因为解析式中x的线性项系数仍为0，所以对称轴不变。 9．（25-26九年级上·重庆开州·期末）关于二次函数，以下说法正确的是（   ） A．函数图像开口向上 B．的最大值为4 C．图像的对称轴为直线 D．随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数性质以及图象相关知识，属于基础题．根据二次函数性质，通过系数判断开口方向、最值、对称轴及单调性． 【详解】解：∵二次函数为，其中，，， ∴对于A：∵，∴开口向下，A错误； 对于B：∵开口向下，顶点处取得最大值，顶点横坐标，代入得，∴y的最大值为4，B正确； 对于C：对称轴为直线，即，而非，C错误； 对于D：∵开口向下，对称轴，∴当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小，D错误． 故选：B． 10．（25-26九年级上·福建漳州·期中）抛物线，，共有的特征是（   ） A．开口向上 B．随的增大而减小 C．都有最低点 D．对称轴是轴 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，通过分析三条抛物线的对称轴，开口方向和增减性，判断共有的特征即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由得，开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，对称轴为轴， 由得，开口向上，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，对称轴为轴， 由知，开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，对称轴为轴， ∴抛物线，，共有的特征是对称轴是轴， 故选：． 11．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）抛物线的对称轴为_______． 【答案】y轴（或直线） 【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．根据二次函数对称轴公式直接计算． 【详解】二次函数 的对称轴为直线 ， 本题中，，，代入公式得：， 故答案为：轴． 12．（25-26九年级上·广东江门·期中）抛物线的对称轴是_____． 【答案】轴 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线．本题中，，，代入公式即可得出答案． 【详解】解：抛物线中，， 对称轴为，即轴， 故答案为：轴． ▌知识点04：顶点 抛物线的顶点坐标为(0,k)。对比的顶点(0,0)，顶点由原点沿y轴移动到了(0,k)。 当k＞0时，顶点在y轴正半轴；当k＜0时，顶点在y轴负半轴。 13．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，已知抛物线，则顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 抛物线顶点式为 ，对应顶点坐标为 . ∴ 抛物线的顶点坐标为. 14．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 故选：A． 15．（25-26九年级上·广东中山·阶段检测）抛物线的开口方向__________，顶点坐标是__________，对称轴是__________． 【答案】 向下 y轴 【分析】根据二次函数的系数确定图象开口方向，顶点坐标与对称轴． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次项系数， ∴抛物线开口向下， 该二次函数为的形式， 可得顶点坐标为，对称轴为y轴． 16．（25-26九年级上·安徽六安·期末）二次函数的顶点坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，本题中的二次函数是 形式中 的特殊情况，顶点横坐标由公式计算，代入求纵坐标即可． 【详解】解：由二次函数，得，，， ∴顶点横坐标， 顶点纵坐标， 故顶点坐标为． 故答案为：． ▌知识点05：最值 函数的最值在顶点处取得。 1. 当a＞0时，抛物线开口向上，顶点(0,k)是最低点，函数有最小值y最小值＝k（当x＝0时取得）； 2. 当a＜0时，抛物线开口向下，顶点(0,k)是最高点，函数有最大值y最大值＝k（当x＝0时取得）。 17．（24-25九年级上·云南德宏·期末）对于抛物线，下列判断正确的是（   ） A．开口向下 B．有最小值 C．与轴无交点 D．顶点坐标为 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，通过系数判断开口方向和最值，通过解方程判断与轴交点，通过顶点公式求顶点坐标，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵，且 ∴ 抛物线开口向下， 故A选项正确； ∵开口向下， ∴函数有最大值，无最小值， 故B选项错误； 令，则， 解得， ∴抛物线与轴有两个交点， 故C选项错误； ∵顶点坐标公式为，且，，， ∴ ，， ∴顶点坐标为， 故D选项错误； 故选：A． 18．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）二次函数的顶点坐标为___________，它的最大值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数开口向下，顶点坐标为，有最大值，最大值为，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数开口向下，顶点坐标为，最大值为， 故答案为：，． 19．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）二次函数 的最大值为________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的性质，因为顶点式，其顶点坐标是，据此求二次函数最值即可． 【详解】解：∵二次函数是顶点式，， ∴开口向下，顶点坐标为，函数有最大值1， 故答案为：1． 20．（25-26九年级上·山东临沂·期末）二次函数在内的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．由于二次函数开口向下，在给定区间内，最小值出现在端点处，通过计算比较函数值可得． 【详解】解：函数的二次项系数，对称轴为轴， 时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 当时，函数的最大值为； 在自变量范围内， 当时，；当时，． 二次函数在内的最小值为． 故答案为：． ▌知识点06：增减性 增减性以对称轴为界，与的增减性一致。 1. 当a＞0时，在对称轴左侧（x＜0），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x＞0），y随x的增大而增大。 2. 当a＜0时，在对称轴左侧（x＜0），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x＞0），y随x的增大而减小。 21．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（   ） A．因为，所以抛物线开口向上 B．当时，函数有最大值1 C．当时，函数随的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标是 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数性质，时开口向上，顶点为最小值点；对称轴为直线，当时函数递增；顶点坐标可直接由解析式得出，然后问题可求解． 【详解】解：∵二次函数，， ∴抛物线开口向上，A正确； 当时，，因为，顶点为最小值点，故B错误； 对称轴为直线，，当时，y随x增大而增大，C正确； 顶点坐标为，D正确； 故选B． 22．（25-26九年级上·重庆永川·期中）对于抛物线，下列说法不正确的是（   ） A．图象开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．顶点坐标为 D．对称轴为轴 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握其相关性质是解题的关键．观察解析式可知，，顶点坐标为 ，对称轴为 （即轴），进而根据二次函数的相关性质判断即可． 【详解】解：抛物线 中，， 图象开口向下，顶点坐标为 ，对称轴为 （即轴），故选项A、C、D说法正确，不符合题意； 当时，随增大而增大；当时，随增大而减小， 当时，随增大而减小，故选项B说法不正确，符合题意； 故选：B． 23．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）对于函数，下列结论正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．图象开口向下 C．图象关于y轴对称 D．无论x取何值时，y的值总是正的 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质，根据解析式，逐项分析，即可求解． 【详解】解：，， ∴函数图象开口向上，对称轴为轴，顶点为，最小值为，故B，D错误，C正确， 在轴的右侧，y随x的增大而增大，故A错误， 故选：C． 24．（25-26九年级上·北京西城·期末）已知二次函数满足条件：①图象过点；②当时，y随x的增大而增大，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式_____． 【答案】答案不唯一， 【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合二次函数的性质和已知条件的一个函数解析式即可． 【详解】解：当时，函数值随自变量的增大而增大， 二次函数顶点的横坐标，不妨取，抛物线开口向下，， 设函数的解析式是， 函数的图象经过点， 把代入得：， 即， 取， 所以函数的解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． ▌知识点07：k的正负对图象位置的影响 k的正负决定图象在y轴上的上下位置： 1. 当k＞0时，图象整体位于的上方；当k＜0时，图象整体位于的下方。 2. 反之，若已知抛物线的顶点在x轴上方，则k＞0；顶点在x轴下方，则k＜0；顶点在x轴上，则k＝0（此时退化为）。 25．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）二次函数的图像经过点（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像．将各选项坐标逐一代入计算即可． 【详解】解：A．当时，，选项错误，不符合题意； B．当时，，选项正确，符合题意； C．当时，，选项错误，不符合题意； D．当时，，选项错误，不符合题意； 故选：B． 26．（25-26九年级上·新疆和田·期中）二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的图象，根据二次函数特征判断图象即可． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，与y轴交于负半轴， 故选：B． 27．（25-26九年级上·江西赣州·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数，①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；②其对称轴为直线；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于．根据解析式直接判断即可选择． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，与y轴交点为（位于x轴下方），对称轴为直线（即为y轴）， ∴只有A选项符合题意． 故选：A． 28．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次函数的图象与y轴的交点坐标，熟练掌握求二次函数的图象与y轴的交点坐标是解题的关键．根据题意可得抛物线与y轴的交点在x轴上方，即交点的纵坐标． 【详解】解：图中抛物线与y轴的交点在x轴上方， ． 故选：A． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（   ） A．其图象开口向上 B．其图象的对称轴是直线 C．其最大值为1 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数性质，由解析式判断出开口方向、对称轴、最值及增减性，即可得解． 【详解】解：∵ ， ∴ ，开口向下； 对称轴 为直线； 最大值为 ； ∵ ， ∴当 时，y 随 x 增大而减小，故当 时，y 随 x 增大而减小； ∴选项D正确， 故选：D． 2．（2025·广东江门·三模）已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的判断，掌握其性质是解题的关键．根据，，得出，再根据二次函数图象与系数关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的图象开口向上，与轴的交点在与之间， 观察四个选项，只有B项的图象符合条件． 故选：B． 3．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义求出的值，再根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， ∴这个二次函数的解析式为， ∴这个二次函数的对称轴为轴；顶点坐标为，顶点在轴下方， 又∵， ∴抛物线的开口向下，这个二次函数的图象与轴无交点， 综上，这个二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，顶点在轴下方与轴无交点；只有选项D符合． 4．（25-26九年级下·安徽六安·阶段检测）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．中，，∴y随x的增大而增大，不符合题意； B．中，，∴y随x的增大而减小，符合题意； C．是二次函数，开口向下，对称轴为y轴，时y随x的增大而增大，时y随x的增大而减小，不是对所有x都满足y随x的增大而减小，不符合题意； D．是二次函数，开口向上，对称轴为y轴，时y随x的增大而减小，时y随x的增大而增大，不是对所有x都满足y随x的增大而减小，不符合题意． 二、填空题 5．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知抛物线有最低点，那么的取值范围是_____． 【答案】 【分析】抛物线有最低点说明抛物线开口向上，则二次项系数大于0，由此可以确定的取值范围． 【详解】解：抛物线有最低点， ， 解得． 6．（2026·吉林长春·模拟预测）若点和点都在抛物线上，则______（填不等号）． 【答案】＜ 【分析】分别将两点的横坐标代入抛物线解析式，得到和的表达式，比较两个表达式的大小即可得到结果. 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 作差得， 因此． 7．（25-26九年级上·河北张家口·期末）若抛物线的开口向上，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据二次函数的性质，当二次项系数大于零时，抛物线开口向上. 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴ ， ∴. 故答案为：. 8．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）二次函数的顶点坐标是________，当时，y随x的增大而________． 【答案】 减小 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标和增减性． 将函数化为顶点式可直接得到顶点坐标，再根据开口方向判断增减性． 【详解】解：二次函数可化为， 因此顶点坐标为，对称轴为直线， 由于， ∴抛物线开口向上， ∵对称轴为直线， 当时，函数在对称轴左侧，y随x的增大而减小． 故答案为：，减小． 三、解答题 9．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）抛物线是由抛物线如何平移得到的？并说明抛物线的 (1)开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)函数的最大值或最小值． 【答案】(1)抛物线是由抛物线向上平移3个单位长度得到的， 开口向上，顶点坐标为，对称轴是y轴 (2)最小值为3 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移． （1）根据二次函数的图象和性质，即可得出答案； （2）根据二次函数的图象和性质，即可得出答案． 【详解】（1）解：抛物线是由抛物线向上平移3个单位长度得到的， 抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴是y轴； （2）解：因为开口向上，所以函数有最小值， 当时，函数有最小值，最小值为3． 10．（2026·四川德阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．如图，点在函数的图象上，点的“关联点”是点． (1)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (2)将点称为点的“待定关联点”其中如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换规则与函数图象上点的坐标满足函数解析式等知识，解题关键是依据“关联点”“待定关联点”的定义确定新点坐标，再利用函数图象上点的坐标满足函数解析式这一性质列等式求解． （1）根据关联点的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入, 得到，解得，即可求得点的坐标； （2）根据待定关联点的定义和图象上点的坐标特征得到然后代入, 得到, 解得, 即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：由题意，得点的关联点为， 由点在抛物线上，可得 又在抛物线上， ， 解得， 将代入得， 点的坐标为； （2）点的待定关联点为 在抛物线的图象上， ， ， 又， ， 当时，， 点的坐标为. / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十六章二次函数 26.2.2二次函数y=a(c-)2+k的图象和性质 课时1二次函数y=ax2+k的图象和性质 课时目标 1. 理解二次函数y=x+k与y=x的图象关系，掌握“上加下减”的平移规律，能准 确描述其开口方向、对称轴和顶点坐标。 2.能根据解析式y=x+k确定函数的最值和增减性，并会运用这些性质解决简单的函 数值比较与求最值问题。 3. 理解k的正负对图象位置的影响，能根据图象特征判断k的符号，初步形成数形结合 思想。 课时目录 知识点01：y=ax2+k的图象与y=x2的关系 知识点02：开口方向 知识点03：对称轴 知识点04：顶点 1/10 知识点05：最值 知识点06：增减性 知识点07：k的正负对图象位置的影响 知识点01：y=a2+k的图象与y=a2的送系 二次函数y=ar+(a≠0)的图象是一条抛物线，它可由抛物线y=ar沿y轴平移1M个单 位得到： 当k>0时，向上平移k个单位： 当k<0时，向下平移|个单位。 平移过程中，抛物线的形状和开口方向保持不变，仅位置发生改变。 0>0,k>0 a>0,k<0 a<0,k>0 a<0,k<0 y=ax2+k =ax2+k =x2 =a2+k 1.(25-26九年级下江苏南京阶段检测)抛物线'=+ 的顶点坐标是(02) 且形状及开口方向与抛 12 物线y=- 2x相同，则a,c的值分别为() 1 A.2,2B.2,-2 c.2 D.2 2。（25-26九年级上湖北恩施期末)对任何实数”，税物线”=2 和=2+m ，以下说法正确的是 () A.形状相同 B.顶点相同 C.最小值相同 D.最大值相同 3。（25-26九年级上江苏无锡阶段检测)抛物线’=2，)=-2x-1,y=-+3 有的性质是() 2/10 A.开口向上 0,0) B.顶点坐标都是 C.对称轴是y轴 D.在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 4.(25-26九年级上·福建厦门期中)将抛物线 y=x2 向下平移3个单位，所得到的新抛物线的顶点坐标是 知识点02：开口方向 抛物线y=a+k(a≠0)的开口方向与y=r相同，由a的符号决定：当a>0时，开口向 上：当a<0时，开口向下。 k的加减不改变二次项系数，因此开口方向不变。 5.(25-26九年级上浙江杭州阶段检测)比较二次函数y=-2x2与y=2r+3的图象，则() 2 A.开口大小相同B.开口方向相同C.对称轴相同 D.顶点坐标相同 6（2526九年级上河本许月期中)小妈时学在给能物线-3一的刻家时、格3”石成了。3。 则图象发生改变的是()， A.对称轴 B.开口方向 C.开口大小 D.与y轴的交点 7.（25-26九年级上广西崇左阶段检测)抛物线”=2 与抛物线=r2+2 开口方向和开口大小相同， 则a=一 8。（24-25九年级上·广西南宁阶段检测)二次函数=+ 图象开口向 知识点03：对称轴 抛物线y=ar+k(a≠0)的对称轴与y=r相同，为y轴（即直线x=0)。 因为解析式中x的线性项系数仍为0，所以对称轴不变。 9（25-26九年级上重庆开州期末)关于二次函数'=-r+4 以下说法正确的是（) A,函数图像开口向上 B.y的最大值为4 3/10 C.图像的对称轴为直线y=0 D.y随x的增大而减小 10。(25:26九年级上福建漳州期中)抛物线'=-0，y=-3.y=-22+3 共有的特征是() A.开口向上B.y随x的增大而减小 C.都有最低点D.对称轴是y轴 1.（25-26九年级上福建龙岩期中)抛物线”=2-5 的对称轴为 1 12。（25-26九年级上广东江门期中)抛物线y=3-1的对称轴是 知识点04：顶点 抛物线y=a+(a≠0)的顶点坐标为(0，)。对比y=ar的顶点(0,0)，顶点由原点沿y轴移 动到了(0，。 当k>0时，顶点在y轴正半轴：当k<0时，顶点在y轴负半轴。 a>0,k>0 a>0,k<0 a<0,k>0 a<0,k<0 y=ax2+k 2 2+k 1B。(25-26九年级上浙江杭州期末)在直角坐标系中，已知抛物线'=r- ,则顶点坐标为() A.(10) B.（1,0) c.(0,) D.(0-1) 14.(25-26九年级上安徽合肥·期中)抛物线 y=-3x2+2 的顶点坐标是() A.(0,2) B.(-32) c.(2,0) D.(0,-2) 15。(25-26九年级上：广东中山阶段检测)抛物线”=-2+4 的开口方向 顶点坐标是 一，对称轴是 16。(25:26九年级上：安徽六安期末)二次函数'=-30+2 的顶点坐标为 4/10 知识点05：最值 函数的最值在项点处取得。 当a>0时，抛物线开口向上，顶点(0，)是最低点，函数有最小值y最小值=k(当x=0时取 得)： 当a<0时，抛物线开口向下，顶点(0，)是最高点，函数有最大值y最大值=k(当x=0时取 得)。 a>0,k>0 a>0,k<0 a<0,k>0 a<0,k<0 y=ax2+k 2+k =2+k y=-x2+1 17.(24-25九年级上·云南德宏·期末)对于抛物线 下列判断正确的是() A.开口向下 B.有最小值 C.与轴无交点 -1,1) D.顶点坐标为 18.(25-26九年级上陕西渭南阶段检测)二次函数”=-+3 的顶点坐标为 它的最大值 为 19,(25:26九年级上河北秦皇岛期末)二次函数y=4+1 的最大值为 20.(2526九年级上山东临折期末)二次函数”-2+3在-1≤x≤4 的最小值是」 知识点06：增减性 增减性以对称轴为界，与y=r的增减性一致。 当>0时，在对称轴左侧(x<0),y随x的增大而减小；在对称轴右侧(x>0),y随x 的增大而增大。 当a<0时，在对称轴左侧(x<0),y随x的增大而增大；在对称轴右侧(x>0),y随x 5/10 的增大而减小。 a>0,k>0 a>0,k<0 a<0,>0 a<0,k<0 y=ax2+k v=ax -ax =x2+k 21.(25:26九年级上广东广州阶段检测)下列关于二次函数'=2+1 的图象性质说法不正确的是 () A.因为a>0,所以抛物线开口向上B.当x=0时，函数y有最大值1 C.当>0时，函数'随×的增大而增大D。抛物线的顶点坐标是0 2。(25:26九年级上重庆永川期中)对于抛物线”=-3x+5 下列说法不正确的是() A.图象开口向下 B.当x<5时，y随x的增大而增大 C.顶点坐标为(0,5) D.对称轴为'轴 23。(25-26九年级上·安徽合肥阶段检测)对于函数y=52-) 2，下列结论正确的是() A.y随x的增大而增大 B.图象开口向下 C.图象关于y轴对称 D,无论x取何值时，y的值总是正的 24.(25-26九年级上北京西城期末)己知二次函数满足条件：①图象过点(0,3)，②当x≤0时，y随x的 增大而增大，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式 知识点07：k的正负对图象位置的影咆 k的正负决定图象在y轴上的上下位置： 当k>0时，图象整体位于y=ar的上方：当k<0时，图象整体位于y=ar的下方。 反之，若已知抛物线y=ar+k(a≠0)的顶点在x轴上方，则k>0:顶点在x轴下方，则k 6/10 <0;顶点在x轴上，则k=0(此时退化为y=r)。 a>0,k>0 a>0,k<0 a<0,k>0 a<0,k<0 红村 y=ax2+k 2+ 25.(25-26九年级上·浙江温州阶段检测)二次函数 y=-x2+2 的图像经过点() A.(1,2) B.(0,2) C.(2,0) D.(2,2) 26.(25-26九年级上新疆和田期中)二次函数”=2r-1 的图象可能是() D 27。(25,26九年级上江西赣州阶段检测)在平面直角坐标系中，-次函数”=-3 图象大致是 7/10 28.(25-26九年级上山西溯州阶段检测)二次函数”=r+C 的图象如图所示，则的取值范围是() A.c>0 B.c=0 C.c<0 D.c≤0 课时训练 一、选择题 1.（25-26九年级上：广东深圳阶段检测)关于二次函数=-3r- 的图象，下列结论正确的是() A.其图象开口向上 B.其图象的对称轴是直线x=3 C.其最大值为1 D.当x>3时，y随x的增大而减小 2.(2025广东江门三模)己知n <0，ma+l)>0,则y关于x的=次函数y=m2+n的图象可能是 () 4 8/10 3.(25-26九年级下-辽宁大述期末)函数=(m-2列2+m是二次面数，则它的图象() A.开口向上，对称轴为y轴 B.开口向下，顶点在x轴上方 C.开口向上，与x轴无交点 D.开口向下，与x轴无交点 4.(25-26九年级下·安徽六安·阶段检测)下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是() A.y=4x+1 B.y=-4x+1 C.y=-3x2+1 D.y=3x2+1 二、填空题 5。(25-26九年级下黑龙江期中)已知抛物线)=(a-)r-3 有最低点，那么“的取值范围是 6(206吉林长春模拟预测0若点4(2，）和点B(-）都在范物线'=-+c上，则5_片（筑 不等号)· 7,(25-26九年级上河北张家口期末)若抛物线'=(m-2列r-3 的开口向上，则”的取值范围是 1 8.(25-26九年级上江苏无锡阶段检测)二次函数y=x2-3的顶点坐标是 3 一，当x<0时，y随x 的增大而」 三、解答题 9,2S26九年级上安微合肥阶段检测观抛物线y号+3鼎由抛物线y，如平移得到的并说明 验物线方式+3的 (1)开口方向、项点坐标、对称轴： 9/10 (2)函数的最大值或最小值. 10.(2026四川德阳·模拟预测)在平面直角坐标系中，将 P(a,b) 点(ab-a定义为点” 的“关联点”， 如图，点1 在函数'=的图象上，点A的“关联点”是点4 =x2-2 ①)如果点在函数y=r-2。 A 的图象上，求点的坐标： ②将点B(a,b-四)称为点P代a,D)的“特定关联点”（其中”≠0如果点1(》的“特定关联点”4 在函数Pr2-n 图象上，试用含”的代数式表示点的坐标 10110