26.3 课时1 将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与一元二次方程转化关系，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到数形结合思想应用的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一知识点直接应用（如判别式判断交点个数）|选择、填空题为主，对应课时目标1| |提升层|知识点双向转化（如已知根求交点坐标）|解答题基础问，强化运算能力| |综合层|多知识点融合（如结合平移、最值求参数）|情境化解答题，体现模型观念|

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训川练 第二十六章二次函数 26.3二次函数与一元二次方程 课时1将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题 课时目标 1. 理解二次函数与一元二次方程的转化关系，掌握“抛物线与x轴交点的横坐标即对应 方程的根”这一核心结论，能根据判别式判断交点个数。 2.熟练进行“已知交点求方程的根”和“已知方程的根求交点坐标”的双向转化，掌握 两交点距离的计算方法。 3. 能利用函数图象估算一元二次方程的近似根，体会数形结合思想在解题中的应用。 课时目录 知识点01：抛物线与x轴交点的横坐标就是对应方程a2十bx十c=0的根 知识点02：交点个数与判别式△的关系 知识点03：已知抛物线与心轴交点求方程根 知识点04：已知方程根求抛物线与x轴交点 知识点05：抛物线与x轴交点的距离公式 知识点06：由函数图象读取方程近似根 1/12 知识点01：抛物线与x轴交点的横坐标就是对应方程a2+x+c=0的根 对于二次函数y=+br+c(a≠0)求其与x轴交点即令y=0,转为解方程ar2+bx+c=0。 因此，抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根。 若求得方程的根为x,x,则交点坐标为(1,0)和2,0)。 1.(2026广东清远三模)二次函数'=+hr+c(a≠0) 的图象如图所示，下列说法错误的是() A.c>0 B.当-1<x<2时，y>0 C.函数有最大值 D.点(a)在第四象限 之，(2526九年级上陕医宝鸡阶段检测)己知抛物线”=-r-6x+7与”轴交于点4.B(点4在点P的 左侧)，与y轴交于点C,则△ABC的面积为 y=x2+bx+2 3.(25-26九年级上江西景德镇·期末)已知二次函数 的图象与'轴的一个交点坐标是 (-2,0) 则它与x轴的另一个交点坐标是 4,(2026-浙江温州三模)已知二次函数y=-r+br+ 2,3) 的图象经过点 对称轴为直线=1 (1)求该二次函数的表达式，并写出顶点坐标， (2)若将该二次函数的图象沿x轴平移，问平移几个单位能使图象经过原点， 3)当m+2≤x≤2m+ 时，二次函数少=-r+hx+c 的最大值与最小值的差为1，求m的值. 知识点02：交点个数与判别式△的送系 抛物线与x轴的交点个数由对应一元二次方程的判别式△=b2一4c决定： 2/12 当△>0时，抛物线与x轴有两个交点，对应方程有两个不相等的实数根： 当△=0时，抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上），对应方程有两个相等的实数根： 当△<0时，抛物线与x轴没有交点，对应方程无实数根。 a>0,△>0 a>0,△=0 a>0,△<0 5.（25-26九年级上陕西安康期中)已知二次函数'=6-7x-7 的图象和轴有交点，则的取值范围 是() A-7 4 B.k>-7 4且k≠0 C.k≥-7 7 4 D.k2-4且k+0 6.(2026四川内江中考真题)如图，二次函数1 y=ax2+bx+c A1,0)B(5,0) 的图象经过点 下列说法 正确的是() O A.c>0 B.4a-2b+c<0 C.b2-4ac<0 D.图象的对称轴是直线x=2 y=mx2-3x-1 7.(25-26八年级下·重庆渝中·期末)二次函数 的图象与坐标系横轴有交点，那么”的取值 范围是 8.(2526九年级上陕西西安期中)已知二次函数”=r-(m-2列x+m-3(m是带数)，求证，无论m 为何实数值，该二次函数图象与x轴一定有交点， 知识点03：已知抛物线与x纳交点求方程根 3/12 若已知抛物线y=ar+r+c(a≠0)与x轴的交点坐标为k1,0和G2,0),则对应一元二次方程 a2+bx+C=0的两个根为x=x1和x=2。 若只有一个交点(，0)，则方程有两个相等的实数根x1=2=x0。 a>0,△>0 a<0,△>0 a>0,△=0 a<0,△=0 .0 (0,0)） (x,0八 x,0 9,(25-26九年级上江西景德镇期末)如图，抛物线y=+bx+c的顶点A的坐标为了m. 现有下 列结论：①abc>0:②5b+2c<0:③若抛物线经过点 5).（4）,则1<%：④若关于的- 元二次方程x2+bx+c=4无实数根，则m<4.其中正确结论的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 10.(2026陕西威阳模拟预测)如图所示是二次函数'=+r+c(a≠0) 的部分图象，该抛物线的对称 轴是直线x=-1,且与y轴交点的纵坐标是2.有下列结论：①2a-b=0;②方程ar2+bx+c=0一定有 一个根在1和2之间：③4a+2b+c>0,④若点 （-2,m 是抛物线上一点，则m=2,其中正确结论的 个数为() 4/12 4-3-2i012x -1 A.1 B.2 C.3 D.4 1。（2②，26儿年级上山东烟台阶假检测)港物线”++C的容分图象如网，对疮植为直线=-】 直线4=c+C与能物线都经过点-3,0 .下列说法：①b>0:②4a+c>0,③关于x的一元二次方 程m+x+c=0的两根为5=-3，名=1：④当=1时，三次函数”=+6- “有最大值.其中 正确的有一 x=-1i 3-10 12,(25.26九年级上宁夏吴忠期未)二次函数'=m+c+C(a+0.口，b,C是常数)中，自变量 x与函数y的对应值如下表： 1 1 5 -1 0 3 2 2 2 2 3 7 7 1 y -2 2 -2 4 4 (1)写出二次函数图象的顶点坐标一·开口方向-· ②)一元二次方程“+r+c=0(a≠0a6C是常数)的两个根，的取值范围是下列选项中的哪一 个- ①<025<2：②-1<2<月 1 2 5/12 5 13 ③-1<x<02<x<2:④1Kx<272<<2 知识点04：已知方程根求抛物线与x轴交点 若己知一元二次方程ar2+bx+c=0的两个根为，x,则抛物线y=ar+br+c(a≠0)与x轴 的交点坐标为x1,0)和(x2,0)。 若方程有两个相等实根xo,则抛物线与x轴相切于(x,0)。 a>0,△>0 <0,△>0 a>0,△=0 a<0,△=0 x.0)】 x.0 5.0 x,0】 ax2+bx+c=0a≠0 13.(25-26九年级上江苏泰州阶段检测)关于x方程 的系数a、b、c满足 a<ab-ac则关于x方程 x2+bx+c=0(a≠0) 的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 14.(2026浙江杭州二模)已知关于x的方程x2+4x-t=0,在-5<x<2的范围内，该方程有2个不同 的实数根，则t的取值范围是 15.(25-26九年级上浙江杭州阶段检测)若关于x的方程-x2+4x+1-k=0.在-2≤x≤4范围内有两个 不同的实数根，则实数k的取值范围是 16,(25:26九年级上广东广州期中)已知关于x的方程-(2a+1)x+a-2=0 (a为实数) (1)若方程有两个实数根，求a的取值范围： ②若x=2是方程的一个根，抛物线’=r-(2a+l)x+a-2 x轴交于A、B两点，结合图形（画草 图)，写出少>0时自变量x的取值范围： ■知识点05：抛物线与x轴交点的距离公式 6/12 设抛物线y=ar+br+c(a≠0)与x轴的两个交点为1,0)和k.0),则两交点间的距离为1x1 -x2l0 b2-4ac 利用求根公式或韦达定理可推导： a a 注意：该公式仅在△>0（即有两个交点）时适用。 17.(2026内蒙古中考真慰题)二次函数=-9 图象与”轴交于A,B两点，则线段MB的长是() A.3 B.6 C.9 D.18 （2026:四川绵阳二模)若抛物线’=r-3x+ 18 与直线少= 有两交点A,B,且B=2,则m的值是 () 17 17 15 13 A.4 B. 4 C.2 D.4 (2526九年级下河南周口阶段检测)若揽物线，=++心与产箱两交点距窝为4，对称拍为 19 x=2,则抛物线解析式为 20 (2526九年级上山东聊城期末)在平面直角坐标系中，抛物线y=-t+x+c经过点 (0,3) 和点 B(-3,0) (1)求该抛物线所对应的函数表达式： ②)将抛物线'=-r+b+ 向上平移m个单位长度后与轴交于MN两点，若MN>6,求m的取值 范围： 3)当/≤r≤1+ 时，抛物线少=-+bx+ 的最大值和最小值的差为3-(，求的值。 知识点06：由函数图象读取方程近似根 当一元二次方程不易求得精确根时，可采用图象估算法： 先画出二次函数'=ax+br+c(a≠0)的抛物线草图，找到图象与x轴交点的横坐标的大致 7/12 位置。 通过观察交点落在哪两个整数之间，确定根的近似值范围；如需更精确，可在该区间内取 中点或进一步列表描点缩小范围，读出近似根。 =ax2+bx+c(a≠0) 21.(25-26九年级上山西晋城期末)设二次函数 下表列出了x与'的6对对应值： 0 3 4 子 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程+bx+c=0的一个解的大致范围是() A.-7<x<-5B.1<x<2 C.-5<x<-1 D.-1<x<0 y=ax2-2ax+c 22.(25-26九年级上安徽安庆期末)已知二次函数 中部分x和》 的值如表所示： 0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 y 0.89 0.56 0.25 0.04 0.31 则方程ar2-2ax+c=0的一个较大的根的范围是() A.0.5<x<-0.4 B.-0.6<x<0.5C.2.4<x<2.5D.2.5<x<2.6 23.(25-26九年级上山西吕梁期末)小亮利用函数图象求方程x2+2x-2=0的实数根时，先画出函数 y=x2+2x-2 的图象如图所示，该图象与轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程 x2+2x-2=0 的实数根为 (结果保留小数点后一位)， y=x2+2x-2 2x 24.(25-26九年级上江苏扬州期未)下表给出了二次函数)=+r+C中x)， 的部分对应值，估计方 8/12 程ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围是 … 0.25 0.5 0.75 1 … y -1.69 0.25 1.31 课时训练 一、选择题 1.(2026陕西西安模拟预测)二次函数”=-2m+4- 的最小值为2，若该二次函数的图象不经过第 三象限，则m的值为() A.-3 B.-1 C.2 D.4 2。(2026陕西椅林模拟预测)已知二次函数”=-t-4x+a-3 “为常数)的图象只经过第二、三、四 象限，则a的取值范围是() A.-1<a≤3B.-3<a<1 C.a23 D.a>-1 3.(25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测)新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个 点为两倍点。若个西数的图象上存在“两信点”，则称这个函数为“两倍西数”，如，点仁2)和 (-2,4) 都是“两倍点”，若二次函数y=r-x+C (℃为常数)为两倍函数，且图象上有唯一的“两倍 点”，则c的值是() A. 9 B.4 C.4 D.-4 4.(25-26九年级上陕西安康期中)二次函数'=a+br+c(a≠0) 的图象如图所示，给出下列结论：① b2-4ac>02a+b<04a-2b+c=0a+b+c>0 ② ；③ :④ 其中正确的是() 9/12 A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 二、填空题 5。（25-26九年级上江苏无锡阶段检测)二次函数'=3x-2x。 的图像与轴的交点坐标是 6,（25-26九年级下辽宁大连期末)二次函数"=r+x-2 图象与轴交点坐标是 7。(2526九年级上安微蚌埠阶段检测)已知抛物线”=-2x-与产轴交于点4，B,则线段48的长 为一 8(2026湖北武汉模拟预测)函数'-+c-(a,乃是常数且a>0)有下列结论： ⑦点03 在该函数图象上： ②图象与x轴一定有两个交点： ③当<一如时，y随x的增大而减少， ④函数y=+hx-3的顶点在y=-)x+3上运动 2b ⑤若关于x的方程ax2+bx-3=n有四个实数根，则这四个根之和一定为- a· 其中正确的结论有一（只填序号）· 三、解答题 9.(25-26九年级上江苏泰州阶段检测)九下数学课本“5.4二次函数与一元二次方程”，由函数图像求 方程近似根的活动，体验了数学中“无限逼近”的思想和方法，培养了“数形结合”探讨问题的研究 能力. 【问题再现】 10112 你能利用函数'=x+2x- 的图像〈如图5-1山)，探索方程+2x-50的根的取值范围吗？ 2 y=x2+2x-5 4牛3-21，产23衣 3 图5-11 从图5-1可以看出，函数'=+2x-5 图像与x轴有两个公共点，它们分别位于表示实数1与2， -4 -3 2+2x-5= 与的点之间，所以一元二次方程 0有两个根，它们分别介于实数1与2,4与3之 间 下面，我们借助计算器，探究介于1与2之间根的近似值 【解决问题】 解：当x=1时，y=<0 当x=2时，y=_>0 .1<x<2 x的近似值可能为1或2 当x=1.5时，y=0.25>0 -<x< .x心_（精确到1）. (I)补充以上解题过程： (2)继续探索：方程x2+2x-5=0介于1与2之间的根的近似值（精确到0.1），因为-<x<一，所以 10.(2026江苏连云港二模)已知关于‘的函数'=-(60-4)r+9a+2(“是实数). (1)当a=1时，直接写出对称轴及与y轴的交点坐标； 11/12 (2)若对于任意实数x,总有y>0,求实数a的取值范围： 6)设函数y=-(6a-4)x+9a+ 的图象与*轴交点为：，0)，（西，0），若<1<西，求实数“的取 值范围 12/12 2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十六章 二次函数 26.3二次函数与一元二次方程 课时1将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题 ▌课时目标 1. 理解二次函数与一元二次方程的转化关系，掌握“抛物线与x轴交点的横坐标即对应方程的根”这一核心结论，能根据判别式判断交点个数。 2. 熟练进行“已知交点求方程的根”和“已知方程的根求交点坐标”的双向转化，掌握两交点距离的计算方法。 3. 能利用函数图象估算一元二次方程的近似根，体会数形结合思想在解题中的应用。 ▌课时目录 知识点01：抛物线与x轴交点的横坐标就是对应方程ax²＋bx＋c＝0的根 知识点02：交点个数与判别式Δ的关系 知识点03：已知抛物线与x轴交点求方程根 知识点04：已知方程根求抛物线与x轴交点 知识点05：抛物线与x轴交点的距离公式 知识点06：由函数图象读取方程近似根 ▌知识点01：抛物线与x轴交点的横坐标就是对应方程ax²＋bx＋c＝0的根 对于二次函数求其与x轴交点即令y＝0，转为解方程。因此，抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根。 若求得方程的根为，则交点坐标为(x1,0)和(x2,0)。 1．（2026·广东清远·三模）二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（     ） A． B．当时， C．函数有最大值 D．点在第四象限 【答案】D 【分析】当，，即可判断A选项；根据函数图象，求出二次函数与x轴的另一个交点为，即可判断B选项；根据函数图象开口向下，即可判断C选项；得到，根据对称轴为直线，得到，即可判断D选项． 【详解】解：由图象可得，当，，故A正确，不符合题意； ∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为 ∴二次函数与x轴的另一个交点为 ∴由图象可得，当时，，故B正确，不符合题意； ∵二次函数的图象开口向下， ∴，抛物线开口向下，故函数有最大值，故C正确，不符合题意； ∵对称轴为直线 ∴ ∴点在第二象限，故D错误，符合题意． 2．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 【答案】28 【分析】先求出抛物线与轴、轴的交点坐标，得到的长度和点到轴的距离，再代入三角形面积公式计算． 【详解】解：当时，， 整理得， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，， ∴， 当时，， ∴，即点到轴的距离， ∴． 3．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【分析】将已知交点坐标代入二次函数解析式求出参数，再令解一元二次方程，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】解：把代入， 得， 整理得，解得， 即二次函数解析式为， 令，得， 因式分解得， 解得，， ∵已知图象与轴的一个交点坐标是， ∴它与轴的另一个交点坐标是． 4．（2026·浙江温州·三模）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式，并写出顶点坐标． (2)若将该二次函数的图象沿x轴平移，问平移几个单位能使图象经过原点． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，求m的值． 【答案】(1) 二次函数表达式为，顶点坐标为 (2) 平移1个单位或3个单位 (3) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，求出时的函数值，得到顶点坐标即可； （2）求出二次函数与x轴的交点坐标，根据平移后，新的抛物线过原点，分2种情况进行求解即可； （3）根据二次函数的增减性进行求解即可. 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴当时，， ∴顶点坐标为； （2）解：当时，解得， ∴抛物线与 x轴的交点坐标为和， ∵将该二次函数的图象沿x轴平移，平移后的图象经过原点， 当经过平移与原点重合时，图象向右平移了1个单位，当经过平移与原点重合时，图象向左平移了3个单位； 故该二次函数的图象沿x轴平移1个单位或3个单位能使图象经过原点； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴抛物线的开口向下，当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，最大； 当时，最小； ∴， 整理，得， \解得或， ∵， ∴. ▌知识点02：交点个数与判别式Δ的关系 抛物线与x轴的交点个数由对应一元二次方程的判别式Δ＝b2－4ac决定： 1. 当Δ＞0时，抛物线与x轴有两个交点，对应方程有两个不相等的实数根； 2. 当Δ＝0时，抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上），对应方程有两个相等的实数根； 3. 当Δ＜0时，抛物线与x轴没有交点，对应方程无实数根。 5．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 6．（2026·四川内江·中考真题）如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 【答案】B 【详解】解：由函数图象知抛物线与轴交点在原点下方，则，故选项A不符合题意； 当时，，即，故选项B符合题意； 由图象知抛物线与轴有两个不同的交点，则，故选项C不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D不符合题意． 7．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先根据二次函数的定义确定二次项系数不为0，再由二次函数图象与横轴有交点，可知对应一元二次方程有实数根，利用根的判别式大于等于0列不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解： 是二次函数， ． 二次函数的图象与坐标系横轴有交点， 一元二次方程 有实数根， 根的判别式 ． 将 代入得， ， 解不等式得 ． 综上， 的取值范围是 且． 8．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数（是常数），求证：无论为何实数值，该二次函数图象与轴一定有交点． 【答案】证明：对于二次函数， 当时，， 这个关于的一元二次方程根的判别式为 ， ∴无论为何实数值，这个方程总有实数根， ∴无论为何实数值，该二次函数图象与轴一定有交点． 【分析】利用这个二次函数对应的一元二次方程根的判别式可得无论为何实数值，这个方程总有实数根，由此即可得证． 【详解】略． ▌知识点03：已知抛物线与x轴交点求方程根 若已知抛物线与x轴的交点坐标为(x1,0)和(x2,0)，则对应一元二次方程的两个根为x＝x1和x＝x2。 若只有一个交点(x0,0)，则方程有两个相等的实数根x1＝x2＝x0。 9．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据抛物线开口方向，对称轴公式、对称轴位置以及顶点坐标确定符号以及数量关系，即可判断①②；然后根据二次函数的性质判断③；再由一元二次方程的解与函数图象之间的关系判断④． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，则； 抛物线的顶点的坐标为， 则对称轴为，得； 抛物线与轴交于正半轴，则； ，故①正确； 对称轴为， ，则， 抛物线与轴的一个交点位于0和1之间，且开口向下， 当时，， ∴， ∴，故②正确； 若抛物线经过点，，对称轴为， 则点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越远值越小， ，故③正确； 若关于的一元二次方程无实数根，则抛物线与直线无交点， 而抛物线开口向下，顶点坐标纵坐标为 ∴当时，抛物线与直线无交点，故④正确， 综上所述，正确的结论有①②③④，共4个． 10．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图所示是二次函数的部分图象，该抛物线的对称轴是直线，且与y轴交点的纵坐标是2.有下列结论：①；②方程一定有一个根在1和2之间；③；④若点是抛物线上一点，则，其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据对称轴公式判断，利用抛物线的对称性及与轴交点位置判断②，根据时的函数值判断③，利用对称性判断④即可． 【详解】解： 抛物线的对称轴为直线， ， ，即，故①正确； 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在和之间， 方程一定有一个根在和之间，故②错误； 抛物线开口向下，与轴的右侧交点在和之间， 当时，， 即，故③错误； 抛物线的对称轴为直线，与轴交点的纵坐标是2，即过点， 点关于直线的对称点为， 当时，，即，故④正确； 综上所述，正确的结论有①④，共2个． 11．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）抛物线的部分图象如图，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③关于x的一元二次方程的两根为，；④当时，二次函数有最大值．其中正确的有_______． 【答案】①③ 【分析】由图象可知，，则有，然后根据二次函数的图象与性质可进行排除答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①是正确； ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴根据二次函数的对称性可知：抛物线与x轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的两根为，，故③正确； ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，y有最大值，故④错误； 综上所述：正确的有①③． 12．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末） 二次函数（，，，是常数）中，自变量与函数的对应值如下表： 1 1 1 (1)写出二次函数图象的顶点坐标 _．开口方向 _． (2)一元二次方程（是常数）的两个根的取值范围是下列选项中的哪一个 _． ①    ；② ③；④ 【答案】(1)顶点坐标为，开口向下 (2)③ 【分析】（1）观察表格中函数值随自变量的变化规律，找到函数最大值对应的x和y，即可得到顶点坐标，进而判断开口方向． （2）根据二次函数与一元二次方程的关系，方程的根是二次函数中对应的x值，根据y的正负变化确定根所在区间，即可选出正确选项． 【详解】（1）解：由表格数据可知，随的增大先增大后减小，当时，取得最大值， 因此二次函数的顶点坐标为． 因为二次函数有最大值，所以二次函数图象开口向下． （2）解：一元二次方程的根对应二次函数中时的取值． 由表格可知，当时， ， 当时，， 因此一个根满足 ． 当时，，当时， ， 因此另一个根满足．符合该范围的是选项③． ▌知识点04：已知方程根求抛物线与x轴交点 若已知一元二次方程的两个根为，则抛物线与x轴的交点坐标为(x1,0)和(x2,0)。 若方程有两个相等实根x0，则抛物线与x轴相切于(x0,0)。 13．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）关于x方程的系数a、b、c满足则关于x方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解的关系．由条件可得，从而二次函数在处的值与二次项系数异号，这意味着无论抛物线开口向上还是向下，函数图象与轴有两个交点，故方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴与异号． 令，当时， 若，则，抛物线开口向上，且，故函数图象与轴有两个交点； 若，则，抛物线开口向下，且，故函数图象与轴有两个交点． 综上，方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 14．（2026·浙江杭州·二模）已知关于x的方程，在的范围内，该方程有2个不同的实数根，则t的取值范围是_____． 【答案】 【分析】将方程在给定区间内有两个不同实数根的问题，转化为二次函数与平行于x轴的直线的交点个数问题，通过配方得到二次函数的顶点坐标，计算区间端点的函数值，结合二次函数的图像性质确定t的取值范围 【详解】解：方程在范围内有个不同的实数根，等价于函数与直线有个不同的交点， 对二次函数配方得： 该二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 当时，；当时，； 结合二次函数的图像性质可得，要使直线与在范围内有两个不同交点，需满足 15．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）若关于的方程．在范围内有两个不同的实数根，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的综合应用、二次函数的图像与性质等知识，将一元二次方程根的情况转化为抛物线与不等式问题是解题关键． 根据根的判别式求出的取值范围，令，可看作抛物线与的交点情况，再根据交点情况确定的取值范围，最后综合即可． 【详解】解： 解得； 整理得， 令，可看作抛物线与的交点情况， ∵， ∴抛物线开口向下， 顶点坐标为， 当时，，其关于对称轴的对称点为； 当时，，其关于对称轴的对称点为； 函数图象如下， 在范围内，当时，直线与抛物线有两个交点， 综上，实数的取值范围是， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知关于x的方程（a为实数） (1)若方程有两个实数根，求a的取值范围； (2)若是方程的一个根，抛物线与x轴交于A、B两点，结合图形（画草图），写出时自变量x的取值范围； 【答案】(1)且； (2)或． 【分析】本题考查了二次函数综合应用，涉及二次函数与一元二次方程的关系，三角形面积，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系； （1）由方程有两个实数根，可得不等式，然后求解即可； （2）由是方程的一个根，知，解得，解方程，可得另一个根；画出函数大致图象，通过观察时，自变量的取值范围是或． 【详解】（1）解：方程有两个实数根， 且，即， 解得且； （2）解：是方程的一个根， ， 解得， 关于的方程为， 解得：或， 另一个根是； 则抛物线解析式为，其图象经过，，，图象如下： 由图象可知，时自变量的取值范围是：或． ▌知识点05：抛物线与x轴交点的距离公式 设抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)和(x2,0)，则两交点间的距离为∣x1－x2∣。 利用求根公式或韦达定理可推导：。 注意：该公式仅在Δ＞0（即有两个交点）时适用。 17．（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 18．（2026·四川绵阳·二模）若抛物线与直线有两交点A，B，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先联立抛物线与直线得到，然后设点，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由求解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线有两交点A，B， 设点 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 解得． 19．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）若抛物线 与轴两交点距离为，对称轴为，则抛物线解析式为_____________． 【答案】 【分析】本题利用抛物线对称轴公式求出参数，再结合抛物线与轴两交点的距离，根据根与系数的关系求出参数，即可得到抛物线解析式． 【详解】解：对于抛物线，可得二次项系数，一次项系数，常数项． 已知抛物线对称轴为，由抛物线对称轴公式，得： 解得． 设抛物线与轴两交点的横坐标分别为，，由题意得两交点距离为，即： 等式两边同时平方，得： 由完全平方公式变形得： 根据根与系数的关系，可得，， 将代入得，代入上式得： 整理得： 解得． 将，代入原抛物线方程，得抛物线解析式为． 20．（25-26九年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)将抛物线向上平移个单位长度后与轴交于M，N两点，若，求的取值范围； (3)当时，抛物线的最大值和最小值的差为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为-6或0 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法、根与系数关系是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据根与系数关系和两点之间的距离公式得到，根据得到，解不等式即可得到答案； （3）根据的取值范围分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得 ， 解得 所以抛物线的表达式为：； （2）解：设M，N两点坐标分别为 因为抛物线向上平移个单位长度后为， 所以关于的方程的两个实数根为 所以 所以 因为， 所以， 解得； （3）解：抛物线开口向下，对称轴为， ①即时，随的增大而增大 时时 所以， 解得：； ②且，即时， 当时，当时， 所以， 解得：（舍） ③且，即时， 当时时， 所以4－， 解得：（舍） ④时，随的增大而减小 时时 所以， 解得：； 综上所述，的值为或0． ▌知识点06：由函数图象读取方程近似根 当一元二次方程不易求得精确根时，可采用图象估算法： 1. 先画出二次函数的抛物线草图，找到图象与x轴交点的横坐标的大致位置。 2. 通过观察交点落在哪两个整数之间，确定根的近似值范围；如需更精确，可在该区间内取中点或进一步列表描点缩小范围，读出近似根。 21．（25-26九年级上·山西晋城·期末）设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，解本题的关键在找出当函数值y为0时，对应的一元二次方程的一个解的取值范围． 根据二次函数图象的连续性，当两个x值对应的函数值异号时，这两个x值之间的区间内存在一元二次方程的解，通过表格数据找出y异号的x区间即可． 【详解】解：∵当时，；当时，； 又∵二次函数的图象是连续的抛物线； ∴在的区间内，存在使得，即一元二次方程的一个解的大致范围是． 故选：B 22．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）已知二次函数中部分和的值如表所示： 0.89 0.56 0.25 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质及用图象法确定一元二次方程的近似根，利用二次函数的对称性是解题关键，先求对称轴，再根据表格确定较小根的范围，最后通过对称求出较大根的范围． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为， 由表可知，当时，；当时，， ∴方程的较小根满足， ∵二次函数的图象关于对称轴对称，设较大根为，则， ∴， 当时，；当时，， ∴． 故选C． 23．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数图象和一元二次方程的解． 由图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，再利用对称性即可求解． 【详解】解：函数图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，且对称轴为， 函数图象与轴的另一个公共点的横坐标大约是， 由此可以估计方程的实数根为，． 故答案为：，． 24．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）下表给出了二次函数中的部分对应值，估计方程的一个解的取值范围是____________． … 1 … … 3 … 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，掌握知识点是解题的关键．通过观察表格中函数值的变化，确定方程根所在区间． 【详解】解：方程的解即为函数的零点． 由表格数据可知，当时，；当时，． 由于函数连续，故在与之间必然存在一点使， 因此方程的一个解的取值范围是． 故答案为：． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·陕西西安·模拟预测）二次函数的最小值为，若该二次函数的图象不经过第三象限，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次函数最小值为求出的所有可能值，再结合二次函数图象不经过第三象限的条件筛选出符合要求的． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上，最小值为顶点纵坐标． 根据顶点纵坐标公式列方程得， 整理得， 解得或． 当时，解析式为，顶点坐标为，顶点在第三象限，函数图象经过第三象限，不符合要求，舍去． 当时，解析式为，时，对称轴为直线，因此时，函数图象不经过第三象限，符合要求． ∴． 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知二次函数（为常数）的图象只经过第二、三、四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对二次函数配方得到顶点坐标，根据开口方向和图象只经过二、三、四象限的要求，得到两个不等关系：顶点纵坐标大于0保证存在的点，经过第二象限，函数与y轴交点纵坐标小于等于0保证时，y恒小于等于0，不经过第一象限，解不等式组即可得到a的取值范围. 【详解】解：∵， ∴二次函数开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， ∴二次函数与轴的交点为， ∵图象只经过第二、三、四象限， ∴，解得 . 3．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为两倍点．若一个函数的图象上存在“两倍点”，则称这个函数为“两倍函数”，如点和都是“两倍点”，若二次函数（c为常数）为两倍函数，且图象上有唯一的“两倍点”，则c的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二倍函数的定义、二次函数与一元二次方程、一元二次方程根的判别式等知识点，将函数问题转化为方程问题是解题的关键． 由两倍点定义，点满足纵坐标为横坐标的2倍，即，代入二次函数得方程，图象有唯一两倍点等价于方程有唯一解，即判别式为零，据此列方程求得c的值即可． 【详解】解：设两倍点为，代入得：， ∴， ∵图象有唯一两倍点， ∴方程有唯一实数解， ∴，解得：． 故选C． 4．（25-26九年级上·陕西安康·期中）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据抛物线与x轴的交点可判断①；由对称轴可判断②；根据及时的函数值可判断③和④． 【详解】解：由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点， 即方程有两个不相等的实数根， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误； 由图象知当时，， 即，故③错误； 由图象知当时，， 即，故④正确． 故正确的有①④． 二、填空题 5．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）二次函数的图像与轴的交点坐标是____________． 【答案】和 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，要求二次函数与轴的交点，即要，得到关于的方程来求解． 令二次函数解析式中，得到关于的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与轴的交点坐标． 【详解】令代入，得方程， 因式分解得：， 或， 二次函数的图像与轴的交点坐标是和． 故答案为：和． 6．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）二次函数的图象与轴交点坐标是________． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为，代入函数解析式即可求出纵坐标得到交点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为， ∴ 令，代入二次函数解析式， 得， ∴ 二次函数的图象与轴交点坐标是． 7．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点坐标，可得，求解和，再进一步解答即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴ 解得：，； ∴， ∴ 故答案为： 8．（2026·湖北武汉·模拟预测）函数（a，b是常数且）有下列结论： ①点在该函数图象上； ②图象与x轴一定有两个交点； ③当时，y随x的增大而减少； ④函数的顶点在上运动； ⑤若关于x的方程有四个实数根，则这四个根之和一定为． 其中正确的结论有_____（只填序号）． 【答案】①②④⑤ 【分析】结合二次函数的性质，绝对值函数的性质，逐个验证每个结论是否成立，用到判别式判断二次函数与x轴交点个数，顶点坐标计算，一元二次方程根的和的推导． 【详解】解：①将代入，得，因此点在该函数图象上，故①正确； ②图象与x轴的交点满足，即， ∴， ∵， ∴，方程有两个不相等的实根， ∴图象与x轴一定有两个交点，故②正确； ③由可知，为该函数的对称轴， 当时，函数大致图象如下： 此时，由函数图象可知，y随x先增大而减少，再增大； 当时，函数大致图象如下： 由函数图象可知，y随x先增大而减少，再增大； 当时，函数大致图象如下： 由函数图象可知，y随x先增大而减少，再增大， 综上所述，当时，y随x的增大而减少，说法错误，未考虑再增大的情况，故③错误； ④原二次函数的顶点坐标为，加绝对值后，该顶点翻折后成为函数的顶点，坐标为，即 将代入直线， 得，与顶点纵坐标相等， ∴顶点在该直线上运动，故④正确； ⑤：方程等价于和，方程有四个实根说明两个方程各有两个不相等的实根，对于一元二次方程，两个根关于对称轴对称， ∴两根和为，两个方程四根总和为，故⑤正确． 三、解答题 9．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）九下数学课本“二次函数与一元二次方程”，由函数图像求方程近似根的活动，体验了数学中“无限逼近”的思想和方法，培养了“数形结合”探讨问题的研究能力． 【问题再现】 你能利用函数的图像（如图），探索方程=0的根的取值范围吗？ 从图可以看出，函数的图像与x轴有两个公共点，它们分别位于表示实数1与2，与的点之间，所以一元二次方程有两个根，它们分别介于实数1与2，与之间 下面，我们借助计算器，探究介于1与2之间根的近似值 【解决问题】 解：当时，_ 当时，_ ． x的近似值可能为1或2 当时， ∴_ _ _（精确到1）． (1)补充以上解题过程； (2)继续探索：方程介于1与2之间的根的近似值（精确到0.1），因为_ _，所以_． 【答案】(1)，3，1，，1 (2)，， 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程，一元二次方程的近似根． （1）观察画出的抛物线，取1和2的中间数代入表达式中试值； （2）根据所求的函数值缩小取值范围，依次取两个端点值的中间数，代入表达式中试值，进而求得根的近似值． 【详解】（1）解：当时，， 当时，． ． x的近似值可能为1或2 当时， ． （精确到1）． 故答案为：，3，1，，1． （2）解：由（1）可知． 当时，， 当时，． ． 取中间值，当时，， 当时 ，，． ． 精确到0.1，． 10．（2026·江苏连云港·二模）已知关于的函数（是实数）． (1)当时，直接写出对称轴及与轴的交点坐标； (2)若对于任意实数，总有，求实数的取值范围； (3)设函数的图象与轴交点为，，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)对称轴，交点坐标 (2) (3) 【分析】（1）将代入函数的表达式，转化为顶点式即可得出对称轴为直线，当时，解得，即可得到与轴的交点坐标. （2）根据二次函数的图象和性质，得出满足题意的条件为，且，解得实数的取值范围． （3）根据二次函数的图象和性质，得出函数满足时的函数的值与异号，求得时的函数的值，列关于的不等式并解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，则， ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 抛物线与轴的交点为； （2）解：若对于任意实数，总有， 当时，，不满足题意， 当时，函数为二次函数， 抛物线开口向上，与轴没有交点， ，且， ， 整理得， 解得， 实数的取值范围是； （3）解：函数的图象与轴交点为，且， 当时，，不满足题意， 当时，函数为二次函数，且时的函数的值与异号， 时，， ，或， 解得． / 学科网（北京）股份有限公司 $