26.3　二次函数与一元二次方程　第1课时　二次函数与一元二次方程的联系 同步练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练通过“基础达标-能力提升-微专题”三层设计，以二次函数与一元二次方程的联系为核心，从概念理解到综合应用，培养抽象能力、推理意识与模型观念，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|二次函数与方程根的关系、判别式|选择填空结合图象分析，强化概念直观理解（如第2题图象应用）| |能力提升|根的分布、实际应用（推铅球）、综合证明|解答题融合代数推理与几何直观（如第7题判别式证明）| |微专题|二次函数与不等式|专项突破数形结合，提升应用意识（如利用图象解不等式）|

26.3二次函数与一元二次方程 第1课时　二次函数与一元二次方程的联系 二次函数与一元二次方程的根之间的关系 1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点坐标分别为(-2,0),(1,0),则一元二次方程ax2+bx+c=0的根为 (　　) A.x1=1,x2=2 B.x1=1,x2=-2 C.x1=-1,x2=-2 D.x1=-1,x2=2 2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,利用图象解答下列各题: (1)方程ax2+bx+c=0的根是　　　　.  (2)方程ax2+bx+c=-3的根是　　　　.  (3)方程ax2+bx+c=5的根是　　　　.  (4)方程ax2+bx+c=-4的根是　　　　.  (5)方程ax2+bx+c=-6的根的情况怎样? 二次函数与一元二次方程的根的判别式之间的关系 3.抛物线y=x2-2x-1与x轴的公共点个数是 (　　) A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3 4.若抛物线y=2x2-3x-k与x轴没有公共点,则k的取值范围为　　　　.  忽视抛物线与y轴的公共点 5.把抛物线y=ax2+c向上平移2个单位长度得到抛物线y=x2,则原抛物线与坐标轴的公共点个数是　　　　.  漏掉函数是一次函数的情况 6.已知函数y=(a-2)x2+(a+1)x+b的图象与坐标轴有两个公共点,且a=4b,则a的值为 (　　) A.-1或2 B.0或- C.-或0或2 D.-1或-或2 1.若二次函数y=kx2-6x+9的图象与x轴有公共点,则k的取值范围是 (　　) A.k<1 B.k≤1 C.k<1且k≠0 D.k≤1且k≠0 2.(2026张家港月考)若二次函数y=x2+mx图象的对称轴是x=2,则关于x的方程x2+mx=12的根为 (　　) A.x1=-2,x2=6 B.x1=2,x2=-6 C.x1=3,x2=-4　 D.x1=-4,x2=3 3.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)如图所示.甲、乙、丙三人对关于x的一元二次方程ax2+bx+c+m=0(a≠0)的根的情况判断如下,其中正确的有 (　　) 甲:当m=1时,该方程没有实数根; 乙:当m=3时,该方程有两个相等的实数根; 丙:当m=5时,该方程有两个不相等的实数根. A.0个　　　　B.1个　　　　C.2个　　　　D.3个 4.已知抛物线y=(x-x1)(x-x2)+1(x1<x2),抛物线与x轴交于(m,0),(n,0)两点(m<n),则m,n,x1,x2的大小关系是 (　　) A.x1<m<n<x2 B.m<x1<x2<n C.m<x1<n<x2 D.x1<m<x2<n 5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.根据图象回答下列问题: (1)当y>0时,写出自变量x的取值范围:　　　　.  (2)若方程ax2+bx+c-k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围为　　　　.  6.如图,一名男生推铅球,铅球的飞行高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系式是y=-x2+x+,则他将铅球推出的距离是　　　　m.  7.已知抛物线y=x2-mx+m-2. (1)求证:不论m为何值,此抛物线与x轴总有两个公共点. (2)若该抛物线与x轴的两个公共点分别为(x1,0)和(x2,0),且x1+x2=2x1x2,求m的值. 微专题4　二次函数与不等式 不等式ax2+bx+c>0(或<0)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方(或下方)的点所对应的x的取值范围. 1.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是 (　　) A.-1<x<5 B.x>5 C.x<-1 D.x<-1或x>5 2.利用函数的图象,求方程x2+2x-3=0的解,并直接写出不等式x2+2x-3>0的解集. 【详解答案】 基础达标 1.B 2.解:(1)x1=-1,x2=3 (2)x1=0,x2=2 (3)x1=-2,x2=4 (4)x1=x2=1 (5)由题图可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=-6没有公共点, 即方程ax2+bx+c=-6无实数根. 3.C　4.k<- 5.3　解析:抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),把点(0,0)向下平移2个单位长度得到的点的坐标为(0,-2),所以平移前抛物线对应的函数解析式为y=x2-2,所以a=1,b=0,c=-2.所以Δ=b2-4ac=0-4×1×(-2)=8>0,则原抛物线与x轴有2个公共点,与y轴有一个公共点,坐标是(0,-2),故原抛物线与坐标轴的公共点个数是3. 6.C　解析:当a-2=0,即a=2时,b==,∴函数y=3x+为一次函数,其图象与坐标轴有两个公共点. 当a-2≠0时,分两种情况: ①函数y=(a-2)x2+(a+1)x+b的图象经过原点,把(0,0)代入得b=0,∴a=0,此时函数y=-2x2+x的图象与坐标轴有两个公共点; ②函数y=(a-2)x2+(a+1)x+b的图象分别与x轴、y轴各有一个公共点,把y=0代入得(a-2)x2+(a+1)x+b=0,则Δ=(a+1)2-4(a-2)b=0,∵a=4b,∴b=,∴(a+1)2-a(a-2)=0,解得a=-. 综上,a的值为2或0或-.故选C. 能力提升 1.D　解析:∵二次函数y=kx2-6x+9的图象与x轴有公共点,∴Δ=b2-4ac≥0,则有(-6)2-4k×9=36-36k≥0,解得k≤1.又∵k≠0,∴k≤1且k≠0.故选D. 2.A　解析:∵二次函数图象的对称轴是x=2, ∴-=-=-=2,解得m=-4, ∴x2-4x=12,∴x2-4x-12=0, ∴(x+2)(x-6)=0,解得x1=-2,x2=6. 故选A. 3.C　解析:∵ax2+bx+c+m=0,∴ax2+bx+c=-m.由题图可知,y=ax2+bx+c的最大值为-2,∵当m=1时,-1>-2,∴直线y=-m与抛物线y=ax2+bx+c没有公共点.∴方程ax2+bx+c+m=0没有实数根.故甲正确.∵当m=3时,-3<-2,∴直线y=-m与抛物线y=ax2+bx+c有两个公共点.∴方程ax2+bx+c+m=0有两个不相等的实数根.故乙错误.∵当m=5时,-5<-2,∴直线y=-m与抛物线y=ax2+bx+c有两个公共点.∴方程ax2+bx+c+m=0有两个不相等的实数根.故丙正确.综上所述,正确的有2个.故选C. 4.A　解析:设y'=(x-x1)(x-x2),则x1,x2是抛物线y'=(x-x1)(x-x2)与x轴的公共点的横坐标,而y=(x-x1)(x-x2)+1=y'+1,即抛物线y'=(x-x1)(x-x2)向上平移1个单位长度得到抛物线y=(x-x1)·(x-x2)+1,则两个函数的图象如图所示(省略了y轴). 从图象可以看出x1<m<n<x2.故选A. 5.(1)1<x<3　(2)k<2　 解析:(1)由题图可知,当y>0时,1<x<3. (2)方程ax2+bx+c-k=0可变形为ax2+bx+c=k,∴方程ax2+bx+c-k=0有两个不相等的实数根,可看作二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=k有两个公共点,如图.故k的取值范围为k<2. 6.10　解析:因为铅球落地时高度y=0,所以-x2+x+=0,解得x1=10,x2=-1(舍去). 7.解:(1)证明:令y=x2-mx+m-2=0, 则Δ=(-m)2-4(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4. ∵(m-2)2≥0, ∴Δ=(m-2)2+4>0. ∴方程x2-mx+m-2=0有两个不相等的实数根. ∴不论m为何值,此抛物线与x轴总有两个公共点. (2)∵该抛物线与x轴的两个公共点分别为(x1,0)和(x2,0), ∴x1,x2是一元二次方程x2-mx+m-2=0的两个根.∴x1+x2=m,x1x2=m-2. ∵x1+x2=2x1x2, ∴m=2(m-2),解得m=4. 微专题4 1.D　解析:由题图得抛物线的对称轴是x=2,与x轴的其中一个公共点的坐标为(5,0),∴抛物线与x轴的另一个公共点的坐标为(-1,0),由图象可知ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集,∴x<-1或x>5.故选D. 2.解:二次函数y=x2+2x-3的图象如图所示,当y=0时,x=-3或x=1, 即方程x2+2x-3=0的解为x1=-3,x2=1. 不等式x2+2x-3>0的解集为x<-3或x>1. 学科网（北京）股份有限公司 $