26.3 课时2 将一元二次方程（不等式）问题转化为相应的二次函数问题 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学九年级上册二次函数与一元二次方程同步练，以6个递进知识点为框架，通过基础巩固、含参讨论到综合应用的分层设计，强化数形结合思想，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|方程求解、不等式范围判断、边界点|选择填空结合图象辨析，如用抛物线判断方程根的情况| |提升|含参二次不等式讨论|解答题结合判别式与图象平移，如含参函数最小值问题| |综合|方程、不等式、函数互化|跨知识点综合题，如直线与抛物线交点的不等式解集|

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十六章 二次函数 26.3二次函数与一元二次方程 课时2将一元二次方程（不等式）问题转化为相应的二次函数问题 ▌课时目标 1. 掌握利用二次函数图象求解一元二次方程及简单二次不等式的方法，能根据图象准确确定ax²＋bx＋c＞0或＜0的x的取值范围。 2. 理解等号情形下的边界点处理，明确方程、不等式与函数之间的内在联系，规范数形结合的解题步骤。 3. 初步体会含参二次不等式的数形结合讨论，能结合判别式与图象位置解决简单的参数范围问题，提升数形转化能力。 ▌课时目录 知识点01：用抛物线图象解一元二次方程 知识点02：二次不等式ax²＋bx＋c＞0的x范围判断 知识点03：二次不等式ax²＋bx＋c＜0的x范围判断 知识点04：等号情形与边界点 知识点05：含参二次不等式的数形结合讨论 知识点06：方程、不等式、函数三者综合的数形互化 ▌知识点01：用抛物线图象解一元二次方程 对于形如的方程，可构造函数，方程的解即为抛物线与直线y＝k交点的横坐标。 当k＝0时，方程的解就是抛物线与x轴交点的横坐标。 通过画出抛物线草图，可以直观读取方程的实数根（精确值或近似值）。 1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（     ）． A． B．方程的两根是， C．不等式的解集是 D．当时，随的增大而减小 2．（2026·河南平顶山·一模）二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（     ）．    A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 3．（2026·山西阳泉·模拟预测）已知二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值如下表： x 0 1 5 y 0 5 9 8 5 则下列关于该二次函数的说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．当时，y的取值范围为 C．一元二次方程有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 4．（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线的对称轴为直线，与x轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，有下列结论正确的是（    ） A． B． C．方程有且只有一个实数根 D．抛物线的图象的最低点坐标为 ▌知识点02：二次不等式ax²＋bx＋c＞0的x范围判断 不等式的解集，对应抛物线位于x轴上方（即y＞0）部分的点的横坐标的集合。 1. 当a＞0且Δ＞0时，若抛物线与x轴交点为x1,x2（x1＜x2），则解集为x＜x1或x＞x2； 2. 当a＜0且Δ＞0时，解集为x1＜x＜x2； 3. 若Δ≤0，需结合开口方向与x轴位置关系判断（如a＞0，Δ＜0时，解集为全体实数）。 5．（25-26九年级下·四川甘孜·阶段检测）下表中是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值∶ x … 0 1 3 … y … 6 … 下列结论∶① 这个函数图象开口向上；② 抛物线的对称轴为直线；③ 当时，函数值y随x的增大而增大；④ 不等式的解集是或；⑤ 这个函数的最小值等于．其中正确的结论有（  ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 6．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是_____． 7．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 8．（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）已知二次函数． (1)二次函数图象与轴的交点坐标是______，与轴的交点的坐标是______，顶点坐标是______； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，当时，的取值范围是______． ▌知识点03：二次不等式ax²＋bx＋c＜0的x范围判断 不等式的解集，对应抛物线位于x轴下方（即y＜0）部分的点的横坐标的集合。 1. 当a＞0且Δ＞0时，解集为x1＜x＜x2； 2. 当a＜0且Δ＞0时，解集为x＜x1或x＞x2。 9．（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （    ） A． B． C．或 D．或 10．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）二次函数，当时，自变量x的取值范围是_________ 11．（25-26九年级上·北京·期中）解关于x的不等式． 12．（25-26九年级上·天津静海·期中）二次函数的图象如图所示． (1)写出关于x的一元二次方程的两个根； (2)写出关于x的不等式的解集； (3)若关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，求k的取值范围． ▌知识点04：等号情形与边界点 不等式或的解集包含边界点。 边界点即为对应方程的根（x1,x2）。 在数轴上表示时，严格大于（或小于）用空心圆圈，大于等于（或小于等于）用实心点。 注意：当Δ＝0时，不等式（a＞0）的解集为x＝x0的一切实数，不包含x0。 13．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 14．（25-26八年级下·北京·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D．或 15．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 16．（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． ▌知识点05：含参二次不等式的数形结合讨论 含参二次不等式（如中b,c含参）的讨论，通常结合抛物线图象的开口方向与顶点位置进行： 1. 若参数影响开口方向（a含参），需分a＞0和a＜0讨论； 2. 若参数仅影响常数项（如y＝x2＋c），可通过上下平移抛物线，结合判别式Δ确定与x轴交点情况，进而确定解集。 示例：已知抛物线y＝x2＋c与x轴无交点，则x2＋c＞0的解集为全体实数，此时c＞0。 17．（2026·山东青岛·二模）函数与的图象如图所示，结合图象分析下列结论： ①；②；③当时，两个函数的函数值都随的增大而增大；④当时，． 其中正确结论是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 18．（25-26九年级下·江苏镇江·阶段检测）已知一次函数与二次函数 （）的图像交于点，且直线与抛物线只有一个公共点，二次函数的对称轴为直线，给出以下五个结论： ① ；②；③ 点 P是抛物线的顶点；④ 当 时，；⑤ 若点 在抛物线上，点 在直线上，则 的最小值为 0，其中正确结论的序号是_________． 19．（2026·浙江宁波·二模）已知关于的二次函数（，为常数）． (1)若二次函数的图象经过点，对称轴为直线． ①求该二次函数的表达式； ②将二次函数的图象向下平移7个单位得到新函数的图象，当时，求的取值范围． (2)若，当时，二次函数的最小值为21，求的值． 20．（2026·云南西双版纳·一模）知识推广：如图，二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标是，（）． 当时，即，就是二次函数的图象在轴下方的部分，这一部分的的取值范围是． 当时，即，就是二次函数的图象在轴上方的部分，这一部分的的取值范围是或． 已知二次函数的图象的顶点在另一个二次函数的图象上． (1)求二次函数的解析式； (2)定义：点满足以下两个条件：①，均为整数；②对应与的函数值分别记为，，且．则称是函数与的一个环抱整点．求函数与的环抱整点的个数． ▌知识点06：方程、不等式、函数三者综合的数形互化 三者关系： 1. 函数是核心载体。 2. 方程是函数值y＝0时的特例，对应图象与x轴交点； 3. 不等式（或）是函数值正负的体现，对应图象在x轴上方（或下方）部分的x范围。 解题时，将代数问题转化为图形位置问题，利用数形结合简化推理与计算。 21．（2026·山东菏泽·一模）下表记录了二次函数中两个变量x与y的3组对应值，根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则n的取值范围是（   ） x … 1 5 … y … m 3 m … A． B． C． D． 22．（2026·重庆綦江·二模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________． 23．（2026·辽宁抚顺·一模）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．现有下列说法：①；②；③的解集是；④（为任意实数）．其中正确的是___________（填序号）． 24．（2026·江西鹰潭·一模）如图，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点，直线经过点 B， C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)直接写出不等式的解集； ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·吉林长春·模拟预测）二次函数的图像上有两点和，则的值等于（     ） A． B．1 C．2 D．4 2．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知抛物线，与x轴的一个交点为，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的图象上有两个点和，当时，始终有，则下列结论正确的是（     ） A． B．方程没有实数根 C．该函数图象的顶点位于第三象限 D．该函数的最大值不小于5 二、填空题 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）二次函数的图像与x轴有两个公共点，则m的取值范围为______． 6．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两个根为 ______． 7．（2026·辽宁·中考真题）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 8．（25-26八年级下·北京·期末）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根为，； ④不等式的解集是； ⑤当时，二次函数有最大值． 其中正确的有_____ （填写序号）． 三、解答题 9．（2026·江苏南京·二模）已知二次函数（为常数，），顶点坐标为． (1)当时，_； (2)当时， ①求证：二次函数的图像与轴总有两个公共点； ②若二次函数图像与轴的交点都在轴的右侧，则的取值范围为_． 10．（2026·河南周口·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“等值点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“反值点”，把函数图象经过“等值点”和“反值点”的函数称为“等反值函数”．已知二次函数是“等反值函数”，其图象经过“反值点”． (1)________；并求a的值； (2)在求二次函数的图象经过的“反值点”时，小亮说：“首先根据‘反值点’的定义可知，它们均落在某个正比例函数的图象上，其次联立该正比例函数和二次函数的表达式，求它们的交点坐标，即为‘反值点’的坐标．” ①该正比例函数的表达式为________； ②求二次函数的图象经过的“反值点”． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十六章 二次函数 26.3二次函数与一元二次方程 课时2将一元二次方程（不等式）问题转化为相应的二次函数问题 ▌课时目标 1. 掌握利用二次函数图象求解一元二次方程及简单二次不等式的方法，能根据图象准确确定ax²＋bx＋c＞0或＜0的x的取值范围。 2. 理解等号情形下的边界点处理，明确方程、不等式与函数之间的内在联系，规范数形结合的解题步骤。 3. 初步体会含参二次不等式的数形结合讨论，能结合判别式与图象位置解决简单的参数范围问题，提升数形转化能力。 ▌课时目录 知识点01：用抛物线图象解一元二次方程 知识点02：二次不等式ax²＋bx＋c＞0的x范围判断 知识点03：二次不等式ax²＋bx＋c＜0的x范围判断 知识点04：等号情形与边界点 知识点05：含参二次不等式的数形结合讨论 知识点06：方程、不等式、函数三者综合的数形互化 ▌知识点01：用抛物线图象解一元二次方程 对于形如的方程，可构造函数，方程的解即为抛物线与直线y＝k交点的横坐标。 当k＝0时，方程的解就是抛物线与x轴交点的横坐标。 通过画出抛物线草图，可以直观读取方程的实数根（精确值或近似值）。 1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（     ）． A． B．方程的两根是， C．不等式的解集是 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向和与轴的交点得到，故选项错误；根据对称轴和一个与轴的交点可得另一个与轴的交点，即可得到选项正确；根据图象可得不等式的解集是或，当时，随的增大而增大，故、选项错误． 【详解】解：根据二次函数的图象和性质，逐一分析各选项， 选项：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴正半轴， ∴， ∴，故选项错误； 选项：∵抛物线的对称轴为，与轴的一个交点是， ∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标为，即另一个交点坐标是， ∴方程的两根是，，故选项正确； 选项：∵由图象可知当或时，抛物线在轴的下方， ∴不等式的解集是或，故选项错误； 选项：由图象可知，当时，随的增大而增大，故选项错误． 2．（2026·河南平顶山·一模）二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（     ）．    A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 【答案】A 【详解】解：由图可知，方程的根的情况为有两个不相等的实数根． 3．（2026·山西阳泉·模拟预测）已知二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值如下表： x 0 1 5 y 0 5 9 8 5 则下列关于该二次函数的说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．当时，y的取值范围为 C．一元二次方程有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 【答案】C 【分析】先利用表格中函数值相等的点得到对称点，求出对称轴，再代入点坐标求出二次函数解析式，最后逐一判断各选项正误． 【详解】解：∵时，时， ∴二次函数图象的对称轴为直线，故选项D错误． ∵时， ∴． 将，代入得， 又∵对称轴公式为直线， ∴． 联立方程得 解得， ∴二次函数解析式为． ∵， ∴图象开口向下，选项A错误． 当时，时取得最大值，端点时， ∴的取值范围是，选项B错误． ∵二次函数顶点坐标为， ∴直线与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程有两个相等的实数根，选项C正确． 4．（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线的对称轴为直线，与x轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，有下列结论正确的是（    ） A． B． C．方程有且只有一个实数根 D．抛物线的图象的最低点坐标为 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置确定的符号及关系，利用对称性求出另一个交点坐标，进而判断各选项即可． 【详解】解：A、由抛物线开口向上可知，， 抛物线的对称轴为，因为，所以， 抛物线与轴的交点在负半轴，即时，， 所以，，故A选项错误； B、抛物线的对称轴为，与轴正半轴的交点为， 根据抛物线的对称性可知，与轴的另一个交点为， 将代入抛物线解析式可得，①， 又因为抛物线的对称轴为，，代入①中，，整理得，， 即，故B选项错误； C、将代入抛物线解析式可得，，即， 方程的根的判别式， 因为，， 所以， 所以，方程有两个不相等的实数根，故C选项错误； D、抛物线开口向上， 抛物线有最低点，即顶点， 对称轴为直线， 顶点的横坐标为， 当时，， ，， ， 最低点坐标为，故D选项正确． ▌知识点02：二次不等式ax²＋bx＋c＞0的x范围判断 不等式的解集，对应抛物线位于x轴上方（即y＞0）部分的点的横坐标的集合。 1. 当a＞0且Δ＞0时，若抛物线与x轴交点为x1,x2（x1＜x2），则解集为x＜x1或x＞x2； 2. 当a＜0且Δ＞0时，解集为x1＜x＜x2； 3. 若Δ≤0，需结合开口方向与x轴位置关系判断（如a＞0，Δ＜0时，解集为全体实数）。 5．（25-26九年级下·四川甘孜·阶段检测）下表中是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值∶ x … 0 1 3 … y … 6 … 下列结论∶① 这个函数图象开口向上；② 抛物线的对称轴为直线；③ 当时，函数值y随x的增大而增大；④ 不等式的解集是或；⑤ 这个函数的最小值等于．其中正确的结论有（  ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式等知识，设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式，然后化成顶点式，根据二次函数的性质即可判断．解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 由题意知：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ①函数图象开口向上，故①正确； ②对称轴为直线，故②错误； ③当时，函数值y随x的增大而增大，故③正确； ④方程的解为，， 结合函数增减性可知，不等式的解集是或，故④正确； ⑤这个函数的最小值等于，故⑤正确． 综上所述：正确的是①③④⑤，共4个. 6．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，抛物线与轴的交点，掌握相关知识是解决问题的关键．令，求出抛物线与轴两交点坐标，利用图像即可求时的的取值范围． 【详解】解：令 ， 由图象得：当时，． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【答案】 ， 或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，利用图象法解不等式，利用函数图象在平面直角坐标系中的位置即可求得自变量的取值范围．根据二次函数图象与x轴的交点和分别在轴上方和下方部分的的取值分别填空即可． 【详解】解：由图象可知： 方程的解是，； 不等式的解集是或； 不等式的解集是． 故答案为：，；或；． 8．（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）已知二次函数． (1)二次函数图象与轴的交点坐标是______，与轴的交点的坐标是______，顶点坐标是______； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，当时，的取值范围是______． 【答案】(1)；，；； (2) 二次函数图象如图所示： (3)或． 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，画出二次函数的图象是解答此题的关键． （1）令，可得二次函数图象与y轴的交点；令，可得二次函数图象与轴的交点；对进行配方，可得顶点式公式，得出顶点坐标； （2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象； （3）结合二次函数图象，写出当时，对应的的取值范围． 【详解】（1）解：∵令，则， ∴二次函数图象与y轴的交点坐标是； ∵令，则，即，解得，， ∴二次函数图象与轴的交点坐标是和； ∵， ∴二次函数的顶点坐标为； （2） （3）由（2）图象可得：当时，的取值范围为或． ▌知识点03：二次不等式ax²＋bx＋c＜0的x范围判断 不等式的解集，对应抛物线位于x轴下方（即y＜0）部分的点的横坐标的集合。 1. 当a＞0且Δ＞0时，解集为x1＜x＜x2； 2. 当a＜0且Δ＞0时，解集为x＜x1或x＞x2。 9．（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数图象解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．求时，的取值范围，就是二次函数的图象在轴下方时对应的的范围． 【详解】解：∵二次函数的部分图象交轴于点， ∴时，的取值范围是， 故选：B． 10．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）二次函数，当时，自变量x的取值范围是_________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过求二次函数与x轴的交点坐标，结合抛物线开口方向，确定函数值小于零时自变量的取值范围 【详解】解：由可知，函数图象与x轴交点为和， ∵二次项系数为正，抛物线开口向上， ∴当时，自变量x的取值范围为． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·北京·期中）解关于x的不等式． 【答案】 当时，， 当时，无解， 当时，． 【分析】本题考查了图像法解一元二次不等式，熟练掌握二次函数与一元二次不等式的关系，解一元二次方程，二次函数的图像和性质，分类讨论是解题的关键． 设，令，解得，得函数与的交点为，，分当时， 当时, 当时三种情况解答即得． 【详解】解：∵关于x的不等式， ∴， 设， 令， 则, 解得， ∴函数与的交点为，， 点与点关于对称轴直线对称， 当时，点在点的左侧， ∵函数图像开口向上， ∴原不等式解集为； 当时,点与点重合，原不等式无解； 当时，点在点的右侧， ∴原不等式解集为． 综上，原不等式解集为 当时，， 当时，无解， 当时，．    12．（25-26九年级上·天津静海·期中）二次函数的图象如图所示． (1)写出关于x的一元二次方程的两个根； (2)写出关于x的不等式的解集； (3)若关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了根的判别式和抛物线与x轴的交点问题． （1）根据抛物线与x轴的交点问题求解； （2）结合函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的取值范围即可； （3）利用直线与抛物线有两个交点确定k的取值范围． 【详解】（1）∵抛物线与x轴的交点坐标为，即或时，， 关于x的一元二次方程的两个根为； （2）∵当或时，， 关于x的不等式的解集为或； （3）∵抛物线顶点的纵坐标为2， 直线与抛物线只有一个交点， 当时，直线与抛物线有两个交点， 即时，关于x的一元二次方程有两个不等的实数根， 的取值范围为 ▌知识点04：等号情形与边界点 不等式或的解集包含边界点。 边界点即为对应方程的根（x1,x2）。 在数轴上表示时，严格大于（或小于）用空心圆圈，大于等于（或小于等于）用实心点。 注意：当Δ＝0时，不等式（a＞0）的解集为x＝x0的一切实数，不包含x0。 13．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴有图象可得，它的解集是． 14．（25-26八年级下·北京·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，即可求解． 【详解】解：由函数图象得：二次函数 的对称轴为， ∴点关于的对称点的坐标为， ∴关于 的不等式的解集是 ． 15．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可； （3）根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：列表如下： … 0 … … … 函数图象见解析； （3）解：由函数图象可知，当时，． 16．（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 或 【分析】（1）根据题意，得，，，结合，得，解方程，解答即可． （2）当时，得，利用数形结合思想，结合函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数的图象与轴交于点，且， ，，， ， ， ， ， 整理，得， 解得， 当时，，不满足要求，舍去； 当时，，满足要求； 故，． （2）解：，， 故二次函数的解析式为，且抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，得， 解得， 如图所示，此时， 时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随x减小而减小， ， 解得； 时，函数值都小于，且对称轴右侧，y随x增大而减小， ， 解得； 综上所述，符合要求的的取值范围是或． ▌知识点05：含参二次不等式的数形结合讨论 含参二次不等式（如中b,c含参）的讨论，通常结合抛物线图象的开口方向与顶点位置进行： 1. 若参数影响开口方向（a含参），需分a＞0和a＜0讨论； 2. 若参数仅影响常数项（如y＝x2＋c），可通过上下平移抛物线，结合判别式Δ确定与x轴交点情况，进而确定解集。 示例：已知抛物线y＝x2＋c与x轴无交点，则x2＋c＞0的解集为全体实数，此时c＞0。 17．（2026·山东青岛·二模）函数与的图象如图所示，结合图象分析下列结论： ①；②；③当时，两个函数的函数值都随的增大而增大；④当时，． 其中正确结论是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】①利用抛物线与轴交点和判别式的关系判断；②利用抛物线的对称性和对称轴公式求解参数；③分别分析两个函数的单调性，结合自变量范围判断；④先利用函数图象的上下位置得出不等式，再对不等式进行变形即可． 【详解】解：据图可知，的图象与轴没有交点， 则，即，故①错误； 据图可知，抛物线过点，， 两点纵坐标相同，则关于对称轴对称， 则抛物线的对称轴， 解得，故②正确； 抛物线的图象开口向下，且对称轴为， 则当时，的函数值随的增大而增大， 的函数值在实数范围内，始终随的增大而增大， 故③正确； 当，， 可得， ，即， 故④错误， 综上，正确的说法有②③． 18．（25-26九年级下·江苏镇江·阶段检测）已知一次函数与二次函数 （）的图像交于点，且直线与抛物线只有一个公共点，二次函数的对称轴为直线，给出以下五个结论： ① ；②；③ 点 P是抛物线的顶点；④ 当 时，；⑤ 若点 在抛物线上，点 在直线上，则 的最小值为 0，其中正确结论的序号是_________． 【答案】 【分析】先根据已知条件求出，，，的值，再逐一判断每个结论即可． 【详解】解：∵ 点在一次函数上， ∴ 将代入得， 解得，故②正确． ∵ 二次函数的对称轴为， ∴ ，得． ∵ 点在抛物线上， ∴ ， 将代入得． 联立一次函数与二次函数得， 整理得：， ∵ 直线与抛物线只有一个交点， ∴ 该方程判别式， 解得，故①错误． ∴，， 将抛物线配方得， ∴ 抛物线顶点坐标为，不是，故③错误． 对任意，， 即，仅当时等号成立． ∵当时，， ∴，故④错误． ∵在抛物线上，在直线上， ∴ ， 该式的最大值为，不存在最小值，故⑤错误． 综上，正确结论的序号是②． 19．（2026·浙江宁波·二模）已知关于的二次函数（，为常数）． (1)若二次函数的图象经过点，对称轴为直线． ①求该二次函数的表达式； ②将二次函数的图象向下平移7个单位得到新函数的图象，当时，求的取值范围． (2)若，当时，二次函数的最小值为21，求的值． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①由待定系数法求解即可；②根据抛物线与不等式的关系求解； （2）当时，，对称轴为直线，然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①将点代入得：， 二次函数的对称轴为， ，解得， 则此二次函数的表达式为； ②， 则向下平移7个单位得到新函数，即， 令，则，解得或， ∵抛物线开口向上， ∴当时，； （2）解：当时，，对称轴为直线， ①当，即时， 将，代入解析式得，， 解得． ， ． ②当，即时， 将，代入解析式得，， 解得． ， ． ③当时，将，代入解析式得， ， 解得． ， 此时的值不合题意，舍去． 综上所述，或． 20．（2026·云南西双版纳·一模）知识推广：如图，二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标是，（）． 当时，即，就是二次函数的图象在轴下方的部分，这一部分的的取值范围是． 当时，即，就是二次函数的图象在轴上方的部分，这一部分的的取值范围是或． 已知二次函数的图象的顶点在另一个二次函数的图象上． (1)求二次函数的解析式； (2)定义：点满足以下两个条件：①，均为整数；②对应与的函数值分别记为，，且．则称是函数与的一个环抱整点．求函数与的环抱整点的个数． 【答案】(1) (2)函数与的环抱整点的个数为6个 【分析】（1）因为要利用的顶点在图象上这一条件，所以先通过配方法或顶点坐标公式求出的顶点坐标。因为顶点坐标满足​的解析式，所以将顶点坐标代入，得到关于的方程，求解得出的值，进而确定的解析式． （2）因为需要找到满足​的整数、，所以先分析的表达式，求出时的取值范围，确定整数的可能取值；因为对于每个整数，要计算对应的和，所以将分别代入和的解析式，得到和的值，再找出满足​的整数的个数，最后统计所有符合条件的环抱整点总数． 【详解】（1）解：∵二次函数 的图象的顶点坐标为， ∴将点代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为． （2）解：∵，， ∴当时，，， ∵， ∴，即， 令， 解得， ∵，即的图象开口向上， ∴时，， ∵，均为整数， ∴可取或0； ①当时， ， ， ∴，则可取，，， ∴函数与的环抱整点为，，； ②当时，，， ∴，则可取，，0， ∴函数与的环抱整点为，，； 综上所述，函数与的环抱整点的个数为6个． ▌知识点06：方程、不等式、函数三者综合的数形互化 三者关系： 1. 函数是核心载体。 2. 方程是函数值y＝0时的特例，对应图象与x轴交点； 3. 不等式（或）是函数值正负的体现，对应图象在x轴上方（或下方）部分的x范围。 解题时，将代数问题转化为图形位置问题，利用数形结合简化推理与计算。 21．（2026·山东菏泽·一模）下表记录了二次函数中两个变量x与y的3组对应值，根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则n的取值范围是（   ） x … 1 5 … y … m 3 m … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用y值相等的两点确定二次函数对称轴，再求出二次函数解析式，结合给定x范围，根据交点个数判断n的取值范围即可． 【详解】解：∵和时值相等，两点关于对称轴对称， ∴对称轴， 由对称轴公式得，即， ∴二次函数可写为， 将代入得， 解得， ∴， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，顶点在范围内， 当时，，当时，， ∵直线与该二次函数图象在有两个公共点， ∴根据图象得，n的取值范围是． 22．（2026·重庆綦江·二模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴， ∴不等式的解集是或． 23．（2026·辽宁抚顺·一模）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．现有下列说法：①；②；③的解集是；④（为任意实数）．其中正确的是___________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】先根据抛物线开口向下、与y轴的交点位于y轴正半轴，，再根据对称轴可得，由此可判断说法①；将对称轴进行化简得到，代入二次函数中，即，将点代入二次函数的解析式可判断说法②；根据二次函数的对称性可知抛物线也经过点，结合图象得到当，，可判断说法③；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此可判断说法④，即可得出答案． 【详解】解：∵由图可知，开口向下，即，对称轴在轴右侧，即，与轴交于正半轴，即， ∴，故①符合题意； ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴二次函数可化简为， ∵二次函数经过点， ∴将代入，得，即，故②符合题意； ∵二次函数对称轴为直线，且经过点， ∴与轴另一个交点为，即， ∴由图象可知的解集为，故③符合题意； ∵由图可知，开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数有最大值， ∵假设（为任意实数），即， ∴，即， ∵当，，与假设矛盾，所以假设不成立，故④不符合题意； 综上，符合题意的有：①②③． 24．（2026·江西鹰潭·一模）如图，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点，直线经过点 B， C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)直接写出不等式的解集； 【答案】(1)直线的解析式为；抛物线的解析式为 (2)或 【分析】（1）把、代入，求出抛物线表达式，再求出，用待定系数法求出直线表达式即可； （2）根据直线与抛物线交于、两点，得出结论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、两点， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 当时，， 解得：， ， ∵直线经过点 B， C， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）可知，直线与抛物线交于、两点， ∴不等式的解集是或． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·吉林长春·模拟预测）二次函数的图像上有两点和，则的值等于（     ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】A，B两点纵坐标均为0，说明，是方程的两个根，解方程得到两个根后，即可计算的值． 【详解】解：∵点和在二次函数的图像上， ∴，是方程的两个根， 对方程变形得， 解得，， ∴． 2．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知抛物线，与x轴的一个交点为，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把点代入抛物线的解析式可得，再整体代入代数式求值即可． 【详解】解∶抛物线与轴的一个交点为， ∴， ∴， ． 3．（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的图象上有两个点和，当时，始终有，则下列结论正确的是（     ） A． B．方程没有实数根 C．该函数图象的顶点位于第三象限 D．该函数的最大值不小于5 【答案】D 【分析】先根据已知条件得出时随增大而减小，进而推出，对称轴，得到，再逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵当时，始终有， ∴时，随的增大而减小， ∴二次函数开口向下，即，对称轴为直线， ∵，， ∴， 对于选项A，∵，∴A错误； 对于选项B，方程的判别式， ∵， ∴， 又， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，B错误； 对于选项C，二次函数顶点坐标为，化简得， ∵，，， ∴， ∴， ∴顶点横坐标，纵坐标，顶点位于第二象限或轴正半轴，C错误； 对于选项D，二次函数开口向下，最大值为顶点纵坐标， ∵， ∴函数最大值不小于，D正确． 二、填空题 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）二次函数的图像与x轴有两个公共点，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点的个数问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的联系是关键．二次函数图像与 x 轴有两个公共点，等价于对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，因此判别式大于零，据此求解即可． 【详解】解：二次函数的图像与x轴有两个公共点， ， 解得． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两个根为 ______． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，正确掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 根据二次函数的图象与轴的交点关于对称轴对称，求出另一交点的坐标，再根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 另一个交点的坐标为， 关于的方程的两个根为和． 故答案为：，． 7．（2026·辽宁·中考真题）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】设点，，，的纵坐标是其中，可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据对称性质可知点的坐标是，点的坐标是，根据可得，即可求出，根据的值即可求出的长度． 【详解】解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 8．（25-26八年级下·北京·期末）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根为，； ④不等式的解集是； ⑤当时，二次函数有最大值． 其中正确的有_____ （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据开口方向和对称轴可得的符号，即可判断①；根据抛物线经过点，可得，即得到，即可判断②；由对称性可得抛物线与轴的另一个交点为，即可判断③；由抛物线与直线交点的横坐标分别为和，当时，抛物线位于直线的上方，即可判断④；由直线经过点，可得，得到，即可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的两根为，，故③正确； 由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为和，当时，抛物线位于直线的上方，即， ∴不等式的解集是，故④正确； ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，故⑤错误， 综上，正确的有①③④． 三、解答题 9．（2026·江苏南京·二模）已知二次函数（为常数，），顶点坐标为． (1)当时，_； (2)当时， ①求证：二次函数的图像与轴总有两个公共点； ②若二次函数图像与轴的交点都在轴的右侧，则的取值范围为_． 【答案】(1) (2)①证明：由（1）可得， 令，即，， ∵， ∴，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数解， ∴二次函数的图像与轴总有两个公共点． ②． 【分析】（1）先将函数解析式化成顶点式可知，然后解关于a的方程即可； （2）①先把函数解析式化成一般式，令，得到关于x的方程，再证明方程根的判别式大于零即可证明结论；②当，即，由题意可知该方程的都是大于零的实数，解（1）的解答过程可得，再根据等式的性质、直接开平方法解关于x的方程，然后让解的最小值大于零，据此列不等式求得a的取值范围；由（1）可知，再根据二次函数的性质确定n的取值范围即可． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵抛物线顶点坐标为，， ∴，解得：或， ∵， ∴． （2）①证明：略； ②解：当，即，由题意可知该方程的根都是大于零的实数， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴方程的最小解为， ∴，解得：， ∴； 由（1）可得：， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为， ∴当时，n随a的增大而减小， ∴当，n随a的增大而减小， ∵当时，n有最大值；当时，n有最小值； ∴的取值范围为． 10．（2026·河南周口·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“等值点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“反值点”，把函数图象经过“等值点”和“反值点”的函数称为“等反值函数”．已知二次函数是“等反值函数”，其图象经过“反值点”． (1)________；并求a的值； (2)在求二次函数的图象经过的“反值点”时，小亮说：“首先根据‘反值点’的定义可知，它们均落在某个正比例函数的图象上，其次联立该正比例函数和二次函数的表达式，求它们的交点坐标，即为‘反值点’的坐标．” ①该正比例函数的表达式为________； ②求二次函数的图象经过的“反值点”． 【答案】(1)， (2)①；②和 【分析】（1）根据“反值点”即可得；再将点代入二次函数解析式求a的值； （2）①根据横、纵坐标互为相反数的点称为“反值点”，即可得该正比例函数的表达式； ②联立①中的正比例函数和二次函数的表达式求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵二次函数是“等反值函数”，其图象经过“反值点”， ∴3与m互为相反数， ； 将代入中，得， 解得； （2）解：①∵横、纵坐标互为相反数的点称为“反值点”， ∴该正比例函数的表达式为； ②由（1）得，则二次函数的表达式为； 得， 解得或， 当时，， 当时，． ∴二次函数的图象经过的“反值点”为和． / 学科网（北京）股份有限公司 $