26.4 课时2 最大利润问题 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学九年级上册二次函数实际应用同步练，以"最大利润问题"为核心，通过三级分层设计，实现从公式理解到实际建模的递进，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|利润模型、单量关系|选择填空为主，强化"总利润=单件利润×销售量"公式应用，夯实抽象能力| |进阶层|函数建立、最值求解|解答题聚焦涨价/降价情境下二次函数构建，提升运算能力与推理意识| |综合层|定义域限制、实际检验|结合售价范围与销量非负条件，通过文旅、电商等真实情境题，发展模型观念与应用意识|

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十六章 二次函数 26.4实际问题与二次函数 课时2 最大利润问题 ▌课时目标 1. 掌握“总利润＝单件利润×销售量”的利润模型，理解单件利润、销售量与售价之间的线性变化关系，能准确提取题目中的数量关系。 2. 能根据实际问题合理设未知数，建立利润关于售价（或涨价/降价金额）的二次函数解析式，并正确确定自变量的取值范围。 3. 能运用二次函数的顶点公式或配方法求出最大利润及对应的售价，能结合实际意义（如销售量非负、售价高于进价）检验并解释结果。 ▌课时目录 知识点01：利润模型 知识点02：单件利润与售价的线性关系 知识点03：销售量与售价的线性关系 知识点04：建立利润关于涨价/降价的二次函数 知识点05：求最大利润及对应售价 知识点06：利润问题中的定义域限制 ▌知识点01：利润模型 总利润＝单件利润×销售量。 其中，单件利润＝售价-进价（成本）。 这是构建利润问题函数关系式的核心等量关系，所有利润问题的计算均基于此公式展开。 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）将进货价格为40元的商品按单价45元售出时，能卖出150个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东济宁·期中）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加2件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南周口·期中）某商场进一批货物，销售量（件）与每件货物的利润（元）的关系式为，则总利润与之间的函数关系式为__________． 4．（25-26九年级上·河北唐山·期末）某超市要销售一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．经过试营销后，超市决定按销售利润取最大值时的单价进行销售．为了回馈广大顾客，同时提高该文具知名度，超市决定在1月1日当天开展降价促销活动，若每件文具降价，则可多售出，结果当天销售额为5670元，要使销量尽可能的大，则的值为______． ▌知识点02：单件利润与售价的线性关系 在单一商品销售中，进价通常为定值。 设进价为m，售价为x，则单件利润为(x－m)，二者呈一次函数关系。 若以涨价（或降价）金额为自变量，单件利润随涨价金额呈线性增加（或随降价金额线性减少）。 5．（25-26九年级上·浙江金华·期末）金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·福建泉州·期末）某玩具厂计划生产一种变形金刚汽车玩具，已知每月生产x辆玩具汽车的成本为g（元），售价每辆为p（元），且g，p与x之间的关系式分别为，． (1)当月产量为多少辆时，每月可获得1250元利润？ (2)当月产量为多少辆时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 7．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售5件． (1)在每件降价幅度不超过10元的情况下，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ (2)小明说：“根据薄利多销的原则，只要降价不超过44元，降价越多每天获利越大．”你认同他的说法吗？请通过计算说明理由． 8．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于．经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，它的图像如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)记商场销售该服装获得的利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数关系式； (3)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？ ▌知识点03：销售量与售价的线性关系 实际问题中常给出：“售价每上涨1元，销售量减少k件”或“售价每下降1元，销售量增加k件”。 设原售价为x0，原销售量为n，涨价a元，则销售量Q＝n－k·a。销售量随售价的变化呈线性递减或递增关系，这是建立二次函数的基础。 9．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）某商店销售一种齐齐哈尔特色手工艺品，进价为每件元，经市场调查发现，售价（元/件）与销售量（件）之间满足一次函数关系． (1)设该商店销售这种手工艺品的利润为元，求与之间的函数解析式； (2)当售价为多少元时，利润最大？最大利润是多少？ 10．（25-26九年级上·山东滨州·期中）实验中学准备购进一批小工艺品，每件的成本是40元．经市场调查，销售单价为52元时，每天的销售量为80个；销售单价每降价1元，日销售量将增加10个． (1)求每天销售小工艺品的利润（元）和销售单价（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，每天销售小工艺品的利润最大？最大利润是多少？ 11．（25-26九年级上·陕西延安·期中）某商场以每个30元的进价购进某品牌玩具进行销售．根据调查发现，每个玩具的售价为40元时，每周的销售量为600个，每个玩具的售价每上涨1元，每周的销售量就减少10个．设这种品牌玩具的销售单价上涨x元． (1)这种品牌玩具的销售量为______个；（用含x的代数式表示） (2)①若商场销售该品牌玩具每周获得的利润为y元，求y与x的函数关系式； ②当该品牌玩具的销售单价上涨多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 12．（25-26九年级上·江西·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ ▌知识点04：建立利润关于涨价/降价的二次函数 设涨价a元（或售价x），将单件利润与销售量代入总利润公式，得到二次函数。 例如：某商品进价30元，原售价40元，每周卖100件，每涨价1元少卖2件。 设涨价a元，则单件利润为(40－30＋a)＝(10＋a)元，销售量为(100－2a)件。 则有总利润y＝(10＋a)(100－2a)＝－2a2＋80a＋1000。 整理为一般式即可。 13．（25-26八年级下·福建福州·期末）某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 14．（25-26八年级下·河南开封·期末）某义乌玩具厂赶制2026年马年春节吉祥物笑笑马（设计为上扬微笑、喜庆吉祥），缝纫工人赶工时操作失误，把原本向上弯的嘴角反向缝制，笑笑马变成满脸委屈丧萌的“哭哭马”，引起年轻人的情绪共鸣，更被网友解读为“不完美也值得被喜欢”，一跃成为2026年顶流网红马． (1)某网店“哭哭马”今年1月份的销售量为1200件，3月份的销售量为1728件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)若该“哭哭马”的进价为每件15元，售价为每件25元，每天能销售40件；若售价每降价1元，每天可多售出10件．该店决定降价促销，若使销售“哭哭马”每天获利480元，为了尽快清理库存，则售价应降低多少元？ (3)当“哭哭马”售价降低多少元时，该网店每天获利最大，最大利润多少元？ 15．（25-26八年级下·山东济南·期末）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． (1)请求出该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间的函数关系式； (2)物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 16．（25-26八年级下·福建福州·期末）清明节是我国的传统节日．这天人们都会以扫墓献花等方式来缅怀逝者．八年级小宇同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着清明假期赚点零花钱，他以8元束的价格从爸爸那里购入一批菊花，准备在清明节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种菊花日销售量y（束）与销售单价x（元）的对应值表： 销售单价元 16 18 20 22 日销售量束 24 20 16 12 小宇马上判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮助小宇完成下列问题： (1)y与x之间的函数关系式是：________． (2)当销售单价为多少元时，日销售利润为182元？ (3)当销售单价为多少元时，小宇获得的日销售利润最大？最大利润是多少？ ▌知识点05：求最大利润及对应售价 对于建立的二次函数，利用顶点公式： 当自变量时，函数有最大值。 对应到原题，顶点的横坐标即为使利润最大的售价或涨价金额，纵坐标即为最大利润值。 代入计算后需明确写出对应售价和最大利润。 17．（2026·黑龙江大庆·二模）党的二十大即将召开，各行各业的人们用拼搏奋斗凝聚起奋进新征程、建功新时代的磅礴力量，信心满怀向未来．某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件元，平时以单价元的价格售出一天可卖件．根据调查单价每降低元，每天可多售出件；设商品售价 元（售价不低于进价， 为正整数），这批商品的日利润为元（单件利润售价成本），请解决以下问题： (1)设商品售价 元，则一天可以卖出_件 (2)当商品的售价 为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ (3)若商店每卖一件就捐 元（）给希望小学，该店发现售价为元时可获得最大日利润，直接写出 的取值范围． 18．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 19．（2026·辽宁辽阳·一模）2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． (1)请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； (2)若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 20．（2026·新疆喀什·一模）艾德莱斯绸是国家级非物质文化遗产．某合作社通过车间直销、线下门店、线上直播三条渠道销售艾德莱斯绸，具体情况如下： ①生产艾德莱斯绸的成本为30元/米，车间固定成本为800元/天； ②线下门店固定开支为500元/天．根据市场调研发现，售价定为40元/米时，每天可售出80米，售价每增加1元，每天售出减少2米； ③线上直播销售无固定开支，且每销售1米可获得40元的利润． (1)若合作社以50元/米的价格，通过车间直销的方式售出60米，则当日车间直销利润为______元； (2)线下门店决定提高售价来增加利润，要使线下门店每天的利润为700元，且尽量让利于顾客，售价应定为多少元/米？ (3)“文化和自然遗产日”期间，为扩大品牌影响力，将推出线上公益活动：线上每售出1米，向学校非遗社团捐赠t元（），已知线上日销售量Q（米）与捐赠额t（元）之间的关系为，当线上销售利润最大时，捐赠额为多少元/米？最大利润是多少？ ▌知识点06：利润问题中的定义域限制 自变量的取值必须保证实际问题有意义： 1. 单件利润＞0（即售价＞进价）； 2. 销售量≥0（这是最常见的限制条件）。 由销售量≥0可解出涨价金额或售价的上限。 若顶点横坐标在该取值范围内，最值在顶点取得；若顶点横坐标超出范围，则最值在边界端点处取得。 求解后必须检验结果的合理性并作答。 21．（2026·江苏泰州·一模）为推进我市文化旅游发展，板桥纪念馆新推出，两种文创纪念品．已知2个纪念品和3个纪念品的成本之和是155元；4个纪念品和1个纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由1个纪念品和1个纪念品组成． 规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为（元），每套纪念品的售价为元（且为整数）． (1)分别求出每个纪念品和每个纪念品的成本； (2)求当为何值时，每天的利润最大，并求出最大利润． 22．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）某电商平台在五一长假期间举行了商品打折促销活动．经市场调查发现，某种商品的周销量（件）是关于售价（元/件）的一次函数，下表给出了该商品售价、周销量、周销售利润（元）的三组对应值数据： 40 70 90 180 90 30 3600 4500 2100 注：周销售利润周销量（售价进价） (1)求关于的函数表达式（不要求写自变量取值范围．） (2)该商品的进价为__________元/件； 若该商品的售价不低于元/件，销售量不低于件．当售价为多少时，周销售利润最大？并求出此时的最大利润． 23．（25-26九年级下·江西赣州·期中）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，它的顶点为，若，，三个点的横坐标和纵坐标都为整数，我们把这样的抛物线叫作“极美抛物线”． (1)下列抛物线是“极美抛物线”的是________（填序号）； ①；②；③；④． (2)求证：无论取何整数，抛物线总是“极美抛物线”； (3)某种商品每件的进价为元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，（为常数，且），获得利润为元． ①直接写出关于的函数表达式； ②若①中的函数图象为“极美抛物线”，且利润达到最大值，求此时的值． 24．（2026·山东青岛·一模）某景区为吸引游客，将门票单价定为元/张，并且要求单价不能低于元．经市场调查，每日游客人数（人）与门票单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 门票单价（元） 游客人数（人） 景区每日运营成本为每人元，另需支付固定维护费每日元和环保费．经统计，环保费元与游客人数人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示． (1)求游客人数与门票单价的函数表达式； (2)设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为元，求与单价的函数关系式，并求出当单价多少时利润最大，最大利润是多少？ (3)随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低元（），且降低运营成本后的单价也不能低于元．求在此条件下利润的最大值（用含的式子表示），并求当利润最大值为元时的值． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）软件的经营，主要是服务器租用和软件销售．服务器的月租金支出固定为a元，软件销售按份按年收费（即：服务器租金按月支付，软件按年收费）．经过一段时间的试运营后，发现：某款软件年销售的份数n（份）与售价x（元/份）的关系为：．设该款软件经营的年销售收入为v（元）．当元时，年收入记为元；当元时，年收入记为元，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个a，使得 B．无论a为多少，都有 C．可以找到一个a，使得 D．无论a为多少，都有 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨元/千克时，日销售量就会减少15千克．若使日销售利润最大，则销售价格应定为（    ）元/千克． A．42 B．40 C．38 D．35 3．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用．则房价定为多少时，宾馆利润取得最大值是（    ） A．210 B．220 C．230 D．240 4．（25-26九年级下·北京·开学考试）某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 二、填空题 5．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）某商店购进一批单价为50元的日用商品，如果以单价每个60元销售时，每周能卖出120个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少3个，但物价部门规定，单个利润不能超过成本价的，则每周获得的最大利润为_________元． 6．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）疫情期间，某种一次性医用外科口罩的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式为，且售价x的取值范围是，则最大利润是______元． 7．（2025·山西运城·模拟预测）一种商品在原售价的基础上涨价销售，每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图1，日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图2．则日销售的最大利润为________元． 8．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明标准房价格在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到________元时，客房的日营业收入最大． 三、解答题 9．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）元宵前夕，某饰品厂设计了一款成本元/件的装饰品，准备投放市场试销．经过市场调研后发现，该饰品每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间的关系可近似的看作一次函数：，（利润销售总价成本总价）． (1)如果该厂想要每天获得元的利润，那么销售单价应定为多少元/件？ (2)当销售单价定为多少时，该厂销售此装饰品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)现饰品厂决定做促销活动：每卖出一件产品，送价值元的配套展示盒一个．当装饰品销售定价不低于元且不高于元时每日销售利润的最小值为元，则______． 10．（25-26九年级上·北京顺义·期末）因环保节能，新能源汽车越来越受到消费者的青睐；某经销商分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）．第一次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆；第二次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆． (1)求甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价； (2)经销商发现，乙型号汽车以每辆万元的价格销售时较好，每月能售台，市场调查发现，乙型号汽车每辆售价，每降低万元，销售量会增加台，问乙种型号新能源汽车定价为多少万元时，月销售乙种型号新能源汽车获取的利润最大？ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十六章 二次函数 26.4实际问题与二次函数 课时2 最大利润问题 ▌课时目标 1. 掌握“总利润＝单件利润×销售量”的利润模型，理解单件利润、销售量与售价之间的线性变化关系，能准确提取题目中的数量关系。 2. 能根据实际问题合理设未知数，建立利润关于售价（或涨价/降价金额）的二次函数解析式，并正确确定自变量的取值范围。 3. 能运用二次函数的顶点公式或配方法求出最大利润及对应的售价，能结合实际意义（如销售量非负、售价高于进价）检验并解释结果。 ▌课时目录 知识点01：利润模型 知识点02：单件利润与售价的线性关系 知识点03：销售量与售价的线性关系 知识点04：建立利润关于涨价/降价的二次函数 知识点05：求最大利润及对应售价 知识点06：利润问题中的定义域限制 ▌知识点01：利润模型 总利润＝单件利润×销售量。 其中，单件利润＝售价-进价（成本）。 这是构建利润问题函数关系式的核心等量关系，所有利润问题的计算均基于此公式展开。 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）将进货价格为40元的商品按单价45元售出时，能卖出150个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是理解“单价每上涨1元，其销售量就减少5个”的含义．根据利润计算公式，每个商品的利润为售价减进货价，上涨元后每个商品的利润为元，销售数量因上涨元减少个，那么现在的销量为个，然后利用利润等于每个商品的利润乘以销售数量，列出式子即可． 【详解】解：设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元， 那么， 故选：B． 2．（25-26九年级上·山东济宁·期中）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加2件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是理解利润计算公式：总利润=每件利润×销售量，每件利润为售价减成本（50元），销售量基于刚开始的销售量（200件）和售价变化（每下降1元增加2件）计算，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，每件利润为元， ∵售价从99元降至x元， 则下降元， ∴销售量增加件， ∴总销售量为件， ∴， 故选C． 3．（25-26九年级上·河南周口·期中）某商场进一批货物，销售量（件）与每件货物的利润（元）的关系式为，则总利润与之间的函数关系式为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数解析式． 这批货物的总利润等于每件货物的利润销售量，将已知销售量与每件利润的函数关系代入即可求解． 【详解】解：由题意得， 总利润； 故答案为：． 4．（25-26九年级上·河北唐山·期末）某超市要销售一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．经过试营销后，超市决定按销售利润取最大值时的单价进行销售．为了回馈广大顾客，同时提高该文具知名度，超市决定在1月1日当天开展降价促销活动，若每件文具降价，则可多售出，结果当天销售额为5670元，要使销量尽可能的大，则的值为______． 【答案】 20 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，设销售单价为元时，利润为，列出二次函数，确定最大利润时销售单价为35元，对应销售量为150件；设，根据降价后销售额5670元列出方程，解二次方程得到t的值，进而得到a的值；选择使销售量最大的a值． 【详解】解：设销售单价为元时，利润为， 根据题意，得， ∵， ∴当时，有最大值， 此时，销量为（件）， 则降价促销后，售价为元，销售量为件． 根据题意，得， 设， 则方程为，即， 解得或， 则或， 为使销量尽可能大，则． 故答案为：20． ▌知识点02：单件利润与售价的线性关系 在单一商品销售中，进价通常为定值。 设进价为m，售价为x，则单件利润为(x－m)，二者呈一次函数关系。 若以涨价（或降价）金额为自变量，单件利润随涨价金额呈线性增加（或随降价金额线性减少）。 5．（25-26九年级上·浙江金华·期末）金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需根据每斤盈利的变化量、销量的变化量，结合“总盈利=每斤盈利×销量”的基本关系推导函数关系式． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每斤降1元多售5斤，降x元， ∴每天销量为斤， ∵总盈利=每斤盈利×每天销量， ∴， 故选：B． 6．（25-26九年级上·福建泉州·期末）某玩具厂计划生产一种变形金刚汽车玩具，已知每月生产x辆玩具汽车的成本为g（元），售价每辆为p（元），且g，p与x之间的关系式分别为，． (1)当月产量为多少辆时，每月可获得1250元利润？ (2)当月产量为多少辆时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)当月产量为25辆或35辆时，每月可获得1250元利润 (2)当月产量为30辆时，可获得最大利润，最大利润是1300元 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用，解题的关键是正确列出方程或解析式． （1）根据题意列出方程，再解方程即可； （2）根据题意得出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质，进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 即， 整理得，， 解得，，， 即当月产量为25辆或35辆时，每月可获得1250元利润． （2）解：记利润为元， 则． ，， 当时，， 即当月产量为30辆时，可获得最大利润，最大利润是1300元． 7．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售5件． (1)在每件降价幅度不超过10元的情况下，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ (2)小明说：“根据薄利多销的原则，只要降价不超过44元，降价越多每天获利越大．”你认同他的说法吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)每件应降价4元 (2) 不认同，理由如下： 设每件降价元，获利为元，由题意得， 即， 因为，所以当时，获利最大，即每件降价20元时，可获得最大利润， ∴小明的说法不正确． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的最值问题，理解题意是解题的关键； （1）设每天要盈利1600元，每件应降价元，根据题意，可列方程，求解方程即可； （2）不认同，理由：设每件降价元，获利为元，由题意得，整理后再配方成顶点式得，分析后即可得到答案． 【详解】（1）解：设每天要盈利1600元，每件应降价元， 由题意得，， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：如果每天要盈利1600元，每件应降价4元； （2）解：略． 8．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于．经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，它的图像如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)记商场销售该服装获得的利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数关系式； (3)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？ 【答案】(1)， (2) (3)销售单价定为90元时，商场可获得最大利润 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设与的函数关系式为，然后由图像可把点代入进行求解即可； （2）根据（2）及利润=单个利润×总的销售量即可求解； （3）由（2）结合二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，由题意， 得，解得， 与的函数关系式为， 成本为60元，获利不超， ； （2）解：由题意，得： ； （3）解：由（2），得， ， 二次函数图像开口向下，对称轴为直线， 当时，有最大值900， 答：销售单价定为90元时，商场可获得最大利润． ▌知识点03：销售量与售价的线性关系 实际问题中常给出：“售价每上涨1元，销售量减少k件”或“售价每下降1元，销售量增加k件”。 设原售价为x0，原销售量为n，涨价a元，则销售量Q＝n－k·a。销售量随售价的变化呈线性递减或递增关系，这是建立二次函数的基础。 9．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）某商店销售一种齐齐哈尔特色手工艺品，进价为每件元，经市场调查发现，售价（元/件）与销售量（件）之间满足一次函数关系． (1)设该商店销售这种手工艺品的利润为元，求与之间的函数解析式； (2)当售价为多少元时，利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价元时，利润最大，最大利润元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意确定等量关系并据此列出函数解析式是解答本题的关键． （1）根据“每件利润销售量总利润”，列出与之间的函数关系式即可； （2）根据（1）中与之间的函数关系式，然后利用二次函数性质求最值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 将代入，得， 整理得， 故与之间的函数解析式为． （2）解： ， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为． 故售价元时，利润最大，最大利润元． 10．（25-26九年级上·山东滨州·期中）实验中学准备购进一批小工艺品，每件的成本是40元．经市场调查，销售单价为52元时，每天的销售量为80个；销售单价每降价1元，日销售量将增加10个． (1)求每天销售小工艺品的利润（元）和销售单价（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，每天销售小工艺品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，求二次函数的最大值， 对于（1），先表示出单件利润，销售量，再根据单件利润乘以销售量求出关系式即可； 对于（2），将二次函数配方得出顶点式，再讨论最大值． 【详解】（1）解：销售单价为元时，每销售一个获利元，每天共销售个， ； （2）解： 当时，有最大值，最大值为 当销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 11．（25-26九年级上·陕西延安·期中）某商场以每个30元的进价购进某品牌玩具进行销售．根据调查发现，每个玩具的售价为40元时，每周的销售量为600个，每个玩具的售价每上涨1元，每周的销售量就减少10个．设这种品牌玩具的销售单价上涨x元． (1)这种品牌玩具的销售量为______个；（用含x的代数式表示） (2)①若商场销售该品牌玩具每周获得的利润为y元，求y与x的函数关系式； ②当该品牌玩具的销售单价上涨多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)①y与x的函数关系式为；②当该品牌玩具的销售单价上涨元时，每周的销售利润最大，最大利润是元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据“每个玩具的售价每上涨1元，每周的销售量就减少10个”可进行求解； （2）①根据（1）及题意可直接进行求解； ②由①中函数解析式可得开口向下，对称轴为直线，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：这种品牌玩具的销售量为个； 故答案为； （2）解：①由题意得：； ∴y与x的函数关系式为； ②由①可知：y与x的函数关系式为， ∴开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y有最大值，最大值为； 答：当该品牌玩具的销售单价上涨元时，每周的销售利润最大，最大利润是元． 12．（25-26九年级上·江西·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，正确理解题意是解题关键； （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意得：，即可求解； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为，则，即可求解； 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为， 则， ∵， ∴当时，月销售利润最大； 故：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为元/个； ▌知识点04：建立利润关于涨价/降价的二次函数 设涨价a元（或售价x），将单件利润与销售量代入总利润公式，得到二次函数。 例如：某商品进价30元，原售价40元，每周卖100件，每涨价1元少卖2件。 设涨价a元，则单件利润为(40－30＋a)＝(10＋a)元，销售量为(100－2a)件。 则有总利润y＝(10＋a)(100－2a)＝－2a2＋80a＋1000。 整理为一般式即可。 13．（25-26八年级下·福建福州·期末）某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)当销售单价为34元时.厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元． 【分析】（1）单件利润为元，销售量为万件，总利润单件利润销售量，代入整理即可得到二次函数关系式． （2）是开口向下的二次函数（二次项系数），顶点处取得最大值；用顶点公式求单价，再代入求最大利润． 【详解】（1）解：由题意，单件利润：元，销售量， ， 结合实际意义，销售量， 即，； 单价高于成本，自变量取值范围：． 函数关系式：． （2）解：对于二次函数，，，， 对称轴：， 在取值范围内，将代入利润函数： ， 当销售单价为元时，每月获得最大利润，最大利润为万元． 14．（25-26八年级下·河南开封·期末）某义乌玩具厂赶制2026年马年春节吉祥物笑笑马（设计为上扬微笑、喜庆吉祥），缝纫工人赶工时操作失误，把原本向上弯的嘴角反向缝制，笑笑马变成满脸委屈丧萌的“哭哭马”，引起年轻人的情绪共鸣，更被网友解读为“不完美也值得被喜欢”，一跃成为2026年顶流网红马． (1)某网店“哭哭马”今年1月份的销售量为1200件，3月份的销售量为1728件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)若该“哭哭马”的进价为每件15元，售价为每件25元，每天能销售40件；若售价每降价1元，每天可多售出10件．该店决定降价促销，若使销售“哭哭马”每天获利480元，为了尽快清理库存，则售价应降低多少元？ (3)当“哭哭马”售价降低多少元时，该网店每天获利最大，最大利润多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低元 (3)当售价降低元时，每天获利最大，最大利润为元 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设售价应降低y元，根据题意列一元二次方程求解即可； （3）设每天的利润为w，表示出，然后利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴月平均增长率为； （2）解：设售价应降低y元 根据题意得， 解得， ∵为了尽快清理库存 ∴要尽可能大 ∴售价应降低元； （3）解：设每天的利润为w 根据题意得， ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，w取得最大值490 ∴当售价降低元时，每天获利最大，最大利润为元． 15．（25-26八年级下·山东济南·期末）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． (1)请求出该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间的函数关系式； (2)物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元 【分析】（1）根据“单价每涨1元，销量少2本”,用基础销量减去涨价减少的销量，列出一次函数； （2）单本利润=售价进价，总利润单本利润销量，得到二次函数；二次函数开口向下，对称轴左侧随增大而增大，结合售价上限，取时利润最大． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：． （2）解：， ，开口向下， ∴当时，W随x的增大而增大， ， ∴当时，W最大， 此时（元）， 答：当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元． 16．（25-26八年级下·福建福州·期末）清明节是我国的传统节日．这天人们都会以扫墓献花等方式来缅怀逝者．八年级小宇同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着清明假期赚点零花钱，他以8元束的价格从爸爸那里购入一批菊花，准备在清明节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种菊花日销售量y（束）与销售单价x（元）的对应值表： 销售单价元 16 18 20 22 日销售量束 24 20 16 12 小宇马上判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮助小宇完成下列问题： (1)y与x之间的函数关系式是：________． (2)当销售单价为多少元时，日销售利润为182元？ (3)当销售单价为多少元时，小宇获得的日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售单价为15元或21元 (3)当销售单价为18元时，日销售利润最大，最大利润为200元 【分析】（1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据单束花的利润与销售量的乘积等于利润列一元二次方程求解即可； （3）设日销售利润为W元，列二次函数解析式，并根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入，得， 解得， 与x之间的函数关系式为． （2）解：由题意列方程：， 解得，， 答：当销售单价为15元或21元时，日销售利润为182元． （3）解：设日销售利润为W元， 则由题意知 ， ， 抛物线开口向下 当时，W有最大值200， 答：当销售单价为18元时，日销售利润最大，最大利润为200元． ▌知识点05：求最大利润及对应售价 对于建立的二次函数，利用顶点公式： 当自变量时，函数有最大值。 对应到原题，顶点的横坐标即为使利润最大的售价或涨价金额，纵坐标即为最大利润值。 代入计算后需明确写出对应售价和最大利润。 17．（2026·黑龙江大庆·二模）党的二十大即将召开，各行各业的人们用拼搏奋斗凝聚起奋进新征程、建功新时代的磅礴力量，信心满怀向未来．某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件元，平时以单价元的价格售出一天可卖件．根据调查单价每降低元，每天可多售出件；设商品售价 元（售价不低于进价， 为正整数），这批商品的日利润为元（单件利润售价成本），请解决以下问题： (1)设商品售价 元，则一天可以卖出_件 (2)当商品的售价 为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ (3)若商店每卖一件就捐 元（）给希望小学，该店发现售价为元时可获得最大日利润，直接写出 的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）根据“单价每降低元，每天可多售出件”可知数量是原来的数量加上新增的数量，直接套用“新增数量降低的价格”即可； （2）根据“单件利润售价进价”，“总利润单件利润数量”列出这批商品得日利润关于售价的二次函数，再利用二次函数的顶点式求出当售价为多少时，日利润最大； （3）利用“总利润单件利润数量”列出这批商品得日利润关于售价的二次函数，因为为正整数，且当时取得最大值，所以二次函数的对称轴在和之间，将对称轴代入求出的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，降低了元， 卖出件； （2）解：设这批商品的日利润为元， 由题意得； ∴当时，取得最大值元， 即当售价为元时，这批商品的日利润最大为元； （3）解：由题意知， ∵二次函数开口向下，离对称轴越近，函数值越大， 又∵在售价为元时可获得最大日利润， ∴， 解得． 18．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每月产量的增长率为 . (2)应降价元，最大利润为 元. 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【详解】（1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 19．（2026·辽宁辽阳·一模）2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． (1)请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； (2)若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 【答案】(1)y与x的函数关系式为； (2)当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元． 【分析】（1）根据题目给出销售量y与销售单价x的一次函数，且提供了两组对应数据，可设函数表达式为，代入数据解出k和b，从而得到函数关系式； （2）根据“总利润=单件利润×销售量”，结合（1）中得到的销量表达式，列出总利润W关于x的二次函数，再利用二次函数的顶点式，求出利润最大值及对应的销售单价． 【详解】（1）解：设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为， 把，；，代入得， ， 解得． ∴y与x的函数关系式为． （2）解：设销售这种吉祥物玩具的利润为W元，则 ∵，∴抛物线开口向下，W有最大值， ∴当时，W最大，W最大（元）． 答：当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元． 20．（2026·新疆喀什·一模）艾德莱斯绸是国家级非物质文化遗产．某合作社通过车间直销、线下门店、线上直播三条渠道销售艾德莱斯绸，具体情况如下： ①生产艾德莱斯绸的成本为30元/米，车间固定成本为800元/天； ②线下门店固定开支为500元/天．根据市场调研发现，售价定为40元/米时，每天可售出80米，售价每增加1元，每天售出减少2米； ③线上直播销售无固定开支，且每销售1米可获得40元的利润． (1)若合作社以50元/米的价格，通过车间直销的方式售出60米，则当日车间直销利润为______元； (2)线下门店决定提高售价来增加利润，要使线下门店每天的利润为700元，且尽量让利于顾客，售价应定为多少元/米？ (3)“文化和自然遗产日”期间，为扩大品牌影响力，将推出线上公益活动：线上每售出1米，向学校非遗社团捐赠t元（），已知线上日销售量Q（米）与捐赠额t（元）之间的关系为，当线上销售利润最大时，捐赠额为多少元/米？最大利润是多少？ 【答案】(1)400 (2)售价应定为50元/米 (3)当线上销售利润最大时，捐赠额为10元/米，最大利润为9000元 【分析】（1）根据“利润（售价成本）销量固定成本”直接求解； （2）根据“总利润单个利润数量固定开支”将关系式列出来，求解后根据要尽量让利于顾客来确定所求的值； （3）根据“总利润单个利润数量固定支出”列出二次函数，利用二次函数开口向下，顶点处取得最大值求解． 【详解】解：（1）当日车间直销获得的利润为（元）． （2）设线下门店售价提高x元/米， 由题意可列方程，， 整理可得， 解得或， ∵要尽量让利于顾客，∴， ∴售价为元． 答：售价应定为50元/米； （3）由题意，线上直播销售每米实际利润为元，设利润为元，由题意可得， ， ∵，且， ∴当时，最大，此时． 答：当线上销售利润最大时，捐赠额为10元/米，最大利润为9000元 ▌知识点06：利润问题中的定义域限制 自变量的取值必须保证实际问题有意义： 1. 单件利润＞0（即售价＞进价）； 2. 销售量≥0（这是最常见的限制条件）。 由销售量≥0可解出涨价金额或售价的上限。 若顶点横坐标在该取值范围内，最值在顶点取得；若顶点横坐标超出范围，则最值在边界端点处取得。 求解后必须检验结果的合理性并作答。 21．（2026·江苏泰州·一模）为推进我市文化旅游发展，板桥纪念馆新推出，两种文创纪念品．已知2个纪念品和3个纪念品的成本之和是155元；4个纪念品和1个纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由1个纪念品和1个纪念品组成． 规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为（元），每套纪念品的售价为元（且为整数）． (1)分别求出每个纪念品和每个纪念品的成本； (2)求当为何值时，每天的利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)每个纪念品成本25元，每个纪念品的成本35元 (2)当时，每天的利润最大，最大利润为1000元 【分析】（1）设每个纪念品成本元，每个纪念品的成本元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设每个纪念品成本元，每个纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个纪念品成本25元，每个纪念品的成本35元； （2）解：由题意得，， ，对称轴为直线，且为整数， 当时，最大 答：当时，每天的利润最大，最大利润为1000元． 22．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）某电商平台在五一长假期间举行了商品打折促销活动．经市场调查发现，某种商品的周销量（件）是关于售价（元/件）的一次函数，下表给出了该商品售价、周销量、周销售利润（元）的三组对应值数据： 40 70 90 180 90 30 3600 4500 2100 注：周销售利润周销量（售价进价） (1)求关于的函数表达式（不要求写自变量取值范围．） (2)该商品的进价为__________元/件； 若该商品的售价不低于元/件，销售量不低于件．当售价为多少时，周销售利润最大？并求出此时的最大利润． 【答案】(1) (2)；售价为元时，周销售利润最大，最大利润为元 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据周销售利润周销量（售价进价）列方程求解即可；先根据“商品的售价不低于元/件，销售量不低于件”确定的取值范围，再根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 根据题意得：， 解得， 关于的函数解析式为； （2）解：该商品的进价为元/件， 根据题意得，， 解得， 即该商品的进价为元/件； 根据题意得，，， 解得， ， ，对称轴为直线， 抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当售价为元时，周销售利润最大，此时，（元），即最大利润为元． 23．（25-26九年级下·江西赣州·期中）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，它的顶点为，若，，三个点的横坐标和纵坐标都为整数，我们把这样的抛物线叫作“极美抛物线”． (1)下列抛物线是“极美抛物线”的是________（填序号）； ①；②；③；④． (2)求证：无论取何整数，抛物线总是“极美抛物线”； (3)某种商品每件的进价为元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，（为常数，且），获得利润为元． ①直接写出关于的函数表达式； ②若①中的函数图象为“极美抛物线”，且利润达到最大值，求此时的值． 【答案】(1)②③④ (2) 证明：令，得， 解得：，， ∵为整数， ∴，都是整数， ∴抛物线与轴的交点坐标为，都是整数， ∵原抛物线的对称轴为， ∴将代入解析式得， ∴抛物线的顶点坐标为，横纵坐标都是整数， ∴无论取何整数，抛物线总是“极美抛物线”； (3)①；②当时，利润达到最大值 【分析】（1）根据“极美抛物线”的定义求出抛物线与轴交点及顶点进行判断即可； （2）根据“极美抛物线”的定义求出抛物线与轴交点及顶点进行证明即可； （3）①根据题意列出函数表达式；②根据“极美抛物线”的定义得出的取值范围，并分类讨论即可. 【详解】（1）解：①当时，， 解得： 即： ∵ ∴顶点 ∴①不是“极美抛物线”； ②当时，， 解得：， 即： ∵， ∴顶点， ∵三点的横纵坐标都为整数， ∴②是“极美抛物线”； ③当时，， 解得： ∴ ∵ ∴顶点 ∵三点的横纵坐标都为整数， ∴③是“极美抛物线”； ④当时，，解得，即； ∵， ∴顶点， ∵三点的横纵坐标都为整数， ∴④是“极美抛物线”； 故答案为：②③④； （2）略 （3）解：①， ②要使得①中的抛物线为“极美抛物线”，则其对称轴必须为整数， ∵， ∴或， 当时，对称轴为，此时利润的最大值， 当时，对称轴为，此时利润的最大值， 综上可知，当时，利润达到最大值． 24．（2026·山东青岛·一模）某景区为吸引游客，将门票单价定为元/张，并且要求单价不能低于元．经市场调查，每日游客人数（人）与门票单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 门票单价（元） 游客人数（人） 景区每日运营成本为每人元，另需支付固定维护费每日元和环保费．经统计，环保费元与游客人数人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示． (1)求游客人数与门票单价的函数表达式； (2)设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为元，求与单价的函数关系式，并求出当单价多少时利润最大，最大利润是多少？ (3)随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低元（），且降低运营成本后的单价也不能低于元．求在此条件下利润的最大值（用含的式子表示），并求当利润最大值为元时的值． 【答案】(1) (2)​；单价为元时利润最大，最大利润为元 (3)；的值为 【分析】（1）用待定系数法求游客人数与门票单价的一次函数表达式即可； （2）先用待定系数法求环保费的二次函数表达式，再根据利润公式列总利润表达式，利用二次函数性质求最大值即可； （3）列出成本降低后的新利润表达式，求出对称轴，结合的取值范围确定能取到最大值的值，代入计算即可得出在此条件下利润的最大值，再将最大利润代入，解方程即可求出此时的值． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为，将表格中、代入，得 ， 解得， ∴游客人数与门票单价的函数表达式为； （2）解：设环保费与的二次函数关系式为，代入、，得 ， 解得 ∴， ∴ ​， ∵， ∴二次函数开口向下，函数有最大值， ∵对称轴，满足， ∴当时，， 即单价为元时利润最大，最大利润为元； （3）解：运营成本每人降低元后， ​， ∵， ∴二次函数开口向下， ∵对称轴为， ∴当时，随增大而减小， ∵， ∴， ∴， ∵，即，， ∴当时，， 当时，， 解得， ∴当利润最大值为元时的值为． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）软件的经营，主要是服务器租用和软件销售．服务器的月租金支出固定为a元，软件销售按份按年收费（即：服务器租金按月支付，软件按年收费）．经过一段时间的试运营后，发现：某款软件年销售的份数n（份）与售价x（元/份）的关系为：．设该款软件经营的年销售收入为v（元）．当元时，年收入记为元；当元时，年收入记为元，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个a，使得 B．无论a为多少，都有 C．可以找到一个a，使得 D．无论a为多少，都有 【答案】A 【分析】先根据题意得到年收入的表达式，再分别计算出和，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：由题意得，软件年收入，且，（租金为正数）． 当时， ， ， 判断选项A：令，即， ， ， ， ，存在满足条件的（如），使得 所以A正确，B错误， 当时， ， ， 判断选项C：解不等式， 解得：，这与相矛盾 则不存在使得， 所以C错误，D错误． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨元/千克时，日销售量就会减少15千克．若使日销售利润最大，则销售价格应定为（    ）元/千克． A．42 B．40 C．38 D．35 【答案】B 【分析】本题考查二次函数在实际销售问题中的最值应用，通过设变量建立利润与销售价格的二次函数关系式，利用二次函数开口向下的性质，求顶点对应的销售价格即为利润最大时的价格． 【详解】解：设销售价格定为元/千克，日销售利润为元， ∵每千克利润为元， 售价较35元上涨了元，每涨元日销量减少15千克，故日销量减少千克， ∴实际日销售量为千克， 则， 展开整理得， ∵二次项系数，函数图象开口向下，存在最大值， ∴当时，取得最大值． 即销售价格应定为40元/千克． 故选：B． 3．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用．则房价定为多少时，宾馆利润取得最大值是（    ） A．210 B．220 C．230 D．240 【答案】B 【分析】本题涉及二次函数的实际应用，核心是根据利润的构成建立二次函数模型，再利用二次函数的顶点式（或顶点坐标公式）求利润的最大值，其中利润 每个房间利润 入住房间数是建立函数的关键。设房价定为元，根据利润 （房价 支出费用） 入住房间数，列出利润的函数表达式，再根据二次函数的性质求最值． 【详解】设房价定为元，宾馆的利润为元， 当房价为元时，每个房间的定价增加了元， 因为每增加元就有一个房间空闲，所以空闲的房间数为，则入住的房间数为， 每个房间的利润为元， 所以利润， 化简： ， 对于二次函数（），当时，函数在处取得最大值， 在中，，， 则． 故选：B． 4．（25-26九年级下·北京·开学考试）某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出衣服进价，再通过设未知数得到总利润的二次函数表达式，利用二次函数的性质求出利润最大时的售价． 【详解】解：设衣服的进价为元， ∵售价为280元时，利润是进价的， ∴， 解得，即进价为200元． 设降价个5元，每天总利润为元， 则每件利润为元，每天销量为件， ∴， 整理得， ∵，二次函数开口向下，当时，取最大值， ∴， ∴总降价金额为元， ∴售价为元． 二、填空题 5．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）某商店购进一批单价为50元的日用商品，如果以单价每个60元销售时，每周能卖出120个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少3个，但物价部门规定，单个利润不能超过成本价的，则每周获得的最大利润为_________元． 【答案】1575 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设涨价x元，每周获得的利润为W元，则每周的销售量为个，根据总利润等于单个利润乘以销售量列出W关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设涨价x元，每周获得的利润为W元，则每周的销售量为个， 由题意得， ， ∵单个利润不能超过成本价的， ∴， ∴， ∵， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴每周获得的最大利润为元， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）疫情期间，某种一次性医用外科口罩的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式为，且售价x的取值范围是，则最大利润是______元． 【答案】35 【分析】该题考查了二次函数的应用，利润函数为二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，在对称轴左边，结合函数在内的增减性得出，最大值在处取得即可求解． 【详解】解：函数， 顶点横坐标为， ∴在对称轴左边， 由于抛物线开口向下，且， ∴在上，二次函数的值的增大而增大， 因此最大值在处取得， 当时，． 则最大利润是35元． 故答案为：35． 7．（2025·山西运城·模拟预测）一种商品在原售价的基础上涨价销售，每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图1，日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图2．则日销售的最大利润为________元． 【答案】2450 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求一次函数解析式，读懂题意，正确列出函数解析式是解题的关键；先求出每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系，再求出日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系，根据日销售利润等于日销售数量与每件利润的积，得到二次函数，由二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】解：设每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系为， 由图1知，函数图象过点， 把这两点坐标分别代入上述解析式中，得：， 解得， ∴； 设日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系为， 由图2知，函数图象过点， 把这两点坐标分别代入上述解析式中，得：， 解得：， ∴； 设日销售利润为w，则， 即， ∵， ∴当时，有最大利润，且最大利润为2450元； 故答案为：2450． 8．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明标准房价格在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到________元时，客房的日营业收入最大． 【答案】150 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，通过建立日营业收入与房价提高量之间的二次函数关系，利用二次函数的性质求最大值，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：设房价提高个10元，则房价为元，日均入住数为间．设日营业收入为， 由题意可得：． 由于二次项系数，函数图象开口向下， 所以在对称轴处取得最大值． 此时房价为元，且150在元范围内． 故答案为：150． 三、解答题 9．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）元宵前夕，某饰品厂设计了一款成本元/件的装饰品，准备投放市场试销．经过市场调研后发现，该饰品每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间的关系可近似的看作一次函数：，（利润销售总价成本总价）． (1)如果该厂想要每天获得元的利润，那么销售单价应定为多少元/件？ (2)当销售单价定为多少时，该厂销售此装饰品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)现饰品厂决定做促销活动：每卖出一件产品，送价值元的配套展示盒一个．当装饰品销售定价不低于元且不高于元时每日销售利润的最小值为元，则______． 【答案】(1)元/件或元/件 (2)当销售单价为元/件时，销售利润最大，最大利润为元 (3) 【分析】（1）根据每天获得元的利润，可列方程，解方程即可求出销售单价； （2）设每天的销售利润为元，，根据二次函数的性质要知当销售单价为元/件时，销售利润最大，最大利润为元； （3）当或时，销售利润均为元，销售单价为时的销量小于销售单价为元时的销量，当时，需要赠送的展示盒多，所以当时销售利润最小，列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 答：当销售单价为元/件或元/件时，每天获得元的利润； （2）解：设每天的销售利润为元， 根据题意可得：， 整理得：， 当销售单价为元/件时，销售利润最大，最大利润为元； （3）解：根据题意可得：当或时， 可得：， 一次函数中， 随的增大而减小， 当时，最大，即最小， 根据题意可得：， 解得：． 10．（25-26九年级上·北京顺义·期末）因环保节能，新能源汽车越来越受到消费者的青睐；某经销商分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）．第一次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆；第二次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆． (1)求甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价； (2)经销商发现，乙型号汽车以每辆万元的价格销售时较好，每月能售台，市场调查发现，乙型号汽车每辆售价，每降低万元，销售量会增加台，问乙种型号新能源汽车定价为多少万元时，月销售乙种型号新能源汽车获取的利润最大？ 【答案】(1)甲型号新能源汽车每辆进价为万元，乙型号新能源汽车每辆进价为万元 (2)乙种型号新能源汽车定价为万元时，月销售获取的利润最大 【分析】本题考查了二次函数的应用，二元一次方程组的应用，利用二元一次方程组和二次函数的性质是解本题的关键． （1）根据题意，建立二元一次方程组进行求解即可； （2）根据题意，得出利润与定价的关系，将该关系式转化为顶点式，即可得出利润最大时对应的定价． 【详解】（1）解：假设甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价分别为、万元， 根据题意，可得方程， 解得， 故甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价分别为、万元． （2）解：假设乙种型号新能源汽车定价为万元， 则利润为， 当万元时，月销售乙种型号获取的利润最大． / 学科网（北京）股份有限公司 $