26.2.1 二次函数y＝ax²的图象和性质 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习聚焦二次函数y＝ax²的图象和性质，以“基础巩固+综合应用”分层设计，覆盖7个核心知识点，通过单一概念辨析到跨知识点综合应用的路径，适配新授课概念理解与初步应用需求，培养抽象能力、推理意识和模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固层|7个单一知识点（开口方向、对称轴等）|每题聚焦一个概念，如判断y=2x²开口方向、求y=-3x²顶点坐标，夯实基础认知| |综合应用层|跨知识点综合（性质辨析、图像应用）|题型含选择、填空、解答，如结合a值分析增减性与最值，通过函数图像解决面积问题，提升推理与应用能力|

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十六章二次函数 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 课时目标 1. 认识二次函数y=ax2的图象是抛物线，能根据a的符号判断开口方向，根据|d的大 小判断开口宽窄。 2.掌握y=x的对称轴(y轴)和顶点（原点），能结合图象描述函数的增减性并求出 最值。 3.理解y=x与y=一x的图象关于x轴对称，能运用这些性质解决简单的函数求值与 图象识别问题。 课时目录 知识点01：y=心2的图象形状（抛物线）与开口方向 知识点02：对称轴 知识点03：顶点 知识点04：l叫与开口宽窄的关系 知识点05：增减性 118 知识点06：最值 知识点07：y=ac2与y=一x2的对称关系 知识点01：y=a2的图像形状（抛物线）与开口方向 用列表、描点、连线的方法画出二次函数y=r的图象，其形状是一条光滑的曲线，叫做 抛物线。 开口方向由a的符号决定： 当a>0时，抛物线开口向上： 当a<0时，抛物线开口向下。 例如：y=2x2开口向上，y=一2x2开口向下。 1. （25-26九年级上贵州遵义期中)函数'=4 图象的开口 2.(25-26九年级上新疆期中)若原点是抛物线'=+(a-2)小x 的顶点，则抛物线的开口向一 3。（2425九年级上江苏徐州期末)二次函数'=-2 的图象的开口向 4. (25-26九年级上：江苏南通期中)若开口向下的抛物线顶点在原点，则这条抛物线的解析式是 (写出一个即可)， 知识点02：对称轴 抛物线y=ar的对称轴是y轴，即直线x=0。 抛物线沿y轴对折，左右两部分能够完全重合，因此抛物线是轴对称图形。 5.（2425九年级上湖北武汉阶段检测)抛物线'=3x y=-3x2 与 相同的性质是() 218 A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.有最低点 D.对称轴是x轴 6。（25-26九年级上江苏南通期中)抛物线"=2 的对称轴为() A.直线x=-2B.直线x=2 C.y轴 D.x轴 7.(25-26九年级上·山东淄博期末)在平面直角坐标系 中，抛物线y=-x xOy 的对称轴是 8.(25-26九年级上上海阶段检测)已知抛物线的开口方向向下，对称轴是直线x=0,那么这条抛物线 的表达式可以是一·（只要写出一个表达式） 知识点03：顶点 抛物线'=与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。 对于y=,顶点是原点(0,0)。顶点是抛物线的最高点或最低点。 9,(25-26九年级上浙江绍兴期末)抛物线'= 的顶点坐标是() A.(1,0) B.(0,1) C.(0,0) D.(1,1) 10。(25:26九年级上吉林延边期末)抛物线’=- 的顶点坐标是() A.（1,0) B(L,0) c.(0,0) D.(0,-) 11.(25-26九年级上·湖北武汉·期末)请写出一个顶点是原点的抛物线的解析式 y=x 12.(25-26九年级上广西崇左阶段检测)抛物线 的对称轴方程是一，顶点坐标是一 知识点04：☑与开口宽窄的送系 ld的大小决定抛物线开口的宽窄： 当|d越大时，开口越窄，抛物线越陡峭： 当|d越小时，开口越宽，抛物线越平缓。 1 例如：y=3x2的开口比y=x2的开口窄，y=2x2的开口比y=x2的开口宽。 13.（25-26九年级上安微合肥期末)抛物线"=2与)=又 相比() 318 A.开口更大B.开口更小 C.开口相同 D.无法比较 4,(2526九年级上天裤北辰阶段检别）在雅物线，y=-3,y=中，开口段大的是 15.(25-26九年级上江苏南通阶段检测)下列函数图象中：①'=-+'@’=2x+少O yx-2+3④y=-3+2x-1其中抛物线开口大小最小的是 2 1625-26九年级上福建厦阶段检测抛物线0y=)4,②v=2x4红+1，图y，气×的升 口大小，从大到小依次为 知识点05：增减性 增减性以对称轴为界： 当a>0时，在对称轴左侧(x<0),y随x的增大而减小；在对称轴右侧(x>0),y随x 的增大而增大。 当a<0时，在对称轴左侧(x<0),y随x的增大而增大；在对称轴右侧(x>0),y随x 的增大而减小。 17.(25-26九年级上广东东莞期末)对于二次函数y=-亏X,当x<0时，y随x的增大而() A,先增大后减小B.减小 C.增大 D.先减小后增大 18,(25-26九年级上广西崇左阶段检测)对于二次函数y=-。, 10x,当x<0时，y随x的增大而 () A.增大 B.减小 C.先增大后减小D.先减小后增大 19。(25-26九年级上安徽合肥期末)当”为何值时，二次函数'=- 中'随的增大而减小() A.x=0 B.x<0 C.x>0 D.x≤0 20.(25-26九年级上北京丰台期末)已知二次函数的图象经过原点，且当x>0时，y随x的增大而减小， 写出一个符合题意的二次函数的解析式 知识点06：最值 418 函数的最值在顶点处取得： 当a>0时，抛物线开口向上，顶点是最低点，函数有最小值，当x=0时，y最小值=0。 当α<0时，抛物线开口向下，顶点是最高点，函数有最大值，当x=0时，y最大值=0。 21.(25-26九年级上湖北武汉期中)关于二次函数'=4与 y=-4x2 下列说法错误的是() A.开口方向相同 B.对称轴相同 C.顶点坐标相同 D.两函数图象关于x轴对称 2.（25:26九年级上广东韶关阶段检测)关于码数=3 ① 的图象，下列说法：图象是一条抛物线； ② 开口向下； ®对称轴是'轴：④顶点坐标是（0，) 其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 23.(25-26九年级上河北唐山阶段检测)抛物线 C:y=-9x2 有最一点（填“高”或“低”). 24。（24-25九年级下上海开学考试)如果某抛物线并口方向与抛物线”4 的开口方向相同，那么该 抛物线有最 点（填“高”或“低”） 知识点07：y=a与y=·a2的对称送系 抛物线y=ar与y=-ar关于x轴对称。 因为对于任意相同的x值，两个函数的y值互为相反数，所以对应点关于x轴对称。 例如：点(1,2)在y=2x2上，点(1，一2)在y=一2x2上，这两点关于x轴对称。 25. (25-26九年级上上海期中)下列关于抛物线y=2和y=2的关系的说法中，正确的是() A.它们的形状相同，开口方向也相同： B.它们都关于y轴对称； C.它们的顶点不相同： D.点(22到既在抛物线-2上他在y= 2 x上 2 26.(2425九年级上河南安用期未)抛物线’=与”=-t 相同的性质是() A,开口向上 B.有最高点 5/8 C.顶点是原点 D.x<O时，y随x的增大而增大 27.(24-25八年级下黑龙江绥化期中)若抛物线y=m2与y=一2t形状相同，开口方向相反，则抛物 线的解析式为 28。（24-25九年级上：陕西西安阶段检测)若抛物线'= `与抛物线"=2r 的形状相同，开口方向相反， 则a= 课时训练 一、选择题 1.(2026吉林长春·一模)下列函数中，y的值随x的值增大而增大的是() A.y=2x2 B.y=-x+3 C y=-x2 D y=x-1 之（2526人年级下重庆频中)若点1(-）为在次函数=a2a<0) 的图象上，则少，为 的大小关系是() A.少<5 B>y C= D.无法确定 (25-26九年级下河南周口阶段检测)抛物线y=,xy=-2xy=)的图象开口最大的是( 3 B.y=-2x2 C.y= D.无法确定 4（25-26九年级上·江苏无锡期末)已知二次函数'= P(2,3) 的图像经过点 ,则“的值为() 3 4 2 9 A.4 B 3 C.9 D.2 二、填空题 5.(2026上海奉贤二模)如果抛物线'=(a≠0 在对称轴的右侧部分下降，那么“的取值范围是 6.(25-26八年级下·黑龙江绥化阶段检测)如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直 1 角坐标系，作出函数少=3与y= 3t3 的图像，则阴影部分的面积是一· 618 7.(25-26八年级下·黑龙江绥化阶段检测)如图， ① 分别对应=与矿的西数阳象，则.办 的大小关系 ① ② 8(2526九年级上上海课后作业)已知=次西数'=，当自变量*的取值范围是1Kx<3时，函数 值Y的取值范围为一。 三、解答题 9,（25-26九年级上河南周口期末)已知二次函数y= 图像经过点 P(-2,3) (1)判断这个函数图像的开口方向： .Q(2,m) (2)点1 在这个函数图像上，求m的值. 10,(2526九年级上浙江杭州阶段检测已知)=依+2“是二次函数，且当x<0时，y随x的增 大而增大 718 5 4 3 2 -5-4-3-2-19 12345x 3 (1)求k的值，并写出对称轴和顶点坐标： (2)请画出该函数图象，并根据图象写出当-2≤x<4时，y的范围为 -4 -2 -1 0 1 2 4 y=-x2 -16 -4 0 -1 -4 -16 8/8 2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十六章 二次函数 26.2.1 二次函数y＝ax²的图象和性质 ▌课时目标 1. 认识二次函数y＝ax2的图象是抛物线，能根据a的符号判断开口方向，根据∣a∣的大小判断开口宽窄。 2. 掌握y＝ax2的对称轴（y轴）和顶点（原点），能结合图象描述函数的增减性并求出最值。 3. 理解y＝ax2与y＝－ax2的图象关于x轴对称，能运用这些性质解决简单的函数求值与图象识别问题。 ▌课时目录 知识点01：y＝ax²的图象形状（抛物线）与开口方向 知识点02：对称轴 知识点03：顶点 知识点04：|a|与开口宽窄的关系 知识点05：增减性 知识点06：最值 知识点07：y＝ax²与y＝－ax²的对称关系 ▌知识点01：y＝ax²的图象形状（抛物线）与开口方向 用列表、描点、连线的方法画出二次函数的图象，其形状是一条光滑的曲线，叫做抛物线。 开口方向由a的符号决定： 1. 当a＞0时，抛物线开口向上； 2. 当a＜0时，抛物线开口向下。 例如：y＝2x2开口向上，y＝－2x2开口向下。 1．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）函数图象的开口 _____． 【答案】向上 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是掌握二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线向下开口．由即可判断开口方向． 【详解】解：∵函数中， ∴图象开口向上． 故答案为：向上． 2．（25-26九年级上·新疆·期中）若原点是抛物线的顶点，则抛物线的开口向______． 【答案】上 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法是解题的关键． 由顶点在原点，得出对称轴为y轴，从而求出a的值，再根据二次项系数的正负判断开口方向． 【详解】解：抛物线方程为 ，其顶点在原点， ， ， 解得：， 代入原方程，得 ， 二次项系数 ， 抛物线开口向上， 故答案为：上． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）二次函数的图象的开口向___________． 【答案】下 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是掌握二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线向下开口．由即可判断开口方向． 【详解】解：二次函数，， 则图象的开口向下， 故答案为：下 4．（25-26九年级上·江苏南通·期中）若开口向下的抛物线顶点在原点，则这条抛物线的解析式是_____________（写出一个即可）． 【答案】答案不唯一 【分析】本题考查了的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据抛物线顶点在原点时解析式为，开口向下则，即可写出． 【详解】解：顶点在原点的抛物线解析式为， 当时开口向下，例如取， 则解析式为， 故答案为：（答案不唯一）． ▌知识点02：对称轴 抛物线的对称轴是y轴，即直线x＝0。 抛物线沿y轴对折，左右两部分能够完全重合，因此抛物线是轴对称图形。 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）抛物线与相同的性质是（    ） A．开口向下 B．对称轴是轴 C．有最低点 D．对称轴是轴 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次函数的图像与性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：对于抛物线， ∵， ∴其开口向上，有最低点，其对称轴为， 而抛物线， ∵， ∴其开口向下，有最高点，其对称轴为， ∴选项A、C、D错误，不符合题意，选项B正确，符合题意． 故选：B． 6．（25-26九年级上·江苏南通·期中）抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．轴 D．x轴 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键． 根据抛物线的对称轴性质来判断． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为，该抛物线符合的形式， ∴ 其对称轴为y轴， 故选：C． 7．（25-26九年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是__________． 【答案】轴（或直线） 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线是关键．根据解析式即可得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是y轴． 故答案为：y轴（或直线）． 8．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线的开口方向向下，对称轴是直线，那么这条抛物线的表达式可以是_____．（只要写出一个表达式） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了根据要求写二次函数解析式． 根据顶点式的性质作答即可． 【详解】解：设抛物线的表达式为， ∵抛物线的开口方向向下， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， 则抛物线的表达式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． ▌知识点03：顶点 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。 对于，顶点是原点(0,0)。顶点是抛物线的最高点或最低点。 9．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键； 利用二次函数的顶点坐标特征即可求解． 【详解】解：∵二次函数的形式为时，其顶点坐标为， 又∵抛物线符合（）的形式， ∴抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 10．（25-26九年级上·吉林延边·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，依据题意，根据其顶点式可以判断得解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴其顶点为． 故选：C． 11．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）请写出一个顶点是原点的抛物线的解析式_______________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，顶点是原点的二次函数解析式为（a为常数，且），据此可得答案． 【详解】解：由题意得，满足题意的函数解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）抛物线的对称轴方程是___，顶点坐标是___． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握形如的抛物线对称轴方程是，顶点坐标为原点是解题的关键． 根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：对于抛物线，其中，则对称轴方程是，顶点坐标是． 故答案为：；． ▌知识点04：|a|与开口宽窄的关系 ∣a∣的大小决定抛物线开口的宽窄： 1. 当∣a∣越大时，开口越窄，抛物线越陡峭； 2. 当∣a∣越小时，开口越宽，抛物线越平缓。 例如：y＝3x2的开口比y＝x2的开口窄，y＝x2的开口比y＝x2的开口宽。 13．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）抛物线与相比（    ） A．开口更大 B．开口更小 C．开口相同 D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 二次函数的开口大小由二次项系数的绝对值决定，绝对值越大，开口越小依此进行判断即可． 【详解】解：对于抛物线，二次项系数， 对于抛物线，二次项系数， ∵， ∴的开口比的开口更小， 故选：B． 14．（25-26九年级上·天津北辰·阶段检测）在抛物线中，开口最大的是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，绝对值越小，开口越大，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：对于抛物线，二次项系数，； 对于，二次项系数，； 对于 ，二次项系数，， ∵， ∴最小， 因此开口最大的是． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）下列函数图象中：①②③④其中抛物线开口大小最小的是________________. 【答案】④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，注意：二次函数的解析式中，a的绝对值越小，开口越大． 二次函数的解析式中a的绝对值越小，开口越大，根据以上特点得出即可． 【详解】解：根据题意， ， ∴抛物线开口最小的是④， 故答案为：④． 16．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）抛物线①；②，③的开口大小，从大到小依次为_______． 【答案】③①② 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，它的开口方向由的值决定，开口大小则由决定，越大，抛物线的开口越小，越小，抛物线的开口越大，据此解答即可． 【详解】解：∵抛物线①；②，③中，， ∴抛物线①；②，③的开口大小，从大到小依次为③①②． 故答案为：③①②． ▌知识点05：增减性 增减性以对称轴为界： 1. 当a＞0时，在对称轴左侧（x＜0），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x＞0），y随x的增大而增大。 2. 当a＜0时，在对称轴左侧（x＜0），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x＞0），y随x的增大而减小。 17．（25-26九年级上·广东东莞·期末）对于二次函数，当时，随的增大而（    ） A．先增大后减小 B．减小 C．增大 D．先减小后增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质判断开口方向，再根据对称轴分析增减性即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数开口向下， ∵二次函数的对称轴为， ∴当时，随的增大而增大． 故选：C． 18．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）对于二次函数，当时，y随x的增大而（　　） A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象的性质．根据二次函数的性质，由二次项系数判断开口方向，再根据对称轴分析增减性． 【详解】解：二次函数的二次项系数， 抛物线开口向下，对称轴为． 当 时，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大． 故选：A． 19．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）当为何值时，二次函数中随的增大而减小（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 根据二次函数开口向下，对称轴为，进行判断即可． 【详解】∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小， 故选：C． 20．（25-26九年级上·北京丰台·期末）已知二次函数的图象经过原点，且当时，y随x的增大而减小，写出一个符合题意的二次函数的解析式______． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，由图象经过原点可得；由当时，y随x的增大而减小，可知抛物线开口向下且对称轴不在y轴右侧，进而可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴可设二次函数解析式为：， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下，且对称轴不在y轴右侧， ∴可令，对称轴为轴， 此时二次函数解析式为， 故答案为：（答案不唯一）． ▌知识点06：最值 函数的最值在顶点处取得： 1. 当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点，函数有最小值，当x＝0时，y最小值＝0。 2. 当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点，函数有最大值，当x＝0时，y最大值＝0。 21．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）关于二次函数与，下列说法错误的是（   ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点坐标相同 D．两函数图象关于x轴对称 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．通过比较二次函数和的开口方向、对称轴、顶点坐标和对称性，判断各选项正误，即可作答． 【详解】解：∵， ∴开口方向向上，对称轴为直线， 当时，则，即顶点坐标为， ∵， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 当时，则，即顶点坐标为， ∴二次函数与的开口方向不相同，故A选项符合题意； ∴二次函数与的对称轴相同，顶点坐标相同，两函数图象关于x轴对称，故B、C、D选项不符合题意； 故选：A 22．（25-26九年级上·广东韶关·阶段检测）关于函数的图象，下列说法：图象是一条抛物线；开口向下；对称轴是轴；顶点坐标是．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质逐一分析即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象是抛物线，故正确； ∵， ∴抛物线开口向上，故错误； 的对称轴为轴，故正确； 的顶点在原点，故正确； 综上，正确的有，共个， 故选：． 23．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）抛物线有最_____点（填“高”或“低”）． 【答案】高 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：由抛物线可知开口向下，所以该抛物线有最高点； 故答案为：高． 24．（24-25九年级下·上海·开学考试）如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最_________点（填“高”或“低”）． 【答案】高 【分析】本题考查了抛物线的性质，根据抛物线的性质即可求解，掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，在抛物线中，， ∴抛物线的开口向下， ∴该抛物线有最高点， 故答案为：高． ▌知识点07：y＝ax²与y＝－ax²的对称关系 抛物线与关于x轴对称。 因为对于任意相同的x值，两个函数的y值互为相反数，所以对应点关于x轴对称。 例如：点(1,2)在y＝2x2上，点(1,－2)在y＝－2x2上，这两点关于x轴对称。 25．（25-26九年级上·上海·期中）下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是解决本题的关键．通过比较两条抛物线的二次项系数、开口方向、顶点和对称轴，判断各说法的正误即可． 【详解】解：∵抛物线和中二次项系数的绝对值相等， ∴它们的形状相同，开口方向相反，故A错误； 它们的对称轴都是y轴，故B正确； 它们的顶点都是，故C错误； 把代入得：， ∴点在抛物线上， 把代入得：， ∴点不在抛物线上，故D错误． 故选：B． 26．（24-25九年级上·河南安阳·期末）抛物线与相同的性质是（   ） A．开口向上 B．有最高点 C．顶点是原点 D．时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的性质．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以解答本题． 【详解】解：抛物线开口向下，顶点是原点，为最高点，对称轴是y轴，在对称轴左侧，随增大而增大，在对称轴右侧，随增大而减小， 抛物线开口向上，顶点是原点，为最低点，对称轴是y轴，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大， ∴抛物线和的共同性质是：顶点是原点，对称轴是y轴， 故选：C． 27．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，掌握二次函数中形状相同，开口方向的性质是解决本题的关键．由形状和开口方向即可得出的值 【详解】抛物线与形状相同，开口方向相反 则， ∴的解析式为 故答案为： 28．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）若抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，掌握二次函数中形状相同，开口方向的性质是解决本题的关键．由形状和开口方向即可得出的值 【详解】抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，则， 故答案为：． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·吉林长春·一模）下列函数中，的值随的值增大而增大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不同函数的增减性逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A，是二次函数，开口向上，对称轴为，当时，随的增大而减小，不符合要求． 选项B，，是一次函数，，随的增大而减小，不符合要求． 选项C，，是二次函数，开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，不符合要求. 选项D，是一次函数，，随的增大而增大，符合要求． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的函数值比较，可直接将点的横坐标代入函数解析式，得到和的表达式，再根据的条件比较大小． 【详解】解：将代入得：， 将代入得， ， ， 即． 3．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大， 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将代入解析式即可求出a的值． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 即， ∴． 故选：A． 二、填空题 5．（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 6．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 【答案】8 【分析】根据二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称，利用割补法将阴影部分面积转化为正方形面积的一半求解． 【详解】解：二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称， ∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∴图中阴影部分的面积是． 7．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图： 因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，， 所以． 8．（25-26九年级上·上海·课后作业）已知二次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围为____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据抛物线的顶点，当时，最大，当时，最小． 【详解】解：由题意，的对称轴为轴，开口向上， 函数值有最小值． 当时，； 当时，； 当时，； 结合图象，可得当时，的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26九年级上·河南周口·期末）已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 【答案】(1)开口向上 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）先将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，根据的正负判断函数图像的开口方向； （2）将点的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出的值. 【详解】（1）解：将点代入中 得 即 解得 因为 所以这个函数图像的开口向上 （2）解：由（1）可知二次函数解析式为 将点代入中 得 解得. 10．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求的值，并写出对称轴和顶点坐标； (2)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 【答案】(1)，对称轴为轴，顶点坐标为 (2) 【分析】（）根据二次函数的定义和性质可求出的值，进而由解析式可求出对称轴和顶点坐标； （）列表、描点、连线，画出函数图象，再根据图象求出的范围即可； 本题考查了二次函数的定义和性质，画二次函数图象，根据函数图象求函数的取值范围，正确画出函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴， 解得或， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即轴，顶点坐标为； （2）解：列表如下： 画函数图象如下： 由函数图象可得，当时，的范围为， 故答案为：． / 学科网（北京）股份有限公司 $