26.2.1二次函数y=ax²的图象和性质同步练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数y=ax²图象与性质，分层设计基础巩固、中档应用、提升拓展三阶练习，通过概念辨析、几何结合、综合探究路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|开口方向、顶点、对称轴等基本性质|单选1-4直接考查概念辨析，如由开口方向求参数范围| |中档|性质与几何图形结合应用|单选5-8结合旋转、正方形，填空题9-12考查增减性应用| |提升|综合几何与函数的动态问题|填空题13-15涉及正方形、菱形与抛物线交点，解答题16探究面积计算|

学科网（北京）股份有限公司 26.2.1二次函数y=ax²的图象和性质 一、单选题 1．若抛物线的开口向上，则m的值可能是下面的（    ） A．0 B．2 C．4 D． 2．在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 3．抛物线，，的共同性质是： ①都是开口向上；②都以点(0,0)为顶点；③以y轴为对称轴；④关于x轴对称． 其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知二次函数，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 5．如图，Rt△OAB的顶点A（－2，4）在抛物线上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为 （ ） A． B． C． D． 第5题 第6题 6．如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 7．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（） A．B．C． D． 8．如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 第8题 第13题 二、填空题 9．如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是______． 10．已知，点， , 在函数的图像上，则，，的大小关系是__________． 11．请写出一个当时，y随x增大而减小的二次函数的表达式_________． 12．已知是二次函数且当时y随的增大而增大，则的值为_________． 13．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为______． 第14题 第15题 14．如图，菱形的边长为，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则_____． 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在第一象限，顶点C在第二象限，顶点B在抛物线的图象上．若正方形的边长为，与y 轴的正半轴的夹角为，则a的值为________． 三、解答题 16．如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． (1)求a的值和点B的坐标； (2)若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 1．C 【分析】本题考查了二次函数的性质．抛物线开口向上时，二次项系数需大于零．据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴，即． ∴选项中只有满足条件． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查二次函数图象上的点，根据二次函数图象上的点的横纵坐标满足函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，；当时，； 故只有D选项的点在抛物线上，符合题意； 故选D． 3．B 【分析】根据抛物线的性质直接回答即可． 【详解】解：抛物线，的开口向上，的开口向下，故错误； 抛物线，，的顶点为，对称轴为y轴，故正确，错误； 其中正确的个数有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解形如的抛物线的性质． 4．B 【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解． 【详解】∵二次函数的对称轴为y轴，当时，y随x增大而增大， ∴二次函数的图像开口向上， ∴a-1＞0，即：， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 5．C 【详解】试题分析：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线上，∴，解得：a=1 ∴抛物线解析式为y=x2． ∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4），∴OB=OD=2． ∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，∴CD∥x轴． ∴点D和点P的纵坐标均为2．∴令y=2，得2=x2，解得：． ∵点P在第一象限，∴点P的坐标为：（，2）．故选C． 6．A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 7．D 【分析】由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断． 【详解】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除；当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除； 故选． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系． 8．A 【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题． 【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3， 当抛物线经过（3，1）时，a=， 观察图象可知≤a≤3， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9． 【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的增减性成为解题的关键． 根据二次函数的增减性质进行求解即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为轴，， 当时，随着的增大而增大， ， ． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，对于二次函数，若，则当时，随的增大而减小，由此可解． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小， ∴该函数的解析式可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 12． 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据题意可得，求出，再根据的性质进行取舍即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得：或， ∵当时y随的增大而增大， ∴，则， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】点代入抛物线中求出解析式为，再设CD=2x，进而求得E点坐标为(x,4-2x)，代入中即可求解． 【详解】解：将点代入抛物线中，解得， ∴抛物线解析式为， 设CD、EF分别与轴交于点M和点N， 当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x， 此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线中， 得到：， 解得，(负值舍去)， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键． 14． 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，过点作轴交轴于点，求出点的坐标，代入即可求解，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】过点作轴交轴于点， ∵菱形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 把代入， ∴， ∴， 故答案为： 15． 【分析】如图，连接，作轴于，则，由题意知，，，可得，由正方形的性质、勾股定理可得，由，可得，，即，将代入得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，作轴于，则， 由题意知，，， ∴， 由正方形的性质、勾股定理可得， ∵， ∴，， ∴， 将代入得，， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，含的直角三角形，二次函数解析式等知识．熟练掌握正方形的性质，勾股定理，含的直角三角形，二次函数解析式是解题的关键． 16．(1)， (2)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的对称性等等： （1）先把点A坐标代入解析式中求出a的值，即求出抛物线解析式，再根据对称性即可求出点B的坐标； （2）先求出，再根据题意可得，据此求出点P的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∵轴，且点B在抛物线上， ∴点A和点B关于抛物线对称轴对称，即关于y轴对称， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵的面积为2，轴， ∴， ∴， ∴或， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或或或． 试卷第5页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $