26.2.1 二次函数y=ax²的图像和性质 同步练习 2026—2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练通过“基础达标+能力提升”分层设计，以二次函数y=ax²图象与性质为核心，从概念理解到综合应用梯度递进，强化抽象能力与几何直观，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|图象识别、开口方向、顶点坐标等单一知识点|选择题（如第1题图象辨析）夯实概念，作图题（第4题）培养几何直观，基础计算（第10题）提升运算能力| |能力提升|函数性质综合应用、跨知识结合（如与几何图形）|综合题（第8题）渗透模型观念，动点与面积问题（第5题）发展推理能力，多知识点融合（如第2题函数图象综合）强化应用意识|

26.2.1　二次函数y=ax2的图象和性质 二次函数y=ax2的图象 1.二次函数y=-4x2的图象可能是 (　　) A　　　　　　　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　　　　　　　D 2.二次函数y=-3x2的图象一定经过 (　　) A.第一、第二象限　 B.第三、第四象限 C.第一、第三象限　 D.第二、第四象限 3.函数y=-x2的图象一定经过点 (　　) A.(1,-1) B.(-1,1) C.(2,-2) D.(3,-6) 4.在同一平面直角坐标系中,画出下列函数的图象:y=x2,y=-x2. 二次函数y=ax2的性质 5.(2026天津河西区月考)关于二次函数y=x2,下列说法错误的是 (　　) A.其图象的开口向上 B.其图象的对称轴是y轴 C.其图象的顶点坐标是(0,4) D.当x<0时,y随x的增大而减小 6.已知点(-1,y1),(-3,y2)都在函数y=5x2的图象上,则 (　　) A.y1<y2<0 B.y2<y1<0 C.0<y2<y1 D.0<y1<y2 7.(2026白山期中)已知关于x的二次函数y=(2-a),当x>0时,y随x的增大而增大,则a的值为　　　　.  8.已知二次函数y=2 026x2的图象上有两个不同的点P(t1,),Q(t2,),则t1+t2=　　　　.  9.如图,圆的半径为2,以圆心O为原点建立平面直角坐标系,C1是函数y=2x2的图象,C2是函数y=-2x2的图象,则图中阴影部分的面积为　　　　.  10.已知二次函数y=ax2,当x=3时,y=3. (1)当x=-2时,求y的值. (2)写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,并求当x为何值时,y随x的增大而增大. 1.在下列函数中,y随x的增大而减小的是 (　　) A.y=x+1 B.y=2x2(x>0) C.y=-x2(x<0) D.y=-x2(x>0) 2.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=kx2(k为常数,且k≠0)和一次函数y=kx-2的图象大致是 (　　) A　　　　　　　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　　　　　　　D 3.已知抛物线y=2x2经过(-2,y1),(0,y2),三点,则y1,y2,y3的大小关系是 (　　) A.y2>y3>y1 B.y1>y2>y3 C.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2 4.在同一平面直角坐标系中画出y1=3x2,y2=-3x2,y3=x2的图象,正确的是 (　　) A　　　　　　　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　　　　　　　D 5.如图,正方形OABC的顶点C的坐标是,顶点A,B在第四象限,抛物线y=ax2(a<0)经过点B,则a的值为 (　　) A.-　　　　B.-　　　　C.-　　　　　D.- 6.(2026济宁任城区月考)已知抛物线y=ax2经过点A(2,12),则-3≤x≤2时,图象上最高点的坐标为　　　　.  7.已知y=(k+2)是关于x的二次函数,且顶点是函数图象的最高点. (1)求k的值. (2)如果点P(m,n)是此二次函数的图象上一点.若-2≤m≤1,则n的取值范围为　　　　.　  8.(模型观念)已知函数的图象是一条以y轴为对称轴、原点为顶点的抛物线,且经过点A(-2,2). (1)求这个函数的解析式. (2)写出抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标,并计算△AOB的面积. (3)在抛物线上是否存在点C,使△ABC的面积等于△AOB面积的一半?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由. 【详解答案】 基础达标 1.A　2.B　3.A 4.解:列表: x … -2 -1 0 1 2 … y=x2 … 6 1.5 0 1.5 6 … y=-x2 … -6 -1.5 0 -1.5 -6 … 描点画图,得函数图象如图所示: 5.C　6.D　7.或-　8.0　9.2π 10.解:(1)把x=3,y=3代入y=ax2,得a=. ∴二次函数的解析式为y=x2. 当x=-2时,y=×(-2)2=. (2)∵a=>0, ∴该函数图象的开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0),当x>0时,y随x的增大而增大. 能力提升 1.D　解析:在函数y=x+1中,y随x的增大而增大,故选项A不符合题意;在函数y=2x2中,当x>0时,y随x的增大而增大,故选项B不符合题意;在函数y=-x2中,当x<0时,y随x的增大而增大,故选项C不符合题意;在函数y=-x2中,当x>0时,y随x的增大而减小,故选项D符合题意.故选D. 2.C　解析:当k>0时,则二次函数y=kx2的图象开口向上,一次函数y=kx-2的图象经过第一、第三、第四象限,故排除B,D;当k<0时,则二次函数y=kx2的图象开口向下,一次函数y=kx-2的图象经过第二、第三、第四象限,故排除A;C选项符合题意.故选C. 3.D　解析:因为抛物线的解析式为y=2x2,所以抛物线的对称轴为y轴,且开口向上,则抛物线上的点,离对称轴越远,其函数值越大.因为0-(-2)=2,0-0=0,-0=,且2>>0,所以y1>y3>y2.故选D. 4.D　解析:当x=1时,y1,y2,y3的图象上的对应点分别是(1,3),(1,-3),,其中有两点在第一象限,一点在第四象限,排除B,C;在第一象限内,y1的图象上的对应点(1,3)在上,y3的图象上的对应点在下,排除A.故选D. 5.D　解析:如图,过点C作CF⊥y轴于点F,过点B作BE⊥FC,交FC的延长线于点E. ∵点C的坐标是,∴FC=2,OF=. ∵四边形OABC是正方形,∴OC=CB,∠OCB=90°,∴∠FCO+∠BCE=180°-∠OCB=90°,∵BE⊥FC,∴∠BEC=90°,∴∠BCE+∠EBC=90°,∴∠FCO=∠EBC,∵CF⊥y轴,∴∠CFO=∠BEC=90°,又OC=CB,∴△CFO≌△BEC(AAS),则CE=OF=,BE=FC=2,∴EF=2+=,∵点B在第四象限,∴点B的坐标为,把B代入y=ax2(a<0),得-=a×,∴a=-.故选D. 6.(-3,27)　解析:∵抛物线y=ax2经过点A(2,12),∴12=4a,∴a=3,∴抛物线对应的函数解析式为y=3x2,∴在-3≤x≤2范围内,当x=-3时,函数有最大值,为y=3×(-3)2=27,∴-3≤x≤2时,图象上最高点的坐标为(-3, 27). 7.解:(1)根据题意,得k+2≠0且k2+k-4=2,解得k1=-3,k2=2. ∵顶点是函数图象的最高点, ∴二次函数图象的开口向下,即k+2<0, 解得k<-2.∴k的值为-3. (2)-4≤n≤0 解析:由(1)知此二次函数的解析式为y=-x2,其图象的开口向下,对称轴为y轴. 在-2≤m≤1范围内, 当m=0时,n取得最大值0; 当m=-2时,n=-(-2)2=-4; 当m=1时,n=-12=-1, 故n的取值范围为-4≤n≤0. 8.解:(1)依题意,设所求函数的解析式为 y=ax2(a≠0). ∵抛物线经过点A(-2,2), ∴2=a×(-2)2.∴a=. ∴这个函数的解析式为y=x2. (2)∵点B与点A关于y轴对称,点A(-2,2), ∴点B(2,2).∴AB=4. ∴S△AOB=×2×4=4. (3)存在. 设点C的纵坐标为m(m≥0),则点C到AB的距离为|m-2|. ∵S△ABC=S△AOB, ∴×4×|m-2|=×4. 解得m1=1,m2=3. 令x2=1,得x=±; 令x2=3,得x=±. ∴抛物线上存在点C,使△ABC的面积等于△AOB面积的一半,且点C的坐标为(,1)或(-,1)或(,3)或(-,3) 学科网（北京）股份有限公司 $