《第一章反比例函数第二节反比例函数的图像与性质》提优特训A·B卷 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 本练习通过A卷基础过关与B卷强化提优分层设计，构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养数学抽象、推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A卷|反比例函数图像绘制、k的几何意义、基础性质应用|选择填空聚焦单一考点，如判断象限、比较函数值；解答题训练待定系数法与面积计算，强化运算能力| |B卷|函数与几何综合、跨象限性质辨析、实际情境建模|综合题融合菱形平移、矩形面积与反比例函数，探究题结合杠杆平衡等生活情境，发展推理与模型意识|

数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第一章反比例函数第二节反比例函数的图像与性质》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.掌握描点法绘制反比例函数双曲线的完整步骤，直观认识双曲线两支独立分布、无限趋近坐标轴的图像特征；依据k的正负快速判断图像所在象限，结合图像理解对称性，建立数形结合的直观认知。 2.分类推导k>0、k<0两种情况下函数的增减规律，精准辨析增减性必须限定每个象限内的原因；利用中心对称、轴对称性质推理点的坐标关系，结合k的几何意义推导图形面积结论，规避跨象限比较函数值的逻辑错误。 3.熟练运用待定系数法，由图像上点的坐标求解反比例函数解析式；结合k的几何意义求解矩形、三角形面积，联立一次函数与反比例函数解析式求解交点坐标，规范代数运算步骤。 4.结合几何面积、生活行程、压强等实际情境，借助反比例函数图像分析变量变化规律，利用函数性质解决比较大小、面积计算、取值范围求解等综合题型，区分一次函数与反比例函数图像性质差异。 ) 二．知识梳理 ( （一） 反比例函数图像的绘制方法 反比例函数y= (k ≠ 0)的图像叫做双曲线，采用列表、描点、连线三步绘制： 1.列表：自变量x不能取0，围绕0对称选取多组互为相反数的数值，方便利用对称性作图； 2.描点：依次在坐标系中标出每组(x,y)对应的坐标点； 3.连线：用平滑的曲线分别连接左右两侧的点，左右两支曲线分开绘制，不可相连，曲线向两端无限延伸靠近坐标轴。 图像关键特征：双曲线的两个分支永远不会与x轴、y轴相交，因为x ≠ 0、y ≠ 0。 （二） 反比例函数的图像与增减性质 依据比例系数k的正负分为两种情况： 1.   当k>0时 双曲线的两支分别位于第一、第三象限；在每一个象限内，y随着x的增大而减小。 2.   当k<0时 双曲线的两支分别位于第二、第四象限；在每一个象限内，y随着x的增大而增大。 重中之重易错规定：不能直接表述 “ k>0时，y随x增大而减小 ” ，缺少 “ 在每个象限内 ” 的限定属于错误结论；当两个点分别在不同象限时，只需根据纵坐标正负即可比较大小，不可使用增减性判断。 ) ( （三） 反比例函数的对称性 1.中心对称性：图像关于原点中心对称。若点P(a,b)在反比例函数图像上，则它关于原点的对称点P'(-a,-b)也一定在该双曲线上。 2.轴对称性：图像有两条对称轴，分别为直线y=x与直线y=-x；若(a,b)在图像上，则(b,a)、(-b,-a)也在图像上。 （四） 比例系数k的几何意义（中考必考） 设点 C (x,y)是反比例函数y= (k ≠ 0)图像上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为 A 、 B ： 1.两条垂线与坐标轴围成矩形 ACB O，矩形面积S 矩形 =|xy|=|k|； 2.连接坐标原点O与点 C ，得到两个直角三角形，单个三角形面S △ = |k|。 注意：面积恒为正数，计算时必须添加绝对值，不能直接使用k本身计算。 （五） 函数值大小比较的通用方法 1.两点在同一象限：直接根据k的正负，利用增减性比较； 2.两点在不同象限：k>0时，一三象限内y恒为正；k<0时二四象限内y恒为负，正数一定大于负数； 3.通用万能法：将横坐标代入解析式，算出具体y值再比较，避免出错。 （六） 反比例函数与一次函数基础综合 1.   求两个函数交点：联立两个函数解析式组成方程组，方程组的实数解即为交点坐标；若方程组无解，说明两个图像无交点； 2.   若一次函数与反比例函数的两个交点同时存在，则两个交点关于原点中心对称； 3.   求解不等式kx+b> 的解集：观察图像，一次函数图像在双曲线上方对应的x取值，必须剔除x=0。 （七） 高频易错点汇总 1.   描述增减性遗漏 “ 在每个象限内 ” ，是本小节最常见错误； 2.   计算k的几何面积时忽略绝对值，因k为负数算出负面积； 3.   误认为双曲线能够与坐标轴相交，忽略x、y取值均不为0； 4.   跨象限两点比较函数值时强行套用单调性，造成判断错误； 5.   画图像时将双曲线的左右两支连成一条连续曲线。 （八） 常见考试题型 1.   基础判定：根据k正负判断图像所在象限、增减趋势； 2.   大小比较：给出多个点的横坐标，比较对应函数值的大小； 3.   面积计算：结合k的几何意义求矩形、三角形面积，或由面积反求k的值； 4.   图像辨析：同一坐标系内判断反比例与一次函数图像是否匹配； 5.   综合解答：求交点坐标、结合图像解不等式、几何面积综合大题。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025·南通通州区期末）关于反比例函数y=-，下列说法正确的是（ ） A. y随x增大而增大 B. 图像经过一、三象限 C. 点(1,-4)在函数图像上 D. 图像与坐标轴有交点 【答案】：C 【解析】：k=-4<0，图像在二、四象限；仅每个象限内y随x增大而增大，A、B错；x=1时y=-4，C正确；x、y均不为0，图像不碰坐标轴，D错。 2.（2026·无锡惠山区一模）点A(-3,y1)、B(-1,y2)、C(2,y3)在y=上，则y1、y2、y3大小关系为（ ） A. y2<y1<y3 B. y1<y2<y3 C. y3<y1<y2 D. y2<y3<y1 【答案】：A 【解析】：k=6>0，一、三象限；A、B在第三象限，-3<-1，同象限y随x增大减小，故y_2<y1<0；C在第一象限y3>0，因此y2<y1<y3。 3.（2026·徐州睢宁县三模）过反比例函数y=上一点M作坐标轴垂线，围成矩形面积为7，则k的值为（ ） A. 7 B. -7 C. ±7 D. 无法确定 【答案】：C 【解析】：矩形面积|k|=7，故k=7或k=-7。 4.（2026·盐城大丰一模）若y=(m-1)xm2-2是反比例函数，则m=（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 0 【答案】：B 【解析】：反比例函数满足m2-2=-1并且m-1≠0，解得m=-1。 5.（2025·如皋实验初中期中）点(-2,y1)、(-0.5,y2)在y=-上，则（ ） A. y1>y2 B. y1<y2 C. y1=y2 D. 无法比较 【答案】：B 【解析】：k=-2<0，第二象限内y随x增大增大，-2<-0.5，故y1<y2。 6.如图，过原点的一条直线与反比例函数上（k≠0）的图像分别交于两点，若A点的坐标为，则B点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵反比例函数的图像是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴它的另一个交点的坐标是．故选：C． 7.如图，正比例函数y＝mx与反比例函数y＝ (m、n是非零常数)的图像交于A、B两点．若点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标是(　　) A.(－2，－4) B.(－2，－1) C.(－1，－2) D.(－4，－2) 【答案】C 【解析】∵正比例函数y=mx与反比例函数y=的两交点A、B关于原点对称，∴点A（1，2）关于原点对称点的坐标为（-1，-2）．故选：C． 8.如图，在平面直角坐标系中，已知，，，点为线段的中点．函数的图象经过点，交线段于点，则点的坐标为（    ） A. B. C. C. 【答案】B 【解析】，，点为线段的中点，，函数的图象经过点，，函数，，，轴，把代入得，，点的坐标为.故选：B． 9.如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（    ） A. B.或 C.或 D.或 【答案】C 【解析】，，∵一次函数与反比例函数的两个交点的横坐标分别为1和3，由图象知，当或时，一次函数在反比例函数的图象上方， ∴的解集为：或.故选：C． 10.已知一次函数y＝kx＋b，反比例函数y（kb≠0），下列能同时正确描述这两种函数大致图像的是（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A选项中根据一次函数图象可知，k＞0，b＜0，∴kb＜0，∴反比例函数经过二、四象限，故A选项不符合题意；B选项中根据一次函数图象可知，k＞0，b＞0，∴kb＞0，∴反比例函数经过一、三象限，故B选项不符合题意；C选项中，一次函数b=0，∵kb≠0，故C选项不符合题意；D选项中根据一次函数图象可知，k＜0，b＞0，∴kb＜0，∴反比例函数经过二、四象限，故D选项符合题意.故选：D． 二．填空题（共30分） 11.（2025·如皋市期中）反比例函数y=图像在二、四象限，则m取值范围：______ 【答案】：m<2 【解析】：图像二、四象限→k=m-2<0，解得m<2。 12.（2025·启东市期末）点(2,a)在y=图像上，则a=______ 【答案】：4 【解析】：代入x=2，a==4。 13.（2026·盐城亭湖区二模）点P在y=-上，过P作x轴垂线，垂足为A，则△OPA面积=______ 【答案】：5 【解析】：S=|k|=×|-10|=5。 14.（2026·无锡惠山三模）△AOB顶点A在y=上，AB⊥x轴，S△AOB=4，则k=______ 【答案】：±8 【解析】：|k|=4，|k|=8。 15.（2025·南通通州期末）点(a,4)与(-2,b)关于原点对称，且均在y=上，则k=______ 【答案】：8 【解析】：对称点a=2，b=-4，代入(2,4)得k=8。 16.如图，和y＝x的图像，若一个数x大于它的倒数，可知x的取值范围是      ． 【答案】或 【解析】令，解得，函数和的图象的交点的横坐标为和1， 由图象可知当或时，一次函数的图象在反比例函数的上方， 根据图象可知x的取值范围是或． 17.如图为反比例函数的图象，请写出满足图象的一个的值      ． 【答案】10（答案不唯一） 【解析】由图象可得，比例系数的坐标在和之间，∴，即，∴满足图象的一个的值可以为. 18.若点与点是正比例函数图像与反比例系数图像的两个不同的交点，则          ． 【答案】-12 【解析】∵点与点是正比例函数图像与反比例系图像的两个不同的交点，∴，解得， . 19.如图，过原点O的直线与反比例函数y＝的图像相交于点A(1，3)、B(x，y)，则点B的坐标为                ． 【答案】(－1，－3) 【解析】∵点A与B关于原点对称，A(1，3)，∴B点的坐标为(－1，－3)． 20.小明在研究某反比例函数的图象时，先选取了8个x的值，再分别计算出对应的y的值，列表如下： 经同桌小强检查，发现有一个y的值计算出现了错误，那么小明所研究的反比例函数中，      ． 【答案】2 【解析】根据表格的第一列可得：，解得：，根据表格的第二列可得：，解得：，根据表格的第三列可得：，解得：，根据表格的第四列可得：，解得：，根据表格的第五列可得：，解得：， 根据表格的第六列可得：，解得：，根据表格的第七列可得：，解得：， 根据表格的第八列可得：，解得：，由此可得第一列的y值计算错误，∴. 三．解答题（共60分） 21.（2025·盐城亭湖期中）已知反比例函数图像过(-4,3) (1) 求函数表达式； (2) 当x=-2时，求y的值。 解：(1) k=-4×3=-12，y=-； (2) x=-2，y=-=6。 22. 如图，直线y=x+b与双曲线y= （k为常数，k≠0）在第一象限内交于点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点． （1）求直线和双曲线的表达式； （2）点P在x轴上，且△BCP的面积等于2，求P点的坐标． 解：（1）把A（1，2）代入双曲线y=，可得k=2，∴双曲线的表达式为y=；把A（1，2）代入直线y=x+b，可得b=1，∴直线的表达式为y=x+1.（2）设P点的坐标为（x，0），在y=x+1中，令y=0，则x=-1；令x=0，则y=1，∴B（-1，0），C（0，1），即BO=1=CO，∵△BCP的面积等于2，∴BP×CO=2，即×1=2，解得x=3或-5，∴P点的坐标为（3，0）或（-5，0）． 23.（2026·徐州睢宁二模）直线x=4交y=于点P，作PQ⊥y轴于Q。 (1) 求P、Q坐标； (2) 求△OPQ面积； (3) 若点M(t,)在图像上，0<t<4，比较M、P纵坐标。 解：(1) x=4，y=2，P(4,2)，Q(0,2)； (2) S=×4×2=4； (3) k>0，x>0时y随x增大减小，0<t<4，故yM>yP。 24.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y= (x>0)的图象和矩形ABCD在第一象限,AD平行于x轴,且AB=2,AD=4,点A的坐标为(2,6). (1)直接写出B,C,D三点的坐标; (2)若将矩形向下平移,使矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上,猜想这是哪两个点,并求出矩形的平移距离和反比例函数的解析式. 解：(1)B(2,4),C(6,4),D(6,6). (2)如图,矩形ABCD平移后得到矩形A'B'C'D',则点A',C'同时落在反比例函数的图象上.设平移距离为a,则A'(2,6-a),C'(6,4-a). 因为点A'、点C'在的y= 图象上,所以2(6-a)=6(4-a),解得a=3,所以点A'(2,3), 所以反比例函数的解析式为y=. 25.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）． （1）求k的值； （2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y= （k＞0，x＞0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离． 解：（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，∵点D的坐标为（4，3），∴OF=4，DF=3，∴OD=5，∴AD=5，∴点A坐标为（4，8），∴k=xy=4×8=32，∴k=32； （2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数y=（x＞0）的图象D′点处，过点D′作x轴的垂线，垂足为F′． ∵DF=3，∴D′F′=3，∴点D′的纵坐标为3，∵点D′在y=的图象上，∴3=，解得：x=，即OF′=，∴FF′=-4=，∴菱形ABCD平移的距离为． 26.一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的面积． 解：（1）∵反比例函数的图象过点，∴，解得：，∴反比例函数的表达式为：. （2）将点代入得：，∴，将、代入得：，解得：，∴一次函数的表达式为：， 令，则，∴，∴. 27．我们学过一次函数的图象的平移，如：将二次函数y＝3x的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是y＝3(x＋2)－4.=3x+2 类比二次函数的图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换： (1)将y＝的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为________，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为_____________ _______； (2)函数y＝的图象可由y＝的图象向________平移________个单位得到；y＝的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到； (3)一般地，函数y＝(ab≠0，且a≠b)可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到． 解：(1) y＝ y＝　 (2) 上　1　y＝可转化为y＝＋1，它的图象可由反比例函数y＝的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到．　 (3)函数y＝(ab≠0，且a≠b)可转化为y＝＋1. 当a＞0时，y＝(ab≠0，且a≠b)的图象可由反比例函数y＝的图象向左平移a个单位，再向上平移1个单位得到；当a＜0时，y＝(ab≠0，且a≠b)的图象可由反比例函数y＝的图象向右平移－a个单位，再向上平移1个单位得到． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2025·南通通州期末）若ab<0，则反比例函数y=图像在（ ） A. 一、三象限 B. 二、四象限 C. 一、二象限 D. 三、四象限 【答案】：B 【解析】：ab<0即k<0，图像二、四象限。 2.（2026·无锡惠山一模）下列点不在y=-上的是（ ） A. (2,-3) B. (-2,3) C. (3,2) D. (6,-1) 【答案】：C 【解析】：3×2=6≠-6，不满足xy=-6。 3.（2025·如皋期中）已知x1<0<x2，点(x1,y1)、(x2,y2)在y=，则（ ） A. y1>y2 B. y1<y2 C. y1=y 2 D. y1+y2=0 【答案】：B 【解析】：x1<0，y1<0；x2>0，y2>0，y1<y2。 4.（2026·徐州睢宁三模）矩形面积为10，长x，宽y，则y与x函数图像是（ ） A. 直线 B. 双曲线第一象限分支 C. 完整双曲线 D. 抛物线 【答案】：B 【解析】：xy=10，y=(x>0)，仅第一象限一支。 5.（2025·启东期末）关于y=(k<0)，正确的是（ ） A. y随x增大而增大 B. 图像与直线y=x无交点 C. 图像上任意两点横纵坐标乘积相等 D. 图像关于x轴对称 【答案】：C 【解析】：xy=k恒成立；A缺“同一象限”；B有交点；D无x轴对称。 6.如图，、两点在反比例函数的图象上，两点在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，，，，则的值是（    ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【解析】由反比例函数的图象和性质的特点可设未知数：，，则，，由题意得：，解得：.故选：A． 7.如图，已知正方形的面积为，它的两个顶点，是反比例函数的图象上两点．若点的坐标是，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，延长、交轴于点、，延长、交轴于点、，由的几何意义得，，∴，∵，∴， ∵点D的坐标是，∴，，∴， ∵正方形的面积为4，∴，而，∴．故选：B． 8.若反比例函数图像如图，则图中阴影部分面积为（    ） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【解析】如图，连接，由图可知轴，∴阴影部分的面积等于的面积， ∵点在反比例函数图像上，∴阴影部分的面积等于的面积.故选：C． 9.如图，是反比例函数图像上两点，和都与坐标轴垂直，垂足分别为与交于点，则的面积为（   ） A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】C 【解析】如图，连接、，作轴于，，是反比例函数图像上两点，，，即，，，，，是反比例函数图像上两点，，. 故选：D． 10.在同一平面直角坐标系中，函数与（其中m，n是常数，）的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在一、三象限，与图像不符，A选项错误； B选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在一、三象限，与图像不符，B选项错误；C选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在二、四象限，与图像相符，C选项正确； D选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在二、四象限，与图像不符，D选项错误． 故选：C． 二．填空题（共30分） 11.已知反比例函数的图像经过点，则这个函数的图像位于第   象限． 【答案】一、三 【解析】由题意知，在第一或第三象限，∴反比例函数的图像位于第一、三象限. 12.已知，是同一个反比例函数图象上的两点，若，且，则这个反比例函数的表达式为        ． 【答案】 【解析】∵，是同一个反比例函数图象上的两点，∴，∵，∴，∵，则，∴，则， ∴这个反比例函数的表达式为． 13.若点在一次函数的图象上，点P关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则k的值为        ． 【答案】 【解析】把代入得：，解得，则P的坐标是：，P关于y轴的对称点是：，把代入反比例函数的解析式得：，解得：． 14.已知和是反比例函数图像上的两点，则        ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】< 【解析】∵和是反比例函数图像上的两点，∴，∴，，∴． 15.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点（，，为常数）．若为轴上一点，的面积为3，则点的坐标为            ． 【答案】或 【解析】如图，过作轴于点，过作轴于点，设，将点代入得，∴，∴反比例函数的解析式为；将点代入得，∴，∴，∴，，∴，，，则 ， ，∴，即点的坐标为，当点P在MN之间时，S△PAB=S梯形ANMB-S△BMP-S△ANP，解得点的坐标为，综上，点的坐标为或． 16.如图，A、B是双曲线上的两点，过点A作轴于点C，交于点D，且D为的中点，若的面积为4，点B的坐标为，则m的值为      ． 【答案】16 【解析】∵且D为的中点，∴，∴，∴， 由几何意义得，，∵，∴，∴，即． 17.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与两个正比例函数图象交于A，B，C，D四点．若点B的坐标为，点A的纵坐标为6，则点C的坐标是       ． 【答案】 【解析】设，点的坐标为，点与点在同一个反比例函数的图象上，，解得，，点，是正比例函数与反比函数在不同象限的交点，，两点关于原点对称，． 18.在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是      ． 【答案】0 【解析】∵正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，∴，两点关于原点对称，∴，∴. 19.如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为      ． 【答案】3 【解析】设，∵点P在反比例函数的图像上，∴，∵轴，∴． 20.如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图像分别经过B，C两点，则的面积为      ． 【答案】 【解析】过点B和C分别作轴的垂线，垂足分别为E和F，连接，∴，，，∵D是边的中点，即，∴，∴，∵点B在反比例函数的图像，∴，同理， ∴，∴的面积为. 三．解答题（共60分） 21. 如图，正比例函数y1=-3x的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点. 点C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为12. （1）求k的值； （2）根据图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围. 解：（1）如图，过点A作AD⊥OC于点D，又∵AC =AO，∴CD=DO，∴S△ADO= S△ACO=6，∴k=-12.（2）由（1）得：y2=-，联立，得解得：或故当y1＞y2时，x的取值范围是x＜-2或0＜x＜2. 22.如图，反比例函数，矩形OABC的顶点B的坐标为，仅用无刻度直尺，按下列要求作图． （1）在图①中，找到点，并作出点E关于原点的对称点F． （2）在（1）的前提下，在图②中，在反比例图像上找到点G，点H，使得点E，F，G，H构成的四边形正好为矩形． 解：（1）如图①所示， （2）如图②所示， 23.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边在AD在x轴上，点B在第四象限，直线BD与反比例函数的图象交于点B、E． （1）求反比例函数及直线BD的解析式； （2）求点E的坐标． 解：（1）边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边在AD在x轴上，点B在第四象限，∴A（1，0），D（﹣1，0），B（1，﹣2）．∵反比例函数的图象过点B，∴，m=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣，设一次函数解析式为y=kx+b，∵y=kx+b的图象过B、D点，∴，解得．直线BD的解析式y=﹣x﹣1；（2）∵直线BD与反比例函数y=的图象交于点E，∴，解得∵B（1，﹣2），∴E（﹣2，1）． 24．（8分)如图，已知矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，且B（4，3），反比例函数的图象与BC交于点D，与AB交于点E，其中D（1，3）． （1）求反比例函数的解析式及点E的坐标； （2）求直线DE的解析式． 解：（1）∵ D（1，3）在图象上，∴∴，∴反比例函数的解析式为：，反比例函数 与AB交于点E，点B的坐标为（4，3），点E的横坐标为：4，把，代入，得,∴E． （2）设直线DE的解析式为．∵D（1，3），E在直线DE上， ∴，解得∴直线DE的解析式为： 25.心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化． 开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散． 经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）： （1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到 解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20，把B（10，40）代入得，k1=2，∴y1=2x+20． 设C、D所在双曲线的解析式为y2=，把C（25，40）代入得，k2=1000，∴y2＝. 当x=5时，y1=2×5+20=30，当x＝30时，y2＝＝，∴y1＜y2. ∴第30分钟时注意力更集中． （2）令y1=36，∴36=2x+20，∴x1=8，令y2=36，∴36＝，∴x2＝≈27.8. ∵27.8-8=19.8分钟＞19分钟，∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 26.在函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，并结合图像研究函数性质的过程，以下是兴趣小组研究函数性质及其应用的部分过程，请完成下列各小题． （1） ______； ______；并在图中补全该函数图像； （2）根据函数图像，下列关于该函数性质的说法． ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴为y轴． ②当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 其中正确的是______．（只填序号） （3）兴趣小组进一步探究：函数与函数的关系，请你在同一坐标系中画出函数的图像，结合你所画的函数图像完成下列问题． ①方程有______个解； ②直接写出不等式的解集为______．（保留1位小数，误差不超过0.2） 解：（1）当时，，当时，，.画出函数的图像如图： （2）根据函数图像： ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴为轴，说法错误； ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值-3，说法正确. （3）由图像可知：①方程有3个解. ②不等式的解集为或 27.项目化学习 项目主题：探究杠杆平衡条件. 项目步骤：实验课上李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：自制了一个类似天平的仪器如图①，在左边固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在右边活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况． 试验数据： 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，…在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； （2）观察所画的图像，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式； （3）当活动托盘B与点O的距离为12.5cm时，求砝码的质量； （4）当活动托盘B往左移动（不能移动到点O）时，应往托盘B中添加还是减少砝码？___．（填写“添加”或“减少”） 解：（1）如图所示. （2）由图像猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，∴设，把，代入得：．∴y与x的函数关系式为：． （3）把代入，得．∴当活动托盘B与点O的距离是12.5cm时，当砝码的质量为24g． （4）根据反比例函数的增减性，即可得出，随着活动托盘与点的距离不断减小，砝码的示数会不断增大，应添加砝码. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第一章反比例函数第二节反比例函数的图像与性质》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.掌握描点法绘制反比例函数双曲线的完整步骤，直观认识双曲线两支独立分布、无限趋近坐标轴的图像特征；依据k的正负快速判断图像所在象限，结合图像理解对称性，建立数形结合的直观认知。 2.分类推导k>0、k<0两种情况下函数的增减规律，精准辨析增减性必须限定每个象限内的原因；利用中心对称、轴对称性质推理点的坐标关系，结合k的几何意义推导图形面积结论，规避跨象限比较函数值的逻辑错误。 3.熟练运用待定系数法，由图像上点的坐标求解反比例函数解析式；结合k的几何意义求解矩形、三角形面积，联立一次函数与反比例函数解析式求解交点坐标，规范代数运算步骤。 4.结合几何面积、生活行程、压强等实际情境，借助反比例函数图像分析变量变化规律，利用函数性质解决比较大小、面积计算、取值范围求解等综合题型，区分一次函数与反比例函数图像性质差异。 ) 二．知识梳理 ( （一） 反比例函数图像的绘制方法 反比例函数y= (k ≠ 0)的图像叫做双曲线，采用列表、描点、连线三步绘制： 1.列表：自变量x不能取0，围绕0对称选取多组互为相反数的数值，方便利用对称性作图； 2.描点：依次在坐标系中标出每组(x,y)对应的坐标点； 3.连线：用平滑的曲线分别连接左右两侧的点，左右两支曲线分开绘制，不可相连，曲线向两端无限延伸靠近坐标轴。 图像关键特征：双曲线的两个分支永远不会与x轴、y轴相交，因为x ≠ 0、y ≠ 0。 （二） 反比例函数的图像与增减性质 依据比例系数k的正负分为两种情况： 1.   当k>0时 双曲线的两支分别位于第一、第三象限；在每一个象限内，y随着x的增大而减小。 2.   当k<0时 双曲线的两支分别位于第二、第四象限；在每一个象限内，y随着x的增大而增大。 重中之重易错规定：不能直接表述 “ k>0时，y随x增大而减小 ” ，缺少 “ 在每个象限内 ” 的限定属于错误结论；当两个点分别在不同象限时，只需根据纵坐标正负即可比较大小，不可使用增减性判断。 ) ( （三） 反比例函数的对称性 1.中心对称性：图像关于原点中心对称。若点P(a,b)在反比例函数图像上，则它关于原点的对称点P'(-a,-b)也一定在该双曲线上。 2.轴对称性：图像有两条对称轴，分别为直线y=x与直线y=-x；若(a,b)在图像上，则(b,a)、(-b,-a)也在图像上。 （四） 比例系数k的几何意义（中考必考） 设点 C (x,y)是反比例函数y= (k ≠ 0)图像上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为 A 、 B ： 1.两条垂线与坐标轴围成矩形 ACB O，矩形面积S 矩形 =|xy|=|k|； 2.连接坐标原点O与点 C ，得到两个直角三角形，单个三角形面S △ = |k|。 注意：面积恒为正数，计算时必须添加绝对值，不能直接使用k本身计算。 （五） 函数值大小比较的通用方法 1.两点在同一象限：直接根据k的正负，利用增减性比较； 2.两点在不同象限：k>0时，一三象限内y恒为正；k<0时二四象限内y恒为负，正数一定大于负数； 3.通用万能法：将横坐标代入解析式，算出具体y值再比较，避免出错。 （六） 反比例函数与一次函数基础综合 1.   求两个函数交点：联立两个函数解析式组成方程组，方程组的实数解即为交点坐标；若方程组无解，说明两个图像无交点； 2.   若一次函数与反比例函数的两个交点同时存在，则两个交点关于原点中心对称； 3.   求解不等式kx+b> 的解集：观察图像，一次函数图像在双曲线上方对应的x取值，必须剔除x=0。 （七） 高频易错点汇总 1.   描述增减性遗漏 “ 在每个象限内 ” ，是本小节最常见错误； 2.   计算k的几何面积时忽略绝对值，因k为负数算出负面积； 3.   误认为双曲线能够与坐标轴相交，忽略x、y取值均不为0； 4.   跨象限两点比较函数值时强行套用单调性，造成判断错误； 5.   画图像时将双曲线的左右两支连成一条连续曲线。 （八） 常见考试题型 1.   基础判定：根据k正负判断图像所在象限、增减趋势； 2.   大小比较：给出多个点的横坐标，比较对应函数值的大小； 3.   面积计算：结合k的几何意义求矩形、三角形面积，或由面积反求k的值； 4.   图像辨析：同一坐标系内判断反比例与一次函数图像是否匹配； 5.   综合解答：求交点坐标、结合图像解不等式、几何面积综合大题。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025·南通通州区期末）关于反比例函数y=-，下列说法正确的是（ ） A. y随x增大而增大 B. 图像经过一、三象限 C. 点(1,-4)在函数图像上 D. 图像与坐标轴有交点 2.（2026·无锡惠山区一模）点A(-3,y1)、B(-1,y2)、C(2,y3)在y=上，则y1、y2、y3大小关系为（ ） A. y2<y1<y3 B. y1<y2<y3 C. y3<y1<y2 D. y2<y3<y1 3.（2026·徐州睢宁县三模）过反比例函数y=上一点M作坐标轴垂线，围成矩形面积为7，则k的值为（ ） A. 7 B. -7 C. ±7 D. 无法确定 4.（2026·盐城大丰一模）若y=(m-1)xm2-2是反比例函数，则m=（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 0 5.（2025·如皋实验初中期中）点(-2,y1)、(-0.5,y2)在y=-上，则（ ） A. y1>y2 B. y1<y2 C. y1=y2 D. 无法比较 6.如图，过原点的一条直线与反比例函数上（k≠0）的图像分别交于两点，若A点的坐标为，则B点的坐标为（　　） A. B. C. D. 7.如图，正比例函数y＝mx与反比例函数y＝ (m、n是非零常数)的图像交于A、B两点．若点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标是(　　) A.(－2，－4) B.(－2，－1) C.(－1，－2) D.(－4，－2) 8.如图，在平面直角坐标系中，已知，，，点为线段的中点．函数的图象经过点，交线段于点，则点的坐标为（    ） A. B. C. C. 9.如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（    ） A. B.或 C.或 D.或 10.已知一次函数y＝kx＋b，反比例函数y（kb≠0），下列能同时正确描述这两种函数大致图像的是（  ） A. B. C. D. 二．填空题（共30分） 11.（2025·如皋市期中）反比例函数y=图像在二、四象限，则m取值范围：______ 12.（2025·启东市期末）点(2,a)在y=图像上，则a=______ 13.（2026·盐城亭湖区二模）点P在y=-上，过P作x轴垂线，垂足为A，则△OPA面积=______ 14.（2026·无锡惠山三模）△AOB顶点A在y=上，AB⊥x轴，S△AOB=4，则k=______ 15.（2025·南通通州期末）点(a,4)与(-2,b)关于原点对称，且均在y=上，则k=______ 16.如图，和y＝x的图像，若一个数x大于它的倒数，可知x的取值范围是      ． 17.如图为反比例函数的图象，请写出满足图象的一个的值      ． 18.若点与点是正比例函数图像与反比例系数图像的两个不同的交点，则          ． 19.如图，过原点O的直线与反比例函数y＝的图像相交于点A(1，3)、B(x，y)，则点B的坐标为                ． 20.小明在研究某反比例函数的图象时，先选取了8个x的值，再分别计算出对应的y的值，列表如下： 经同桌小强检查，发现有一个y的值计算出现了错误，那么小明所研究的反比例函数中，      ． 三．解答题（共60分） 21.（2025·盐城亭湖期中）已知反比例函数图像过(-4,3) (1) 求函数表达式； (2) 当x=-2时，求y的值。 22. 如图，直线y=x+b与双曲线y= （k为常数，k≠0）在第一象限内交于点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点． （1）求直线和双曲线的表达式； （2）点P在x轴上，且△BCP的面积等于2，求P点的坐标． 23.（2026·徐州睢宁二模）直线x=4交y=于点P，作PQ⊥y轴于Q。 (1) 求P、Q坐标； (2) 求△OPQ面积； (3) 若点M(t,)在图像上，0<t<4，比较M、P纵坐标。 24.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y= (x>0)的图象和矩形ABCD在第一象限,AD平行于x轴,且AB=2,AD=4,点A的坐标为(2,6). (1)直接写出B,C,D三点的坐标; (2)若将矩形向下平移,使矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上,猜想这是哪两个点,并求出矩形的平移距离和反比例函数的解析式. 25.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）． （1）求k的值； （2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y= （k＞0，x＞0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离． 26.一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的面积． 27．我们学过一次函数的图象的平移，如：将二次函数y＝3x的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是y＝3(x＋2)－4.=3x+2 类比二次函数的图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换： (1)将y＝的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为________，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为_____________ _______； (2)函数y＝的图象可由y＝的图象向________平移________个单位得到；y＝的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到； (3)一般地，函数y＝(ab≠0，且a≠b)可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到 B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2025·南通通州期末）若ab<0，则反比例函数y=图像在（ ） A. 一、三象限 B. 二、四象限 C. 一、二象限 D. 三、四象限 2.（2026·无锡惠山一模）下列点不在y=-上的是（ ） A. (2,-3) B. (-2,3) C. (3,2) D. (6,-1) 3.（2025·如皋期中）已知x1<0<x2，点(x1,y1)、(x2,y2)在y=，则（ ） A. y1>y2 B. y1<y2 C. y1=y 2 D. y1+y2=0 4.（2026·徐州睢宁三模）矩形面积为10，长x，宽y，则y与x函数图像是（ ） A. 直线 B. 双曲线第一象限分支 C. 完整双曲线 D. 抛物线 5.（2025·启东期末）关于y=(k<0)，正确的是（ ） A. y随x增大而增大 B. 图像与直线y=x无交点 C. 图像上任意两点横纵坐标乘积相等 D. 图像关于x轴对称 6.如图，、两点在反比例函数的图象上，两点在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，，，，则的值是（    ） A.2 B.3 C.4 D.5 7.如图，已知正方形的面积为，它的两个顶点，是反比例函数的图象上两点．若点的坐标是，则的值为（    ） A. B. C. D. 8.若反比例函数图像如图，则图中阴影部分面积为（    ） A.4 B.3 C.2 D.1 9.如图，是反比例函数图像上两点，和都与坐标轴垂直，垂足分别为与交于点，则的面积为（   ） A.4 B.6 C.8 D.10 10.在同一平面直角坐标系中，函数与（其中m，n是常数，）的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共30分） 11.已知反比例函数的图像经过点，则这个函数的图像位于第   象限． 12.已知，是同一个反比例函数图象上的两点，若，且，则这个反比例函数的表达式为        ． 13.若点在一次函数的图象上，点P关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则k的值为        ． 14.已知和是反比例函数图像上的两点，则        ．（填“>”“<”或“=”） 15.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点（，，为常数）．若为轴上一点，的面积为3，则点的坐标为            ． 16.如图，A、B是双曲线上的两点，过点A作轴于点C，交于点D，且D为的中点，若的面积为4，点B的坐标为，则m的值为      ． 17.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与两个正比例函数图象交于A，B，C，D四点．若点B的坐标为，点A的纵坐标为6，则点C的坐标是       ． 18.在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是      ． 19.如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为      ． 20.如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图像分别经过B，C两点，则的面积为      ． 三．解答题（共60分） 21. 如图，正比例函数y1=-3x的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点. 点C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为12. （1）求k的值； （2）根据图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围. 22.如图，反比例函数，矩形OABC的顶点B的坐标为，仅用无刻度直尺，按下列要求作图． （1）在图①中，找到点，并作出点E关于原点的对称点F． （2）在（1）的前提下，在图②中，在反比例图像上找到点G，点H，使得点E，F，G，H构成的四边形正好为矩形． 23.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边在AD在x轴上，点B在第四象限，直线BD与反比例函数的图象交于点B、E． （1）求反比例函数及直线BD的解析式； （2）求点E的坐标． 24．（8分)如图，已知矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，且B（4，3），反比例函数的图象与BC交于点D，与AB交于点E，其中D（1，3）． （1）求反比例函数的解析式及点E的坐标； （2）求直线DE的解析式． 25.心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化． 开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散． 经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）： （1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到 26.在函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，并结合图像研究函数性质的过程，以下是兴趣小组研究函数性质及其应用的部分过程，请完成下列各小题． （1） ______； ______；并在图中补全该函数图像； （2）根据函数图像，下列关于该函数性质的说法． ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴为y轴． ②当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 其中正确的是______．（只填序号） （3）兴趣小组进一步探究：函数与函数的关系，请你在同一坐标系中画出函数的图像，结合你所画的函数图像完成下列问题． ①方程有______个解； ②直接写出不等式的解集为______．（保留1位小数，误差不超过0.2） 27.项目化学习 项目主题：探究杠杆平衡条件. 项目步骤：实验课上李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：自制了一个类似天平的仪器如图①，在左边固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在右边活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况． 试验数据： 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，…在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； （2）观察所画的图像，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式； （3）当活动托盘B与点O的距离为12.5cm时，求砝码的质量； （4）当活动托盘B往左移动（不能移动到点O）时，应往托盘B中添加还是减少砝码？___．（填写“添加”或“减少”） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $