2.3.3 点到直线的距离公式 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以点到直线距离公式为核心，通过基础应用-综合关联-拓展探究三层设计，实现从单一公式运算到几何综合问题解决的递进，适配新授课知识巩固与运算能力、推理意识的初步培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一公式直接应用|单选1直接套用公式求参数，填空9计算两点确定直线的距离，强化公式记忆与基本运算| |中档层|公式与直线位置关系综合|单选3结合直线过原点分类讨论距离相等条件，多选8动点距离问题体现几何直观，培养推理意识| |提升层|跨知识模块几何综合应用|解答12融合中线、角平分线知识求三角形面积，填空11探究距离最大值，发展综合应用与创新意识|

数学人教A版(2019)选择性必修第一册 2.3.3点到直线的距离公式 同步练习 一、单选题（每小题5分，共30分） 1.若点P(2,1)到直线1：3x+4y+b=0(b>0)的距离为4，则b=（) A.10 B.6 D.8 2.已知直线l1:x+2y+C=0与直线2：Ax+y+C=0交于点(1,1)，则原点O到直线l2 的距离的最大值为() A.5 3/5 B. 5 C.5 D.3 3.已知直线过原点O,且A(2,0),B(4,3)两点到直线的距离相等，则直线的方 程为() A.3x-2y=0 B.x-2y=0 C.x+y=0或3x-2y=0 D.3x-2y=0或x-2y=0 4.点A(1,3)到直线l:(2x+y-5)+m(x-2y)=0(m为任意实数)的距离的取值范围 是() A.[0,5] B.[0,5] c.[0,25] D.[0,V10] 5.已知A(-1,2),B(3,-2)两点到直线：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值为 () A.1 B.-1 C.±1 D.±2 6.已知点P(2,3)到直线！的距离为2，且直线在两坐标轴上的截距相等，则满足条 件的直线共有() 数学人教A版(2019)选择性必修第一册 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 二、多选题 7.已知平面内一点M(4,3),若直线上存在点P,使PM≤3，则称该直线为点 M(4,3)的”3域直线”。下列直线中是点M(4,3)的”3域直线”的是() A.3x-4y=0 B.y=1 C.x=8 D.x=7 8.已知两点A(-2,-1),B(2,4),点P是直线：y=x+2上的动点，则下列结论中正 确的是（) A.存在点P使PA|+|PB取得最小值 B.存在点P(O,2)使PA+PB取得最小值 C.存在点P使PA-PB取得最小值 D.存在点P使PA-|PBI取得最小值 三、填空题 9.在平面直角坐标系中，已知A(0,1,B(4,0),C(2,3),则点C到直线AB的距 离为 10.若P(m,n)为直线x+2y-4=0上的动点，则Vm+(n+12的最小值为 11. 已知点P(-2,-1),直线：(1+3入)x+(1+入)y-2-4入=0（入∈R,则点P到直线1 的距离的最大值为 数学人教A版(2019)选择性必修第一册 四、解答题（共37分） 12.(18分)已知△ABC的一个顶点为A(1,4),AB边上的中线CM所在直线的方 程为2x+y-3=0,∠ABC的平分线BH所在直线的方程为y=x。 (1) 求点B的坐标： (2) 求直线BC的方程和点C的坐标： (3) 求△ABC的面积。 13.(19分)已知△ABC的三个J顶点是A(3,2),B(1,0),C(4,-3)。 (1) 求BC边上的中线所在直线的方程： (2) 若直线2过点C,且点A,B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程； (3) 求点A关于直线：x+y~1=0的对称点A的坐标，并求直线y=2x关于 点A的对称直线的方程。 数学人教A版(2019)选择性必修第一册 参考答案与详细解析 一、单选题 1.答案：A 解析：根据点到直线的距离公式，点P(2,1)到直线3x+4y+b=0的距离为： d=3×2+4×1+b1-I10+b1=4 32+4 所以10+b1=20,即10+b=20或10+b=-20。 解得b=10或b=-30。 因为b>0,所以b=10。故选A。 2.答案：A 解析：将交点(1,1)代入l1:x+2y+C=0,得： 1+2×1+C=0→C=-3 代入l2:Ax+By-3=0,得A+2B=3。 原点0到直线2的距离为： d=10+0-3 3 A2+B A2+B A+B1+22A+2B-9,即A2+B≥号. 当且仅当子号即A=号B A、B =5时取等号。 ds 3-95 所以g9,即距离的最大值为5。故选A. V5 数学人教A版(2019)选择性必修第一册 3.答案：D 解析：分两种情况讨论： ①当直线I‖AB时： 4-2艺，又过原点，故1的方程为y=多x,即3x-2y=0 k 3-0_3 ②当直线过线段AB的中点时： A8的中点为M3,2引。kaw=克故的方程为y×,即x-2y-=0, 综上，直线l的方程为3x-2y=0或x-2y=0。故选D。 4.答案：B 解析：直线l的方程整理为：（(2x+y-5)+m(x-2y)=0 2x+y-5=0 令X-2y0,解得x=2,y=1,即直线恒过定点Q2,1 点A(1,3)到直线的距离d满足： ·当直线l过点A时，dnmn=0; 。当直线lLAQ时，dnmx=|AQ|。 |AQ1=(2-12+(1-37=1+4=5 所以距离的取值范围是[0，V]。故选B。 5.答案：C 解析：由点到直线距离公式，A、B到直线的距离分别为： d,=a+2+1=-a+3 Va2+1 a2+1 数学人教A版(2019)选择性必修第一册 d,-3a-2+1-3a-1 Va2+1 Va2+1 由d1=d2得3-a=3a-1,两边平方： (3-a2=(3a-12→9-6a+a2=9a2-6a+1 整理得8a=8,即a2=1,解得a=±1。故选C。 6.答案：C 解析：分两种情况讨论： ①当直线l在两坐标轴上的截距为0时： 设：y=kx,即k心-y=0。由点P(2,3)到l的距离为2： 12k-31=2 VK+1 平方得(2k-3=4(K+1,即4k2-12k+9=4k2+4,解得k= 12。 此时直线为5x-12y=0,共1条。 ②当直线在两坐标轴上的截距不为0时： 设l:x+y=a(a≠0)，即x+y-a=0。 12+3-al=2→15-al=2R2 2 解得a=5+22或a=5-2V2,对应2条直线。 综上，满足条件的直线共有1+2=3条。故选C。 二、多选题 7.答案：ABD 数学人教A版(2019)选择性必修第一册 解析：“3域直线”即与以M(4,3为圆心、半径r=3的圆有公共点的直线，等价 于圆心到直线的距离d≤3。 A.对于直线3x-4y=0: d=13x4-4x31=0=0≤3 32+(-45 故A是”3域直线”。 B.对于直线y=1:d=3-1=2≤3 故B是”3域直线”。 C.对于直线x=8:d=4-8=4>3 故C不是”3域直线”。 D.对于直线x=7:d=|4-7=3≤3 故D是”3域直线”。 综上，选ABD。 8.答案：AD 解析： A.点B(2,4)代入直线的方程：4=2+2，即B在直线上。 对于直线l上的动点P,有PA|+|PBI=|PA+|PB≥|ABL,当且仅当P与B重合时取等 号。 所以存在点P(2,4)使PA|+|PB取得最小值AB|。A正确。 B.设P(t,t+2),则： |PA2=(t+2)2+(t+32=2t+10t+13 1PB=(t-22+(t-22=2(t-2P=2t2-8t+8 |PA2+|PB2=4t2+2t+21 数学人教A版(2019)选择性必修第一册 当= 时取得最小值，此时P 1,7≠0,2)。 4’4 B错误。 C.由三角形两边之差小于第三边，|PA|PB|≥-|ABL。 因为B在直线！上，当P在直线l上沿远离A的方向运动时，IPA|-|PB|可以无限接近 -ABL,但无法取到(P=B时PA-|PB=|AB为最大值)。 故PA-PB没有最小值。C错误。 D.当P在AB的垂直平分线上时，|PA=|PB,此时IPA-PB|=0(最小值)。 a的中点为0，引s号- 3 4 故AB的垂直平分线斜率为5。 3_4 垂直平分线方程：y气 X。 8,y31 与y=x+2联立，解得X=5 18° 即存在交点P 531 1818 使PA-|PBI取得最小值0。D正确。 综上，选AD。 三、填空题 10V17 9.答案： 17 解析： 直线AB过点A(0,1,B(4,0,由截距式：￥+片=1 整理为一般式：x+4y-4=0。 点C(2,3到直线AB的距离：d=2+4x3-41=12+12-41=10-10五 12+42 17 17 17 数学人教A版(2019)选择性必修第一册 6V5 10.答案： 解析： m2+(n+1表示点P(m,n到定点Q(0,-1)的距离。 因为P(m,n)在直线x+2y-4=0上运动，所以Vm+(n+1)}2的最小值即为点Q到直线 的距离：dnmn 10+2×-1)-41_6_6V5 12+22 55 11.答案：V13 解析：将直线的方程整理为： (x+y-2)+λ(3x+y-4)=0 x+y-2=0 令3x+y-4=0解得x=1,y=1,即直线恒过定点Q(1,1。 点P(-2,-1)到直线的距离的最大值为PQ|(当11PQ时)： 1PQ=1+22+(1+17=V9+4=V13 四、解答题 12.解： (1) 因为点B在∠ABC的平分线BH:y=x上，故可设B(t,t)。 AB的中点为M 1+t4+t 2’2 又M在中线CM:2x+y-3=0上，代入得： 2.1+t+4+t.3=0 2 2 即(1+t)+4-3=0,两边同乘2： 2 2+2t+4+t-6=0→3t=0→t=0 所以B(0,0)。 数学人教A版(2019)选择性必修第一册 (2) 由角平分线的性质，点A关于角平分线BH:y=x的对称点A在直线 BC上。 A(1,4)关于y=x的对称点为A(4,1)。 -1-0-1 又B(0,0),所以kC=kBA=4-04 放直线BC的方程为y=存×，即x-4y-0。 联立20将x=4y代入第二个方：8y*y3=0=y号号 x-4y=0 4 所以C 41 3'3 (3》 直线AB过A(1,4),B(0,0),斜率kAB=4,方程为y=4x,即4x-y=0。 |AB=1-02+(4-02=/17 4×4.1 161 点C到直线AB的距离：d= 33 33 42+(-12 17917 S0d亚 5=5 172 13.解： (1) B1.0,c43故Bc的巾点为：兰，侵引 2+37 直线l过A(3,2)和M 22,斜率：k=22=7 5.3 3.51 -22 由点斜式：y-2=7x-3),整理得：7x-y-19=0 即BC边上的中线所在直线1的方程为7x-y-19=0。 数学人教A版(2019)选择性必修第一册 (2)》 分两种情况： ①当，AB时：k39=1,故的斜率1 又12过C(4,-3),方程为y+3=x-4,即x-y-7=0。 ②当2过AB的中点时：AB的中点为N(2,1),12过C(4,-3)和N(2,1), 斜率：k=+3=4=-2 2-4-2 方程为y+3=-2(x-4),即2x+y-5=0。 综上，直线l2的方程为x-y-7=0或2x+y-5=0。 (3) ①设A(x,yo)是A(3,2)关于l:x+y-1=0的对称点，则： yo-2=1 (AAL X0-3 x+3++2 2 1=0（中点在13上） 2 由第一个方程得y=x,1,代入第二个方程： x+3+x0-1+2-2=0→2x0+2=0→X0=-1 则yo=-2,所以A(-1,-2)。 ②设P(x,y)是直线y=2x关于点A(3,2)的对称直线上任意一点，则P关于A的对 称点P(6-x,4-y)在直线y=2x上。 所以4-y=2(6-x),整理得： 4-y=12-2x→2x-y-8=0 故所求对称直线的方程为2x-y-8=0。数学人教A版（2019）选择性必修第一册 2.3.3 点到直线的距离公式 同步练习 一、单选题（每小题5分，共30分） 1. 若点到直线的距离为，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知直线与直线交于点，则原点到直线的距离的最大值为（　　） A. B. C. D. 3. 已知直线过原点，且，两点到直线的距离相等，则直线的方程为（　　） A. B. C. 或 D. 或 4. 点到直线（为任意实数）的距离的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 已知，两点到直线的距离相等，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 6. 已知点到直线的距离为，且直线在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线共有（　　） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 二、多选题 7. 已知平面内一点，若直线上存在点，使，则称该直线为点 的”3域直线”。下列直线中是点的”3域直线”的是（　　） A. B. C. D. 8. 已知两点，，点是直线上的动点，则下列结论中正确的是（　　） A. 存在点使取得最小值 B. 存在点使取得最小值 C. 存在点使取得最小值 D. 存在点使取得最小值 三、填空题 9. 在平面直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________. 10. 若为直线上的动点，则的最小值为________. 11. 已知点，直线，则点到直线的距离的最大值为________. 四、解答题（共37分） 12.（18分） 已知的一个顶点为，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为。 1. 求点的坐标； 1. 求直线的方程和点的坐标； 1. 求的面积。 13.（19分） 已知的三个顶点是，，。 1. 求边上的中线所在直线的方程； 1. 若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； 1. 求点关于直线的对称点的坐标，并求直线关于点的对称直线的方程。 学科网（北京）股份有限公司 $