山西朔州市怀仁市第一中学校2026-2027学年高三上学期摸底考试数学试卷

怀仁一中2026～2027学年上学期高三年级摸底考试 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．已知，则“”是“过点有两条直线与圆相切”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则的值为 2 4 6 8 10 6 5 4 3 2 A． B． C． D． 5．已知向量，，与的夹角为，则 A．1 B． C．2 D． 6．记单调递增的等差数列的前项和为，若且，则 A．50 B．55 C．65 D．70 7．已知函数，则其图象大致是 A． B． C． D． 8．直线与双曲线交于，两点，线段的中点为，则直线的方程为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为，点在上，则 A．的坐标为 B．若，则 C．若，则 D． 10．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 A． B．的图象关于点对称 C．将的图象向右平移个单位长度后所得函数图象与的图象重合 D．若的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小值为 11．已知和分别为函数的极小值点和极大值点，则 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若展开式共有11项，则展开式中的常数项为___________． 13．已知，，且（为正整数），则___________． 14．如图，点，，，均在球的表面上，，，，平面平面，则球的体积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量与平行． （1）求A； （2）若，，求的面积． 16．（本小题满分15分） “每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子．”一科研单位为了解员工的爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取100名员工男女各半进行了问卷调查，得到了如下列联表： 男性 女性 总计 爱好 30 不爱好 10 总计 100 （1）请将上面的列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验，分析爱好运动与性别是否有关； （2）若从这100人中的不爱好运动的人中随机抽取2人参加体育培训，记抽到的男性人数为X，求X的分布列、数学期望． 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 17．（本小题满分15分） 设． （1）求函数的单调递增、递减区间； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 18．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，平面平面，，，且． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 19．（本小题满分17分） 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，坐标原点到直线的距离为，的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过椭圆右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点． （ⅰ）求面积的最大值以及此时直线的方程； （ⅱ）若直线，分别与轴交于，两点，证明：为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀仁一中2026~2027学年上学期高三年级摸底考试・数学 参考答案、提示及评分细则 1．A 2．D 3．A 4．D 5．D 6．C 7．B 8．B 9．BD 10．ABD 11．AC 12．45 13．1 14． 15．解：（1）因为，所以， 2分 由正弦定理，得， 4分 又，从而，由于，所以； 6分 （2）由余弦定理，得，而，，， 8分 得，即，因为，所以， 11分 故的面积为． 13分 16．解：（1） 男性 女性 总计 爱好 30 40 70 不爱好 20 10 30 总计 50 50 100 3分 零假设为：爱好运动与性别相互独立，即爱好运动与性别无关， 由已知数据可求得 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断成立， 即爱好运动与性别无关，由此推断犯错误的概率不大于0.01． 7分 （2）的取值可能为0，1，2． ，，， 所以的分布列为 13分 0 1 2 14分 的数学期望为 ． 15分 17．解：（1），令， 即，解得或， 3分 所以当时，，为增函数； 当时，，为减函数； 当时，，为增函数． 5分 所以的递增区间为和； 的递减区间为． 7分 （2）当时，恒成立，只需使，的最大值小于即可． 由（1）可知，， 11分 所以在的最大值为，所以． 所以实数的取值范围为． 15分 18．（1）证明：由题意，则， 1分 因为，，所以，， 2分 因为平面平面，平面平面，且，平面， 所以平面， 4分 因为平面，所以， 5分 且，，平面，所以平面， 6分 又平面，所以平面平面； 7分 （2）解：如图，以为原点，，分别为轴，轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 9分 所以，，，， 11分 设平面的法向量， 则，令，得， 13分 设平面的法向量， 则，令，得， 15分 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 17分 19．解：（1），，所以， 1分 因为坐标原点到直线的距离为，所以①， 2分 又因为的面积为，所以，即②， 3分 由①②及得，，，所以椭圆的方程为：； 4分 （2）（ⅰ）由（1）知焦点的坐标为， 因为直线的斜率不为0，则可设直线的方程为， 5分 联立方程组，消去，得， 6分 ， 设，，则，， 7分 ， 8分 令，则， 当且仅当时，等号成立，即面积的最大值为． 10分 令，解得，所以此时直线的方程为或； 11分 （ⅱ），直线的方程为：， 令，所以，则； 13分 直线的方程为：， 令，所以，则； 15分 所以 ， 所以为定值，且定值为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $