精品解析：上海市静教学院附属学校2025-2026学年第二学期七年级期末考试数学试卷

静教院附校2025学年第二学期七年级数学期末考试 （考试时间90分钟 满分100分） 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分，下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上） 1. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列命题中，真命题是（ ） A. 两个全等三角形一定关于某条直线对称； B. 在同一平面内，一条线段有且仅有一条垂直平分线； C. 腰长对应相等的两个等腰三角形全等； D. 两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等． 4. 在中，，且是的3倍，那么该三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 5. 已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. “与的3倍的和不小于5”，根据题意列出的不等式是__________． 8. 已知，关于的不等式的解集是________． 9. 如图，已知，交于点，，那么的度数是________． 10. 命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是_____命题．（填入“真”或“假”） 11. 一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则______． 12. 如图，在中，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接．以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接．若，则的周长为_____． 13. 如图，在的格子图里，在格点上有、、、、五个点，联结，，，，则________（填“”、“”、“”中的一个） 14. 某城市一种共享单车的收费标准是：前15分钟收1.5元，往后每15分钟收1元，不满15分钟按15分钟算．一位同学电话手表中现有5元钱，在不欠费的前提下他用这些钱最多能骑行这种单车_______分钟． 15. 如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角，其中正确的有________（只填序号）． 16. 如图，已知点、、在外部，，，图中与线段一定相等的线段是___________． 17. 新定义：一个不等式组的解集为，则称为的解集平均数．若的解集平均数是不等式（组）的解，即解集平均数满足．则称不等式（组）共享不等式组A的解集平均数．现已知关于的不等式（组）：共享不等式组：的解集平均数．那么的取值范围是________________． 18. 如图，在中，，，将绕点旋转得到，点、对应点分别为、，线段交边于点．连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是________． 三、解答题（本大题共2题，满分16分） 19. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 20. 中超联赛一共三十轮，积分规则是胜一场得分，平一场得分，负一场得分，同分的情况下胜场多的排名靠前．现在有一张第六名到第八名被污渍影响的积分表； 名次 队名 场次 胜 平 负 积分 队 队 队 （1）你能否从该表格中的信息求得队的积分为多少？ （2）请你列式计算一下队可能会有几场胜场． 四、简答题（本大题共5题，满分42分） 21. 如图，，，．求证：． 22. 在长和宽分别为6和4的长方形（如图）中作一个等腰，使它的一边为长方形的一边，另一个顶点在长方形的边上．用尺规作图的方法作出所有形状不同的等腰，并直接写出所作的三角形面积． （1）___________； （2）___________； （3）___________； （4）___________ 23. 已知：如图，在中，的平分线交边于点，，垂足为，与相交于点．，． （1）求证：； （2）求证：点在边的垂直平分线上． 24. 如图，已知在中，，是边上的中线，点为边上一点，与交于点，，交的延长线于点． （1）如果平分，，求的度数； （2）如果点是边中点，连接，求证：． 25. 沪教版七年级下册数学教材第17章《三角形》中，我们证明了一个结论：如图1，如果、分别是的内角、的平分线，那么． 数学学习小组的同学们利用以上结论继续开展问题研究： （1）问题1：如图1，已知、分别是的内角、的平分线，设，那么的度数为（ ） A．；B．；C．；D． （2）问题2：如图2，在中，平分交于点，，垂足为，如果，，，求的面积． 小红：这道题也有角平分线，是否可以用以上的结论呢？ 小胜：我们研究的问题是两条内角平分线所成的角和第三个内角的关系，但是这里只有一条角平分线． 小聪：可以通过添加辅助线，使得图形中出现两条角平分线！ 如果你是该学习小组的一员，以上讨论对你是否有启发？请继续完成问题2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静教院附校2025学年第二学期七年级数学期末考试 （考试时间90分钟 满分100分） 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分，下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上） 1. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．取，，满足，但，故A不一定成立； B．当时，不成立，故B不一定成立． C．∵，∴，∴，故C一定成立． D．∵，∴，∴，故D不成立． 2. 以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，选取每组线段中较小的两条边求和，与最长边比较大小，可快速判断能否组成三角形． 【详解】解：A选项，，不能组成三角形，不符合题意． B选项， ，不能组成三角形，不符合题意． C选项，，不能组成三角形，不符合题意． D选项，，能组成三角形，符合题意． 3. 下列命题中，真命题是（ ） A. 两个全等三角形一定关于某条直线对称； B. 在同一平面内，一条线段有且仅有一条垂直平分线； C. 腰长对应相等的两个等腰三角形全等； D. 两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题、全等三角形的性质与判定、垂直平分线的性质、平行线的性质，依次判断选项即可． 【详解】解：A、全等三角形仅形状大小完全相同，位置无特殊要求，不一定关于某条直线对称，是假命题； B、同一平面内，线段的中点唯一，过中点且垂直于该线段的直线唯一，故一条线段有且仅有一条垂直平分线，是真命题； C、腰长对应相等的两个等腰三角形，顶角不一定相等，不满足全等判定条件，不一定全等，是假命题； D、只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，未说明两直线平行时同位角不一定相等，是假命题． 4. 在中，，且是的3倍，那么该三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出和的度数即可． 【详解】解：∵是的3倍， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是直角三角形． 5. 已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，等边对等角，根据题意可证明，，再结合全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 添加条件，则，即，则可利用证明，故A不符合题意； 添加条件，则可利用证明，故B不符合题意； 添加条件，不可以利用证明，故C符合题意； 添加条件，则可利用证明，故D不符合题意； 故选：C． 6. 如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. “与的3倍的和不小于5”，根据题意列出的不等式是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】拆解题目语句，先得到对应代数式，再根据“不小于”的含义列不等式． 【详解】解：由题意得． 8. 已知，关于的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】先合并同类项整理不等式，再根据未知数系数的正负，确定系数化为1时不等号的方向，最终求解集． 【详解】解：整理原不等式 ，合并同类项得 ， ∵ ， ∴ ， ∵ 不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变， ∴ ． 9. 如图，已知，交于点，，那么的度数是________． 【答案】 ##67度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及邻补角，先根据平行求出，再利用邻补角即可求得． 【详解】解：， ， ． 10. 命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是_____命题．（填入“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【详解】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查了命题的真假性，解决此题的关键是会写出原命题的逆命题． 11. 一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则______． 【答案】43°##43度 【解析】 【分析】利用三角形的外角性质求出∠3，再利用平行线的性质求出∠4，最后利用三角形的内角和定理求出∠2． 【详解】解：由题意知：∠E＝∠F＝45°，AB∥CD， ∵∠1＝47°， ∴∠3＝∠1＋∠E＝47°＋45°＝92°， ∵AB∥CD， ∴∠4＝92°， ∴∠2＝180°−∠F−∠4＝180°−45°−92°＝43°， 故答案为：43°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，灵活运用各性质定理是解决本题的关键． 12. 如图，在中，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接．以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接．若，则的周长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】直接利用基本作图方法得出垂直平分，，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：由基本作图方法得出：垂直平分，则， ， ， ， ， 的周长为：， 13. 如图，在的格子图里，在格点上有、、、、五个点，联结，，，，则________（填“”、“”、“”中的一个） 【答案】 【解析】 【分析】取格点，连接，先求出，再证出，进而得出是等腰直角三角形，则，由此即可得． 【详解】解：如图，取格点，连接， 由网格可知，，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 14. 某城市一种共享单车的收费标准是：前15分钟收1.5元，往后每15分钟收1元，不满15分钟按15分钟算．一位同学电话手表中现有5元钱，在不欠费的前提下他用这些钱最多能骑行这种单车_______分钟． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了有理数的四则运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 根据题意可得，前15分钟收1.5元，依次往后可以行驶3个15分钟，总共花费4.5元，即可求解最多行驶时间． 【详解】解：由题意得，（分钟）， 故答案为：60． 15. 如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角，其中正确的有________（只填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了内错角、同位角及同旁内角的判断，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据内错角、同位角及同旁内角的性质逐一判断即可． 【详解】解：与是内错角，①正确； 与是同位角，②正确； 与是同旁内角，③正确； 故答案为：①②③． 16. 如图，已知点、、在外部，，，图中与线段一定相等的线段是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．证明，得出即可． 【详解】解：∵在和中 ， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 新定义：一个不等式组的解集为，则称为的解集平均数．若的解集平均数是不等式（组）的解，即解集平均数满足．则称不等式（组）共享不等式组A的解集平均数．现已知关于的不等式（组）：共享不等式组：的解集平均数．那么的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式组得到其解集，根据新定义求出的解集平均数，再根据共享的定义，保证两个不等式组都有解，且平均数满足的不等式，联立求解得的取值范围． 【详解】解：先解不等式组：， 解第一个不等式得，解第二个不等式得， 不等式组要有解， ， 解得， 此时的解集为， 根据定义计算的解集平均数：， 不等式组：要有解， ， 解得， 根据共享定义，是的解， 因此满足：， 解左边的不等式， 两边同乘得， 解得， 解右边的不等式， 两边同乘得， 解得， 将所有条件取交集，最终得． 18. 如图，在中，，，将绕点旋转得到，点、对应点分别为、，线段交边于点．连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是________． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据旋转性质可得，，，，设旋转角，用表示的三个内角，分类讨论为等腰三角形的情况求出，进而求出，利用求解即可. 【详解】解：在中，，， ， 将绕点旋转得到， ，，，，，  设旋转角，则， ， ， 线段交边于点， ，且点在线段上， ， ， 在中，，， 是等腰三角形， 分三种情况讨论： 当时，， 则，解得， ②当时，， 则，解得； ③当时，， 则，无解， ，， ， ， ，射线在内部 ， ， 当时，， 当时，； 综上所述，的度数是或. 三、解答题（本大题共2题，满分16分） 19. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 故原不等式组的解集为， 解集在数轴上表示略． 20. 中超联赛一共三十轮，积分规则是胜一场得分，平一场得分，负一场得分，同分的情况下胜场多的排名靠前．现在有一张第六名到第八名被污渍影响的积分表； 名次 队名 场次 胜 平 负 积分 队 队 队 （1）你能否从该表格中的信息求得队的积分为多少？ （2）请你列式计算一下队可能会有几场胜场． 【答案】（1）36 （2）8、9、10、11 【解析】 【分析】（1）根据题意先计算队平的场次，再根据积分规则计算总积分； （2）设队的胜场为，则平场为，为正整数，根据排名情况列出不等式，求解的取值范围，再分情况讨论得到队的胜场情况． 【小问1详解】 解：由题意得，队平的场次为：（场）， 队的积分为（分）． 【小问2详解】 解：由题意得，队的胜场与平场共场，队的积分为分， 设队的胜场为，则平场为，为正整数， 根据排名规则，可得， 解得，且为正整数． 当时，队的积分为（分）， 此时与队同分，但胜场少，不符合题意，舍去； 当时，队的积分为（分），符合题意； 当时，队的积分为（分），符合题意； 当时，队的积分为（分），符合题意； 当时，队的积分为（分）， 此时与队同分，因胜场比队少，符合题意． 故队可能有8、9、10、11场胜场． 四、简答题（本大题共5题，满分42分） 21. 如图，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，进而根据即可证明． 【详解】略 22. 在长和宽分别为6和4的长方形（如图）中作一个等腰，使它的一边为长方形的一边，另一个顶点在长方形的边上．用尺规作图的方法作出所有形状不同的等腰，并直接写出所作的三角形面积． （1）___________； （2）___________； （3）___________； （4）___________ 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）作线段（长方形的长）的垂直平分线，交的对边于点C，则； （2）以A为圆心，（长方形的长）长为半径画弧，交的对边于点C，则； （3）作线段（长方形的宽）的垂直平分线，交的对边于点C，则； （4）以A为圆心，（长方形的宽）长为半径画弧，交的邻边于点C，则． 【小问1详解】 解：以A、B为圆心，大于3长为半径，分别在线段上下画弧，两组弧各交于一点，连接两组弧的交点画出线段的垂直平分线，向上交于点C， 连接，，则，所以即为等腰三角形； 底，高为4， ； 【小问2详解】 以A为圆心，6为半径画弧，交于点C， 连接，，则，所以即为等腰三角形； 底，高为4， ； 【小问3详解】 以A、B为圆心，大于2长为半径，分别在线段左右画弧，两组弧各交于一点，连接两组弧的交点画出线段的垂直平分线，向右交于点C， 连接，，则，所以即为等腰三角形； 底，高为6， 【小问4详解】 以A为圆心，4为半径画弧，交于点C， 连接，则，所以即为等腰三角形； 底，高为4， ． 23. 已知：如图，在中，的平分线交边于点，，垂足为，与相交于点．，． （1）求证：； （2）求证：点在边的垂直平分线上． 【答案】（1）证明：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知，， ，， ， ∴， ， ，即， ， 点在边的垂直平分线上． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线和三角形内角和得出，再用等腰三角形的判定证明即可； （2）根据等腰三角形的判定证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，已知在中，，是边上的中线，点为边上一点，与交于点，，交的延长线于点． （1）如果平分，，求的度数； （2）如果点是边中点，连接，求证：． 【答案】（1） （2）证明：如图，连接， 由（1）得， 又， ， ，， ，是边上的中线， 是的角平分线， ， ，即； 点是边中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由等边对等角得，由三线合一得，再由三角形外角的性质求解； （2）先证，由平行线的性质得，，由三线合一得是的角平分线，等量代换得出；证明，推出，再证，即可证明． 【小问1详解】 解：中，，， ， 平分， ， ，是边上的中线， ， ， ． 【小问2详解】 略 25. 沪教版七年级下册数学教材第17章《三角形》中，我们证明了一个结论：如图1，如果、分别是的内角、的平分线，那么． 数学学习小组的同学们利用以上结论继续开展问题研究： （1）问题1：如图1，已知、分别是的内角、的平分线，设，那么的度数为（ ） A．；B．；C．；D． （2）问题2：如图2，在中，平分交于点，，垂足为，如果，，，求的面积． 小红：这道题也有角平分线，是否可以用以上的结论呢？ 小胜：我们研究的问题是两条内角平分线所成的角和第三个内角的关系，但是这里只有一条角平分线． 小聪：可以通过添加辅助线，使得图形中出现两条角平分线！ 如果你是该学习小组的一员，以上讨论对你是否有启发？请继续完成问题2． 【答案】（1）D （2）15 【解析】 【分析】（1）直接根据材料的结论推导即可； （2）在的延长线上取点，使得，根据题意即可推出，然后证明，由全等三角形的性质可知，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，在的延长线上取点，使得， 则、分别是的内角、的平分线， ∴； ∵， ∴， 由（1）可知，，即为的边上的高， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $