精品解析：上海市民办兰生复旦中学2021-2022学年七年级下学期期末复习数学作业：第十四章 三角形

第十四章 三角形 一、知识要点 1、三角形的有关概念 （1）三角形的相关概念；三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边． （2）三角形的内角和，三角形的内角和为180度． 2、全等三角形 （1）全等三角形的概念和性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （2）全等三角形的判定：S.A.S，A.S.A，A.A.S，S.S.S，HL． 3、等腰三角形 （1）等腰三角形的性质：等边对等角，三线合一． （2）等腰三角形的判定：等角对等边． （3）等边三角形 二、例题精选 1. 如图，已知在中，，是高，是中线，是的角平分线，求证：． 【答案】证明：∵是的角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据是的角平分线，可得，再由是高以及，可得，根据直角三角形的性质可得，从而得到，进而得到，即可求证． 【详解】略 2. 如图，已知在中，，，是上的一点，，，求证：． 【答案】证明：连接， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】连接，由三角形内角和定理得出，，由等角对等边得出，证明，即可得出，进而可得出． 【详解】略； 3. 如图所示，在中，，是的平分线．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查等腰全等三角形判定及性质，角平分线性质，等腰三角形判定及性质．要证，而三者没有直接的关系，首先进行等线段转化，而已知条件中出现，因此考虑构造等腰三角形，再利用边的关系出角的关系即可得到本题答案． 【详解】证明：如图所示，在上截取，连接， ， ∵是的平分线， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4. 如图，是的中线，是的中线，。求证：。 【答案】证明： 延长AC到点F，使AC＝CF，连接DF， ∵AC是△ABD的中线， ∴BC＝DC． ∵∠ACB＝∠FCD， 在△ABC和△FDC中 ∴△ABC≌△FDC（SAS）． ∴∠B＝∠FDC，DF＝BA， 又∵BA＝BD，AD是△ABE的中线， ∴∠BAD＝∠BDA，DF＝DE， ∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝∠FDC+∠BDA＝∠ADF， 在△ADE和△ADF中 ∴△ADE≌△ADF（SAS）， ∴AE＝AF＝2AC． 【解析】 【分析】延长AC到点F，使AC＝CF，连接DF，根据SAS证明△ABC≌△FDC，可得∠B＝∠FDC，DF＝BA，再由SAS证明△ADE≌△ADF，可得结论． 【详解】略． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，构造辅助线是解本题的关键． 5. 如图，分别以的边为边向外作等边，分别为的中点，求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵分别为的中点， ∴， ∵均是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，设交于点P，交于点K， 由（1）得：， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）连接，根据三角形中位线定理可得，再证明，可得，即可求证； （2）设交于点P，交于点K，根据，可得，再由是等边三角形以及三角形外角的性质可得，然后根据三角形中位线定理可得，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 6. 如图，已知在中，，，平分，交于，，求证：． 【答案】证明：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】过点作于点，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等得，再根据角平分线的定义和等角的余角相等的性质得到，所以，再证明和全等，然后根据全等三角形对应边相等可以得到，都减去即可得到． 【详解】略 7. 如图，已知中，，，在的延长线上取一点，使得，在的延长线上取一点，使得，试判断是什么三角形，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由如下： 如图，过点作，垂足为点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】过点作，垂足为点，先利用直角三角形角所对直角边等于斜边的一半，求得，进而求得，，得到，可证得，得到，即可说明． 【详解】略 8. 已知O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝135°，试问： （1）以OA，OB，OC为边能否构成一个三角形？若能，求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由； （2）如果∠AOB的大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA，OB，OC为边的三角形是一个直角三角形？ 【答案】（1）能，各角是50°、55°、75°；（2）∠BOC=150°或 【解析】 【分析】（1）以OC为边作等边△OCD，连AD，证明△BCO≌△ACD，可得△OAD是以线段OA，OB，OC为边构成的三角形，再分别求解每个内角的大小即可； （2）先求解∠OAD=50°，再分两种情况讨论，当∠AOD是直角时，当∠ADO是直角时，再分别求解即可. 【详解】解：（1）以OC为边作等边△OCD，连AD． ∵△ABC是等边三角形 ∠BCO+∠ACO=60°，∠ACD+∠ACO=60°， ∴∠BCO=∠ACD ∴△BCO≌△ACD（SAS） ∴OB=AD，∠ADC=∠BOC 又∵OC=OD ∴△OAD是以线段OA，OB，OC为边构成的三角形 ∵∠AOB=110°，∠BOC=135° ∴∠AOC=115° ∴∠AOD=115°-60°=55° ∵∠ADC=135° ∴∠ADO=135°-60°=75° ∴∠OAD=180°-55°-75°=50° ∴以线段OA，OB，OC为边构成的三角形的各角是50°、55°、75°． （2）∠AOB+∠AOC+∠BOC=∠AOB+∠AOC+∠ADC =∠AOB+（∠AOD+∠DOC）+（∠ADO+∠CDO） =∠110°+（∠AOD+60°）+（∠ADO+60°）=360° ∴∠AOD+∠ADO=130° ∴∠OAD=50° 当∠AOD是直角时，∠AOD=90°，∠AOC=90°+60°=150°，∠BOC=100°； 当∠ADO是直角时，∠ADC=90°+60°=150°，∠BOC=150°． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的定义，掌握以上基础知识是解题的关键. 9. 与是有公共顶点的两个等边三角形，将绕点顺时针旋转至以下各位置： （1）如图1，当在下方时，说明． （2）如图2，当在边上时；如图3，当在内时；如图4，当在边上时；如图5，当时，还成立吗？请一一说明理由． 【答案】（1）证明：与是等边三角形， ，，， 则，即． 在和中： ， ． （2）证明：仍然成立，以下分情况证明： ①当在边上时（图2）： 与是等边三角形， ，，， 在边上， 在边上． ， ． ②当在内时（图3） 与是等边三角形， ，，， 则，即． 在和中： ， ． ③当在边上时（图4）： 与是等边三角形， ，，，即． 在和中： ， ． ④当时（图5） 与是等边三角形， ，，， 则，即． 在和中： ， ． 【解析】 【分析】（１）因为与都是等边三角形，进而利用等边三角形的性质推导出，并证明，随后得到． （２）方法同（１），先证明，随后得到． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 三、基本练习 10. 已知等腰三角形的顶角是，求一腰上的高与底边的夹角． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义和三角形内角和定理得出，由题意可知，最后再由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：根据题意如下图， ∵， ∴， ∵， ∴． 11. 如图，已知在等边中，，求证：也是等边三角形． 【答案】证明：等边， ，， ， ， ， ， 也是等边三角形． 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质，易证，得到，即可得证． 【详解】略 12. 如图，已知为等腰直角三角形的延长线上一点，，的延长线交于，求证：． 【答案】证明：等腰直角三角形， ，， 又， ， ， ， ， 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，易证，进而得出，即可得证． 【详解】略 13. 如图，已知在中，，，，交于，求证：． 【答案】证明：取中点，连接并延长至点，使，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】取中点，连接并延长至点，使，连接，证明，得出，，导角求出，证明，得出，则，根据等边对等角求出，则，根据等角对等边得出，即可得证. 【详解】略 14. 如图，已知在中，都是中点，，，，，求证：． 【答案】证明：连接，，，倍长中线到点，倍长中线到点，连接，． 是中点且是中点， ，， 在和中， ， ， ，， ． ， 在和中， ， ， ． ，， ． 是中点且是中点， ，, 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． ，， ． ，， ， ，， ，， 根据三角形内角和为，， ，即， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】通过倍长中线法、全等三角形判定和线段的等量代换完成证明． 【详解】略 15. 如图，在中，，于点D，点M是BC的中点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】取AC的中点N，连接MN，DN．由已知及三角形中位线定理DM=MN，从而问题解决． 【详解】取AC的中点N，连接MN，DN， ∵M为BC的中点， ∴MN为△ABC的中位线， ∴，且AB＝2MN， ∴∠B＝∠NMC． ∵∠B＝2∠C， ∴∠NMC＝2∠C． ∵DN为Rt△ADC斜边上的中线， ∴DN＝NC， ∴∠MDN＝∠C． ∴∠NMC＝∠MDN＋∠MND＝2∠MDN， ∴∠MND＝∠MDN， ∴DM＝MN， ∴AB＝2DM． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质等知识，由中点作中线或三角形中位线是常作的辅助线． 16. 如图，已知在中，，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，然后利用等边对等角和三角形内角和定理得到，，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴． 17. 如图，已知在中，，AD是BC边上的高，AE是的平分线，求证：． 【答案】证明见解析. 【解析】 【详解】试题分析：根据三角形内角和定理以及AD是BC边上的高，求得∠BAD=90°-∠B，再根据AE平分∠BAC，求得∠BAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-∠B-∠C，最后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD即可求解． 试题解析：∵AD是BC边上的高， ∴∠BAD=90°-∠B． ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-∠B-∠C． ∵∠DAE=∠BAE-∠BAD， ∴∠DAE=（90°-∠B-∠C）-（90°-∠B）=∠B-∠C=（∠B-∠C）． 18. 如图，已知在中，，，是的中点，为的中点，求证：． 【答案】证明：如图，连接、，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 同理可证，， ， 为的中点， ． 【解析】 【分析】连接、，过点作交的延长线于点，先证明，再证明，得到，同理可证，，则，再利用等腰三角形三线合一的性质求证即可． 【详解】略 四、补充练习 19. 如图，已知在中，是的平分线，，垂足为，是的中点，求证：． 【答案】证明：如图，延长交于点，连接、， 是的平分线，， ，， 又， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， 和是同底三角形， 和在底边上的高相等，即点、到的距离相等， ， ． 【解析】 【分析】延长交于点，连接、，证明，再根据三角形中线平分三角形面积，得出，则，即可得证． 【详解】略 20. 如图，已知，，和交于，且，求证：． 【答案】证明：如图，在上取点，使得， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】在上取点，使得，由平行线的性质，得出，，再结合三角形内角和定理，得出，则，进而推出，得到，再利用三角形外角的性质求证即可． 【详解】略 21. 如图，已知在中，，，是中线，求证：是等边三角形． 【答案】证明：∵是中线， ∴，即， ∵， ∴， 如图，在的延长线上截取，连接， ∴，， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】根据已知条件得到，在的延长线上截取，连接，得到，得到，由等腰三角形的判定得到，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】略 22. 如图，已知在中，，为外一点，，，求证：． 【答案】证明：作点关于的对称点，连接、， ， 则，，，， ∴， ∴、、在同一条直线上， ∴是等边三角形， ∴， ∴. 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接、，则，求出，可证明、、在同一条直线上，是等边三角形，即可得证. 【详解】略 23. 如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC，求证：BC=BD+AD． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由题作辅助线证明△ABD≌△EBD得∠F=80，再证明△DCE≌△DCF（AAS）进而得以证明． 【详解】如图，在BC上截取BE=BA，延长BD到F使BF=BC，连接DE、CF． ∵∠1=∠2，BD是公共边，BE=BA， ∴△ABD≌△EBD ∴∠DEB=∠A=100°，则得∠DEC=80° ∵AB=AC，BD平分∠ABC ∴∠1=∠2=20°，∠3=40° ∵BC=BF，∠2=20°， ∴∠F=∠FCB=（180°-∠2）=80°，则∠F=∠DEC ∴∠4=80°-∠3=40°， ∴∠3=∠4，∠F=∠DEC， 又∵DC=DC， ∴△DCE≌△DCF（AAS） ∴DF=DE=AD ∴BC=BF=BD+DF=BD+AD． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，这是一道一题多解的证明题，不仅考查了三角形的性质，也考查同学们的动手作图能力，应该掌握． 24. 已知在中，是的平分线，，是的中点，，交的延长线于，交的延长线于，求证：． 【答案】证明：延长至G，使，连结、，延长交于H． ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】延长至G，使，连结、，延长交于H． 由三角形中位线的判定定理和性质得出，进而可得出，证明，得出，再证明，得出，由三角形外角的定义和性质结合已知条件得出，由等角对等边得出，进而可得出． 【详解】略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 三角形 一、知识要点 1、三角形的有关概念 （1）三角形的相关概念；三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边． （2）三角形的内角和，三角形的内角和为180度． 2、全等三角形 （1）全等三角形的概念和性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （2）全等三角形的判定：S.A.S，A.S.A，A.A.S，S.S.S，HL． 3、等腰三角形 （1）等腰三角形的性质：等边对等角，三线合一． （2）等腰三角形的判定：等角对等边． （3）等边三角形 二、例题精选 1. 如图，已知在中，，是高，是中线，是的角平分线，求证：． 2. 如图，已知在中，，，是上的一点，，，求证：． 3. 如图所示，在中，，是的平分线．求证：． 4. 如图，是的中线，是的中线，。求证：。 5. 如图，分别以的边为边向外作等边，分别为的中点，求证： （1）； （2）． 6. 如图，已知在中，，，平分，交于，，求证：． 7. 如图，已知中，，，在的延长线上取一点，使得，在的延长线上取一点，使得，试判断是什么三角形，并说明理由． 8. 已知O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝135°，试问： （1）以OA，OB，OC为边能否构成一个三角形？若能，求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由； （2）如果∠AOB的大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA，OB，OC为边的三角形是一个直角三角形？ 9. 与是有公共顶点的两个等边三角形，将绕点顺时针旋转至以下各位置： （1）如图1，当在下方时，说明． （2）如图2，当在边上时；如图3，当在内时；如图4，当在边上时；如图5，当时，还成立吗？请一一说明理由． 三、基本练习 10. 已知等腰三角形的顶角是，求一腰上的高与底边的夹角． 11. 如图，已知在等边中，，求证：也是等边三角形． 12. 如图，已知为等腰直角三角形的延长线上一点，，的延长线交于，求证：． 13. 如图，已知在中，，，，交于，求证：． 14. 如图，已知在中，都是中点，，，，，求证：． 15. 如图，在中，，于点D，点M是BC的中点．求证：． 16. 如图，已知在中，，，，求的度数． 17. 如图，已知在中，，AD是BC边上的高，AE是的平分线，求证：． 18. 如图，已知在中，，，是的中点，为的中点，求证：． 四、补充练习 19. 如图，已知在中，是的平分线，，垂足为，是的中点，求证：． 20. 如图，已知，，和交于，且，求证：． 21. 如图，已知在中，，，是中线，求证：是等边三角形． 22. 如图，已知在中，，为外一点，，，求证：． 23. 如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC，求证：BC=BD+AD． 24. 已知在中，是的平分线，，是的中点，，交的延长线于，交的延长线于，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $