第1章 一元二次方程 单元测试 2026-2027学年青岛版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学一元二次方程单元卷，立足单元复习，通过基础概念辨析、实际问题解决及跨文化素材，全面考查概念理解、运算推理与模型构建，适配数学眼光、思维与语言核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程概念、根的判别式、实际应用|结合赵爽几何解法（第8题）、古算趣题（第9题），渗透文化传承| |填空题|6/18|根的性质、代数式求值、几何面积问题|第14题矩形花园设计，体现几何直观与模型意识| |解答题|8/72|方程解法、根与系数关系、增长率/利润问题|21题头盔销售利润问题关联社会热点，22题配方法阅读理解培养推理能力，24题根与系数关系应用提升综合思维|

第1章 一元二次方程（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、根据下表判断方程的一个解的取值范围是（    ） … … … … A． B． C． D． 3、一元二次方程的二次项系数是2，下列说法错误的是（    ） A．是它的一个根 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 4、已知关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（    ） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5、若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6、某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（    ） A． B． C． D． 7、某学校组织一次篮球赛，采取双循环的比赛形式，即每两个球队之间都比赛两场，计划组织支球队参加，安排12场比赛，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8、我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方田注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记数的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（   ） A． B． C． D． 9、古算趣题：“愚人持竿欲入门，怎奈门框把竹阻，横余五尺竖余三，焦急无措泪潸潸．有位邻居智慧高，教其斜竿对两角，愚人依言行一试，不多不少正合适，试问竿长是几何，能解此题我点赞．”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多5尺，比门高多3尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过．若设竹竿的长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 10、某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4时，则输入的x值是（    ） A． B．2或 C．2或 D．2 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 12、若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为 ． 13、若方程的一个根为a，则代数式的值为 ． 14、在一块长、宽的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，小颖给出了如图所示的设计方案，为了求出图中的x，可列方程 ． 15、若，则的值为 ． 16、关于x的一元二次方程有两个实数根，若，则 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-20，每题8分, 21-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 18、解方程： (1)； (2)． 19、已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为，，且满足，求的值． 20、如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则几秒后的面积为？ 21、公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 22、【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1） 小明配方的依据是 ． A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值 ． 23、已知是关于x的一元二次方程． (1)若，则该方程的两个实数根分别为______和______； (2)若该方程有两个不相等的实数根， ①当两根之差为时，求m的值； ②当m为正整数，且两根均为整数时，求m的值． 24、阅读材料：材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：，n是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个实数根为，，则______，______． (2)已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)已知实数s，t满足，且，求的值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 一元二次方程（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，是分式方程，不是一元二次方程； ③，含有两个未知数，不是一元二次方程； ④，是一元二次方程． ∴是一元二次方程的有2个． 2、根据下表判断方程的一个解的取值范围是（    ） … … … … A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴当时，一定有一个x对应的值，使得， ∴一元二次方程的一个解x的取值范围是， 3、一元二次方程的二次项系数是2，下列说法错误的是（    ） A．是它的一个根 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 【答案】B 【详解】将原方程化为一般形式：． A、当时，左边，成立，选项A正确； B、一次项系数为，选项B错误； C、常数项为1，选项C正确； D、当时，左边，成立，选项D正确． 4、已知关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（    ） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：一元二次方程可化简为， 则， 所以，方程有两个不相等的实数根， 5、若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 6、某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：一月份营业额为200万元， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， ∴第一季度总营业额为． 7、某学校组织一次篮球赛，采取双循环的比赛形式，即每两个球队之间都比赛两场，计划组织支球队参加，安排12场比赛，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：∵双循环比赛总场次为， ∴ ， 即 ， 因式分解得 ， ∴ ，（舍去）， ∴， 8、我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方田注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记数的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程，即的拼图如图所示： ， 中间小正方形的边长为，其面积为，四个矩形的面积为，大正方形的面积为：， 结合大正方形的面积等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，可得，因此， 9、古算趣题：“愚人持竿欲入门，怎奈门框把竹阻，横余五尺竖余三，焦急无措泪潸潸．有位邻居智慧高，教其斜竿对两角，愚人依言行一试，不多不少正合适，试问竿长是几何，能解此题我点赞．”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多5尺，比门高多3尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过．若设竹竿的长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为设竹竿长为x尺，由题意可知门宽为尺，门高为尺． ∴可列方程为：． 10、某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4时，则输入的x值是（    ） A． B．2或 C．2或 D．2 【答案】A 【详解】解：∵当输出的值为4时， ∴当时，，不符合题意； 当时，解得． ∴当输出的值为4时，则输入的x值是． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】 【详解】解：将代入方程，得 ， ， ， 解得或． 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 故答案为：． 12、若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为 ． 【答案】2 【详解】解：关于的一元二次方程的两个根互为相反数， ， 解得：， 的值为． 故答案为：． 13、若方程的一个根为a，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】∵是方程的一个根， ∴， 即． 代数式， 代入， 得． 故答案为． 14、在一块长、宽的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，小颖给出了如图所示的设计方案，为了求出图中的x，可列方程 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 15、若，则的值为 ． 【答案】2 【详解】解：令，则：， 原等式可化为：， 整理，得：， 解得：， ∵， ∴，即：； 故答案为：． 16、关于x的一元二次方程有两个实数根，若，则 ． 【答案】2 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， 又∵， 当时，，符合题意， 当时，，不合题意，舍去， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-20，每题8分, 21-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 18、解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1） 解得，； （2） 解得，． 19、已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】(1)见详解 (2)或 【详解】（1）证明：，，， ， ， ， 无论为何值时，方程总有两个不相等实数根． （2）解：由，得，， ， ， ， 解得：，， 或． 20、如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则几秒后的面积为？ 【答案】2秒或4秒 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． 21、公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)50 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 22、【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1） 小明配方的依据是 ． A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值 ． 【答案】（1）A；（2）；（3）4． 【详解】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 23、已知是关于x的一元二次方程． (1)若，则该方程的两个实数根分别为______和______； (2)若该方程有两个不相等的实数根， ①当两根之差为时，求m的值； ②当m为正整数，且两根均为整数时，求m的值． 【答案】(1)，； (2)①6；②5或8． 【解析】（1）解：时，原方程变形为， 解得，； 故答案为：，； （2）根据题意得． 解得， ①设方程的两个为α，β， 根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 即m的值为6； ②∵， ∴， ∵且m为整数， ∴当或时，方程的两根均为整数， 解得或， 即m的值为5或8． 24、阅读材料：材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：，n是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个实数根为，，则______，______． (2)已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)已知实数s，t满足，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵的两个实数根为m，n， ∴， ∴； （3）解：∵实数s，t满足，且， ∴是的两个根， ∴， ∴． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $