精品解析：江苏省兴化中学2026-2027学年高三上学期8月开学考试数学试题

2 0 2 6 - 2 0 2 7 学 年 高 三 秋 学 期 开 学 考 试 数 学 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷及答题卡的规定位置. 2. 作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在 答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意. 1. 样本数据2，1，3，9，7，5，6的中位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】把原数据2，1，3，9，7，5，6，排序后得到1，2，3，5，6，7，9. 该样本共有7个数据，中位数是排序后位于正中间的第个数据，对应数值为5. 2. 已知是平面内的一组基底向量.与都不共线且，则不能为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线求解即可； 【详解】若，则，此时与共线，矛盾. 当取时，都无法表示为或的数乘形式，与都不共线，符合条件. 因此不能为0. 3. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由于， ， 故，， 因此． 4. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出导数，利用导数的几何意义求出斜率，利用点斜式得到切线方程. 【详解】， 将代入导数，得到切线斜率， 又切点和斜率， 则曲线在处的切线方程为， 整理得，故选项C正确. 5. 抛物线的焦点和抛物线的焦点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为， 故两焦点之间的距离． 6. 已知函数的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调性，利用单调性求最值. 【详解】， 当时， ，即时， ，则单调递增， ，即时，，则单调递减， 则在处取得最大值，且， 因为最大值为，所以解得. 当时， ，即时，，单调递增， ，即时，，则单调递减， 则在处取得最小值，无最大值，故舍去. 当时， ，不满足条件，故舍去. 综上可知，，故选项A正确. 7. 北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块.每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块.则每层的环数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式与等差数列前项和公式及性质分析求解即可. 【详解】设每层共有环，各环石板数构成等差数列， 其中首项为，公差， 所以每环石板数为：， 由题意可得：上、中、下三层的石板总数分别为：， 又下层石板总数比中层多729块，所以， 即， 化简得：，解得：. 8. 设集合为平面中点构成的集合，.从中随机取一个点(不包含)，该点与构成的直线与轴平行的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设中随机取一个点，且点不与点重合， 若直线与轴平行，则，可知， 设样本空间为，直线与轴平行为事件A， 则，， 所以该点与构成的直线与轴平行的概率为. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题不止一个选项符合题意.全 部选对得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分. 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】按共轭、模、平方、实数判定四个定义逐个代入 检验即可. 【详解】A选项：已知，根据共轭复数的定义可得：.故A正确； B选项：由，故B错误； C选项：由，故C错误； D选项：由，故D正确. 10. 已知圆，圆，圆.、的圆心分别记为、， 直线与圆、、均有两个交点，则（ ） A. 圆的半径为 B. C. D. 直线可以是 【答案】ABC 【解析】 【详解】圆的圆心为，半径为，故A正确； 圆的圆心为，半径为，故B正确； 圆的圆心为，半径为， 则，故C正确； 因圆的圆心到直线的距离， 则直线与圆相离，没有公共点，所以直线不可以是，故D错误. 11. 半径为的球壳（球壳厚度不计）中可以装入（ ） A. 半径为的球 B. 边长为的正方体 C. 底面半径和高均为的圆柱 D. 底面半径和高均为的圆锥 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用球体、正方体、圆柱、圆锥的结构特征逐项分析即可. 【详解】对于A，半径为的球，则球的直径为， 而已知的球壳的半径为，则直径为， 因为，半径为的球可以装入球壳，故A正确； 对于B，边长为的正方体的体对角线为：， 而已知的球壳的直径为， 因为，所以不能装入边长为的正方体，故B错误； 对于C：对于底面半径和高均为的圆柱，其轴截面如图所示： 则最宽处为的长，由， 同时底面圆直径为，高为都小于已知的球壳的直径， 所以能装入底面半径和高均为的圆柱，故C正确； 对于D，圆锥母线长为：， 同时底面圆直径为，高为都小于已知的球壳的直径， 所以能装入底面半径和高均为的圆锥，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡对应横线上. 12. 椭圆的离心率为___________. 【答案】## 【解析】 【详解】由椭圆方程可知其长半轴长，短半轴长为， 则椭圆的半焦距，故其离心率为. 13. 已知函数的最大值为，则___________； 若，则____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】应用正弦函数值域得出，再结合特殊角正弦值计算求解. 【详解】函数的最大值为，且，则，则；  若，则. 14. 等差数列前项和，对且，设，存在，使得．则以为首项，为公比的等比数列前三项和取得最大值时，___________． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据求出数列的通项公式，进而写出的表达式，利用的条件可求出和的所有可能值，最后利用等比数列求和公式即可得到答案． 【详解】当时，， 又当时，，故通项为， 对，， 存在，使得，故是正偶数， 因此只能，此时，等比数列前三项和为， 综上，满足条件的仅有3，故前三项和取得最大值时． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中， 分别为的中点， （1）证明：平面 （2）设直线与平面所成的角为， 求长度. 【答案】（1）证明：在 中，、 分别为 、 中点， 由三角形中位线定理得：. 又 平面 ，平面 ， 根据线面平行的判定定理，可得平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理求证即可； （2）根据线面角的定义及勾股定理即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为几何体为直三棱柱，所以侧棱 底面 , 由线面角定义：斜线 与平面 所成角为其射影 与 的夹角，即 , 在 中，， 故 为等腰直角三角形，, 由于 ，， 根据勾股定理：, 又因为 为 中点，所以 . 16. 已知中 ，. （1）求的长度； （2）设点在延长线上，且满足.求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理解三角形即可； （2）根据同角三角函数关系，求出，再根据余弦定理解三角形，根据正弦定理求出结果即可. 【小问1详解】 由余弦定理， 代入已知数据，得 故. 【小问2详解】 由，且，所以， 由，得. 在中，根据余弦定理：， 即，得. 由正弦定理可知， 所以. 17. 某场篮球比赛每次投篮后有三种情况：命中篮筐后根据命中难度记或分，未命中则不计分.设某选手命中得分的概率为，命中得分的概率为. 各次命中与否、命中得分相互独立.每场比赛的值恒定. （1）当时，求该选手某次投篮后未命中的概率； （2）某选手得分的概率为，命中得分的概率为，各次命中与否、命中得分相互独立.赛制要求选手两人轮流投篮，先得分者获胜.首次投篮为或的概率为. （i）在选手经过次投篮恰好每次都命中并获得分的条件下，求的数学期望. （ii）结合具体的值，计算说明先手方是否总是具有更大的获胜可能性. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）在区间内，先手方不总是具有更大的获胜可能性 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件的概率公式计算即得； （2）（i）依题先求出一次投篮命中三分、一分的概率，判断满足总分为分的全命中次数的可能值有2，4，6三个，分别求出对应的概率值，累加得到经过次投篮恰好每次都命中并获得分的总概率，再求出条件分布率，进而求数学期望即可；（ii）分别在给定区间内取和计算的单次得分期望，由此分析获胜的总概率，可得若某人实力较强，则他即使后手也可能胜算大，所以先手方并不总是具有更大的获胜可能性. 【小问1详解】 由题意，投篮结果有：3分（概率为）、1分（概率为）与不中三种，它们两两互斥，概率和为1. 则某次投篮后未命中的概率为，因，则； 【小问2详解】 （i）由题意“在选手经过次投篮恰好每次都命中并获得分的条件下” 则一次投篮命中三分的概率，命中一分的概率 满足总分为分的全命中次数的可能值有2，4，6三个. 则，， 故经过次投篮恰好每次都命中并获得分的总概率为 由于我们要求条件分布列，所以真实的情况为： ，， 则数学期望为 (ii)依题意，的单次得分期望为，的单次得分期望为， 设, 显然函数在上单调递增，且, 则当时，恒成立，即恒成立， 即当时，的期望得分更高.而赛制是第一次投篮为或的概率为， 故最终获胜的总概率为， 如果的实力强于，那么无论谁先手，的胜率都大，的总体获胜概率大于， 反之，如果的实力强，则的总体获胜概率大于 结论：在区间 内，如果某人实力较强，他即使后手也可能胜算大，所以先手方并不总是具有更大的获胜可能性. 18. 已知双曲线，椭圆，椭圆的焦距为，长轴长为. （1）求双曲线的离心率； （2）设直线与存在两个交点、，求面积的最大值； （3）设直线与、的总交点数恰有个，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的基本性质，求出参数的值，进而写出双曲线的方程，求出离心率即可； （2）联立椭圆和直线方程，根据弦长公式求出弦长，根据点到直线距离公式，求出高，写出三角形面积公式，构造函数，根据函数导数求出单调性，判断面积最大值； （3）分别联立椭圆和直线方程，双曲线和直线方程，根据韦达定理，判断各自交点个数对应的参数范围，分析有两个交点时的不同情况，判断参数范围即可. 【小问1详解】 由椭圆条件可知，解得，，解得， 所以，解得， 则双曲线为，化简得， 可得双曲线参数为，， 则离心率 . 【小问2详解】 直线，椭圆 ， 联立方程组得，消去得， 设，可知， 根据韦达定理可得， 所以弦长公式， 原点到直线距离为， 则面积 ， 令，则， 令，则， 可知当时，，在定义域内单调递减， 所以， 即当时，可得. 【小问3详解】 联立直线与双曲线：，消去得， 则， 当时，即，解得，即， 当时，即，解得，即， 当时，即，解得，即， 联立直线和椭圆，消去得， 所以， 当时，即，解得，即， 当时，即，解得，即， 当时，即，解得，即， 情形1：椭圆0个，双曲线2个， ，即，解得， 情形2：椭圆1个，双曲线1个， ，即，此时无解， 情形3：椭圆2个，双曲线0个， ，即，解得， 综上所述. 19. 设非常数函数的导函数为，且.对任意实数，恒有 （1）求； （2）设，证明：对任意恒成立； （3）证明：对任意实数，都有； （4）设是方程的两个不同实根，且. 证明：对任意都有 . 【答案】（1） （2）固定，等式两边同时对求导， 得 令得 为未知常数， 结合 ，得 ; 设 ，证明： 对任意 恒成立 由 ，得 对任意实数 ： ， 因此，.故 ，，得证. （3）证明：对任意实数 ，都有 即证： 就是证明： 换元令 ，就要证： 二次函数，开口向上，对称轴： 最小值在 处： 在定义域 上最小值为 ， 所以命题“对任意实数， 都有”得证. （4）证明：移项整理： ， 解得， 即证：对任意 都有， 就是证：对任意 都有 ， 由于 ，所以， 即， 命题对任意 都有显然成立！ 所以命题“对任意 都有”得证. 【解析】 【分析】（1）根据函数性质利用赋值法求解即可； （2）根据等式对求导，赋值法求出，再得出配方可得证； （3）转化为，利用换元法及二次函数的性质得证； （4）由题意转化为对任意 都有，利用分析法即可得证. 【小问1详解】 令等式中 ，代入 ，得 , 得到两种可能： 或 . 先令 ，得 若 ：无矛盾； 若 ： ，由于 是常数函数，与题目条件矛盾； 故 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2 0 2 6 - 2 0 2 7 学 年 高 三 秋 学 期 开 学 考 试 数 学 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷及答题卡的规定位置. 2. 作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在 答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意. 1. 样本数据2，1，3，9，7，5，6的中位数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是平面内的一组基底向量.与都不共线且，则不能为 （ ） A. B. C. D. 3. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的焦点和抛物线的焦点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 7. 北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块.每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块.则每层的环数是（ ） A. B. C. D. 8. 设集合为平面中点构成的集合，.从中随机取一个点(不包含)，该点与构成的直线与轴平行的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题不止一个选项符合题意.全 部选对得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分. 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，圆，圆.、的圆心分别记为、， 直线与圆、、均有两个交点，则（ ） A. 圆的半径为 B. C. D. 直线可以是 11. 半径为的球壳（球壳厚度不计）中可以装入（ ） A. 半径为的球 B. 边长为的正方体 C. 底面半径和高均为的圆柱 D. 底面半径和高均为的圆锥 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡对应横线上. 12. 椭圆的离心率为___________. 13. 已知函数的最大值为，则___________； 若，则____________. 14. 等差数列前项和，对且，设，存在，使得．则以为首项，为公比的等比数列前三项和取得最大值时，___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中， 分别为的中点， （1）证明：平面 （2）设直线与平面所成的角为， 求长度. 16. 已知中 ，. （1）求的长度； （2）设点在延长线上，且满足.求. 17. 某场篮球比赛每次投篮后有三种情况：命中篮筐后根据命中难度记或分，未命中则不计分.设某选手命中得分的概率为，命中得分的概率为. 各次命中与否、命中得分相互独立.每场比赛的值恒定. （1）当时，求该选手某次投篮后未命中的概率； （2）某选手得分的概率为，命中得分的概率为，各次命中与否、命中得分相互独立.赛制要求选手两人轮流投篮，先得分者获胜.首次投篮为或的概率为. （i）在选手经过次投篮恰好每次都命中并获得分的条件下，求的数学期望. （ii）结合具体的值，计算说明先手方是否总是具有更大的获胜可能性. 18. 已知双曲线，椭圆，椭圆的焦距为，长轴长为. （1）求双曲线的离心率； （2）设直线与存在两个交点、，求面积的最大值； （3）设直线与、的总交点数恰有个，求的取值范围. 19. 设非常数函数的导函数为，且.对任意实数，恒有 （1）求； （2）设，证明：对任意恒成立； （3）证明：对任意实数，都有； （4）设是方程的两个不同实根，且. 证明：对任意都有 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $