江苏省兴化中学2026-2027学年高三上学期开学模拟考试数学试题

**基本信息** 2026-2027高三开学数学试卷，通过基础与创新融合的题型，全面检测函数、几何、概率等核心知识，适配开学学情诊断，体现高考对数学思维与应用能力的考查趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、向量、数列、立体几何等|第8题构造函数考查导数应用，体现数学思维的推理能力| |多选|3/18|三角函数、直线与圆、函数性质|第11题通过抽象函数解析式探究，考查数学眼光的抽象能力| |填空|3/15|排列组合、二项式定理、集合与最值|第14题结合集合与整数性质求最值，体现数学语言的模型意识| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、概率统计、椭圆、导数新定义|17题概率统计结合产品交换情境，19题新定义“有序和谐函数”，考查数学应用与创新意识，呼应高考综合题型趋势|

2026-2027学年度秋学期高三开学考试 数学 考试时间：120 分钟 满分：150 分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分 选择题（共 58 分） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1.设全集，集合，，则 A. B. C. D. 2.若复数满足，则的虚部为 A. B. C. D. 3.平面内不共线单位向量，，，，则下列三点共线的是 A. B. C. D. 4.已知等差数列公差，成等比数列，，则 A. B. C. D. 5.大圆锥底面半径为 4，用平行于底面的平面截出小圆锥底面半径 2、高 3，则剩余圆台侧面积为 A. B. C. D. 6.函数在仅有两个零点，则的最小值为 A. B. C. D. 7.椭圆左顶点，在椭圆上且关于原点对称，直线斜率乘积为，则椭圆离心率为 A. B. C. D. 8.定义在上非负可导函数满足，任意，必有 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选得 0 分。 9.已知，下列说法正确的是 A.最大值为 B.最小正周期为 C.在单调递增 D.不是的对称轴 10.动直线交圆于两点，圆心为，下列结论正确的是 A. 直线过定点 B.取最小值时 C.最小时， D.最大值为 11.连续函数满足：，且，则 A. B.不存在最小值 C. D. 第二部分 非选择题（共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.从 6 名教师中选若干人值 3 天假期班，每天 1 人，同一教师不能连续两天值班，则全部值班安排共有_______种。 13.已知二项式系数和等于，则展开式含项的系数为_______。 14.现有9 个正整数，记（任取 8 个数的和构成集合），已知，则这 9 个数中最大值与最小值之和为_______。 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13 分） 已知内角对边分别为，且满足。 (1) 求角； (2) 若，，求边长。 16.（15 分） 在四棱锥中，底面为矩形，，为中点，底面。 (1) 求证：平面； (2) 若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值。 17.（15 分） 甲、乙两盒各装有 12 件产品，甲盒含 5 件次品，乙盒含 4 件次品。 (1) 从甲盒随机不放回抽取 5 件，设次品数为，求的分布列与数学期望； (2) 随机交换甲乙盒中 3 件产品后，分别从两盒各随机取 3 件，设取出的 6 件产品中次品总数为，求； (3) 甲乙两人轮流有放回抽取，规则：甲先从甲盒抽取；抽到次品得 1 分并继续抽，抽到正品立刻换对方抽取另一盒。求前 12 轮结束后，甲乙两人得分期望值之差。 18.（17 分） 椭圆经过中的两点。 (1) 求椭圆标准方程； (2) 椭圆左、右焦点。椭圆光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线，经椭圆反射后必过另一焦点。设在椭圆第三象限，光线经椭圆反射得到直线；直线交椭圆另一交点，直线交椭圆另一交点，交替操作得到点列。 (i) 记直线的斜率为，证明数列是等比数列，并求其公比； (ii) 记的面积为，证明：。 19.（17 分） 定义：若定义在上的可导函数满足对恒成立（为常数），则称三者为一组 “有序和谐函数”。 (1) 若，，为 “0 有序和谐函数”，写出一个符合条件的； (2) 设，，，求所有实数，使三者为 “有序和谐函数”； (3) 已知，，是 “2 有序和谐函数”，且对恒成立，证明：函数存在零点。 2026-2027学年度秋学期高三开学模拟考试 数学参考答案与解析 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题（每题5分，共40分） 1.解析：， 交集 答案： 2.解析： 结合复数标准形式为，得虚部为。 答案： 3.解析： 即与共线，又两向量有公共端点，故三点共线。 答案： 4.解析：等差数列前 9 项和。 由成等比数列：。 设首项，公差，则 展开第二个式子： 化简：，，得。 代入：，。 。 答案： 5.解析：圆锥平行底面截取，相似比 = 底面半径比，高之比。 小圆锥高，则大圆锥高。 大圆锥母线 小圆锥母线 圆台侧面积 = 大圆锥侧面积小圆锥侧面积： 答案： 6.解析：令， 仅有两个零点，即与在区间有 2 个交点， 得。 由正弦曲线对称性，两交点横坐标满足， 即： 所以 设，是关于的一次增函数，定义域。 当时取最小值： 答案： 7.解析：设，由原点对称得，左顶点。 斜率乘积： 由椭圆方程变形：， 代入上式： 椭圆离心率： 答案： 8.解析：构造辅助函数， 求导，得 由条件，，故，在单调不减。 ，交叉相乘得。 答案： 二、多项选择题（每题6分，共18分） 9.解析：由二倍角公式： A.值域，最大值为，正确； B. 最小正周期，正确； C.，在递增、递减，整体不单调，错误； D. 代入，，函数值，非最值，直线不是对称轴，正确。 答案： 10.解析： A. 直线整理，令， 所以定点为，选项错误； B. 圆心，定点在圆内，最短弦满足。 ，直线斜率为，垂直斜率乘积：，选项正确； C.，圆半径。 最短弦长。 余弦定理： 选项正确； D.，由平面向量几何性质：。 为直径，最大值，选项正确。 答案： 11.解析： 求函数解析式： 令，； 令，，验证成立； 令，，，得； 设二次函数，； 代入，对比系数得， 解析式： A.，选项错误； B. 二次函数开口向下，图像向下无限延伸，无最小值，选项正确； C. 对任意整数，代入可验证等式成立，选项正确； D.，。 对称轴，在单调递减。 ，故，选项错误。 答案： 三、填空题（每题5分，共15分） 12.解析：3 天值班，教师不能连续两天同一人，仅两种人员分配情况： 情况 1：选 2 名教师值班，一人值第 1、3 天，另一人值第 2 天。 步骤：先选 2 人，分配谁值首尾，总数； 情况 2：选 3 名教师值班，每天不同人，无连续重复。 排列数； 总安排数：。 13.解析：二项式所有二项式系数和，奇数项二项式系数和。 ，故。 通项公式： 令。 系数： ，，。 14.解析：设 9 个正整数总和为，任取 8 个数的和为，共 9 个取值。 集合仅有 8 个元素，说明 9 个取值中有且仅有 1 个重复，设重复值为。 将 9 个取值全部相加： 中 8 个数字和：，故。 是 8 的倍数，，故能被 8 整除。 ，仅满足是 8 的倍数。 。 最小为，对应最大数； 最大为，对应最小数； 最值之和：。 四、解答题(共77分) 15.（13 分） (1) 由正弦定理，原式化为： ， 两边除以 又因为，故。 (2) ，，则： ， 由差角公式： 根据正弦定理，： 化简根式： 所以 16.（15 分） (1) 证明： 由于底面是矩形，所以； 又因为为中点， 故，且。 所以四边形一组对边平行且相等，为平行四边形， 因此。 又因为平面，平面， 由线面平行判定定理得平面。 (2) 解析： 建空间直角坐标系，设，则。 以为原点，为轴，为轴，过作平行的直线为轴： 。 ① 平面：向量 设法向量， 则有方程组 取，得。 ② 平面：向量 设法向量， 则有方程组 取，得。 锐二面角余弦值取两法向量夹角余弦绝对值： 17.（15 分） (1) 服从超几何分布，总体，次品数，抽取样本量，取值。 根据概率公式： 计算总组合数： 0 1 2 3 4 5 超几何分布期望公式： (2) 交换产品不改变甲乙两盒总次品数量：。 设交换后甲盒次品数，乙盒次品数，恒有。 设从甲取 3 件次品数，乙取 3 件次品数，。 单盒超几何抽取期望，。 由期望线性性： (3) 定义一轮：一人从开始抽取到抽到正品为止。前 12 轮甲、乙各进行 6 轮。 甲单次抽取（甲盒）：，设单轮期望得分。 递推关系：第一次正品得 0 分；第一次次品得 1 分后重新开始本轮： 整理，得。 乙单次抽取（乙盒）：， 单轮期望： 12 轮得分期望差： 18.（17 分） (1) 在椭圆上，代入得，。 关于轴对称，若两点同时在椭圆， 代入： 验证满足方程， 故椭圆标准方程为 （2）(i) 设过定点的直线，联立椭圆： 代入得。 设交点，左顶点， 斜率， 计算斜率乘积， 得 直线过右焦点，： 直线过左焦点，： 两式作比消去： 为定值，故是等比数列，公比。 (ii) 焦点间距，面积。 由直线联立韦达定理与等比斜率关系，得， 递推： 由于在椭圆上，纵坐标满足， 故，得证。 19.（17 分） (1) ，求导。 代入 “0 有序和谐函数” 定义， 得 ，约去得。 积分得，取，一个解：。 (2) 求导，得 ； ； 。 代入和谐条件： 提取负号： 利用积化和差展开，合并含项与常数项。 含项系数必须为 0，得，即。 代入验证常数项，仅满足等式，解集为 (3) 代入和谐定义，，： 结合链式求导， 代入： 两边除以： 令，则。 由，得，故，在上严格单调递增。 ① 取充分大正数： ，存在使。 ； ② 取充分小负数： ，存在使。 ； 可导则必连续，由零点存在定理：，使得，即存在零点。证毕。 学科网（北京）股份有限公司 $