精品解析：江苏省黄埭中学2023-2024学年第二学期第一次阶段练习高一数学

江苏省黄埭中学2023-2024学年第二学期第一次阶段练习高一数学 （满分150分，120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：由公式可得结果. 详解： 故选B. 点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题. 2. 在中，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积运算律计算即可. 【详解】由题意可知， 所以，即的形状是直角三角形. 故选：C 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，利用两角差的余弦公式展开求解即可. 【详解】因为，，所以 . 故选：A 4. 在平行四边形中，是线段的中点，则（ ） A. 1 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：A 5. 已知函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角公式以及二次函数的性质求解. 【详解】由于， 由于，故当时，取最小值， 故选：C 6. 在中，，BC边上的高等于,则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设 ,故选C. 考点：解三角形. 7. 已知是的外心，，，则（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形外心的性质，结合数量积的几何意义以及数量积运算律，即可求得答案. 【详解】如图，O为的外心，设为的中点， 则, 故 , 故选：A 8. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（ ） A. 为定值 B. 当时，为定值 C. 的取值范围是 D. 的最大值为12 【答案】D 【解析】 【分析】过作直径，利用向量加减几何意义得判断A；根据垂直关系及、数量积得运算律化简判断B；若为中点，连接，应用向量线性运算的几何意义及数量积的运算律、圆的性质得，进而求范围判断C；由弦的最大值判断D. 【详解】如图，过作直径，依题意， 为定值，A正确； 若，则， 则， 又，则，同理可得，故，B正确； 若为中点，连接，则 ， 由题意，则，C正确； 因为，则有，D错误. 故选：D 【点睛】关键点睛：根据定义及向量线性运算的几何意义，结合数量积的运算律转化各项数量积或乘积关系，再由圆的性质、基本不等式判断各项正误. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则的大小可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先展开已知等式，结合正切和角公式推导的取值，得到的通式，再逐一验证选项是否符合. 【详解】因， 整理可得：， 则，故， 根据选项，可知时，A正确，时，D正确，B，C均不符合题意. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 若，则 C. 若，与垂直的单位向量只能为 D. 若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】对A：根据模的运算公式代入计算，利用二次函数性质即可判断；对B：利用向量垂直的坐标运算性质即可判断；对C：举反例即可判断；对D：根据向量夹角是钝角，得到且向量与向量不反向共线，即可判断． 【详解】对A：，则当时，取最小值1，故A正确； 对B：若，则，解得，故B正确； 对C：若,，易知也是与垂直的单位向量，故C错误； 对D：若与的夹角为钝角，则， 且向量与向量不反向共线，即，解得且，故D错误； 故选：AB． 11. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，，则为等边三角形 C. 若点是边上的点，且，则的面积是面积的 D. 若分别是边中点，点是线段上的动点，且满足，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由单位向量，向量垂直判断A,由夹角公式及模长判断B,由平面向量基本定理确定M位置判断C, 由三点共线及平面向量基本定理将表示为t的二次函数求最大值判断D. 【详解】对A, 分别表示与 同向的单位向量， 由平面向量加法可知： 为 的平分线表示的向量， 由，可得 的平分线与垂直， 故是等腰三角形，故A正确； 对B, 由题意，, 则，，故， 又，则，即， 故为等边三角形，故B正确； 对C, 若点是边上的点，设， 则，即， 结合，知，则点是边上的靠近B的三等分点， 则的面积是面积的，故C错误； 对D，如图所示： 因为 在 上，即，， 三点共线， 设， 又因为，所以， 因为，则，， 令， 时， 取得最大值为．故D正确． 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，关键是利用三点共线及平面向量基本定理表示为t的二次函数解决D选项. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos 2A＝________. 【答案】 【解析】 【分析】利用降次公式、二倍角公式、诱导公式化简求得所求表达式的值. 【详解】 由于，所以. 故答案为： 13. （多空题）已知函数的最小正周期为，当时，方程恰有两个不同的实数解，则______，______． 【答案】 ①. ## ②. 1 【解析】 【分析】利用倍角公式辅助角公式及周期求出，利用图象的对称性即可求解. 【详解】函数 由，可得， ． 画出的图象，如图： 结合图象知， 则． 故答案为：， 14. 某数学探索馆中“圆与非圆--搬运”的教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧上的一点，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知， 所以， 所以， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知向量m＝（，－），n＝（sin x，cos x），x∈（0，）. （1）若m⊥n，求tan x的值； （2）若m与n的夹角为，求x的值． 【答案】（1）tan x＝1 （2）x＝. 【解析】 【详解】解：（1） 因为m＝（，－），n＝（sin x，cos x）， 若m⊥n.则m·n＝0，即sin x－cos x＝0， 所以sin x＝cos x，所以tan x＝1. （2） 因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos ＝， 即sin x－cos x＝，所以sin （x－）＝. 因为0＜x＜，所以－＜x－＜，所以x－＝，即x＝. 16. 在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边与单位圆分别相交于点P，Q，已知点P（，）. （1）求的值； （2）若，求sinβ的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）由三角函数定义可得cosα，sinα，再代入求解即可； （2）由向量数量积的坐标运算可得cos（α﹣β），再由两角差的正弦公式sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β），将已知代入运算即可得解. 【详解】解：（1）平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π）， 它们的终边与单位圆分别相交于点P，Q，已知点P（，）， ∴cosα，sinα， 故. （2）由（cosα，sinα）•（cosβ，sinβ）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝cos（α﹣β）， 又， 则cos（α﹣β）， 又α﹣β∈（0，π）， 则sin（α﹣β）. 则sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）. 【点睛】本题考查了三角函数的定义及向量数量积的坐标运算，重点考查了两角差的正弦公式，属中档题. 17. 如图，在平行四边形中，，，，点，，分别在边，，上，且，，． （1）若，用，表示； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的加减法的三角形法则表示即可. （2）结合（1）利用，表示出和，再表示出，根据的范围，即可得出结果. 【小问1详解】 由题知， . 【小问2详解】 ， 又， ， 又，则， . 18. （1）观察以下各等式： ， 分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明． （2）设，利用三角变换，估计在时的取值情况，进而猜想取一般值时的取值范围． 【答案】（1）猜想： 证明：由两角和的余弦公式： . 即证，故猜想成立. （2）时，；时，；时，； 猜想：当时，. 【解析】 【分析】（1）观察角度：，，，第二个角比第一个角大，式子结构统一，结果均为，据此写出猜想，再用余弦和角公式展开证明； （2）利用对高次幂变形，分别求出，，的取值，对比得到一般偶数次的取值猜想. 【详解】（1）分析共同特点： 三个等式结构一致，均为的形式； 等式中第二个角度比第一个角度大； 运算结果都等于. 猜想：. 证明略. （2）当时，，取值恒为1； 当时，， 又因为，所以； 当时， ， 又因为，所以； 观察上面结果： ，，； ，，； ，，； 猜想：当时，. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查归纳推理，先观察式子归纳一般规律，再利用和角公式证明； 对偶数次正余弦幂次，利用同角平方关系降次，计算特殊值后归纳取值范围. 19. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做在仿射坐标系中的斜坐标． （1）若，，求； （2）若，，，求在上的投影向量的斜坐标； （3）若，，，，求的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】(1)根据题干给出的斜坐标的定义表示，根据向量的共线定理求参即可； (2)根据投影向量公式可知，计算出两向量的数量积与模长即可得到，由基底向量的模长与夹角代入计算的数量积与模长； (3)根据题干给的定义，将表示出来，计算其模长及夹角，根据模长的范围确定夹角的范围，进而计算的最小值． 【小问1详解】 由题意得，，， 因为，则存在实数使得，即， 整理得：，即， 因为为单位向量且不共线，所以，，得，； 【小问2详解】 由题意得，，，且，则 ； 因为在上的投影向量为， 因为， 故， 故在上的投影向量的斜坐标为； 【小问3详解】 由题意得，，，， 设夹角为，则，则： ； ， ，则 因为， 且，故，即， 因为，故； 解得：；故； 则，故； 即，故， 则的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省黄埭中学2023-2024学年第二学期第一次阶段练习高一数学 （满分150分，120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则 A. B. C. D. 2. 在中，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形中，是线段的中点，则（ ） A. 1 B. 4 C. 6 D. 7 5. 已知函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，BC边上的高等于,则（　　） A. B. C. D. 7. 已知是的外心，，，则（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 8. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（ ） A. 为定值 B. 当时，为定值 C. 的取值范围是 D. 的最大值为12 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则的大小可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 若，则 C. 若，与垂直的单位向量只能为 D. 若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 11. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，，则为等边三角形 C. 若点是边上的点，且，则的面积是面积的 D. 若分别是边中点，点是线段上的动点，且满足，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos 2A＝________. 13. （多空题）已知函数的最小正周期为，当时，方程恰有两个不同的实数解，则______，______． 14. 某数学探索馆中“圆与非圆--搬运”的教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧上的一点，且，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知向量m＝（，－），n＝（sin x，cos x），x∈（0，）. （1）若m⊥n，求tan x的值； （2）若m与n的夹角为，求x的值． 16. 在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边与单位圆分别相交于点P，Q，已知点P（，）. （1）求的值； （2）若，求sinβ的值. 17. 如图，在平行四边形中，，，，点，，分别在边，，上，且，，． （1）若，用，表示； （2）求的取值范围． 18. （1）观察以下各等式： ， 分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明． （2）设，利用三角变换，估计在时的取值情况，进而猜想取一般值时的取值范围． 19. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做在仿射坐标系中的斜坐标． （1）若，，求； （2）若，，，求在上的投影向量的斜坐标； （3）若，，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $