期末提优测评卷（一）-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（沪科版·新教材）

◇实验班提优训练数学九年级上SHKJ 309 30 1 ) ) (1) (2) 猜想：AB十AC=2AB·AC·cosa, 证明：如图(2)， AB=AC,AD平分∠BAC,.AD⊥BC. 在Rt△ABD中，AB= AD 、1 cos∠BAD cos a1 AB+AC=2,AB·AC= cos cosa ∴.AB+AC=2AB·AC·cosa. (2)AB十AC=√5AB·AC.证明如下： 如图(3)，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点1 过点C作CG⊥AB于点G, G309 E D (3) 则DE=AD·mBAD=1Xm3D=号 AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,DF=DE= 2 在R△ACG中，CG=AC·sm∠BAC=AC·sin60°= 2 SMABC=S△ABD十S△ACD, AB.ac-AB 1 1 2AC·2, N3AB·AC=AB+AC. (3)不变.证明如下： 补全图形如图(4)所示， 设∠A=a, BD=AD,∴∠ABD=∠A=a, ∴∠BDC=∠ABD+∠A=2a. .BD=BC,∴.∠BCD=∠BDC=2a. ,'AB=AC,'.∠ABC=∠ACB=2a. ,∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴.a+2a+2a=180°，解得a=36°， ∠A=∠ABD=∠CBD=36. M (4) (5 (第11题) 會114 如图(5)，过点E作EF⊥AB于点F,EH⊥BC于点H, 过点N作NG⊥AB于点G, ,'S△BN=S△BEM十SABEN, ∴BM,G=号BM·EF+2BN·EH. :∠ABD=∠CBD,EF⊥AB,EH⊥BC, ∴EF=EH, .BM·BN·sin72°=(BM+BN)·EH, :sin72°_BM+BN1 EH-BM·BN-BM+BN =sin∠CBD=sin36°， .EH=BE·sin36°， 1 1 sin 72 BM十BN-BE·sin36 ,BE为定长，sin36和sin72°为定值， 证：3行为定值，即赢+品N为定值 sin 72 难点突破本题的第一个难，点在于通过作垂线构造角平 分线的基本图形，然后再利用面积法求出线段之间的关 系；第二个难，点在于用锐角三角函数表示线段之间的关 系，由于三角函数是确定的，所以线段长度的倒数之和也 是定值，这一点学生不容易想到 期末提优测评卷（一） 1.C[解析]：反比例函数y=6二2的图象在每个象限内函 数值y随x的增大而减小，.一2>0，解得>2. 故选C 思路引导本题考查了反比例函数的图象与性质，对于 C 反比例函教)y名（使≠0），当>0时，函数图象在第一， 三象限，并且在每个象限内y随x的增大而减小；当 k<0时，函数图象在第二、四象限，并且在每个象限内 y随x的增大而增大.根据反比例函教y=二2的图象在 每个象限内函数值y随x的增大而减小，可得不等式k 2>0,解不等式即可求出k的取值范围， 2D[解析]：正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O 1.AD1 为位似中心的位似图形，且相似比为3心BG=3 .BG=6,..AD=BC=2. ,四边形ABCD是正方形， ∴.AD∥BG,AB=AD=2, △0 MDA0aG,80-记- OA 1 六2+0A=30A=1,0B=3, .C点的坐标为(3,2).故选D, 3.B 4.D[解析]A.由CA平分∠BCD,得到∠ACB=∠ACD, 由∠ADC=∠BAC,可判定△ADC和△BAC相似，故A 不符合题意； B.由CA平分∠BCD,得到∠ACB=∠ACD,由∠DAC= ∠ABC,可判定△ADC和△BAC相似，故B不符合题意； C.由CA平分∠BCD,得到∠ACB=∠ACD,由AC2= AC CD BC·CD,得到B记=AC,根据两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似，可以判定△ADC和△BAC相似，故C 不符合题意； D强然品-把，但∠D与∠BAC不-定相等，不满足相 似三角形的判定条件，所以不能判定△ADC和△BAC相 似，故D符合题意。 故选D. 5.C6.C7.B 8.B[解析]由表达式y=a(x十m)2+n,a>0,可知图象开 口向上，其顶点坐标为（一m,n),排除选项C. 因为m<0,n<0,所以顶点坐标（一m,n)在第四象限，排 除选项A,D.故选B 9.B[解析]当0≤t≤2时，BQ=4-2t,AP=t,点P到AB 的距离为7,5S=号(4-20)×74=-合（-1)2+ …该函数图象开口向下； 1 当2<t≤4时，BQ=2t-4,点P在AD上，到BC的距离 为2×4=2，S=合×(2-0×2=2-4，∴该函数图象 是线段，且y随x的增大而增大； 当41≤8时，S=2×4×号×8-)=8- ∴该函数图象是线段，且y随x的增大而减小 故选B. 10.B[解析]由题意知，函数图象为开口向上的抛物线，由 >补全图象，判新对称轴的大致区间来解答 所给数据描点连线，补全图象可得如图， y/m' 0.150 0.136 0.125 018365472x/度 (第10题) .抛物线对称轴在直线x=36和x=54之间，且x 54时的函数值大于x=36时的函数值 对称轴应在直线工=36十54=45的左侧， 2 旋钮的旋转角度在36°和45°之间，约为41°时，燃气灶 烧开一壶水最节省燃气.故选B, [解析1由a,=5,得5a5b=2b,即5a=7b, 所以4、7 b=5 置玉丽到为。-61=号 所以号-号+1=子 12号 [解析]：ABCD,∴.△ABE∽△CDE, ..AE_AB_1 CE .CE 2 C-CD=2…AE=2,…A=3 :EF∥AB,∴.△CEFC∽△CAB, 需-贤即甲=号那=号 3 答案6D详解C 13.2√3[解析]如图，过点D作DE⊥x轴于点E. y OA E C (第13题) 点A的坐标为(1,0)，.OA=1. ,∠BAC=30°，BC⊥x轴， 设BC=a(a>0),则AD=AC BC tan30°=3a, 根据对称性知，∠DAB=∠BAC=30°， ∠DAC=60°，∠ADE=30°， ·AE=3 a,DE=AD·sim60°= 2a, B1+5a,a,D1+9,2a) ,点C的对应点D落在该反比例函数的图象上， k=a1+5a)-a·(1+a, _2w3 解得a1=0(舍去)，a2=3 ·反比例函数图象在第一象限， -2×(+29xw=2. 14.(1)√3(2)2√3[解析](1)根据题意作图如图(1)，当点 E与点C重合时，，∠ACB=90°，AC=4,AB=8, .BC=WAB2-AC=√82-4=45. D为BC的中点，CD=23. 又∠EFD=90°，∠EDF=60°， cos∠FDC=DF=DF CD 2/3 =c0s60°=1 ∴.DF=√3. C(E) D G (1) (2) (第14题) (2)如图(2)，当点E与点C重合时，设此时点F的位置 为F,点E的位置为E,连接F'F. N∠EFD=∠CF'D,∠EDF=∠CDF', △EFD∽△CF'D,·CDFD' ED FD .∠EDF-∠CDF=∠CDF'-∠CDF, 即∠EDC=∠FDF',∴.△EDC∽△FDF', ∠FF'D=∠ECD=90°. 又∠CF'D=90°， ∴点F的运动轨迹在直线CF上. 分别过点C,O作直线AB,CF'的垂线，垂足分别为G, H,OH的长度即为OF的最小值. ,∠F'CB=∠CBA=30°， ∴.CF'∥AB, 115 实验班提优训练数学九年级上SHKJ ∴0H=0G,sim∠CAB=Ce-ce=sim60=5 21 解得CG=2√3， .OH=CG=2w3」 故在点E的运动过程中，OF的最小值为2√3. 素养考向本题考查了勾股定理、三角函数、相似三角形 的判定与性质、垂线段最短，考查运算能力、推理能力、模 型观念 15.21+4c0s30°+（π-3.14）°-√12 =2+25+1-28-2 1 16.如图，点F即为所求 (第16题) 17.(1),抛物线y=a.x2十bx一10(a≠0)的对称轴是直线 x=2,∴x=-2-2-b=,即4如十6=0 2a (2)·关于x的方程ax2+bx-10=0有一个根为5， ∴.抛物线y=ax2+bx一l0(a≠0)与x轴的一个交点坐 标为(5,0). ,抛物线的对称轴是直线x=2, '.抛物线y=ax2+bx一10(a≠0)与x轴的另一个交点 坐标为（一1,0）， ∴关于x的方程a.x2十bx一10=0的另一个根为-1. 18(1)(11,6)如图，△A1B1C1即为所求 C B 0 (第18题) (2)如图，△AB2C2即为所求， (3③)20[解折1△AB,B:的面积为号×8X5=20, 19.如图，延长DC交AE于点G. 由题意，得AB=DG=873m,∠DGA=90° G (第19题) 在Rt△GAD中，∠EAD=45°， 鲁116 DG AG-tanEAD-DG-=873 m, 在Rt△GAC中，∠EAC=37°， ∴.CG=AG·tan∠EAC≈873X0.75=654.75(m), ∴.CD=DG-CG≈873-654.75≈218.3(m). 故吉塔的高度CD约为218.3m 20(1)由题意，得y=-2. x 如图D,设A(a,名)B(6,名) 当AB:轴时，子=一号a=-6 a22a.2 SAow=2(a-6)·2=1 =2 =T y=- B 0 0 (1) (2) (第20题) (2如图(2.设A(e,2),B(6,-号)】 △OAB是以AB为底边的等腰三角形， ..OA=OB. 又0n=a2+(2)°，0B=6+(-8)月， a+(层)）°=6+（←号）》， 整理，得a-61-云)=0 AB与x轴不平行，.a≠|b, 、4 1a6=0ab=士2， a>0,b<0,ab<0,.ab=-2. 21(1设CD段所对应的反比例质数的表达式为y-冬≠0以， 由条件可得k=24×10=240, ·反比例函数的表达式为y=240, 当y=20时，20=240， 解得x=12, x :CD段所对应的反比例函数的表达式为y=24,自变 量x的取值范围为12≤x≤24. (2)设直线AB的函数表达式为y=mx十n(0≤x≤2) 由条件可得二10,0解得m=5， (2m十n=20, ln=10, ∴.直线AB的函数表达式为y=5x十10. 令5.x+10=15,解得x=1, 令240-15，解得x=16, .16-1=15(时). 故草莓一天内最适合生长的时间有15小时. 22.[任务一]①B[解析]由材料数据可知：随着x的增大， y1逐渐增大，大致呈线性变化，y2越来越大，且呈非线性 变化，故B选项合适 ②设y1=ax,将x1=10,y1=7.5代入得7.5=10a, 解得a=0.75,∴y1=0.75x. 设y2=bx2,将x2=20,y2=32代入得32=400b, 解得b=0.08,∴y2=0.08x2. [任务二]该车超速.理由如下： 60km/h=5 m/s, 当z-罗时，y=068X 50 、3 ≈22.2(m)<34(m)， 该车超速. [任务三]要求所有类型汽车急刹车停车距离至多15m, 取最大刹车系数为k=1.5. 由题意，列式得0.75x+1.5×0.08x2=15,解得x≈8（负 值已舍去). 故汽车在该条道路的行驶速度应该限速为8m/s. 2双@号 [解析]，四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠C=90°， AE⊥BF,∴∠AOB=90°， ∴·∠BAE+∠ABO=∠ABO+∠CBF=90°， ∠BAE=∠CBF,△ABEO△BCP AE 2 :AB=2,BC=3,BF=3 (2).∠FOC=∠A,∠DOE=∠FOC, ∠DOE=∠A. 又∠0DE=∠AF△0DEO△ADFB8器 ,四边形ABCD是平行四边形， .CD∥AB,AB=CD, .∠A+∠ADC=180°. 又∠FOC+∠COD=180°，.∠ADC=∠COD :∠DCE=∠OCD,∴.△DCE∽△OCD, 咒需器需器， .DF·AB=AD·CE. (3)如图，过点C作CH∥EF,交AD于点H,交DG于 点K. (第23题) ,四边形ABCD是平行四边形， ,.∠BCD=∠A=120°，DC=AB,BC=AD=53, AD∥BC, ∴四边形CHEF为平行四边形，.CH=EF, ,CHEF,∴∠CKG=∠FOG=∠A: DG AD.DG AD 同(2)，可得C分CD'EF CD 在BC上取一点P,使得BG=BP,连接GP, :ADBC,∠A=120°，∴∠B=180°-∠A=60°， .△GBP是等边三角形，.BP=GB=GP,∠BPG=60°， .∠GPF=120°=∠BCD. ,∠GFD=120°， 答案6D详解◇ ∴.∠GFP+∠DFC=60°=∠PGF+∠GFP, .∠PGF=∠DFC,∴.△PGF∽△CFD, 熙0器 设CD=2x,则PF=3x,PG=PB=BG=AB一AG= 2x-10, .CF-2 420 PG=3x-3 .BC=PB+PF+FC=53, 2x-10+3x+4g_20=53, 33 解得x=11,.DC=2x=22, 既品器 期末提优测评卷（二) 1.C2C3.A4.B5.B 6.A[解析]：△CDE是等边三角形， .CD=CE=DE,∠CDE=∠CED=∠DCE=6O°， ∴.∠DAC+∠DCA=60°，∠BCE+∠CBE=60°. :∠ACB=120°，∴.∠DCA+∠ECB=60°， ·∠DCA=∠CBE,∠ECB=∠CAD, △ACDACBE,提-品， .CD·CE=AD·BE,CD2=AD·BE.故A正确； 由题意得△BECC∽△BCA,△ADC∽△ACB, 能靨盖怨 .BC2=BE·BA,AC2=AB·AD,故B,C错误；由已知 无法推出AC·BC=AE·BD,故D错误.故选A 7.D[解析]抛物线开口向上，.a>0. :抛物线的对称轴是直线x=一=二1，∴6=2a>0. 抛物线与y轴交于负半轴， .c<0,∴.abc<0,故①正确； .b=2a,故②错误； 抛物线与x轴交于(1,0)，对称轴是直线x=一1， ∴.抛物线与x轴的另一个交点是（一3,0）， .9a-3b十c=0,故③正确： ,抛物线的对称轴是直线x=一1，且开口向上， ∴.函数最小值为a一b十c,∴.am2十bm十c≥a一b十c, ∴.m(am+b)≥a一b,故④正确； .抛物线与x轴有两个交点，.b2一4ac>0, ∴.4ac-b2<0,故⑤正确. 综上所述，正确的有①③④⑤.故选D. 8B[解析]如图，延长AC交x轴于点E,延长BD交x轴 于点F.设点A,B的横坐标分别是a,b. 10 (第8题) A,B为直线y=x上的两点，∴点A的坐标是(a,a), 117含期末提优测评卷（一） 答案P114 时间：120分钟总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.每小题都给出A,B,C,D四个选项，其中 只有一个是正确的) 1.若反比例函数y=二的图象在每个象限内函数值y随工的增大而减小，则( x ). A.k0 B.k<0 C.k>2 D.k<2 2.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图 形，且相似比为3，点A,B,E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点的坐标为 75 器 A.(4,3) B.(4,2) 2’2 D.(3,2) OA B (第2题) (第3题) (第4题) 3.Os·安北期如图，已知DE/BC,8代-月，若0E-”则BE的长为( A.9 B.10 C.11 D.12 4.如图，四边形ABCD的对角线CA平分∠BCD,补充下列条件后仍不能判定△ADC和△BAC 相似的是( ) A.∠ADC=∠BAC B.∠DAC=∠ABC C.AC2=BC·CD AD AB D.CD AC 5.若a,b,c,d是成比例线段，其中a=5cm,b=2.5cm,c=10cm,则d等于(). 童 A.2 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 总 6.下列命题中，真命题有(). ①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方；②两个相似三角形的对应高之比等于它们的 相比：8在AABC和△ABC中，如果侣-品，∠A=∠A,$么△AIGAAFC, ④已知△ABC及位似中心O,能够作一个且只能作一个三角形，使相似比为1：2. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，在9×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应 的格点上，则tan∠ACB的值为( ). A.2 B.3 C. 2 D.3 25 y/m 0.1 B 018 5472x/度 (第7题) (第9题) (第10题) 8.(2025·安徽芜湖南陵月考)已知函数y=a.x和y=a(x十m)2十n,且a>0,m<0,n<0,则这两个函 数图象在同一平面直角坐标系内的大致图象是(). A B C D 9.(2025·合肥庐江一摸)如图，菱形ABCD的边长是4cm,∠ABC=30°，动点P从点A出发，以 1cm/s的速度沿A一D一C运动至点C,动点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A一B一C 运动至点C.若点P,Q同时出发，设运动时间为ts,△BPQ的面积为Scm(当B,P,Q三，点 共线时，不妨设S=0),则下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是(). S S 4 1 2Λ 2 2 2 0124 0124 0124 0124 A B C D 10. 新落靴餐题使用家用燃气灶烧开一壶水所需的燃气量y(单位：3)与旋钮的旋转角度 x(单位：度)(0<x≤90)之间近似满足函数关系y=ax2十bx十c(a≠0)，如图记录了家用燃 气灶烧开一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据函数模型和数据，可推断 出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度可能是( A.329 B.41° C.58° D.75° 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 1如果。力号那么号 12.如图，AB/CD,AC,BD相交于点E,作EF∥AB,交BC于点F,已知AB=1,CD=2,则EF 的长度为 0 (第12题) (第13题) (第14题) 26 13.(2024·扬州中考)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，点B在反比例函数y=(x >0)的图象上，BC⊥x轴于点C,∠BAC=30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落 在该反比例函数的图象上，则k的值为 14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=8,O,D分别为AB,BC的中点，E为边AC上的 动点，△DEF为直角三角形，点F在DE的上方，且∠EFD=90°，∠EDF=60°. (1)若点E与点C重合，则DF的长是 (2)在点E的运动过程中，OF的最小值为 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 5.计算：21+4cos30°+（π-3.14）0-√12」 16.新梵围(2025·陕西榆林绥德期中)如图，△ABC≌△ABD,E为AC上一点，请用尺规作图法在BC 上求作一点F,使得△CEFD△DBA.(保留作图痕迹，不写作法) D (第16题) 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.已知抛物线y=a.x2十bx-10(a≠0)的对称轴是直线x=2. (1)求证：4a十b=0; (2)若关于x的方程ax2十bx一10=0有一个根为5，求方程的另一个根. 27 期末提优测评卷（一） 18.新凳梦度作国如图，在边长为1的小正方形网格中. (1)将△ABC向右平移6个单位长度，再向上平移5个单 位长度后得到△A1B1C1,请在网格中画出△A1B1C1,其中 点B1的坐标为 (2)以点A为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得 到△AB2C2,请在网格中画出△AB2C2; (3)连接AB1,B1B2,则△AB1B2的面积为 (第18题) 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.吉林省广播电视塔又称“吉塔”.某直升机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度AB=873, 如图，从直升机上看塔尖C的俯角∠EAC=37°，看塔底D的俯角∠EAD=45°，求吉塔的高度 CD.(结果精确到0.1m,参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)E- A B (第19题) 20,在平面直角坐标系中，点A在函数y,-是(x>0)的图象上，的图象关于y辅对称的图象 的函数表达式为y:产，点B在：的图象上，设点A的横坐标为a,点B的横坐标为6， (1)当AB∥x轴时，求△OAB的面积； (2)当△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且AB与x轴不平行时，求ab的值. 六、（本题12分） 21.(2026·安徽阜阳临泉期末)某草莓种植基地气温较低时，用装有恒温系统的玻璃温室种植草莓.某 天恒温系统从开启到关闭及关闭后，温室内的温度y(单位：℃)与时间x(单位：h)之间的函 数关系如图所示，其中BC段是恒温阶段，CD段是某反比例函数图象的一部分. (1)求CD段对应的反比例函数的表达式，并写出自变量x的取值范围. 实验班提优训练数学九年级上SHKJ 28 (2)温室里种植的草莓在温度为15℃到20℃的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前 的温度是10℃，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？ ↑y/℃ B 20H 10 02 e 24x/h (第21题) 七、（本题12分） 22.新藏(2025·芜湖二模)“道路千万条，安全第一条”.刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，某 学习小组研究了刹车距离的影响因素. 材 料 反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车所行驶的距离. 制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机动车所行驶的距离。 汽车急刹车的停车距离y(m)为反应距离y1(m)与制动距离y2(m)之和，即y-y1十y2,而反 应距离、制动距离均与汽车行驶的速度x(m/s)有关，如下表是学习小组利用软件模拟出的相 关实验数据. 速度x/(m/s) 反应距离y1/m 制动距离y2/m 10 7.5 8 材 15 10.5 16.2 料 20 15 32 二 25 17.5 52 30 22.9 78.1 35 27.1 108.5 40 29.2 123 … 材 经学习小组信息收集得知，汽车的急刹车停车距离还与汽车本身刹车系数飞有关，且满足y= 料 三 y1十k·y2,其中y,y1y2的意义同材料二，且不同类型汽车的刹车系数k满足0.8≤≤1.5. 29 [任务一] ①利用材料二判断最适合描述y1,y2分别与x的大致函数关系的是(). A.y=ax,y2=bx B.y1=ax,y2=bx2 C.y1=ax2,y2=bx2 ②请你利用当x=10m/s,x=20m/s时的两组数据，分别计算y1,y2与x的函数关系式. [任务二]在某条限速为60k/h的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车，通过交警判断该车 此次急刹车过程的制动距离为34，请你利用任务一中的函数关系式，判断该车是否超速， [任务三]某条新建道路要求所有类型汽车在急刹车时的停车距离至多15m,请你利用任务 一中的函数关系式，确定汽车在该条道路的行驶速度应该限速为多少？（√345≈18.57，结果 精确到1m/s) 八、（本题14分） 23.(2025·安徽合肥第四十五中学期中)[数学模型](1)如图(1)，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,点E,F 分别在边5C,CD上，AE1BF,垂足为O,侧2能 [模型探究](2)如图(2)，在平行四边形ABCD中，点E,F分别在边AD,AB上，DF与CE 交于点O,且∠FOC=∠A,求证：DF·AB=AD·CE; [拓展应用](3)如图(3)，在平行四边形ABCD中，点E,F,G分别在边AD,BC,AB上，连接 5EF交于点0，其中AD=53,AG=10,∠A=∠DFG=∠F0G=120,且P-求 E DG的值 B (1) (2) (3) (第23题) 30