第21章 二次函数与反比例函数 提优测评卷-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（沪科版·新教材）

令实验班提优训练数学九年级上SHKJ 64=11-4X2X3≥0，解得k≤21， 放：的最大值为号放选C 2.k≤-4-2√5或k≥-4+2W5 3(1)因为抛物线的对称轴是直线x=2, 7 设抛物线的表达式为y=a(。-子)'+， ∴把A,B两点的坐标代入上式， 2 a=3' 得 解得 ）+=4, /k25 6 故抛物线的表达式为y-号(-召)°-要，顶点坐标 为) (2),点E(x,y)在抛物线上，位于第四象限，OA是 ☐OEAF的对角线， S=2Se=2X20A11=-6y=-4(x-2）°+25. 抛物线与x轴的两个交点是(1,0)和(6,0)， .自变量x的取值范围是1<x<6. ①根据题意，当S=24时，-4(z-2） 71 十25=24，化简， 得(-)°-子，解得=3，：=4放所求的点E有两 个，分别为E1(3,一4)，E2(4,一4) 点E1(3,-4)满足OE=AE, ∴.当点E的坐标为(3，一4)时，平行四边形OEAF是菱形； 点E2(4,一4)不满足OE=AE, ',当点E的坐标为(4，一4)时，平行四边形OEAF不是菱形 ②不存在.理由如下：当OA⊥EF,且OA=EF时，平行四 边形OEAF是正方形，此时点E的坐标只能是(3，一3)， 而坐标为(3，一3)的点不在抛物线上，故不存在这样的 点E,使平行四边形OEAF为正方形. 第21章提优测评卷 1.A2.B 3.C[解析]在二次函数y=x2-4x-m中，a=1>0, ∴开口向上，对称轴为直线红一 =2. A(2,y1)在图象上，且是最低点，y1最小， 又B(一3，y2),C(一2，y3)都在对称轴的左侧，而在对称轴 的左侧，y随x的增大而减小，故y2>y3,∴y2>y3>y1. 故选C. 4.A5.D 6C[解析]设抛物线的表达式为y=a(x-1)2+0. 3 将A0,10》代入，得a=一号，所以y=-9( 3(x-1)2+ 3令y=0,得x=3或x=-1(舍去)，所以点B的坐标 4 为(3,0)，即OB=3米.故选C 7.D[解析]四边形ABOC是菱形， ..OB=0C=6. 又∠A=60°，∴∠BOC=60°， .C(-3,33),.k=-9√3， :反比例函数的表达式为y=_9y3,故选D x 40 8.C[解析]当a<0时，该函数开口向下，顶点在y轴左侧， 抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误；当a>0时， 该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半 轴相交，故选项A,B错误.故选C. 9.A[解析]y=x2+2x一2=(x十1)2-3. 抛物线y=x2+2x一2的顶点坐标为（一1，一3），与y轴 的交点坐标为(0，一2)，在同一平面直角坐标系中画出y= x+2x-2和y=的图象，如图。 (第9题) 由图象可得抛物线)一x十2x一2与反比例函数y=士的 图象有3个交点，所以方程x十2z=上+2有3个实 x 数根.故选A. 1 10.B[解析]由直线y=2x+6(b>0)与反比例函数 y=一二(x<0)的图象只有一个公共点C, x 得2x+b=一2仅有一个解， 整理，得x2+2bx十4=0，△=(2b)2-4×4=0, 1 解得b=2(负值已舍去)，∴直线y=2x+2 将b=2代人x2+2bx+4=0,得x2+4x十4=0，解得 x1=x2=-2,.C(-2,1). 1 令x=0,代人y=2x+2,得y=2,B0,2), 设点A的坐标为(m,2m+2) ,BC=2AB,∴.BC2=4AB2, (-2+(-1=4[m2+(分)]， 解得m=1(负值已含去)，A(1,）,k=号.故选B 11.50 2号8 [解析当y=0时，解方程x2-(十元)x+ 1 1 7‘n中1=0，得x1=,x2= 中所以A1B,十 1 A,B:++A2临Bs=(1-合)+（分-专）+十 /111 12025 (20252026）=1-2026=2026 13.12[解析]由题意，易证四边形ACDB是矩形， AB=CD,AC=BD.设点A(a,) 0C=号0DB(a,）=3a·4=12 14.(1)y=-x+3[解析]将A(-1,4)代入反比例函数 y=公得=4m=-一4y=- 令、4 =-1,解得a=4,.B(4,-1), a ÷他得信” .一次函数的表达式为y=一x十3. 2-号 [解析]BQAP,BQ=AP, ∴.四边形APQB是平行四边形 A(-1,4),P(n,0), 点A向左平移（一1一n)个单位长度，向下平移4个单 位长度得到点P, ∴.点B向左平移（一1一n)个单位长度，向下平移4个单 位长度得到点Q. B(4,-1),.4-(-1-n)=5+n,-1-4=-5, .Q(5+n,-5). 点Q在反比例函数图象上， 4=-5,解得n=-2 :.一5+ 5 经检验=一号是此方起的礼 16(1对称轴为直线x=。4-2 (2)当x=2时，y最小值=22-4×2+3a十2=4-8+3a十 2=3a-2. 最小值是7，∴.3a一2=7，解得a=3. 16.(1)y=x2+4x+3=x2十4x+4-4十3=(x+2)2-1, 顶点坐标为（一2，一1），对称轴为直线x=一2. (2)当y=0时，x2+4x+3=0,即(x+1)(x+3)=0,解 得x1=一1，x2=一3，.抛物线与x轴交于点(-1,0)， (一3,0).图象如图所示 65 (第16题) 17.1)将点A(a,3)代人y=2x+1,得3=2a+1, 解得a=4,则点A(4,3), 将点A的坐标代人反比例函数表达式，得3=冬， 解得k=12. (2:反比例函数y=1二的图象过点C(2,6), b=号=6A4,3).C2,6. 如图，作CF⊥x轴于点F,交AB于点G. 答案6D详解 当z=2时，y=×2+1=2即点c2,2, .CG=6-2=4, ∴Se=SaMc十SAc=合CG·2+2CG·(A 1 2)=20G·xA= 2×4X4=8, G EOFD八x (第17题) 18.(1)设y与x的函数表达式为y=kx十b(k≠0)， 将(40,1100)，(70,800)代入， 8十g- /k=-10, ”解得b=1500, .y与x的函数表达式为y=-10x十1500. (2)设这周该商场销售这种产品获得的利润为心元. .销售量不少于750件， .-10x十1500≥750，解得x≤75， .0=y(x-30)=(-10x+1500)(x-30) =-10x2+1800.x-45000=-10(x-90)2+36000. ,一10<0，∴.在对称轴直线x=90左侧，函数值w随自 变量x的增大而增大，∴.当x=75时，心有最大值， 最大值为-10×(75-90)2+36000=33750. 故这周该商场销售这种产品获得的最大利润为33750元. 19.(1)·A(m,3),B(m+4,n)两点在反比例函数y2= 6(x>0)的图象上， ∴.3m=n(m+4)=6,解得m=2,n=1, ∴.A(2,3),B(6,1). 把A(2,3),B(6,1)代入y1=x十b中， 1 得 2k十b=3, 解得 k=-2, (6k+b=1, b=4, 1 ·一次函数表达式为y=一2x十4， (2)由图象可知，当y1<y2时，直线在曲线下方，此时， x的取值范围是0<x<2或x>6. (3)如图，设直线AB交x轴于点C.把y=0代人y= 、1 +4，得0=名+4， 解得x=8, 点C的坐标为(8,0)， 0 (第19题) 41 实验班提优训练数学九年级上SHKJ 5w-S-uX8X(8 20.(1)将(0，-6)代入函数表达式，得-2a-2=-6, 解得a=2,∴y=2x2+4x-6=2(x+1)2-8, .二次函数顶点坐标为（一1，一8）. (2)对于方程ax2十(a+2)x一2a一2=0(a为常 数且a≠0)， ,△=(a+2)2+4a(2a+2)=9a2+12a+4=(3a+2)2, 当a≠-2时，4=(3a+2)2>0 当a≠- 3时，一元次方程a.x2+(a+2)x-2a 2=0(a为常数且a≠0)必有两个不相等的实数根， “当a≠一弓时，二次函数图象与x轴必有两个不同的交点 (3)将A,B两点坐标代入函数表达式，得y1=ax+ (a+2)x1-2a-2,y2=ax号+(a+2)x2-2a-2. 'y1>y2 ∴a.x7+(a+2)x1-2a-2>ax+(a+2)x2-2a-2, .a(x-x)+(a十2)(x1-x2)>0, .a(x1十x2)(x1-x2)+(a十2)(x1-x2)>0, 即3a(x1-x2)+(a+2)(x1-x2)>0. 又x1<x2,x1-x2<0, 3a十(a+2)<0,解得a<-2 1 21.(1)2x+y=80,.y=-2x+80. S=xy,.S=x(-2x+80)=-2x2+80x. (2)能.理由如下： .y≤42，∴.-2x+8042,∴.x≥19，∴.19≤x<40. 当S=750时，-2x2+80x=750,x2-40x十375=0， (x-25)(x-15)=0,.x1=25,x2=15(舍去). ∴.当x=25m时，矩形试验田的面积S能达到750m2, (3).S=-2x2+80x=-2(x2-40x)=-2(x2-40x+ 400-400)=-2(.x-20)2+800, .∴，当x=20m时，S有最大值800m2, 22.（1)①火箭第二级的引发点的高度为3.6km,∴.抛物线 y=ar2+x和直线y=一号+b均经过点(9,3.6， 3.6=81a+9,3.6=-2X9+b, 解得a=品6-81 1 1 ②由①知0=-2x+8.1y=一5x2+x, ∴最大值y只m 当y=5-1.35=2.4(km)时， 4 则-+=24，解得=12,4=8 当x=9时，y=3.6>2.4,.当y=2.4km时， 则-分x十81=2.6，解得x=1.4 42 11.4-3=8.4(km). 故这两个位置之间的距离为8.4km (2)当水平距离超过15km时， 火箭第二级的引发点为(9,81a十9)， 将(9,81a+9),15,0)代入y=- 一2x+b,得 1 81a+9=- 2X9+b, b=7.5, 解得 2 1 0=-2X15+b, a=-27 2 27<a<0. 23.(1)由题意，得y=(x+1)2+(x-3)2=x2+2x+1+ x2-6x+9=2x2-4x+10=2(x2-2x+1)+8=2(x- 1)2+8. 2>0,.当xo=1时，y取得最小值8. (2:点P(a,b)在双曲线y=-2上，b=二2 a ay-x-a+-6=红-a+(e+2）月 =-2a+a+x++() =2x2+(生-2a)z+a2+(2)月. 1 -2a x0=2小- 1 2X2=2 化简，得a2-a-2=0,解得a1=2,a2=-1, 经检验，a1=2,a2=一1为原方程的解， 则P(2,-1)或P(-1,2), 点P到y轴的距离为2或1. (3)y=(x-a)2+(x-b)2=x2-2a.x+a2+x2-2bx+ b2=2x2-(2a+2b)x+a2+b2」 a2-2a-2b+3=0,.a2+3=2a+2b, ∴y=2x2-(a2+3)x+a2+b2. 1≤<3∴1≤-a2+3) 2×2 <3,化简，得1≤a2<9, .a=-2,-1,1,2,则整数a有4个 第22章 相似形 22.1相似多边形 1.C 2.(1)C (2)这两个三角形全等.理由如下： =10瓷-8-1， ..AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C', .△ABC≌△A'B'C'(SSS). 3.C[解析]，菱形的四边相等，且对角相等，邻角互补， ∴.若一个内角为70°，则其余内角分别为70°、110°、110°， ∴有一个内角为70的两个菱形，所有对应角相等，且对应 边成比例（因边长比恒定），它们一定相似。 A两个直角三角形，锐角不一定相等，故不一定相似； B.两个等腰三角形，顶角不一定相等，故不一定相似；第21章提优测评卷 ,答案P40 时间：120分钟总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.每小题都给出A,B,C,D四个选项，其中 只有一个是正确的) 1.为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放α个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾 桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x,那么y与x的函数关 系是( ) A.y=a(1+x)2 B.y=a(1-x)2 C.y=(1-x)2+a D.y=x2+a 2.二次函数y=ax2十bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x,y)对应值列表如下： -3 -2 一1 0 器 y -3 -2 3 -6 11 则该函数图象的对称轴是( A.直线x=一3 B.直线x=一2 C.直线x=一1 D.直线x=0 3.(2025·芜湖南陵一模)若A(2,y1),B(-3,y2),C(-2,y3)三点在抛物线y=x2-4x一m上，则 y1y2y3的大小关系是(). A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y2>y3>y1 D.y3>y1>y2 拓 4.(2025·上海徐江区一模)“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果抛物线y=x2十2x十m十5 謾 只经过两个象限，那么m的取值范围是( A.m≥-4 B.m<-4 C.m<-5 D.m≥-5 5.(2025·安徽芜湖期末)在下列函数图象上任取不同的两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),一定能使 (x1一x2)(y1一y2)<0成立的是( A.y=2x(x>0) B.y=2x-1(x<0) C.y=-1x>0) D.y=x2-4x-1(x<0) 童 6.从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如图所示，如果抛物线的最高点 40 M离墙1米，离地面3米，那么水流落地点B离墙的距离OB是( ) A.5米 B.4米 C.3米 D.2米 0777777777古777777777花 0 (第6题) (第7题) (第10题) 7.如图，在菱形AB0C中，∠A=60,它的一个顶点C在反比例函数y一冬的图象上，如果 点B的坐标为（一6,0），那么反比例函数的表达式为(). 18 18 B.y= C.y=93 D.y=- 9W3 A.y= x 8.(2025·安徽安庆桐城联考期末)函数y=ax2十ax十a(a≠0)的图象可能是下列图象中的( B 9.“一般地，如果二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方 程ax2十bx十c=0有两个不相等的实数根.”参考上述结论判断方程x2十2z=1十2实数根 的情况是(). A.有三个实数根 B.有两个实数根 C.有一个实数根 D.无实数根 025·日照东港区一模改编)如图，直线y三2x十b(b>0)与反比例函数y=(x>0)的图象相 于点A,与y轴交于点B,且与反比例函数y=一2(x<0)的图象只有一个公共点C,若BC =2AB,则k的值为( ) A.2 B号 C.3 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.(2026·上涛率贤区期末)某汽车的紧急刹车距离5（米）与车速（千米/小时）的关系是s三00. 如果前方25米处发生了事故，司机驾驶该车紧急刹车避免了碰撞，那么可以推测该车车速不 超过 千米/小时 12. 对于每个半零自然数0，抛物线)=一x+D与x轴交于AA,两点，以 1 n(n+1)x+ AnBn表示这两点间的距离，则A1B1十A2B2十…十A2o25B2o2s的值是 13.如图，已知点A在反比例函数y=的图象上，点B在反比例函数y=名(k≠0)的图象上，AB/ x轴，分别过点A,B作x轴的垂线，垂足分别为C,D.若OC=OD,则飞的值为 OC D (第13题) (第14题) 2 14,(2025·安徽准北五较联考期未)如图，一次函数y=kx十b的图象与反比例函数y=”的图象相交于 A(-1,4),B(a,-1)两点. (1)一次函数的表达式为 (2)点P(m,0)在x轴的负半轴上，连接AP,过点B作BQ∥AP,交y=”的图象于点Q,连 接PQ.当BQ=AP时，n的值为 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15.已知二次函数y=x2一4x+3a+2(a为常数). (1)请写出该二次函数图象的对称轴； (2)若这个二次函数的最小值是7，求a的值. 16.已知抛物线y=x2十4x十3. (1)求出该抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)在如图所示的平面直角坐标系中用描点法画出这条抛物线。 76543210 12x (第16题) 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 7.206·安卷州天长来整中学表大)如图，一次函数y=2十1的图象与反比例函数y=是(x>0) 的图象交于点A(a,3),与y轴交于点B. (1)求a,k的值； (2)直线CA经过点A,与反比例函数图象交于点C(2,b),连接CB,求△ABC的面积 B 0D八 (第17题) 3 第21章提优测评卷 18.(2025·安徽芜湖期末)某公司销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现， 该产品每周的销售量y(单位：件)与售价x(单位：元/件)(x为正整数)之间满足一次函数的 关系，如表记录的是某三周的有关数据： x/(元/件) 0 55 70 y/件 1100 950 800 (1)求y与x的函数表达式（不求自变量的取值范围）； (2)若某周该产品的销售量不少于750件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润， 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19.(2026·安搬合肥第四十二中学期未)如图，一次函数y1=kx十b的图象与反比例函数y2=6(x>0) 的图象交于A(m,3),B(m十4，n)两点 (1)求一次函数的表达式； (2)当y1<y2时，直接写出x的取值范围； (3)求△AOB的面积. (第19题) 20.新整数特论已知二次函数y=ax2十(a十2)x一2a一2(a为常数且a≠0). (1)当函数图象经过点(0，一6)时，求函数的表达式并写出函数图象的顶点坐标； (2)求证：当a≠-时，函数图象与x轴必有两个不同的交点； 2 (3)若函数图象经过A(x1y1),B(x2y2)两点，其中x1十x2=3,且当x1<x2时，总有y1> 实验班提优训练数学九年级上SHKJ 4 y2,求a的取值范围. 六、（本题12分） 21.如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为42m. 栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形试验田与墙垂直的一边长为x(单位：)，与墙平 行的一边长为y(单位：m),面积为S(单位：m2). (1)直接写出y与x,S与x之间的函数表达式（不要求写x的取值范围） (2)矩形试验田的面积S能达到750吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由. (3)当x的值是多少时，矩形试验田的面积S最大？最大面积是多少？ -42m 墙 试验田 (第21题) 七、（本题12分） 22.(2024·武汉中考)16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖.火 箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二 级沿直线运行.某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图，以发射点为原点，地平线 为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y=ax2十x和直 线y=一2x十+6.其中，当火衡运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级 5 (1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km. ①直接写出a,b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km,求这两个位置之 间的距离。 (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km. y/km (火箭第二级的引发点) (发射，点)0 （地平线) 9 （落地点)x/km (第22题) 八、（本题14分） 23.(2025·合肥庐江-模)已知函数y=(x一a)2十(x一b)2(a,b为常数).设自变量x取xo时，y取 得最小值 (1)若a=-1,b=3,求xo的值； (2)在平面直角坐标系z0中，点Pa0)在双曲线y=上，且，=方求点P到)轴的 距离； (3)当a2一2a一2b十3=0，且1≤xo<3时，分析并确定整数a的个数. 6