第21 二次函数与反比例函数 单元测试卷 2026-2027学年数学沪科版九年级上册

**基本信息** 沪科版九上二次函数与反比例函数单元卷，120分钟150分，覆盖定义、图像性质及综合应用，通过基础辨析与实际情境题（如利润问题）考查抽象能力、推理能力和模型意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|二次函数定义、反比例函数图像性质|结合图像辨析性质，如第3题抛物线顶点结论判断| |填空题|4/20|反比例函数k值、抛物线平移距离|第12题抛物线平移最小距离，考查空间观念| |解答题|9/90|解析式求解、利润最值（第20题）、几何综合（第23题）|第20题经济问题建模，第23题平行四边形存在性探究，体现模型意识与推理能力|

2026-2027学年数学沪科版九上第21章二次函数与反比例函数单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 4．已知点，在反比例函数的图象上．若，则（   ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（     ）． A． B．方程的两根是， C．不等式的解集是 D．当时，随的增大而减小 6．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 8．已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，在平移后的图象上，当时，函数的最小值为，则n的值是（   ） A．或 B．或 C．1 D． 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（     ） A． B． C．2 D．4 10．如图，二次函数的图象交轴于点，对称轴为，下列四个结论中：①；②；③；④图象上有两点和，若，且，则．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．如图，是双曲线上的两个点，过点作轴，交于点，垂足为点．若的面积为1，为的中点，则的值为_________． 12．我们知道抛物线与通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是________． 13．如图，直线与双曲线交于第一象限的点A，过点A作轴于点C，连接．若的面积为2，则反比例函数的表达式为_____． 14．二次函数（是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如表： … 1 2 … … … 有下列四个结论：①；②抛物线的对称轴是直线；③0和1是方程的两个根；④若，则．其中正确的结论有______． 三.（本题共16分） 15．如图： (1)求该抛物线的解析式； (2)根据图象回答：当x为何范围时，该函数值大于0． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于A、B两点 （点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)直接写出抛物线的对称轴． 四.（本题共16分） 17．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； (2)求这条抛物线的对称轴、顶点坐标． 18．如图，已知一次函数的图像与坐标轴交于点，，与反比例函数的图像交于点，． (1)直接写出点，的坐标； (2)直接写出，的值，并求反比例函数的表达式； (3)连接，求的面积． 五.（本题共20分） 19．在平面直角坐标系中，直线与的图象交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又小于函数的值，直接写出的取值范围． 20．某企业对某种产品进行市场调研后发现：如果月产量为（吨），那么所需的所有费用（万元）与之间满足关系式，若在需求旺季投入市场，则能全部售出，且在甲、乙两地的售价（万元/吨）与的函数关系分别为（为常数），已知在乙地销售吨该产品时的最大月利润为35万元．（月利润月销售额所有费用） (1)求在甲地销售吨该产品时的最大月利润，并求出此时的值． (2)求的值． (3)由于受经济环境、资金、生产能力等多种因素的影响，计划某个月生产和销售该产品18吨，通过计算来比较，要获得较大利润，销售地应该选择甲地还是乙地？ 六.（本题共12分） 21．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移个单位长度与的图象交于点，连接、． ①求的面积． ②若直线的解析式为，请直接写出成立时的取值范围． 七.（本题共12分） 22．确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 八.（本题共14分） 23．如图，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积； (3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年数学沪科版九上第21章二次函数与反比例函数单元测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B B D C A A B 1．B 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般式为是解本题的关键是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， 解得：， 故选B． 2．D 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入反比例函数，即可求得的值． 【详解】解：函数的图象经过点， ， 解得， 故选：D． 3．B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 4．B 【分析】先根据比例系数的符号判断函数图象所在象限及增减性，再结合已知的范围比较的大小. 【详解】解：∵ 反比例函数 的比例系数 ， ∴ 函数图像位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小， ∵ ， ∴  . 5．B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向和与轴的交点得到，故选项错误；根据对称轴和一个与轴的交点可得另一个与轴的交点，即可得到选项正确；根据图象可得不等式的解集是或，当时，随的增大而增大，故、选项错误． 【详解】解：根据二次函数的图象和性质，逐一分析各选项， 选项：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴正半轴， ∴， ∴，故选项错误； 选项：∵抛物线的对称轴为，与轴的一个交点是， ∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标为，即另一个交点坐标是， ∴方程的两根是，，故选项正确； 选项：∵由图象可知当或时，抛物线在轴的下方， ∴不等式的解集是或，故选项错误； 选项：由图象可知，当时，随的增大而增大，故选项错误． 6．D 【分析】由得出，利用二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴顶点坐标为． ∴的最小值为． 7．C 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，反比例函数、二次函数图象综合判断，已知双曲线分布的象限，求参数范围，二次函数图象与各项系数符号等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据抛物线与反比例函数的图象，确定a，b，c的符号，再确定一次函数的一次项系数与常数项的符号，从而可确定一次函数的图象所经过的象限． 【详解】解：二次函数的开口向下， 所以， 因为二次函数的对称轴在轴的左边， 所以， 所以， 因为反比例函数的图象在第一、三象限， 所以， 所以， 所以一次函数的图象所经过的象限是第一、三、四象限， 故选：C． 8．A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数的平移及最值问题．首先确定平移后的函数解析式，再根据二次函数的性质得到最小值的位置，进而求解n的值即可． 【详解】解：原二次函数顶点为，设解析式为， 代入点得，即， 向右平移个单位后，解析式为， 代入点得方程， 解得， ∴平移后函数为，对称轴为直线，顶点坐标为， 解方程，得或， ∵当时，函数的最小值为， ∴必须包含或，且不跨越对称轴（否则最小值在顶点处为）， ∴或， 解得或， 故选：A． 9．A 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，解答即可． 【详解】解：矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上， ∴， ∵反比例函数的图象位于第二象限， ∴， ∴． 10．B 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质； 根据二次函数的对称性和m的取值范围可求出，①正确；根据函数图象开口向下可知，结合对称轴公式可得，则，②错误；根据二次函数图象与轴有两个交点，可得，结合，代入可得，③正确；求出点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离即可进行判定． 【详解】解：∵二次函数的图象交轴于点，对称轴为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确； ∵二次函数开口向下， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∴，②错误； ∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴， ∴，即，③正确； ∵，， ∴点和分布在对称轴的两侧， ∵， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴，④错误； 综上，正确的个数有2个， 故选：B． 11．4 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义．先根据条件得到，由于和同高，所以面积比等于底之比，进而得出，也就是． 【详解】解：轴， ， 为的中点， ， ， 的面积为1， 的面积为， 即， 则， 设的坐标为， 在第一象限， ， 是双曲线上的点， ． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了二次函数的平移的性质，运用勾股定理求出两点之间的距离，先把一般式化为顶点式，找出抛物线的顶点坐标，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标为， ， 则抛物线的顶点坐标为， 依题意，， 即平移的距离至少是． 故答案为：， 13． 【分析】本题主要利用反比例函数与一次函数的交点问题，结合几何图形的面积计算来求解k的值，通过分析的面积与矩形面积的关系，利用反比例函数比例系数的几何意义来确定k的值，最终可求得反比例函数的解析式． 【详解】解：如图，作轴于点D， ∵轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， 而， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 14．①③④ 【分析】由表中数据，利用待定系数法确定二次函数解析式，从而根据二次函数图像与性质即可逐项判定题中所给四个结论的正误． 【详解】解：由题中数据，将、、代入二次函数得， 由①②得，解得； 由③②得； 将，代入①得； 二次函数解析式为， ①由，，得到，故①正确； ②由二次函数解析式为得到，故②错误； ③由，，得到方程，即，解得或，故③正确； ④由二次函数解析式为知，当时，；根据对称轴为确定当时，；再由开口向上知当时，，即，故④正确； 综上所述，其中正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，涉及待定系数法确定函数关系式等知识点，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 15．(1)抛物线解析式为 (2)当或时，该函数值大于0 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先观察函数图象，得出抛物线的顶点坐标为，故抛物线的解析式为，再将，代入，进行计算，得，即可作答． （2）观察函数图象，得出抛物线与x轴的交点为与，且抛物线的开口向上，运用数形结合思想进行作答即可． 【详解】（1）解：观察函数图象，得出抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将，代入得， ∴， 即， ∴抛物线解析式为． （2）解：观察函数图象，得出抛物线与x轴的交点为与，且抛物线的开口向上， 根据函数图像可知：当或时，该函数值大于0． 16．(1) (2)抛物线的对称轴为直线 【分析】本题主要考查了求抛物线与坐标轴的交点坐标，求抛物线的对称轴， （1）令求出解，即可得出点A，B的坐标，再令可得答案； （2）将抛物线的关系式配方得出顶点式，即可得出答案． 【详解】（1）解： 令，则， 解得． ∵点A在点B左侧， ∴； 令，则， ∴； （2）解：抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线的关系式为， ∴抛物线的对称轴为直线． 17．(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及一般式与顶点式之间的转化，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）把A点和B点坐标代入中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可； （2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点，    解得 这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：． （2）解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 18．(1),， (2)，，． (3) 【分析】（1）分别把代入函数解析式即可求得点，的坐标； （2）把、代入一次函数即可求得，的值；进而确定点的坐标，进而求得反比例函数解析式； （3）先求得的长，然后结合图形求的面积即可． 【详解】（1）解：当时，，即． 当时，，解得：，即． 当时，，即． （2）解：将代入可得，即； 将代入可得，解得：； 将代入可得，解得：， 所以反比例函数解析式为． （3）解：如图： ∵， ∴，点A到y轴的距离为1， ∴的面积为． 19．(1)，； (2)． 【分析】（1）将代入先求出k，再将代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的下方，画出临界状态图象分析即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入得：， 解得：； 将，代入得：， 解得：； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 把代入得：， ∴的函数图象总是经过点， 把代入得：， 解得：， 当直线平行时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又小于函数的值， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的下方，则画出图象为， 由图象得：当直线在直线与直线之间时，符合题意， ∴m的取值范围为． 20．(1)在甲地销售吨该产品时的最大月利润为45万元，此时的值为30 (2) (3)销售地应该选择乙地 【分析】本题考查二次函数的应用、解一元二次方程，理解题意，掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据题意得到，利用二次函数的性质求解即可； （2）根据题意得到，利用二次函数性质得到最大值为，进而解一元二次方程即可求解； （3）当时，分别求出月利润、，然后比较可得结论． 【详解】（1）解：由题意，在甲地销售吨该产品时的月利润为 ， ∵， ∴当时，最大，最大值为45， 答：在甲地销售吨该产品时的最大月利润为45万元，此时的值为30． （2）解：根据题意，在乙地销售吨该产品时的月利润为 ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， 由得（负值舍去）； （3）解：当时，（万元）， （万元）， ∵， ∴销售地应该选择乙地． 21．(1)； (2)①6；②或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理，求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）①先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点B坐标，根据三角形的面积公式列式，代入数据计算即可．②根据与反比例函数的交点坐标结合函数图象进行判断即可． 【详解】（1）解：点在正比例函数图象上， ， 解得， ， 在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为． （2）解：①把直线向上平移个单位得到解析式为， 当时，， ∴直线与轴交点坐标为， ． 连接， 联立方程组， 解得，舍去， ， ， ． ②，， 由图像可知或时，． 22．(1) 抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标； (2) 抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标； (3) 抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标； (4) 抛物线的开口向下，对称轴为直线（轴），顶点坐标； (5) 抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标； (6) 抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标． 【分析】将抛物线解析式化为顶点式即可解答． 【详解】（1）解：，且， 则抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：，且， 则抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：，且， 则抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （4）解：，且， 则抛物线的开口向下，对称轴为直线（轴），顶点坐标为； （5）解：，且， 则抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （6）解：，且， 则抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 23．(1) (2)9 (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，求出直线的解析式，过点作轴并延长交于E，根据进行求解即可； （3）分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形，两种情况进行讨论，利用平移思想进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴当时，， ∴， ∵抛物线的图象与x轴交于，两点， ∴，把，代入，得：， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴设的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴并延长交于E，则：， ∴， ∴； （3）解：存在； 由（2）知，直线的解析式为：，设， ∵，且以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴； ①当四边形为平行四边形时， ∵， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，即：， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）； ②当四边形为平行四边形时， ∵， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，即：， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）； 综上：或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $