第21章 二次函数与反比例函数 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（沪科版·新教材）

答亲6D详解 把(-1,5)代入，得5=a×(-1)×(-1一4)，解得a=1, 第21章二次函数与反比例函数 ∴抛物线表达式为y=x2一4x,故①正确； 例1C[解析]，抛物线的顶点坐标为（一2，一9a), 抛物线的对称轴为直线x=2,故②正确； =-2.如6 .抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)，(4,0)， =-9a, 2a ∴.当0<x<4时，y<0,故③错误； .b=4a,c=-5a, 抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，故④正确； >这题未知系数多，利用a表示b,c,体现了裁学中 若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点，则|x2一2|> 的消元思想 x1一2|，所以⑤错误. ∴.抛物线的表达式为y=ax2十4ax一5a. 故选B. .题图中抛物线开口向上，∴.a>0,∴.4a十2b十c=4a十 例3(1)设二次函数的表达式为y=(x+2)°+， 8a-5a=7a>0,故①正确； ∴.-c=5a>0,b-4a=0,a-b+c三a4a-5a= 把A(-2,5代人，得(-2+》°+=5，解得k-, -8a≤0，b2-4ac=16a2+20a2=36a2>0, >这里a一b十c还可以利用装形结合思想，看图象 y=(+》+-=2+z+3 上横坐标为一1的点在x轴上方还是下方，b2一 (2)点B平移后的点的坐标为1一，9)， 4ac还可以结合图象与x轴交点个最判断 >点的平移遵循“纵坐标上加下减， ∴.M在x轴的正半轴，N在第二象限， 横坐标左减右加”的原则 .经过M(-c,b-4a),N(a-b+c,b2-4ac)两点 则9=(1-m)2+(1-m)十3， 的直线一定不经过第三象限，故②正确； 解得m=4或m=-1(舍去)，∴.m的值为4. 由y=ax2+4ax-5a,当y=0时，a.x2+4a.x-5a= (3)当n<-2时，最大值与最小值的差为5-(nm2+ 1 0,解得x1=-5,x2=1, 、9 1 ∴.抛物线y=ax2+4ax-5a交x轴于(-5,0)，(1,0)， n十3)=4，解得n1=2=一2，不符合题意，舍去； .若方程a(x十5)(x一1)=一1有两个根x1,x2, .1 >函数与方程结合，图象与数字结合 当一合<m<1时，最大值与最小值的差为5-是 且x1<x2,则一5<x1<x2<1,正确，故③正确； }符合照意 若方程|a.x2十bx十c|=1有四个根，设方程a.x2十 bx+c=1的两根分别为x1,x2, 当≥1时，最大值与最小值的差为(。+》'+号 则)=一2，可得x1十x2=一4. 11_9 2 4=4,解得m=1,n2=-2(含去). 设方程ax2十bx十c=一1的两根分别为x3,x4,则 1 综上所述，n的取值范围为一2≤n≤1. x3十x4=一2，可得x十x4=一4， 2 例4D[解析]，抛物线y=ax2和直线y=kx十 所以这四个根的和为一8，故④错误.故选C b的两个交点分别为A(一1,0.3)和B(3,2.7), 素养考向二次函数图象信息题一般考查各项系数 .当x=-1或x=3时，ax2=kx十b, 与图象的关系，如开口方向、对称轴、与坐标轴的交 ∴.关于x的一元二次方程ax2一bx一b=0的解为 点等，需要注意特殊，点，考查学生的数形结合能力以 x1=-1,x2=3.故选D. 及从图象中读取关键信息的能力. 例5(1)由题意知，二次函数y=ax2+bx+1.8经 例2B[解析]设抛物线表达式为y=ax·(x一4)，过点(2,3.2)和(4,4.2)，代入，得 ，34 4a+2b+1.8=3.2, 当x=- 时y取最大值，最大值为翠 16a+4b+1.8=4.2, 第公e :-3-()≤-引且函数图象的开口 .二次函数的表达式为y=一0.05x2+0.8x+1.8. 向下， (2)由(1)知，二次函数为y=-0.05x2+0.8x+1.8, .当x= 2时，y取最小值，y最小值=一 +》+ 0.8 其对称轴为直线x三一 =2×(-0.05) =8, 259 .此时最大高度为y=-0.05×82十0.8×8十1.8=5. 44 又根据信息二知，x与t是一次函数关系， 9 25 当-3≤x≤2时，y的取值范围为4≤y≤ .可设x=kt十c. (3)设直线AC的表达式为y=kx十d, 结合表格数据可得图象过(0,0)和(0.4,4)， A(-4,0),C(0,4), .c=0,且0.4k+c=4, .k=10,c=0,.一次函数为x=10t, 10=-4k+d, k=1, 解得 .当x=8时，t=0.8. l4=d, d=4, 故经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米. ∴.直线AC的表达式为y=x十4. (3)p≤0.36[解析]由题意，当t=1.6秒时，x= .xc-xA=4,∴.AC=√2(xc-xA). 10×1.6=16, .MN=√2(xN-xM),2MN≤3AC, 将x=16代入原抛物线，得y=一0.05×162+0.8× ∴.xN-xM≤6 16+1.8=1.8,即此时球的坐标为(16,1.8). 由一x2一3x十4十m=x十4，整理得x2+4x-m=0, 又新抛物线y=-0.02x2十px十m过点(16,1.8)， 得m=1.8+0.02×162-16p=6.92-16p, ∴.xN=-2十√/4十m,xM=-2-√4十m, .抛物线为y=-0.02x2+px+6.92-16p. .xN-xM=2W4干m≤6，解得-4≤m≤5. 又当x=2时，y≥1.8， .'m>0,.0<m≤5， ∴.-0.02×2+2p+6.92-16p≥1.8， .m2-2m=(m-1)2-1, 解得p≤0.36. ∴.当m=5时，m2一2m的值最大，最大值为(5一 例6(1)，抛物线y=a.x2+bx+c交y轴于点C(0,4), 1)2-1=15. ∴.c=4,∴.y=a.x2+bx+4. 例7(1)把点(-3，一2)代入反比例函数表达式，可 抛物线对称轴为元=一号，且与x轴交于A(一4,0， 得m=6,所以反比例函数的表达式为y=, 2a 2 a=-1, 解得 6=-3, 将点A(1,m代入y=,可得n=6 (-4)2a-4b+4=0, .y=-x2-3x十4. 把点(-3，一2)和点(1,6)代人y=kx十b,得 16=k+b, 解得 k=2, -2=-3k+b, b=4, “顶点坐标为-号，》。 所以一次函数的表达式为y=2x十4. (2)当x=0时，y=2x+4=4,即OC=4, 2:由①知y=-x-3+4=-(+》°+ 故SAOAC= ×4X1-2 25 1 ,-3<x≤2 例8过点C作CD⊥y轴于点D, 354 .△OAB的面积=SAOD-S△0D=2 ×4X31 4×1=4. 3)设点E的坐标为。，》， O》 如图(2)，过点A作y轴的平行线1，分别过点E和点 设点C的坐标为(a,b),点A的坐标为(0，c), F作l的垂线，垂足分别为M和N, ..CD=a,OA=c. △AOC的面积是6， ∴.SAA0c= 2CD·OA=1 ac=6,…ac=12. :点C(a,b)在反比例函数y=(x>0)的图象上， (2) ..k=ab. 由旋转可知，AE=AF,∠EAF=90°， B为AC的中点B(g,生》 ∴.∠EAM+∠MAF=∠MAF+∠AFN=90°， 中点坐标公式（色十工2，当十2 ∴.∠EAM=∠AFN. 22 |∠EAM=∠AFN, “点B在反比例函数y皇（>0》的图象上， 在△EAM和△AFN中，{∠AME=∠FNA, AE-FA, k=号.6空，即锁=66十c的=h+ac ∴.△EAM≌△AFN(AAS). ∴.FN=AM,AN=ME. 将ab=k,ac=12代入上式，得k=4. 例9(1)3一1[解析]将A(1,3)代入反比例函 已知两点坠标A(1,3),E(,), 数y空 :.FN-AM-3-3,AN-ME-q-1, 解得m=1X3=3,y=3 “点F的坐标为(3-2,4-a: a 将BCa,1D代入y=2,得m=3, :点F在函数y=3的图象上， 将点A(1,3),B(3,1)代人y=x+b,得 k十b=3,解得 (经-24-a)=3, =-1, 3k+b=1, =4, 解得a1=6,a2=1(舍去). ∴.y=-x+4. 故点E的坐标为6，》 (2)4[解析]如图(1)，设一次函数y=一x+4与 巩适特奶 x轴交于点D, 1.(1)由题意，得|m一1=0且m-1≠0， 解得m=土1且m≠1，.m=-1. 故当m=一1时，这个函数是关于x的一次函数. (2)由题意，得m-1≠0，解得m≠±1. 故当m≠士1时，这个函数是关于x的二次函数. 2.D[解析].(x1,y1),(x2,y2)在反比例函数y= (1) 令x=0,则y=4,令y=0,则x=4, 1-2m的图象上，且当x2>x1>0时， ，36 有y2>y1,∴.反比例函数的图象经过第四象限， 由图象，得图象G在直线l上方的部分，当1<x< ∴.1-2m<0, 2或x>2十√7时，函数y随x增大而增大. ∴m>2故选D. [应用].已知坐标D(1,1),E(3,1), .DE=3-1=2. 3.A[解析]抛物线y=x2一2x十3向上平移2个 单位长度，得到的抛物线的函数表达式为y= SaPm=2DE·h≥l,h≥I, x2-2x十3十2=(x一1)2+4，再向左平移3个单 ①当P在C的左侧或F的右侧部分时， 位长度后，得到的抛物线的函数表达式为y=(x一 1+3)2+4=(x+2)2+4,故选A 设P(m,弓m-2-), 4(1Dm一2，)[解析]：已知坐标Dm,), h=吉m-22-专121， 1 ∴.点C的坐标为(m,0). .(m-2)2≥10， .BC=2,.OB=m-2. .m-2≥>√/10或m-2≤-√10， .'AB=4,ABLOC,.'.A(m-2,4). ∴.m≥2+√10或m≤2-√10. (2):A,D两点在反比例函数y-冬(x>0)的图 ②如图，作对称轴交图象G于点H,交直线CD于 点M,交x轴于点N. 象上， .k=4(m-2)= 3m,解得m=3,k=4, “反比例函数的表达式为y=4(x>O)。 (第5题) (3)0<x<1或x>3[解析]由(1)，(2)可知， A1,0,D3,》,观察图象，得不等式会 已知坐标H(2,等)， (ax+b)>0的解集为0<x<1或x>3. M=-1=31， 5.[问题号 点P不可能在DE的上方. ③.MN=1,且O(0,0),A(4,0), [操作]图象G对应的函数表达式为 点P与点O或点A重合时，符合条件， 日c-2》r-青≤0或0， .m=0或m=4. 综上所述，当△PDE的面积不小于1时，m的取 3红-22+0<x<0. 值范围是m=0或m=4或m≤2-√10或m≥ [探究]在=号(x-2)2号(x≤0或x≥40中， 2+√10. 举反白 当y=1时，3x-22-青-1， 1.(1)不能.理由如下： 解得x1=2十7，x2=2-√7， 把(2,2.3)，(3,2.6)代人y=ax2+bx+1.1,得 ∴.C(2-√7,1)，F(2+√7,1). 4a+2b+1.1=2.3 解得/=0.1， 9a+3b+1.1=2.6 b=0.8, 在y=号x-2+号（0<<0中， .y=-0.1x2+0.8x+1.1=-0.1(x-4)2+2.7. 当y=1时，-3x-22+g=1, .-0.1<0, .当x=4时，y有最大值，最大值为2.7. 解得x1=3,x2=1,.D(1,1),E(3,1). 2.8>2.7, 374 .羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达 0<h≤20cm,故原说法错误，不符合题意； 到2.8m. B.当液体密度p=2g/cm3时，浸在液体中的高度 (2),保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状 h=10cm,故原说法错误，不符合题意； 不变，∴.a=-0.1, C.当浸在液体中的高度0<h≤25cm时，该液体 .表达式为y=-0.1x2+kx+1.1. 的密度p≥0.8g/cm3,正确，符合题意； 当x=5时，y=-0.1×52+5k+1.1>2.1, D.当液体的密度0<p≤1g/cm3时，浸在液体中的高 解得k>0.7. 度h≥20cm,故原说法错误，不符合题意.故选C ,'球的落地点与球网的水平距离小于6m, 4,(1)根据题意，得△t=Q cm .当x=5+6=11时，y=-0.1×112+11k+ .将3kg温度为25℃的水加热到75℃， 1.1<0,解得k<1. .m=3kg,△t=75-25=50℃， .k的取值范围为0.7<k<1. 2.(1)设当1≤x≤4时，y与x的函数表达式为y= 是39-150.ar-15∞ .50= m x 把点(1,180)代人，得180= :8的值为150，d心关于m的反比例函数的表达 1 .k=180, 式为△r=150 .当1≤x≤4时，y与x的函数表达式为y= (2).25℃的水加热到100℃， 当x=4时y 180 180 ∴.△t=100-25=75(℃)， 4 =45. 故当1≤x≤4时，y与x的函数表达式为y= 75=150 ，解得m=2, m ,该种水果4月份的销售额为45万元。 180 .现有的木柴可将2千克温度为25℃的水加热到 100℃. (2)设当x>4时，y与x的函数表达式为y= 5.(1)根据“关联抛物线”的定义可得，C2的表达式为 k1x十b, y=a.x2+4a.x+4a-3. 把点(4,45)和(5,60)代入， .y=ax2+4ax+4a-3=a(x+2)2-3, 4k1+6=45,.k1=15, 得 5k1+b=60,b=-15, .C2的顶点坐标为（一2，一3） (2)①设点P的横坐标为m. ∴.当x>4时，y与x的函数表达式为y=15x一15. 过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1,C2于 当1≤≤4时，令y=90,则90=180，解得工=2， 点M,N, .2月、3月和4月的销售额不超过90万元； .M(m,4am2+am +4a-3);N(m,am2+ 当x>4时，令y=90,则90=15.x-15,解得x= 4am+4a-3), 7,∴.5月、6月和7月的销售额不超过90万元， .MN=4am2+am+4a-3-(am2+4am+ ∴.该村水果有6个月的月销售额不超过90万元. 4a-3)l=|3am2-3am. 旧纳总结本题考查反比例函数的应用、一次函数 ,MN=6a,且a>0, 的应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键 ∴.|3am2-3am=6a, 解得m=-1或m=2, 3.C[解析]由题意，得反比例函数表达式为h=20 0 .P(-1,0)或(2,0. A.当液体密度p≥1g/cm3时，浸在液体中的高度 ②，C2的表达式为y=a(x+2)2-3, ，38 当x=一2时，y=一3， ∴揽物线的表达式为y=一寻+ 2x+4. 当x=a-4时，y=a(a-4+2)2-3=a(a- 2)2-3, 令y=0,则-x+3x十4=0，解得x=-2 当x=a-2时，y=a(a-2+2)2-3=a3-3. 或8， 根据题意可知，需要分三种情况讨论： .A(-2,0),B(8,0), 对于二次函裁在给定区间求最值问题要先 .AB=8-（-2)=10. 确定对称轴与区间的位置关系，分情况讨论 (1)当a-4≤-2≤a-2时，0<a≤2， (2)(I)油(1)知抛物线的表达式为y=一z 且当0<a≤1时，函数的最大值为a(a一2)2-3， 2x+4 函数的最小值为一3， 当x=0时，y=4,即C(0,4), ∴.a(a-2)2-3-(-3)=2a, 由点B,C的坐标，得直线BC的表达式为y= 解得a=2-√2或a=2十√2（舍去）或a=0(舍去)； 当1<a≤2时，函数的最大值为a3-3,函数的最 22+4, 小值为一3， 由题意，得点M的坐标为(m,一m2十多n十 ∴.a3-3-(-3)=2a, 解得a=√2或a=-√2（舍去）或a=0(舍去)； 4,点N的坐标为(m,m十4，且0<m<8, (i)当-2<a-4<a-2时，a>2, 函数的最大值为a3一3，函数的最小值为a(a N=-m+m+4-(2m+4到=-子m 2)2-3, 十2m= 4(m-4)2+4, .a3-3-[a(a-2)2-3]=2a, ∴.当m=4时，线段MN的长有最大值， 3 解得a=2(舍去)或a=0(舍去)： m2+m+4=-×军+×4+4 此时-m (i)当a-4<a-2<-2时，a<0,不符合题意， 6,.点M的坐标为(4,6). 舍去 (Ⅱ)存在点M使△DMN为等腰直角三角形.理 综上所述，a的值为2一√2或√2， 由如下： 思路得本题考查了关联抛物线的定义和应用. .MD⊥MN,∴.∠DMN=90°， (1)根据“关联抛物线”的定义写出C2的表达式，然 ∴.当DM=MN时，△DMN为等腰直角三角形 后将该表达式化成顶点式，从而可得C2的顶点坐 当点M在对称轴右侧时，如图(1). 标.(2)①设，点P的横坐标为m,然后用含有m的代 ,MD⊥MN,交抛物线于 数式表示出，点M和点N的坐标，再根据两点间距 点D,MN∥y轴，抛物线 离公式计算MN的长，从而列出方程，即可求出，点P 的对称轴是直线x=3,点M 的坐标；②本题我们需要根据a一4，一2和a一2的 的横坐标为m, 大小来分情况讨论，当a一4≤-2≤a一2时，当-2 0 31 ∴.DM=2(m-3),∠DMN <a-4<a-2时，当a-4<a-2<-2时，分别得出 =90°， (1) C2的最大值和最小值，最后通过方程，可求出a的值. .当DM=MN时，△DMN为等腰直角三角形 6.(1),抛物线的对称轴是直线x=3, 3 “由(1知，MN的长为-m2+2m, 2 1 .2a =3,解得a= 4 .2(m-3)=-1m 4n2+2m, 391 解得m=2w6或-2√6（舍去）； .AB=FA=4,∠AFE=∠B=90° 当点M在对称轴左侧时，如图(2). ,E是BC的中点， ,MD⊥MN,交抛物线于 点D,MN∥y轴，抛物线 BE-EF-BC- 的对称轴是直线x=3, .MN⊥AD,MN⊥BC,∠AFE=90°， 点M的横坐标为m, .∠AFM+∠EFN=90°，∠FEN+∠EFN=90°， 0 3 .∴.DM=2(3-m),∠DMN .∠AFM=∠FEN, (2) =90°， ∴.△AFMp△FEN, (第6题) '.当DM=MN时，△DMN为等腰直角三角形 职即M-N 1 :MN的长为-4m+2m, .FM+FN=MN=AB=4, ∴.2(3-m)= 4m2+2m, FN=4青EN 解得m=8-2√10或m=8+2√10（舍去）. 在Rt△EFN中，EN2+FN2=EF2, 综上所述，存在点M使△DMN为等腰直角三角 EN+4-号EN)°-9，解得EN-器或8， 形，点M的横坐标m的值为2√6或8-2√10. 其中EN=3不符合题意，舍去， 第22章相似形 期N-碧C-碧 例1C[解析]A.:10×4≠5×6，∴.四条线段不成 比例； FC-VFNFNCF-18 B.3X√2≠2×√3，.四条线段不成比例； 例5[解题思路]如图，过点C作CFDB,交AB的 C..2X√15=√5×2√3，.四条线段成比例； 延长线于点F D..8×15≠11×12，.四条线段不成比例. 故选C @2; 儿解折8-后-子6+d≠0. 6台8后-骨 例3B[解析]设AM=x,则BM=2-x. .CF//DB, ,M是黄金分割点且AM>BM, .AMP=AB·BM,即x2=2(2-x), ÷0铝∠CBD=∠BCP,∠ABD=∠R 解得x=√5-1（负值已舍去）， BD平分∠ABC,∴.∠ABD=∠CBD, ∴.AM=√5-1.故选B. ∠F=∠PBP-BC,00 例4如图，过点F作MN∥AB,则MN⊥AD于 点M,MN⊥BC于点N. [结论应用]0记.AB=9,6C=6 .AD_93.CD_2 CD 6 2CA=5 .DE∥AB,∴.△CDE△CAB, .将△ABE沿AE折叠得到△AFE, --- SACAB ，40第21章 二次函数与反比例函数 知识梳理导图 一般地，表达式形如y=ax2十 bx十c(a,b,c是常数，且a≠0) 一般地，表达式形如 的函数，叫作x的二次函数 定义 y=是传为常数，且 1.一般式；2.顶点式；3.交点式。三种表达式 定义 0)的函数叫作反比例 概念 9函数 二次函数的实际应用 一殷 y-是 对称轴：x=一 6 表示 形式 (为常数，≠0) 2a b 4ac-b2 形式 其他 y=kx,xy=k 顶点坐标： a 形式 (k为常数，≠0) a>0,函数y随着x 先减小后增大 次 图象 反比例函数图象是双曲线 y=ax2+ k>0,两支曲线分别位于 a<0,函数y随着x bx+c 次 数与反 反比例 第一、三象限，在每个象限内， 先增大后减小 增减性的性质 y随x增大而减小 数 a0,yam=4ac-b2 例 函 性质 k<0，两支曲线分别位于 Aa 第二、四象限，在每个象限内， a<0,y=4ac一b y随x增大而增大 4a,最值 与一次函数综合应用 抛物线与c轴交，点的横坐标就 二次函数 是其相应一元二次方程的根关系 与一元二 应用 与物理等其他学科综合应用 次方程 用图象法解一元二次方程。应用 实际生活中的应用 重难疑点解法 2上分点1二次函数的图象和性质 ④若方程|ax2十bx十c|=1有四个根，则这四个 例1(2025·衡水束强模拟)二次函数y=ax2十bx十 根的和为一4. 其中正确的结论是()。 c(a>0)的大致图象如图所示，顶点坐标为（一2，一9a), 有下列结论： ①4a+2b+c>0; ②经过M(-c,b-4a),N(a-b+c,b2-4ac) 两点的直线一定不经过第三象限； ③若方程a.x2十bx十c=一1有两个根x1,x2,且 x1<x2,则一定满足-5<x1<x2<1; A.①②④ B.③④ 实验班提优训练数学九年级上SHKJ C.①②③ D.①③ 份上分点2二次函数的最值问题 名师启发本题考查二次函数的性质、二次函数 例3(2024·浙江中考)已知二次函数y=x2十 图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知 bx十c(b,c为常数)的图象经过点A(一2,5)，对称轴 识，根据二次函数的性质一一判断即可。 归纳烤 为直线x=一，、 二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)： ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大 (1)求二次函数的表达式； 小：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物 (2)若点B(1,7)向上平移2个单位长度，向左平 线开口向下；a越大，开口就越小；|a越小，开口 移m(m>0)个单位长度后，恰好落在y=x2十bx十c 就越大 的图象上，求m的值； ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对 (3)当-2≤x≤n时，二次函数y=x2十bx十c 称轴的位置：当a与b同号（即ab>0)时，对称轴 在y轴左侧；当a与b异号（即ab<0)时，对称轴 的最大值与最小值的差为？，求刀的取值范围. 在y轴右侧， 名师启发本题主要考查了待定系数法、二次函 数的图象与性质。 例2(2025·安徽六安霍邱期中)已知二次函数 (1)用待定系数法求二次函数表达式； y=ax2十bx十c的y与x的部分对应值如表： (2)先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入 0 2 3 4 表达式即可； 0 0 (3)分m心一合，言≤m<1,n≥1三种待况，建 下列结论： 立方程解题即可· ①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为x=2; ③当0<x<4时，y>0; ④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4； ⑤若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上的两点，则 x1<x2: 其中正确的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 名师启发先利用交点式求出抛物线表达式，则 7方法技巧 求二次函数最值的一个较为简便的方法就是 可对①进行判断；利用抛物线的对称性可对②进行判 利用配方法，将二次函数表达式转化为y=a(x十 断；利用抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)，(4,0)可 k)2十h的形式，然后根据二次函数增减性和取值 对③④进行判断；根据二次函数的增减性可对⑤进行 范围即可解答 判断. 女方法技巧 上分点3 二次函数与一元二次方程 本题考查了抛物线与x轴交点：把求二次函 例4(2026·云南昆明官渡区期末改编)如图，抛物 数y=ax2十bx十c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴 线y=a.x2和直线y=k.x十b(a,k,b均为常数，且ak 的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方 ≠0)的两个交点分别为A(一1,0.3)和B(3,2.7),则 程，利用表格画出函数图象草图，也考查了二次函 数的性质 关于x的一元二次方程a.x2一x一b=0的解为 第21章 球的高度，x(米)是球和原点的水平距离.当网球所在 B 点的横坐标x为2，纵坐标y≥1.8时，力的取值范围 为 (直接写出结果). 20.3 名师启发(1)根据二次函数y=ax2十bx+1.8 -10 (a,b为常数)的图象经过点(2,3.2)，(4,4.2)，再用 A.x1=1,x2=2.7 待定系数法计算得解； B.x1=1,x2=3 (2)依据题意，先由二次函数的表达式求出网球 C.x1=-1,x2=2.7 被击出后达到的最大高度，再根据信息二已知x与t D.x1=-1,x2=3 是一次函数关系，从而求得一次函数的表达式，进而 名师启发根据一次函数图象和二次函数图象 得解； 上点的坐标特征，当x=一1或x=3时，ax2=kx十 b,从而得到关于x的一元二次方程ax2-kx一b=0 (3)依据题意，当t=1.6秒时，x=10×1.6=16, 再代入原抛物线的表达式，得y=一0.05×162十 的解 ☆方法技巧 0.8×16+1.8=1.8,即此时球的坐标为(16,1.8)，又 函数y=ax2十bx十c与函数y=kx十b的图象 新抛物线y=-0.02x2十px十m过点(16,1.8)，得 交，点横坐标即为方程ax2十bx十c=kx十b的解. m=1.8+0.02×162-16p=6.92-16p,则抛物线为 y=-0.02x2+x+6.92-16p,结合当x=2时， 2上分点4二次函数的实际问题 y≥1.8，进而计算即可得解. 例5(2025·青岛中考)小磊和小明练习打网球 在一次击球过程中，小磊从点O正上方1.8米的点A 将球击出. 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，O为 原点，OA在y轴上，球的运动路线可以看作是二次 函数y=ax2+bx十1.8(a,b为常数)图象的一部分， 其中y(米)是球的高度，x(米)是球和原点的水平距 离，图象经过点(2,3.2)，(4,4.2). y/米 小明击球点 米 信息二：球和原点的水平距离x(米)与时间 t(秒)(0≤t≤1.6)之间近似满足一次函数关系，部分 ☆方法技巧 解答本题的关键是求出函数关系式；根据对称轴 数据如下： 求最值；根据信息二找出x与t的关系式，从而求解； t/秒 0 0.4 0.6 再根据函数关系式，把t代入求p的取值范围. x/米 0 (1)求y与x的函数关系式. 分上分点5二次函数综合题 (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？ 例6(2026·安徽滁州天长期末)已知抛物线y= 最大高度是多少？ ax2+bx十c交x轴于A(-4,0),B两点，交y轴于 (3)当t为1.6秒时，小明将球击回，球在第一象 3 限的运动路线可以看作是二次函数y=一0.02x2十 点C0,4),对称轴为x= px十m(p,m为常数)图象的一部分，其中y(米)是 (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； 34 实验班提优训练数学九年级上SHKJ (2)当-3≤x<2时，求y的取值范围； y-”的图象相交于点A(1,n),B(-3,一2)，且与 (3)将抛物线y=ax2十bx十c向上平移m(m> y轴交于点C. 0)个单位长度，平移后的抛物线与直线AC相交于 (1)求一次函数、反比例函数的表达式； M,N(,点M在N点的左边)两点，若2MN≤3AC,求 (2)连接OA,求△OAC的面积 m2-2m的最大值， 名师启发(1)利用待定系数法可求出抛物线的 表达式，进而可求出顶点坐标； (2)根据二次函数的性质解答即可求解； (3)利用待定系数法求出直线AC的表达式，又 由点A,C的坐标可得xN一xM≤6，联立方程可得 xN=一2十√4十m,xM=-2-√4十m,即可得 名师启发(1)用待定系数法求一次函数的表达 2√4十m≤6，得到0<m≤5，再根据二次函数的性质 式和反比例函数的表达式，解题的关键是掌握一次函 可求出m2-2m的最大值. 数、反比例函数交点问题的解法. (2)利用面积公式进行计算. 关键提醒 知识拓表 本题考查了二次函数的综合应用，涉及用待定 本题考查反比例函数与一次函数的综合问题 系数法求二次函数表达式、二次函数的图象和性质、 求图形面积问题，除了转化为线段代数类问题，有 二次函数的最值、一元二次方程根与系数的关系等 知识，解题的关键是联立两个函数表达式为方程，用 时还能利用反比例函教y=么中k的几何意义求 m表示出M,N两，点的横坐标，从而求得m的范围，最 后根据二次函数的性质求出m2一2m的最大值. 解，体现了数形结合的思超，反北例西数y一兰（ ≠0)的比例系数的几何意义：过双曲线上任意 上分点6反比例函数 一点分别向x轴、y轴作垂线，两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形面积为k.因此，反比例函数的问 例7(2025·常州中考)如图，在平面直角坐标系 题一定要紧扣图象上的点，灵活运用上述k xOy中，一次函数y=x十b的图象与反比例函数 4 第21章 分上分点7反比例函数综合题 例9(2026·安徽六安裕安中学期末)如图(1)，反 例8如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边 比例函数y=”(m≠0)与一次函数y=x十b(k≠ OA在y轴上，点C在第一象限内，B为AC的中点， 0)的图象交于点A(1,3),点B(n,1),一次函数y= 反比例函数y=(x>0)的图象经过B,C两点.若 kx十b(k≠0)与y轴相交于点C. △AOC的面积是6，求k的值. ◆y (1) (2) 0 名师启发过点C作CD⊥y轴于点D,设点C (1)m= ,k= 的坐标为(a,b),点A的坐标为(0，c),则CD=a, (2)连接OA,OB,则△OAB的面积是 OA=c,由△AOC的面积是6，得ac=12,将点C(a, (3)如图(2)，E是反比例函数图象上点A右侧一 b)代入反比例函数的表达式得k=ab,然后根据点B 点，连接AE,把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点 E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上， 为AC的中点得点B(受，生)，将点B的坐茶代入 求点E的坐标 反比例函数表达式得友=号·6士，据党即可求出女 名师启发(1)将A(1,3)代入反比例函数的表 2 的值. 达式求得m的位，再将BC0,1D代入y-,即可求解， (2)利用△OAB的面积=S△o4D一S△oD,即可求解； (3)先设出点E的坐标，再利用旋转的性质结合 全等三角形的性质得出点F的坐标代入反比例函数 表达式即可解决问题 关键提醒 本题主要考查了反比例函数的图象，解答本题 的关键是理解函数图象上的，点满足函数的表达式， 满足函数表达式的点都在函数的图象上.一般地， 过反比例函数y=（k为常数，k≠0)图象上任一 点P,向x轴和y轴作垂线，以点P及点P的两 个垂足和坐标原点为顶，点的矩形的面积等于||，以 ☆方法技巧 点P及，点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问 题，也考查了全等三角形的判定和性质.熟知反比例 形的面积等于号1。 函数及一次函数的图象和性质是解题的关键， 5 实验班提优训练数学九年级上SHKJ 易错易混辨析 )易错点1 题意理解不透彻、考虑不周导 辨析归纳 致错误 解此类题目时，要先分析的符号，确定函数图 例1若y=(m-1)×xm+1-2x是关于x的 象所在的位置，再分析各点所在的象限，对于同一个 象限内可利用反比例函数的增减性比较；不同象限 二次函数，则m= 内的比较，在x轴上方的点对应的函数值大，即用正 m-1≠0， 解析根据二次函数概念，得 解得 负性判断 lm+1=2, m=-1. 巩固特训 答案一1 辨析伯纳 2.(2026·安微安庆期末)在反比例函数y=一2m的 x 判断二次函数，首先确定自变量最高次数是 图象上有两点(x1,y1),(x2,y2),当x2>x1>0 2,其次注意二次项系数不能为零。 时，有y2>y1,则m的取值范围是(). A.m<0 B.m>0 巩固特训 1.已知函数y=(m|一1)x2+(m-1)x-m-1. C.n< nm心号 (1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值； 未能弄清楚函数图象平移、折叠 )易错点3 (2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取 的规则造成错解 值范围. 例3(2026·安徽毫州期末)将抛物线y=一x2十 1先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长 度后，所得新抛物线的顶点式为( A.y=-(x-3)2-2 B.y=-(x+3)2-2 C.y=(x+3)2-2 D.y=-(x+2)2-3 解析本题考查了二次函数图象的平移.根据抛 物线平移规则“左加右减，上加下减”，对抛物线 y=一x2十1先向左平移3个单位长度，得到y= 一(x+3)2+1;再向下平移3个单位长度，得到y= )易错点2探究函数的增减性不分象限 -(x+3)2+1-3=-(x+3)2-2. 答案B 例2已知点A(1,y1),B(2,y2),C(-3,y)都 辨析伯纳 --------- 在反比例函数y= 对于二次函数图象的平移，将二次函数配方后 x 二的图象上，则y1,y2,y3的大 形式就是y=a(x十h)2十k,左右移动实际就是对 小关系是 .(请用“<”连接) 称轴的移动，就是确定x十h=0时h的值；上下移 解析，k2+1>0, 动就是确定的值.所以规则在函数表达式中体现 反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个 就是“左加右减，上加下减”， 象限内，y随x的增大而减小，且当x>0时，y>0,当 x<0时，y<0, 饥固特训 .y3<0<y2<y1 3.将抛物线y=x2一2x十3向上平移2个单位长度， 答案y3<y2<y1 再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的函数 6 第21章 表达式为(). 5.[问题]如图(1)，在平面直角坐标系中，抛物线y= A.y=(x十2)2+4 B.y=(x-4)2+4 a(x-2)2-4 31 经过原点O,与x轴的另一个交点 C.y=(x+2)2 D.y=(x-4)2+6 4.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x 为A,则a= 2 [操作]将图(1)中抛物线在x轴下方的部分沿 >0)的图象上有-点D(m,号)，过点D作CD1 x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩 余部分的图象组成的新图象记为G,如图(2)，直 x轴于点C,将点C向左平移2个单位长度得到 接写出图象G对应的函数表达式； 点B,过点B作y轴的平行线交反比例函数的图 [探究]在图(2)中，过点B(0,1)作直线1平行于 象于点A,已知AB=4. x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C,D, (1)点A的坐标为 ;(用含m的式子 E,F,如图(3)，求图象G在直线1上方的部分对 表示) 应的函数y随x增大而增大时x的取值范围； (2)求反比例函数的表达式： [应用]P是图(3)中图象G上一点，其横坐标为 (3)设直线AD的表达式为y=ax+b(a,b为常 m,连接PD,PE,直接写出当△PDE的面积不小 数且a≠0，则不等式是 -(a.x十b)>0的解集 于1时，m的取值范围. 是 A 1 (第4题) (3) (第5题) 素养考向提分 新情境 器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作 例1[问题背景] 简易计时装置. “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具 [实验操作] 综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里 7 实验班提优训练数学九年级上SHKJ 加满水，此时水面高度为30cm,开始放水后每隔 .每隔10min水面高度观察值的变化量为一1cm, 10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0.9cm,-1.1cm,-1.2cm. 流水时间t/min 0 10 20 30 40 任务2：设水面高度h与流水时间t的函数表达 式为h=kt十b. 水面高度h/cm 30 29 28.1 27 25.8 (观察值) ,t=0时，h=30;t=10时，h=29, b=30, k=-0.1, 任务1：分别计算表中每隔l0min水面高度观察 解得 10k+b=29, b=30, 值的变化量， 水面高度h与流水时间t的函数表达式为 [建立模型] h=-0.1t+30. 小组讨论发现：“t=0,h=30”是初始状态下的准 任务3：(1)=(30-30)2+(29-29)2+(28 确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函 28.1)2+(27-27)2+(26-25.8)2=0.05. 数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系. (2)设经过(0,30)的一次函数表达式为h=k1t十 30,则w=(30一30)2+(10k1+30一29)2+(20k1十 30-28.1)2+(30k1+30-27)2+(40k1+30-25.8)2 节流阀 =3000k+612k1+31.25=3000(k1+0.102)2+ 0.038, .当k1=-0.102时，w的值最小为0.038， .优化后的一次函数表达式为h=一0.102t+30. 任务4：时间刻度方案要点： 任务2：利用t=0时，h=30;t=10时，h=29这 ①时间刻度的0刻度在水位最高处： 两组数据求水面高度h与流水时间t的函数表达式. ②刻度从上向下均匀变大； [反思优化] ③每0.102cm表示1min(1cm表示时间约为 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中 9.8min). 求出的函数表达式，存在偏差.小组决定优化函数表 3点拨 达式，减少偏差.通过查阅资料后知道：t为表中数据 本题考查了一次函数和二次函数的应用， 时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数 熟练掌握待定系数法求函数表达式及一次函数 值与对应h的观察值之差的平方和，记为；w越小， 的函数值、二次函数的最值是解题的关键， 偏差越小. 例2(2026·上海闵行区期末)人工智能已经逐渐 任务3：(1)计算任务2得到的函数表达式的w值. 融入我们的生活.某餐厅为了跟上时代的步伐，购买 (2)请确定经过(0,30)的一次函数表达式，使得 了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是 w的值最小 可以调整的.在水平地面上，当机器人对地面的压力 [设计刻度] 一定时，地面所受压强与接触面积之间存在反比例函 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在 数关系（数据如表一所示）.餐厅的地面由玻璃、木地 甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间. 板和大理石三种材质拼接而成.地面材质与地面承受 任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案。 的最大压强的关系如表二所示。 解析根据实验数据找出关键信息，应用一次函 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 数和二次函数的性质，即可解决问题， 地面所受 4× 6× 8X× 1× 答案任务1：变化量分别为 压强p/Pa 104 104 104 109 29-30=-1(cm),28.1-29=-0.9(cm),27 接触面积 1.2× 8× 6× 4.8 28.1=-1.1(cm),25.8-27=-1.2(cm), S/m2 10-2 10-3 10-3 10-3 8 第21章 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 y/m 地面材质 玻璃 木地板 大理石 发球点 承受的最 4.8×10 2.4×10 2.5×108 x/m 大压强p/Pa (第1题) (1)求地面所受压强p(Pa)关于接触面积S(m) [建立模型]求y与x的函数表达式（不要求写自 的函数表达式（不写自变量的取值范围）； 变量取值范围)， (2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米 [应用模型 解答(I)设地面所受压强p(Pa)关于接触面 (1)羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达 积S(m2)的函数表达式为力= F 到2.8m?请说明理由. (2)保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不 将4X10,1.2X10)代入p-5,得F=4× 变，改变发球方式，使其表达式变为y=ax2十 104×1.2X10-2=4.8×102, kx十1.1，发球点与球网的水平距离是5m.若羽 ∴.地面所受压强p(Pa)关于接触面积S(m)的 毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1m, 函数表达式为力-4.8X10 且球的落地点与球网的水平距离小于6m,求的 S 取值范围。 (2)把力=2.5×10代入力=4.8×10 ,得S= 1.92×10-6. 故该机器人与地面的接触面积至少为 1.92X10-6平方米 ©点拔 本题以机器人为背景，主要考查以物理知 识为情境的反比例函数应用的相关知识，知道 物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关 系是解题的关键，计算时需要仔细. 举反白 1.(2025·武汉中考)某校数学小组开展以“羽毛球飞行 路线”为主题的综合实践活动. [研究背景]羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直. [收集数据]某次羽毛球飞行的高度y(单位：m)与 距发球点的水平距离x(单位：m)的对应值如下表 (不考虑空气阻力). 水平距 0 2 3 5 2.为了更好地助推乡村振兴，今年水果上市期间，某 离x/m 单位驻村工作队立足本地特色，依托“电商十直 竖直高 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 。 播十供销大集”等销售模式，在打通为农服务“最后 度y/m 一公里”上主动作为，在村里成立村级供销合作社， [探索发现]数学小组借助计算机画图软件，建立 以“互联网十电商”助农模式，帮助果农进行销售， 平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球 该村水果月销售额y(万元)与月份x之间的变化 飞行路线是抛物线y=a.x2+bx+1.1的一部分. 如图所示，在成立村级供销合作社前是反比例函数 9 实验班提优训练数学九年级上SHKJ 图象的一部分，成立村级供销合作社后是一次函数 答案(1)把(4,9)代入反比例函数表达式I= 图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题： (1)当1≤x≤4时，求y与x的函数表达式，并求 R,解得k=9X4=36. 出该种水果4月份的销售额 (86提示当R=6n时1-管6， (2)该村水果有多少个月的月销售额不超过90万元？ (3)R≥3.62 提示：当1≤10A时，则0≤10， 180 .R≥3.62. 60 0 的点拔本题考查了反比例函数的应用，解题的关 键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数 (第2题) 的知识解决实际问题. 举反白 3.综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体 的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体 中的高度h(cm)是液体的密度p(g/cm3)的反比 例函数，其图象如图所示(>0).下列说法正确的 是( h/cm 20 p/(g/cm) (第3题) 跨学科 A.当液体密度p≥1g/cm3时，浸在液体中的高度 例3已知某蓄电池的电压为定值，使用此电源 h≥20cm 时，用电器的电流I(单位：A)与电阻R(单位：2)成 B.当液体密度p=2g/cm3时，浸在液体中的高度 h=40 cm 反比例函数关系，即1一是（≠0，其图象如图所示 C.当浸在液体中的高度0<h≤25cm时，该液体 (1)求k的值； 1/A 的密度p≥0.8g/cm (2)若用电器的电阻R为62， D.当液体的密度0<p≤1g/cm3时，浸在液体中 则电流I为 A; 的高度h≤20cm (3)如果以此蓄电池为电源的 4.寓言故事：青年用木柴烧水时，由于木柴不足，水 用电器的电流I不得超过10A, R/2 没有烧开，重新找木柴的时间水已变凉，而新找的 那么用电器的电阻R应控制的范围是 木柴也不够将水重新烧开，很是气馁.路过的智者 解析(1)先由电流I是电阻R的反比例函数， 提醒他，木柴不够，可以将水倒掉一部分.青年听 可设1-食，结合点(4,9》在通数图象上，利用待定系 后，茅塞顿开，把水烧开了.智者的话蕴含一定道 理，根据物理学公式Q=cm△t(Q表示寓言故事 数法即可求出及的值：（②）1- 中，令R=6,求出对 中水吸收的总热量，c表示水的比热容，c为常数， 应的I的值即可；(3)将I≤10代入所求的函数表达 m表示水的质量，△：表示水的温差)，得△M=Q m 式，可确定电阻R的取值范围. 智者的话可解释为当木柴质量确定时，提供给水吸 10 第21章 收的总热量Q随之确定，？为定值，水上升的温度 ②方程x-2引x=-有 个实数根； △（单位：℃）与水的质量m(单位：kg)成反比例. ③关于x的方程x2一2|x|=a有4个实数根 (1)若现有木柴可以将3kg温度为25℃的水加热 时，a的取值范围是 到75℃，请求出这种情形下Q的值及△关于m 的反比例函数的表达式。 (2)在(1)的情形下，现有的木柴可将多少千克温 度为25℃的水加热到100℃？ 3元 解析 (1)根据当x=2或x=一2时函数值相 等即可得 (2)将坐标系中y轴右侧的点按照从左到右的顺 序用平滑的曲线依次连接可得。 (3)①根据函数图象与x轴的交点个数与对应方 程的解的个数间的关系可得； ②由直线y=合与y=2-2引x的图象的交 点个数可得： ③由直线y=a与y=x2-2|x|的图象有4个交 点结合(2)中所画图象可得. 答案(1)0提示：由函数表达式y=x2一2|x|, 新考法 知当x=2或x=一2时，函数值相等， .当x=-2时，m=0. 例4某班“数学兴趣小组对函数y=x2一2x的 (2)补全图象如图所示. 图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的 几组对应值列表如下： 3 5 5 2 2 0 2 2 5 53 3 m 0 0 3 4 其中，m= (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标 (3)①33提示：由图象可知，函数图象与x轴 系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函 有3个交点，所以对应的方程x2一2x|=0有3个实 数图象的另一部分 数根， (3)探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有 个交点，所以对应的 ②4提示：由函数图象，知直线y=一与y 方程x2-2x=0有 个实数根； x2一2x的图象有4个交点，所以方程x2一 114 实验班提优训练数学九年级上SHKJ 2x=- 有4个实数根. 1 ,x1十x2≠y1十y2, .N2(3,一1)不是点M的等和点； ③一l<a<0提示：由函数图象，知关于x的方 由M(1,3),N3(0,-2),得x1+x2=y1+y2= 程x2-2x|=a有4个实数根时，-1<a<0. 1,.N3(0,一2)是点M的等和点. 色通本短主要考查见物战与之的的文小、好是 (2)设点N的横坐标为a, 的关键是熟练掌握二次函数图象与x轴交点坐 .点N是点M(3,-2)的等和点， 标和对应方程的解之间的关系. 点N的纵坐标为3十a-(-2)=a+5, 例5(2024·赤峰中考)在平面直角坐标系中，对 .点N的坐标为(a,a+5). ,点N在直线y=x十b上， 于点M(x1y1),给出如下定义：当点N(x2,y2)满足 ∴.a+5=a+b,.b=5. x1十x2=y1十y2时，称点N是点M的等和点. (3)由题意，得k>0,双曲线分布在第一、三象限 (1)已知点M(1,3),在N1(4,2),N2(3,-1),N3(0, 内，设直线与双曲线的交点分别为点A,B,如图，由 一2)中，是点M的等和点的为 当y1<y2时，x的取值范围是x>4或-2<x<0, (2)若点M(3,一2)的等和点N在直线y=x十b 可得点A的横坐标为4，点B的横坐标为一2. 上，求b的值； (3)已知双曲线1-是和直线：=x一2，满足 y1<y2的x取值范围是x>4或-2<x<0.若点P 在双曲线=皇上，点P的等和点Q在直线：= x一2上，求点P的坐标 解析(1)根据等和点的定义判断即可求解； 把x=4代入y=x-2,得y=4-2=2,∴.A(4,2). (2)设点N的横坐标为a,根据等和点的定义得点N 的纵坐标，把点N的坐标代入y=x十b即可求解； 把A,2代人=是得2=会A=8, (3)由题意，得>0，双曲线分布在第一、三象限 内，设直线与双曲线的交点分别为点A,B,由当y< “反比例函数的表达式为1= y2时，x的取值范围是x>4或一2<x<0,可得点A 设P(m,8),点Q的横坐标为n, 的横坐标为4，点B的横坐标为一2，即得A(4,2),得 m 到反比例西数表达式为1-，设P(m,》,点Q 点Q是点P的等和点， 心点Q的纵坐标为m十-8 的横坐标为n,根据等和点的定义得Q(n,m十n ∴.Q(n,m十n 8 品)代入=x一2得m-8+2=0,解方程得 m m 点Q在直线y2=x一2上， m1=一4，m2=2,据此即可求解. 答案(1)N1(4,2)和N3(0,一2)提示：由M 心m+n-8 =n一2， m (1,3),N1(4,2),得x1+x2=y1+y2=5, 整理，得m2十2m-8=0, .点N1(4,2)是点M的等和点. 解得m1=-4,m2=2, 由M(1,3),N2(3,-1),得x1+x2=4,y1+ 经检验，m1=一4，m2=2是原方程的解， y2=2. .点P的坐标为(-4，-2)或(2,4). >12 第21章 点拔】 6.(2026·安徽A20联盟期末)如图，已知抛物线y= 本题考查了，点的坐标新定义运算、一次函 数，点的坐标特征、一次函数与反比例函数的交 ax2+3 x十4的对称轴是直线x=3,与x轴相交于 点问题，理解等和点的定义是解题的关键 A,B两点（点B在，点A的右侧），与y轴交于点C. 样反月 (1)求线段AB的长， (2)若点M是抛物线上B,C两点之间的一个动点 5.新定义：我们把抛物线y=ax2十bx十c(其中ab≠ (不与点B,C重合)，设点M的横坐标为m,过点M 0)与抛物线y=bx2十ax十c称为“关联抛物线”. 作MN∥y轴，交直线BC于点N 例如：抛物线y=2x2十3x十1的“关联抛物线”为 (I)当线段MN的长有最大值时，求点M的坐标. y=3x2+2x+1.已知抛物线C1:y=4a.x2十ax十 (Ⅱ)过点M作DM⊥MN交抛物线于点D,是否 4a-3(a≠0)的“关联抛物线”为C2. 存在点M使△DMN为等腰直角三角形？若存 (1)写出C2的函数表达式（用含a的式子表示）及 在，求出m的值；若不存在，说明理由， 顶点坐标 *Y (2)若a>0,过x轴上一点P,作x轴的垂线分别 交抛物线C1,C2于点M,N. ①当MN=6a时，求点P的坐标； ②当a-4≤x≤a一2时，C2的最大值与最小值的 B 差为2a,求a的值. 134