第21章 单元整合训练 反比例函数与几何图形的综合(跨单元)-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（沪科版·新教材）

单元整合训练 反比例函数与几何图形的综合（跨单元） 题型①反比例函数与三角形的综合 3.(2025一2026株洲期末)如下图，在平面直角 1.如右图，在平面直角坐标系xOy 坐标系中，□ABCD的边AB=2,顶点A的 中，一次函数y=2x十b的图象 坐标为(1，b),点D的坐标为(2，b+1). 分别与x轴、y轴交于点A,B,4 I)若反比例函数y=的图象过口ABCD k 与反比例函数y=二(x>0)的图象交于点 的顶点B,D,求该反比例函数表达式， C,连接OC.已知点B的坐标为(0,4)， (2)若口ABCD与反比例函数y=生的图象 △BOC的面积是2，求b,k的值 总有公共点，请直接写出b的取值范围. 题型②反比例函数与四边形的综合 4.如右图，四边形ABCD为正方 形，A(0,2),B(0,一3)，反比例 2.如右图，矩形ABCD的两边 BC=4,CD=6,E是CD的 函数y=二的图象经过点C 点，反比例函数y三 B C O (1)求反比例函数的表达式 (2)若P是反比例函数图象上的一点， 图象经过点E,与AB交于点F,连接AE. △OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面 若AF=AE,求反比例函数的表达式. 积，求点P的坐标. 上册第21章 39△ 5.如右图，在平面直角坐标系 图象经过点C',求该反比例函数的表达式 中，菱形ABCD的顶点D在 y轴上，A,C两点的坐标分 别为(4,0)，(4，m),直线 CD:y=a.x十b(a≠0)与反比例函数y= (k≠0)的图象交于C,P(一8，一2)两点. (1)求该反比例函数的表达式及m的值. (2)判断点B是否在该反比例函数的图象 上，并说明理由. 7.如下图，一次函数y=一2x十2与反比例函 数y=(x<0)的图象交于点A(一1，m. (1)求m的值和反比例函数y=的表达式。 (2)将直线y=-2x十2向下平移h(h>0) 个单位长度后得直线y=ax十b.若直线y =ax十b与反比例函数y=(红<0)的图象 x 的交点为B(n,2),求h的值，并结合图象求 不等式的 <ax十b的解集. y=-2x+2 y=ax+b 题型③反比例函数与图形变换 6.如图，已知点A(一3,0)，B(0,4),C为OB的 中点，将△ABC绕着点B逆时针旋转90°后 得到△AC,.若反比例函数y-空(x>0)的 440 九年级数学HK版②当2<1<4时，S=4×4-2×号×4(2：-40-2(8 一2t)2=一2t2十8t,此时抛物线的开口向下. 9.C【解析】由图①可知，当P=440W时，I=2A,故选 项A说法正确，不符合题意；由图②可知，Q随I的增 大而增大，故选项B说法正确，不符合题意：由图②可 知，I每增加1A,Q的增加量不相同，故选项C说法错 误，符合题意：由图①可知I随P的增大而增大，由图 ②可知Q随I的增大而增大，所以P越大，插线板电 源线产生的热量Q越多，故选项D说法正确，不符合 题意. 10.D【解析】利用矩形的性质及等腰直角三角形的性 质可得出AB=CD,∠EBC=∠CDF=90°，∠E= ∠F=45°，进而可得出△BEC和△CDF均为等腰直 角三角形.结合BC=x,CD=y可得出EC=√2x, CF=√2y,.EF=√2(x十y).再利用反比例函数图 象上点的坐标特征可得出xy=9. A.当x=3时，y=3,∴.EC=3√2，EF=6√2.M为 EF的中点，∴EM=3√2=EC,故选项A不符合 题意. B当y=9时x=1.∴EC=E,EM=2EF=5E. ,∴.EC<EM,故选项B不符合题意. C.EC=√2x,CF=√2y,∴.EC·CF=2xy=2X9 =18,故选项C不符合题意. D.:S形ABD=xy=9,∴矩形ABCD的面积不变，故 选项D符合题意. 单元整合训练反比例函数与几何 图形的综合（跨单元） 1.解：一次函数y=2x十b的图象过点B(0,4), .b=4,∴.一次函数的表达式为y=2x十4. ,OB=4,△BOC的面积是2， 20B·xe=2,即号×4xe=2xe=1 1 把x=1代人y=2x十4，得y=6,点C的坐标为(1,6) :点C在反比例函数y=（x>0)的图象上， .k=1×6=6. 2.解：，四边形ABCD是矩形，E是CD的中点， ∴AB=CD=6,AD=BC=4,CE=DE=号CD=3. 根据勾股定理，得AE=√AD+DE=5. .AF=AE=5,..BF=AB-AF=1. 设点E的坐标为(a,3),则点F的坐标为(a一4,1). :E,F两点在函数y=的图象上， ∴.a一4=3a,解得a=一2， .点E的坐标为（一2,3），.k=一2×3=一6 ·反比例函数的表达式为y=一6 3.解：(1)四边形ABCD是平行四边形，AB=2,A(1, b),D(2,b+1), 14 九年级数学HK版 ∴.B(3,b),C(4,b+1). :反比例函数过点B(3,b),D(2,b十1)， .∴.3b=2(b十1)，解得b=2, ∴点B的坐标为(3,2)，点D的坐标为(2,3). 把B(3,2)代入反比例函数的表达式，得k=6, “反比例函数的表达式为y= 6 (2)b的取值范围为0≤b≤4. 【解析)(2)：口ABCD与反比例函数y=4的图象总 有公共点， :当点A1,6)在反比例函数y=兰的图象上时，得6 =4:当点C(4,b+1)在反比例函数y=4的图象上 时，得b=0.综上所述，b的取值范围为0≤b≤4. 4.解：(1)A(0,2),B(0,-3),AB=5. ,四边形ABCD为正方形，∴.点C的坐标为(5，一3). k 将C5,-3)代人y=,得-3=解得k15, 15 反比例函数的表达式为y=一 x (2)如图，设点P的坐标为(xPyr). 由题意，得2×21x,=25, 解得xp=士25. 15 3 当xp=25时，yp=一 25 5 153 当xp=一25时，yp=一 -255 综上所述，点P的坐标为(25，-三)或(-25，) 5解：1)把P(-8,一2代入y-兰得-2=8 解得人=16反比例函数的表达式为y只 16 “点C(4,m)在反比例函数y=的图象上， 164 .m= 16 (2)点B在反比例函数y=一的图象上.理由如下： 连接AC,BD交于点H,如图. 把C(4,4),P(-8,-2)代入y=a.x 1 4a十b=4, +,得一8a十6-2.解得 =2' =2, 1 ·直线CD的表达式为y=2x+2. 在y=2x+2中，令x=0,得y=2, 点D的坐标为(0,2). ,四边形ABCD是菱形，∴.CH=AH,DH=BH. A(4,0),C(4,4),.H(4,2). 又D(0,2),.B(8,2). 在y中，令x=8得y=2. ·点B在反比例函数y=15的图象上. 6.解：A(-3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4. C为OB的中点，.BC=2. 由旋转的性质可得，点C的坐标为(2,4). :反比例函数y=(x>0)的图象经过点C, =2×4=8,该反比例函数的表达式为y=一 8 7.解：(1)点A(一1，m)在一次函数y=一2x十2的图 象上， .m=-2×(-1)十2=4，∴.A(-1,4). :点A(-1,)在反比例晒数y一会的图象上· ·k=一4一反比例函数的表达式为y=一4 2)心点B(n,2)在反比例函数y=二的图象上 2=-4,解得m=-2,B(-2,2. 将直线y=一2x十2向下平移h个单位长度得到的直 线表达式为y=-2x十2一h. 点B(-2,2)在直线y=一2x+2-h图象上， ∴.2=一2×(-2)+2一h,解得h=4. y=-2x-2, 联立 y=- 4，解得2=-2，x=1, y1=2,y2=-4. x 根据函数图象及交点坐标可知，不等式兰<ar十b的 解集为x<一2或0<x<1. 章末对点导练 1.D 2.C【解析】①由图象可知，α>0，c<0,对称轴为直线x b 2a <0,.b>0,∴.abc<0,故①正确. b ②由对称轴可知，2a =-1,..b=2a. 当x=1时，y=a十b+c=0, .c十3a=0,.c十2a=-a<0,故②错误. ③(1,0)关于直线x=-1的对称点为（一3,0）， ∴.当x=-3时，y=9a-3b十c=0,故③正确. ④当x=-1时，y取最小值，最小值为a一b十c. 当x=m时，y=am2+bm+c,∴.am2+bm+c≥a-b 十c,即am2十bm≥a一b,故④正确. ⑤：抛物线与x轴有两个交点， .b2一4ac>0,,.4ac一b2<0,故⑤正确. 综上所述，正确的个数是4. 3.(1)1(2)m=-2或-11<m≤-6【解析】(1)，抛 物线y=a.x2-2x十3的对称轴为直线x=1, 5一2忌-1，解得a=1 (2)由(1)可知，y=x2-2x+3十m=(x-1)2十m十2. ①当顶点在x轴上时，m十2=0，解得m=一2. ②当顶点不在x轴上时，把（一2,0）代入y=(x一1)2 +m+2,得0=9+m+2,解得m=一11.把(3,0)代入 y=(.x-1)2+m十2，得0=4+m十2，解得m=-6. 点(3,0)关于直线x=1的对称点为(-1,0)，在一2 <x<3范围内，点（一2,0）关于直线x=1的对称点为 (4,0),在一2<x<3范围外，且抛物线在一2<x<3 内与x轴只有一个交点，∴.一11<m≤一6.故m的取 值范围是m=-2或-11<m≤-6. 4.75【解析】设饲养室的面积为Sm2,垂直于现有墙的 墙体长为xm,则平行于现有墙的墙体长为27+3 3x=(30-3x)m,.∴.S=x(30-3.x)=-3x2十30x -3(x-5)2+75.故饲养室的最大面积为75m. 5.解：(1)根据题意，得抛物线过点(0,10)和(3,7)，对称 轴为直线x=1. 可设y关于x的函数表达式为y=a(x-l)2十k, 则/a+6=10, 4a+6=7,解得区=-1， Fk=11, ∴.y关于x的函数表达式为y=一(x-1)2+11. (2)令y=0,则0=-(x-1)2+11,解得x=√1I+1 (负值已舍去)，∴运动员从起跳点到入水点的水平距 离OB的长为（√11+1）m. 6.解：(1)由题意，得W=(48-30-x)(500+50.x)= -50x2+400x+9000. 当x=2时，W=-50×4+400×2+9000=9600,即 当降价2元时，工厂每天的利润为9600元. (2)由(1)，得W=-50x2+400.x+9000=-50(x 4)2+9800. -50<0,∴.当x=4时，W最大，最大为9800， 即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元. (3)令一50x2十400.x十9000=9750，解得x1=3,x2=5. 要求让利于客户，∴x1=3不合题意，舍去， .批发价应定为48-5=43（元/kg. 7.解：(1)y=- 1 1 x+x+3y=2x+1 (2)如图，过点P作PE∥y轴交AD 于点E.设点P的坐标为（m, 一m+m+3),则点E的坐标为 (m,2m+1): S.m-(-).PE-3PE. .当PE的值最大时，△PAD的面积最大， 其中PE=-子m+m十3-名m-1=-子m+ 2m 9 +2= 4<0,-2<1<4,当m=1时，PE的值最大， 15 最大值为号，此时点P的坐标为(1，) ,△PAD的面 9. 27 积的最大值为×3= 4 上册详解详析 15个