第1章 二次函数 单元练习 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 浙教版九年级上册二次函数单元卷，通过选择、填空、解答题系统考查图像性质、平移、最值及实际应用，适配单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|图像平移（题1）、增减性（题4）、实际应用（题9）|结合航海情境（题9），考查二次函数与距离关系，体现几何直观| |填空题|6/18|表达式确定（题11）、平移与原点（题13）、喷水高度（题15）|以喷水池为背景（题15），运用顶点式求最大高度，培养应用意识| |解答题|8/72|解析式与顶点（题18）、面积最值（题23）、综合应用（题24）|饲养室面积问题（题23）构建函数模型求最值，发展推理能力与创新意识|

第1章 二次函数 单元练习 新教材浙教版数学九年级上册 一、选择题（每题3分，共30分） 1．将二次函数y＝2（x－1）2＋2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位后所得函数的关系式为（　　） A．y＝2（x+1）2＋3 B．y＝（x+1）2＋1 C．y＝2（x-3）2＋3 D．y＝2（x-3）2＋1 2．如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．一元二次方程的两个根分别是1和3 D．当时， 3．二次函数（a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线．下列选项正确的是（　　） A． B． C． D．当时， 4．若二次函数，当y随x的增大而减小，则自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 6．如果三点P1（1，y1），P2（3，y2）和P3（4，y3）在抛物线y＝﹣x2+6x+c的图象上，那么y1，y2与y3之间的大小关系是（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3 7．二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 8．已知二次函数，下列说法正确的是（　　） A．它的图象的对称轴为 B．函数的最大值为 C．它的图象的顶点坐标为 D．函数的最小值为 9．有一艘船在海上自西向东匀速行驶的过程中(如图1)，在某一时刻观测到了一座灯塔，10 分钟后测得灯塔位于船的北偏东45°方向处，已知该灯塔的可视范围为20海里.经过持续测量船只与灯塔之间距离d (海里)，发现(d2与船行路程x(海里)之间满足二次函数的数量关系(如图2)，其中最低点为点B，以下说法正确的是(　　) A．m=15 B．点(25，225)在函数图象上 C．船行速度为25海里/小时 D．船只可以观测到灯塔的持续时间可达2小时 10．已知二次函数 (m为常数)．点A(x1， y1)在函数图象上， 其中 点B(x2， y2)也在函数图象上， 且对于x1， x2， 都有y1＜y2，则m的取值范围是（　　）. A．- 5<m<0 B．m<-5或m>0 C．-5<m≤2 D．m<-5或0<m≤2 二、填空题（每题3分，共18分） 11．请写出一个开口向上且过的二次函数表达式　 　． 12．抛物线顶点坐标是　 　． 13．将二次函数 的图象向左平移m(m>0)个单位后经过原点，则m的值为　 　。 14．若二次函数的最大值是3，方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　. 15．如图，广场有一喷水池，以出水点为原点，出水点与落水点所在直线为轴建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出后，离地面的最大高度是　 　米． 16．关于的方程无实数根，则二次函数的图象的顶点在第　 　 象限． 三、解答题（共8题，共72分） 17．已知y=（m+1）是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小． （1）求m的值； （2）当自变量的值为多少时，函数有最值？最值是多少？ 18．求过，和三点的抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标． 19．已知点A(a，7)在抛物线y=x2+4x+10上． （1）求点A的坐标； （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标． 20．某品牌服装开展促销活动，原价每件80元的服装，如果购买超过3件，则超过部分可享受八折优惠，求顾客所付款y（单位：元)与所购服装数.x（x>3，单位：件)之间的函数解析式. 21．已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若抛物线与轴交于点，，且，求a的值． 22．已知抛物线（a为常数，且a≠0）. （1）求该抛物线的对称轴. （2）若a>0，当时，函数有最大值-1. ①求a的值. ②设点（s，t）在该函数图象上，且位于直线y=x+b（b为常数）的下方，若t的最大值与最小值的差为m，且m>6，求b的取值范围. 23．某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长>50m)，中间用一道墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设两间饲养室合计长x(m)， 总占地面积为y(m2). （1）求矩形饲养室的宽.(用含x的代数式表示) （2）求y关于x的函数表达式，并求出面积的最大值. 24．已知，抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3a（a≠0），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D． （1）抛物线的对称轴为　 　（用含有a的式子表示）； （2）若当﹣1＜x＜2时，函数值y随着x的增大而减小，求a的取值范围； （3）如图1，当a＝1时，点E（m，n）为第四象限的抛物线上一点，过点E作EF∥x轴与抛物线另外一个交点为点F． ①连接BC，过点E作EH∥y轴，交BC于点H，以EF，EH为邻边构造矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为时，求m的值； ②以EF所在直线为对称轴将抛物线位于EF下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴，请直接写出n的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：将抛物线 的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线为：y= 故答案为：A. 【分析】根据二次函数图象的平移法则“左加右减、上加下减”直接求解即可得到答案. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：已知抛物线与轴交于和： 由二次函数的对称性，对称轴为两交点横坐标的中点，即，A正确； 抛物线与轴的交点横坐标，就是对应一元二次方程的根，即和，C正确； 由图象开口向下，对称轴为，因此在对称轴右侧（），随的增大而减小，B正确； 当时，对应图象在轴下方的部分，此时或，故D错误； 故答案为：D。 【分析】 本题聚焦二次函数的图象与性质，核心考查从抛物线与坐标轴的交点信息中，推导对称轴、方程根、增减性及函数值符号区间的能力，关键在于灵活运用对称性、单调性及二次函数与一元二次方程的对应关系 3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵该函数图象与y轴负半轴相交， ∴，故选项A结论错误，不符合题意； ∵该函数图象与x轴有两个交点， ∴，故选项B结论错误，不符合题意； ∵该函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴，，即， ∵当时，， ∴，即，故选项C结论正确，符合题意； ∵该函数图象与x轴交点在和0之间，其对称轴为直线， ∴该函数图象与x轴的另一个交点在1和3之间， ∴当时，一部分，一部分，故选项D结论错误，不符合题意； 故答案为：C． 【分析】观察图形可知，抛物线和y轴交于y轴的下半轴，据此可判断A；图像和x轴交于两点，根据判别式的公式，据此可判断B；根据抛物线的对称轴公式，求出b和a的关系，然后再结合图形，确定a的取值范围，进而即可判断C；观察图形，可知，y有两部分，据此即可求解 4．【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴抛物线开口向上， 又∵对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 故选：C． 【分析】根据二次函数的解析式确定该函数图象的开口方向及对称轴，再根据该二次函数的增减性解答即可． 5．【答案】B 【解析】【解答】解：抛物线y=（x-2）2-4的对称轴是直线x=2. 故答案为：B. 【分析】二次函数的顶点式为y=a(x-h)2-k，其中对称轴为直线x=h，据此解答. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：∵抛物线 的开口向下，对称轴是直线 ∴当x>3时，y随x的增大而减小， 关于称轴是直线x=3的对称点是 ∴ y1＜y3＜y2 ， 故选： A. 【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：， 抛物线顶点坐标为， 故选：D． 【分析】因为抛物线的解析式本身就是顶点式，可以直接得出顶点坐标。 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，函数有最大值为； 故选项A，C，D错误，选项B正确； 故选B． 【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：∵在该函数图象上， ∴当时，，即或（舍去）； ∴当时，这艘船与灯塔的距离为20海里，即这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里， ∵二次函数的最低点B的坐标为， ∴这艘船航行距离为m海里时，该船与灯塔的距离最近，且为海里， ∴当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里， 如图所示，设灯塔的位置用点E表示，船的初始位置用点O表示， 过点E作船行进路线所在的直线的垂线，垂足为H，则海里，海里， ∴由勾股定理得，即，故A说法错误； 当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，则海里， ∴海里， ∴， ∴点在函数图象上，故B说法正确； 设10分钟后这艘船的位置用G点表示，连接，则， ∴是等腰直角三角形， ∴海里， ∴海里， ∴船行速度为海里/小时，故C说法错误； 由点B的坐标可知，对称轴为直线， ∴由对称性可知点在函数图象上， ∴这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔， ∴船只可以观测到灯塔的持续时间可达小时，故D说法错误； 故选：B． 【分析】由点A的坐标和点B的坐标可得这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里，当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里，利用勾股定理即可判断A；当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，则海里，利用勾股定理求出即可判断B；求出航行10分钟时这艘船的路程，即可判断C；根据对称性可求出这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔，据此可判断D． 10．【答案】D 【解析】【解答】解：∵点在函数图象上，且， ∴， 解得； ∵ 函数开口向上，对称轴， ∴到对称轴的距离大，其点对应的函数值也大， ∵， 且， ∴范围内，处取得最大值， ∴； ∵点也在函数图象上，且， ∴， 由恒成立，得， 化简得，即， 解得或， 结合点A存在条件， ∴或； 故选：D． 【分析】由点A存在可得，再根据恒成立，推导出或，结合点A存在条件得的取值范围． 11．【答案】(答案不唯一) 【解析】【解答】解：根据开口向上，可得出二次项系数为正数，且满足当x=0时，y=1， 例如：，等， 故答案为：(答案不唯一) 【分析】根据开口向上，可得出二次项系数为正数，且满足当x=0时，y=1，只需写出一个符合条件的二次函数表达式即可。 12．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：∵， ∴顶点坐标为， 故答案为． 【分析】根据抛物线顶点式即可求出答案. 13．【答案】3 【解析】【解答】解：将二次函数y=(x-1)2-4的图象向左平移m个单位后，新函数解析式为y=(x+m-1)2-4 由于图象经过原点，代入点(0，0)得：0=(0+m-1)2-4 即(m-1)2-4=0 整理得(m-1)2=4 ∴m=3或m=-1 ∵m>0 ∴m=3 故答案为：3. 【分析】根据二次函数图象平移规律”左加右减“，得到平移后的函数解析式，再代入原点坐标求解即可. 14．【答案】k>-3 【解析】【解答】∵二次函数的最小值是3 ∴，m2=12， ① ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴△=m2−4×1×(−k)>0，即m2+4k>0，把①代入②得， 12+4k>0， ∴k>-3. 故答案为k>-3. 【分析】首先根据函数的最大值可得出m2=12，再根据 方程有两个不相等的实数根， 可得出m2+4k>0，进而得出 12+4k>0，解不等式，即可得出的取值范围 。 15．【答案】4 【解析】【解答】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线， ∴水喷出后，离地面的最大高度是的顶点坐标的纵坐标， ∴， ∴顶点坐标为：， ∴水喷出后，离地面的最大高度是4米， 故答案为：4． 【分析】将解析式转换为顶点式即可求出答案. 16．【答案】二 【解析】【解答】根据题意， 方程无实数根 二次函数图象的顶点坐标为（） 图象顶点横坐标为 图象顶点纵坐标为 二次函数图象的顶点在第二象限 故填：二 【分析】一元二次方程没有实数根，说明判别式，即；二次函数图象的顶点坐标是 （），代入系数后根据坐标的正负可判定象限。 17．【答案】（1）解：∵（m+1）是关于x的二次函数， ∴m2+m=2，解得m=1或-2， ∵当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴m+1＜0，即m＜-1． 所以m=-2，m=1（不符合题意，舍）； （2）解：当x=0时，y最大=0． 【解析】【分析】(1)根据二次函数的定义可知m=1或-2，图象当 x＞0时，y随x的增大而减小，说明开口向下，所以m＜-1，故m=-2； (2)二次函数在顶点处有最值，由解析式可知该二次函数顶点坐标为(0，0)，所以当x=0时，y有最大值，且y最大=0． 18．【答案】解：∵抛物线经过， ∴设函数的表达式为： 将点代入得： 解得： ∴该函数的解析式为 ∴顶点坐标为： 答：函数的解析式为，顶点坐标为. 【解析】【分析】利用抛物线与x轴交点设交点式，代入第三点求系数a，再化为一般式找顶点. 19．【答案】解：（1）∵点A（a，7）在抛物线y=x2+4x+10上， ∴a2+4a+10=7， 解得，a=-1或-3， ∴点A的坐标为（-1，7）或（-3，7）； （2）∵y=x2+4x+10=（x+2）2+6， ∴抛物线的对称轴是直线x=-2，顶点坐标为（-2，6）． 【解析】【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特点，把点 A(a，7) 代入解析式，可得出关于字母a的二元一次方程，求解得出a的值，从而可得点A的坐标； （2）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答. 20．【答案】解：由题意可得： y=80×3+80×0.8×(x-3)=64+48 【解析】【分析】根据题意建立函数解析式即可求出答案. 21．【答案】（1）证明：∵ ， 该方程总有两个实数根； （2）解：令，得：， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，，且， ∴， ∴， 化简为：， 解得：或． 【解析】【分析】（1）直接利用一元二次方程的根的判别式，结合配方法进行判别即可； （2）令，得：，利用根的判别式，结合完全平方公式及配方法得出关于的式子，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得出，即可得出关于的等式，求解即可． 22．【答案】（1）解：抛物线（a为常数，且）的对称轴为直线； （2）解：①由（1）知，抛物线对称轴为直线， ∵，当时，函数有最大值． ∴，且， ∴当时，函数有最大值． 代入解析式，得， 解得 ②由①知， ， ∴抛物线为， ∵点在该函数图象上，且位于直线（b为常数）的下方， ∴， ∵， ∴当时，t有最小值， ∵t的最大值与最小值的差为m， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴或， ∴，， 或，， 故b的取值范围为． 【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式解答即可； （2）①抛物线对称轴为直线，根据题意得到当时，函数有最大值，代入解析式求出a的值即可； ②由点在该函数图象上，即可得到，进而得到t的最小值为，由t的最大值与最小值的差为6，得， 得，求出s的取值范围，进而得到b的取值范围即可． 23．【答案】（1）解：∵围墙的总长为50m，2间饲养室合计长 xm， ∴饲养室的宽 ​​​​ （2）解由题意得，面积为 ∴当x=25时，面积取最大值，最大值为 【解析】【分析】(1)根据题意，由围墙的总长为50m，2间饲养室合计长 xm，从而可以表示出饲养室的宽； (2)结合(1)由矩形的面积=长×宽，再结合二次函数的性质即可计算得解. 24．【答案】（1）x=a （2）解：若a<0， ∵当-1<x<2时，函数值y随着x的增大而减小， ∴a≤-1； 若a>0， ∵当-1<x<2时，函数值y随着x的增大而减小， ∴a≥2； 综上所述，a的取值范围为a≤-1或a≥2 （3）解：当a=1时， 当x=0时，y=-3， 当y=0时， 解得： ∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），D（1，-4）， ∵点E（m，n）为第四象限的抛物线上一点， ∴0<m<3， ∵EF∥x轴， ∴F（2-m，n）， 设直线BC的解析式为y=kx+b，则 解得： ∴直线BC的解析式为y=x-3， ∴H（m，m-3）； ①当1<m<3时，如图1， EF=m-（2-m）=2m-2，EH=m-3-（m2-2m-3）=-m2+3m， ∵矩形EFGH的周长为 解得：（舍去）或 当0<m<1时，如图2， EF=（2-m）-m=2-2m， 解得 综上，或 ②-2≤n≤-1.5 【解析】【解答】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； 故答案为：； （3）②如图， 求出抛物线的顶点坐标，然后得到 ∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 由题意，得：直线的解析式为， ∴点关于的对称点为：， ∴翻折后的抛物线的解析式为， 当抛物线的顶点恰好在轴上时，则：， ∴， 当抛物线过原点时，则：，解得：， ∵翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴， ∴-2≤n≤-1.5. 故答案为：-2≤n≤-1.5. 【分析】（1）直接利用抛物线的对称轴公式解答即可； （2）分为和两种情况，利用二次函数的增减性求出a的取值范围即可； （3）①求出抛物线与坐标轴的交点的坐标，再根据待定系数法求出的解析式，得到点F，H的坐标，分为1<m<3或0<m<1两种情况表示出EF和EH长，利用矩形的周长公式列方程求出m的值即可； ②求出抛物线的顶点坐标，进而求出翻折后的抛物线的解析式，求出翻折后的抛物线的顶点恰好在x轴上，和翻折后的抛物线恰好经过原点两种临近情况的n的值即可． 学科网（北京）股份有限公司 $