第24章 随机事件及其概率 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（华东师大版·新教材）

第24章 随机事件及其概率 知识梳理导图 必然事件：在一定条件 下一定会发生的事件 定义 不可能事件：在一定条件确定事件 下一定不会发生的事件 计算 P(A)=(m表示事件A包含其中 事 在一定条件下可能发生， 公式 的结果数，n表示结果总数) 随机事件 件 概 也可能不发生的事件9 直接列举法 随机事件 率 具体求解方法 通过大量重复试验，用 列表法 及其概率 个事件发生的频率来估计 画树状图法 频率与 这一事件发生的概率 概率 用概率解决实际问题 重难疑点解法 分上分点1事件的确定 A司 c D号 例①(2026·北京顺义区期末)下列事件中，是随 名师启发 由概率公式即可得出答案， 机事件的是( ) 型归纳总结 A.找到一个整数，它的平方是2 本题考查的是概率公式，用到的知识点为：概 B.实心铁块（不借助任何外力）漂浮在水面上 率=所求情况数与总情况数之比， C.10名同学的出生月份都不相同 上分点3运用列表法或画树状图法求概率 D.三角形的三条中线交于一点 例3(2026·甘肃兰州城关区期末)如图所示的一 名师启发根据相关概念逐项判断，即可 个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有 解题 扩方法技巧 数字一1,0，πW5,若转动转盘两次，每次转盘停止后 本题考查了随机事件，平方根，三角形的中线， 记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上 掌握事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事 时，不记录且重新转动)，则两次记录的数字都是有理 件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能 数的概率是( 事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事 件，称为随机事件是解题的关键 分上分点2简单随机事件的概率 例2(2026·甘肃张掖肃南期末改编)小斌想在小 A B c.4 D.s 程序上购买一张高铁票，从如下表所示的5个座位 名师启发利用画树状图法解答即可。 (A、B、C、D、F)中随机选择一个，则小斌购买的高铁 归纳总结 票座位恰好靠近过道的概率是( 本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状 窗户ABC过道DF窗户 图法求概率是解题的关键， 35 实验班提优训练数学九年级上HSD 例4(2025·陕西中考)某校召开趣味运动会，经 (2)列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙 过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面 两队在决赛时赛道相邻的结果数，再利用概率公式可 接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的 得出答案。 道次依次为1、2、3、4)，裁判组决定采用下面的方式： 在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数 字1、2、3、4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队 伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的 数字作为该队的道次。 (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个 小球，摸出标有数字1的小球的概率为 (2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸 出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一 个小球.请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队 在决赛时赛道相邻的概率。 归纳总烤 名师启发(1)由题意知，共有4种等可能的 本题考查列表法和画树状图法，解题的关键是 结果，其中摸出标有数字1的小球的结果有1种，利 明确题意，列出相应的表格或画出相应的树状图 用概率公式可得答案. 易错易混辨析 易错点1对概率的概念理解有误 上”与“反面朝上”的可能性的大小为(). 例①(2025·浙江温州鹿城区期中)“某商场举办 A,“正面朝上”的可能性大 B.“反面朝上”的可能性大 有奖销售活动，每张奖券中奖的可能性相同，其中一 C.两者的可能性相同 等奖中奖概率为0.001”这句话指的是( ) A很有可能中一等奖 D.无法确定 B.1000张奖券中一定有一张是一等奖 )易错点2列举不完全导致出错 C.可能中一等奖，但可能性不是很大 例2为培养同学们爱劳动的习惯，某班开展了 D.1000个顾客中一定有一人中一等奖 “做好一件家务”主题活动，要求全班同学人人参与. 解析一等奖中奖概率为0.001，说明中一等奖 经统计，同学们做的家务类型为“洗衣”“拖地”“煮饭” 的可能性为0.001，显然这个可能性很小，并不意味着 “刷碗”.班主任将以上信息绘制成了统计图表，如图 一定中奖.故选项C正确，其他选项错误. 所示. 答案C 家务类型洗衣拖地煮饭刷碗 辨析归纳---- 人数 10 12 10m 本题考查了概率的意义：表示事件发生的可能 性大小，根据概率的意义去分析判断即可. 、洗衣 刷碗 见固特却 拖地 煮饭 1.(2025·浙江湖州期末)小颖从一定高度随机掷一枚 25% 质地均匀的硬币，她已经掷了三次硬币，结果都是 根据上面图表信息，回答下列问题： “反面朝上”.那么，小颖第四次掷硬币时，“正面朝 (1)m= 36 第24章 (2)在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度 类活动供学生选择：A.羽毛球，B.乒乓球，C.花样 数为 跳绳，D.踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育 (3)班会课上，班主任评选出了近期做家务表现 活动.则小明和小聪随机选择选到同一种体育活 优异的4名同学，其中有2名男生.现准备从表现优 动的概率是 异的同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状 3.(2026·北京西城区期中)2024年5月21日，北京市 图或列表的方法求所选同学中有男生的概率， 启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计 解答(1)8提示：m=10÷25%-10-12- 划，助力学生健康成长.某中学九年级共有15个 10=8. 班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑 (2)108° 提示：360°×12÷(10÷25%)=108°. 步量达标率，具体数据如下： (3)方法一：画树状图如图： 跑步量达 90%≤x 开始 x=100% x<90% 标率x <100% 男1 男2 女1 女2 班数 7 m 男2女1女2男1女1女2男1男2女2男1男2女1 (1)从这15个班级中任意选取1个班级： 由图可知所有等可能的结果共有12种，其中有 ①事件“该班跑步量达标率为100%”是 男生的结果有10种， 事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； 所以所选同学中有男生的概率为26· 105 ②若事件“该班跑步量达标率x满足90%≤x< 方法二：列表如下： 100%”的概率为3，则m一 ,n= 男1 男2 女1 女2 (2)某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标 (男1， (男1， (男1， 男1 兵.老师计划从这四名同学中随机抽取两名进行 男2) 女1) 女2) 经验分享，请用列表法或画树状图法求“恰好抽到 (男2， (男2， (男2， 一名男生和一名女生”的概率。 男2 男1) 女1) 女2) (女1， (女1， (女1， 女1 男1) 男2) 女2) (女2， (女2， (女2， 女2 男1) 男2) 女1) 由表可知所有等可能的结果共有12种，其中有 男生的结果有10种，所以所选同学中有男生的概率 辨析归纳 本题考查统计表、扇形统计图、用画树状图或 :列表的方法求概率.熟练掌握从统计图表中获取有 用信息和用画树状图或列表的方法求概率是解题 的关键， 视固特 2.(2026·吉林长春九台区期末)为打造活力校园，某校 在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育 37 实验班提优训I川练数学九年级上HSD 素养考向提分 跨学科 A.4 例如图，电路图上有 2.(2025·滨州中考)在一次试验中，每个电子元件 四个开关A、B、C、D和一个 ☐有通电或断电两种状态，并且这两种状态的 小灯泡，闭合开关D或同时 可能性相等.如图，在一定时间段内，A、B之间电 闭合开关A、B、C都可使小灯 ☒ 流能够正常通过的概率是 泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概 A- B 率是( (第2题) 1 3.小明在学完物理“电学”知识后，进行“灯泡亮了” A.2 2 C. D.4 的实验时，设计了如图所示的电路图，电路图上有 解析 根据题意，画树状图如图： 4个开关A、B、C、D和一个小灯泡，同时闭合开关 开始 A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发亮. B D (1)当开关A已经是闭合状态时，任意闭合开关 B、C、D中的一个，小灯泡能亮起来的概 BCD ACD ABD ABC 率是 ； 现任意闭合其中两个开关，共有12种等可能的 (2)任意闭合开关A、B、C、D中的两个，请用列表 结果，则小灯泡发光的结果有6种， 或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率. “小灯泡发光的概率为2一2 61 答案A 点 本题考查的是用列表法或画树状图法求概 率.列表法或画树状图法可以不重复、不遗漏地 列出所有等可能的结果，列表法适合于两步完 成的事件，画树状图法适合两步或两步以上完 成的事件。 样反白 1.人类的性别是由一对性染色体(X,Y)决定的，当 染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男 性.如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位 女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是 ( 4.(2024·临夏州中考改编)物理变化和化学变化的区别 Y 在于是否有新物质的生成.某学习小组在延时课 上制作了A、B、C、D四张卡片（如图），四张卡片 (第1题) 除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中 38 第24章 摇匀. (2)某校进行数学实验室的环境布置，需要两位 数学家的画像，现从张衡、刘徽、祖冲之这3位数学家 的画像中随机选取2幅，求其中有1幅是祖冲之的画 像的概率（用画树状图或列表的方法）。 A.铁钉生锈 B.滴水成冰 解析(1)由题意得出从π的小数部分随机取 出一个数字共有10种等可能结果，其中出现数字 8的只有1种结果，利用概率公式求解即可； (2)将张衡、刘徽、祖冲之3位数学家的画像分别 记作甲、乙、丙，列表得出所有等可能结果及符合条件 C.矿石粉碎 D.牛奶变质 的结果数，根据概率公式求解即可. (第4题) (1)小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片 答案 (1品提示：随着元小数部分位数的 的概率是 增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定， (2)小夏从四张卡片中随机抽取两张，用画树状图 ∴.从π的小数部分随机取出一个数字共有10种 法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的 等可能的结果，其中出现数字8的结果只有1种， 概率. ∴.从π的小数部分随机取出一个数字，估计是数 字8的概率为品 (2)将张衡、刘徽、祖冲之这3位数学家的画像分 别记作甲、乙、丙，列表如表： 甲 乙 丙 甲 (乙，甲) (丙，甲) 乙 (甲，乙) (丙，乙) 丙 (甲，丙) (乙，丙) ,共有6种等可能的情况，其中有一幅是祖冲之 的画像的结果有4种，∴.其中有一幅是祖冲之的画像 的概率=冬=2 6=3 点 本题考查了列表法与画树状图法求概率. 通过列表法或画树状图法求出所有等可能的结 传统文化 果数n,再从中选出符合事件A的结果数m,然 后根据概率公式求出事件A发生的概率。 例2圆周率π是无限不循环小数，中国古代 数学家对圆周率的研究做出了重大贡献.历史上，我 举反目 国数学家张衡、刘徽、祖冲之都对π有过深入研究.有 5. 我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《算经十 研究发现：随着π小数部分位数的增加，0~9这10个 书》是指汉唐一千多年间的十部著名的数学著作， 数字出现的频率趋于稳定并接近相同： 这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教 (1)从π的小数部分随机取出一个数字，估计是 科书.十部书的名称分别是《周髀算经》《九章算 数字8的概率为 术水海岛算经火张丘建算经》《夏侯阳算经》《五经 39 实验班提优训练数学九年级上HSD 算术《缉古算经K缀术》《五曹算经》《孙子算经》， 上，放在桌子上随机打乱. 《算经十书》标志着中国古代数学的高峰，这10部 专著有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代 几何原本 数学的重要文献.这10部专著中据说有6部成书 于魏晋南北朝时期.其中《张丘建算经》和《夏侯阳 算经》就成书于魏晋南北朝时期.某中学拟从《算 经十书》专著中的魏晋南北朝时期的6部算经中 任选2部作为“数学文化”进行推广学习，则所选 数学的发 2部专著恰好是《张丘建算经》和《夏侯阳算经》的 概率为() D A号 B.6 c n总 (第8题) 6.(2025·河南中考)甲骨文是我国已发现最早的成熟 (1)若小明随机抽取一张，则小明抽取的是《海岛 文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别 算经》图片的概率是 ； 印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图 (2)小明和他的爸爸玩游戏：小明先随机抽取一张 所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面 (不放回)，再抽取一张，若抽到的两张著作图片中 朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面 含有《数学的发现》的图片，则爸爸给小明购买其 恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是( 中两部数学著作，否则爸爸只能给小明购买其中 一部数学著作，请用列表或画树状图的方法，求爸 甲 甲 省 骨 爸能给小明购买其中两部数学著作的概率（四张 数学著作图片依次记为A、B、C、D) 山 河 (第6题) A品 c D. 7.北京冬奥会奖牌由圆环构成牌体，形象来源于中 国古代同心圆玉璧，表达了“天地合·人心同”的 中华文化内涵，也象征着奥林匹克精神将世界人 民凝聚在一起，共享冬奥荣光.小明同学模仿冬奥 会奖牌正面的图案，利用圆规在白纸上作出了如 图所示的图形，其中OA=3,AB=BC=CD= DE=1.若在此图形中随机取一点（不含边界线），则 该点取自阴影部分的概率是 (第7题) 8.如图，小明收集了四张古代数学著作《周髀算经》 《几何原本》《海岛算经》《数学的发现》的图片（大 小、形状及背面完全相同)，将这四张图片背面朝 403.[操作判断]45[解析]如图(1)， 由题意，可得∠1=∠2，∠3=∠4. .∠1+∠2+∠3+∠4=90°，即2∠2+2∠3 =90°， ∴.∠2+∠3=45°，即∠EBF=45°. D 4(C (1) (2) (第3题) [探究证明](1)△BFG为等腰直角三角形，证明 如下： 由题意，可得∠EBF=45°， ,四边形ABCD为正方形 ∴.∠BCA=∠ACD=45°. ,∠EBF=45°，.△BHG∽△CHF, 盟照腮眼 ,∠GHF=∠BHC,∴△BHC∽△GHF, ∴.∠BCH=∠GFH=45°， ∴△GBF为等腰直角三角形 (2).△GBF为等腰直角三角形， ∴.∠BGF=90°，BG=FG .PQ⊥AB,PQ⊥CD, ∴∠BPG=∠GQF=90°，∴.∠PBG=∠QGF, ∴.△PBG≌QGF(AAS), ∴∠PGB=∠GFQ. .PQ∥AD,∴.∠PGB=∠AEB, 由题意，得∠AEB=∠BEF ∠PGB=∠EGQ,∴.∠BEF=∠EGQ ,'∠BEF+∠EFG=∠EGQ+∠FGQ=90°， ∴.∠EFG=∠FGQ,∴.EM=MG=MF. [深入研究]如图(2)，将△AGB旋转至△CNB,连 由旋转可得到全等三角形← 结HN, ∴.△AGB≌△CNB,∴.∠BAC=∠BCN=45°， AG=CN,BG=BN. .∠ACB=45°，∴.∠HCN=90°， ，54 ∴.CH2+CN2=HN2. ∠5=∠6，∠EBF=45°， ∴∠GBH=∠NBH.又BH=BH, .△GBH≌△NBH(SAS), ..GH-NH,.'.CH2+AG2=GH2. 由(2)知△PBG≌△QGF,四边形APQD为矩形. ∠BAC=45°，.AP=PG=DQ=FQ. 设AP=PG=DQ=FQ=a, ..AG=AP AP cos∠BACcos45=V2a. C名AC-Ea, ..GH+CH=AC-AG=/2a(k-1). .CH2+AG2=GH2, ∴.GH2-CH=(GH+CH)·(GH-CH)= .GH-CH 解得GH=V2a(k2-2+2) 2k-2 CH-2a(2-2k),GH_k2-2k+2 2k-2…HC=k2-2k 第24章随机事件及其概率 例1C[解析]A.找到一个整数，它的平方是2， 为不可能事件，不符合题意； B.实心铁块（不借助任何外力）漂浮在水面上，为不可 能事件，不符合题意； C.10名同学的出生月份可能相同也可能不同，为随 机事件，符合题意； D.三角形中线交于一点是必然性质，为必然事件，不 符合题意.故选C. 例2B[解析]5个座位中有2个靠近过道， 2 “小斌购买的高铁票座位恰好靠近过道的概率是行 故选B. 例3C[解析]画树状图如下： 开始 5 、个 π05-1π05-1π05-1π0J5-1 由树状图可知，一共有16种等可能的结果，其中两次 都是有理数的有4种， 六概率是结子放选C 0片 (2)列表如下： 1 (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两队在决赛时赛 道相邻的结果有：(1,2)、(2,1)、(2,3)、(3,2)、(3,4)、 (4,3),共6种，∴.甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概 61 率为221 旧纳总结本题考查简单概率的计算，概率的公 式为P(A)-其中n表示总结采数，m表示事 件A发生的结果数 巩固特训 1.C 2是 [解析]根据题意，画出树状图如图： 开始 小明 小聪ABCDA B C DA B C DA B C D (第2题) 由树状图可知所有等可能的结果数有16种，两人 选择同一种体育活动的结果有4种（即都选A、都 选B、都选C或都选D), 41 所以概率为16一4 思蹈引得共有4种体育活动，每个学生随机选 择一种，所有可能的结果有16种，其中两人选择 同一种活动的结果有4种，根据概率公式计算 即可 3.(1)①随机②53 (2)画树状图如图： 开始 男女女男女女男男女男男女 (第3题) 共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女 生的结果数为8， 所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率= 82 12=3 思路引得(1)①根据必然事件、随机事件和不可 能事件的概念解答即可； ②概率公式逆运用可得m的值，再由15一7一m 可得n的值. (2)画树状图展示所有12种等可能的结果，再找 出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率 公式计算即可 样反白 1.C[解析]根据题意，画树状图如图所示. 共有4种等可能的结果，其中该 开始 小孩为女孩的结果有2种， 丈夫 X .该小孩为女孩的概率= 2 妻子XXXX (第1题) 2故选C 一题多解本题还可以采用列表法，列表如下： 文夫 妻子 X Y X XX XY X XX XY 共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果 有2种， 21 该小孩为女孩的概率= 4-2 ,故选C 1 2.4 [解析门画树状图如下： 开始 元件1 元件2通断 通 断 (第2题) 55 共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常 通过的结果有1种， ∴A,B之间电流能够正常通过的概率为 &月 (2)由题意，所有可能出现的结果列表如下： 当总结果数不多的情况下也可以用画< 树状图法 A 6 0 A (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) 由表可知，共有12种可能出现的结果，且每种结 果出现的可能性相同，其中能使小灯泡亮起来的 结果有(A,B)、(B,A)、(C,D)、(D,C),共4种， 41 则小灯泡能亮起来的概率=12一3， 易错警示本题考查的是用列表法或画树状图法 求概率.列表法和画树状图法可以不重复、不遗漏 地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成 的事件；画树状图法适合两步或两步以上完成的 事件，解题时要注意题目是放回试验还是不放回 试验.用到的知识点为：概率等于所求情况数与总 情况数之比 星 (2)四张卡片内容中是化学变化的有A、D, 画树状图如图： 开始 (第4题) 共有12种等可能的结果，其中小夏抽取两张卡片 内容均为化学变化的结果有AD、DA,共2种， ∴.小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为 21 126 56 5.C[解析]将《张丘建算经》《夏侯阳算经》分别记 为a、b,另外4部分别记为c、d、e、f,画树状图如 图所示. 开始 (第5题) 共有30种等可能的结果，其中选a、b的结果数为2， 所以所选2部专著恰好是《张丘建算经》和《夏侯阳算 21 经》的概率=0一5故选C 6.B[解析列表如下： 美 丽 山 河 美 (美，丽) (美，山) (美，河) 丽 (丽，美) (丽，山) (丽，河) 山 (山，美) (山，丽) (山，河) 河 (河，美) (河，丽) (河，山) 共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好 是甲骨文“丽”和“山”的结果有：（丽，山），（山，丽），共 2种，∴这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的 概率为品日故选B [解析]：阴影部分的面积为π×[3+1+1+ 49 1)2一(3十1+1)2]=π×(36-25)=11π，大圆的面积 为π×(3+1+1+1+1)2=π×49=49m,.该点取自 阴影都分的概字是装号 &a (2)根据题意，画树状图如图所示 开始 B BCDACDABDABC (第8题) 共有12种等可能的情况，其中爸爸能给小明购买其 中两部数学著作的情况有6种， ∴.爸爸能给小明购买其中两部数学著作的概率是 61 122'