专题02 随机事件的概率（专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

专题02 随机事件的概率 常考题型·精准突破 题型1 由频率估计概率（高频） 题型2 列举法求概率（重） 题型3 列表法或树状图法求概率（高频） 题型4 根据概率公式计算概率（重） 题型5 游戏的公平性（高频） 题型6 已知概率求数量（高频） 题型7 几何概率（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1由频率估计概率 1．C 2． 3．D 4． 5．0.9 ◆题型2列举法求概率 6． 7．A 8．二 9． 10．C ◆题型3列表法或树状图法求概率 11． 12． 13． 14．两数之和为奇数的可能性更大 ∵两数之和为奇数有8种情况，两数之和为偶数有4种情况， ∴两数之和为奇数的可能性更大 15． ◆题型4根据概率公式计算概率 16．A 17．B 18． 19． /0.25 20．/ ◆题型5游戏的公平性 21．(1) (2)解：公平，理由如下： 共有8种等可能性结果，抽到数字是3的倍数的卡片有3，3，3，6共4种情况，抽到数字不是3的倍数的卡片有1，2，2，5共4种情况， （小强获得参赛名额）（小丽获得参赛名额）； 答：这个抽签方法对小强和小丽是公平的． 22．这个游戏规则对甲乙双方不公平． 理由如下： 树状图如下： 一共有16种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为4的结果数有3种， 其中两球上的数字之和为5的结果数有4种， ∴，， ∵ ， ∴ 该游戏规则对甲乙双方不公平． 23．(1)          第1张 第2张 A B C D A B C D 所有情况共有12种：． (2)游戏不公平，这个规则对小强有利．理由如下： 上述四个等式中，对应的等式正确，对应的等式错误， 小明胜利包含的可能情况有：两种情况， 小强胜利包含的可能情况有种情况， ， （小明胜）（小强胜）， 这个规则对小强有利． 24．(1) (2)这个游戏不公平； 调整规则如下： 方法一：将规则中的32换成26~31（含26和31）之间的任何一个数均可； 方法二：将规则改为抽到的两位数不超过32得3分，超过32得5分； 方法三：将规则改为组成的两位数中，若个位数字是2，则甲胜，否则乙胜．（合理即可） 25． 不公平 ◆题型6已知概率求数量 26．C 27．C 28．D 29．16 30． ◆题型7几何概率 31． 32．C 33． 34．D 35． 综合攻坚·知能拔高 1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．C 7．A 8． 9． 10． 11． 12．(1) (2) 13．(1) (2) 14．(1) 随机； (2) 15．(1)某位居民获得奖品的概率为 (2)预计有位居民获得奖品 16．(1)；；； (2) 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 随机事件的概率 常考题型·精准突破 题型1 由频率估计概率（高频） 题型2 列举法求概率（重） 题型3 列表法或树状图法求概率（高频） 题型4 根据概率公式计算概率（重） 题型5 游戏的公平性（高频） 题型6 已知概率求数量（高频） 题型7 几何概率（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1由频率估计概率 1．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 93 267 378 570 948 1904 2850 发芽的频率 则绿豆发芽的概率大约是（     ）（结果精确到） A． B． C． D． 2．一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小红从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，黑色小球出现的频率如图所示，则摸到黑球的概率约为____________． 3．某工厂生产的同一批次电子元件，质检员从中随机抽取件进行耐压测试，测试完毕后将该元件放回并充分混合，这视为完成次检测．已知质检员共完成了次这样的检测，其中有次检测到的元件耐压不达标．则可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率是（     ） A． B． C． D． 4．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 200 500 800 1000 合格频数 47 95 188 480 763 949 合格频率 0.94 0.95 0.94 0.96 0.954 0.949 估计任抽一件衬衣是合格品的概率：________________（结果精确到0.01）． 5．下表是某篮球运动员一段时间内在罚球线上训练投篮的结果记录： 罚球总数 400 1000 1600 2000 3000 命中次数 348 893 1432 1812 2703 罚球命中率 0.870 0.893 0.895 0.906 0.901 根据以上数据可以估计，该球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为__________．（结果精确到0.1） ◆题型2列举法求概率 6．某校决定从三名男生和一名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人．则选出的恰好为一男一女的概率是________． 7．如图，学校现将闲置空地分成A、B、C三部分给学生种植白菜、茄子、辣椒三种蔬菜，每部分试验田只能种植一种蔬菜，则种植白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（     ） A． B． C． D． 种植方案 A B C 1 白菜 茄子 辣椒 2 白菜 辣椒 茄子 3 茄子 白菜 辣椒 4 茄子 辣椒 白菜 5 辣椒 白菜 茄子 6 辣椒 茄子 白菜 8．如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 9．五一期间，某商场举行猜商品价格赢奖品的活动．王先生在事先不知道商品价格的前提下，主持人要求他从下图中的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是230，那么他一次就猜中的概率是__________． 10．将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（     ） A． B． C． D． ◆题型3列表法或树状图法求概率 11．生活常识：日常使用电池时，严禁将有电电池与没电电池混合搭配使用，混用容易出现漏液、损坏电器、发热危险等安全隐患．家用电池检测仪可以快速区分电池电量状态．现有2节有电电池、和1节没电电池B，所有电池除电量状态外无其他区别．使用家用电池检测仪，从中随机取出一节电池检测后不放回，再随机取一节进行检测．用列表法或树状图法，求两次检测电池电量状态相同的概率． 12．某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全”“消防安全”“食品安全”三个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上三个主题中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．现将以上三个主题分别用A，B，C表示，请用画树状图或列表的方法求甲和乙选择相同主题的概率．                             甲 乙 A B C A B C 13．一个袋子里装有除颜色以外其他均相同的3个小球，其中红球2个、黑球1个．摸出一个球记录颜色后放回，搅匀后再摸出一个球并记录，则两次摸到的都是黑球的概率为________． 14．箱子里有四个球，分别标有数字1，2，3，4，各球除所标的数字外其他均相同．从箱子里任意摸出一个球，记下数后从剩下的三个球中再任意摸出一个球，记下数字． 问：记录的两个数的和是奇数的可能性大，还是偶数的可能性大？请通过列表或画树状图列举出所有可能的结果具体说明可能性． 15．小明在阅读了《少年中国说》后，制作了如图所示的三张卡片（这三张卡片分别用字母表示．正面文字依次是少、年、强，这三张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将三张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片．请用列表法或树状图法．求两人抽取的卡片恰好组成“少年”一词的概率． ◆题型4根据概率公式计算概率 16．在一个布袋里放有2个红球，1个黄球和3个黑球，它们除了颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出一个球是黑球的概率是（     ） A． B． C． D． 17．在今年“十一”期间，小雅准备从泰山、西湖、故宫三个著名景点中选择一个景点旅游，去泰山景点旅游的概率是（     ） A． B． C． D． 18．一个不透明盒子中装有除颜色外其他都相同的20颗蓝色幸运星，颗红色幸运星和15颗黄色幸运星（已搅匀），若小明在盒子中随机摸出一颗幸运星，则摸到红色幸运星的概率为______． 19．在4张完全相同的卡片上分别写上数字1，2，3，4，从中任意抽出一张，抽出标有数字为4的卡片的概率为________． 20．在一个不透明的盒子里有个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同．若摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率为______________． ◆题型5游戏的公平性 21．现有一个“传统文化知识竞赛”的参赛名额，小强和小丽都想参加．老师为他们设计了一个抽签游戏：将分别写有数字1，2，2，3，3，3，5，6的8张卡片背面朝上混合均匀，从中任取一张．抽到数字是3的倍数的卡片，小强获得参赛名额；否则，小丽获得参赛名额．（每张卡片除数字外完全相同） (1)求小强抽到写有数字2的卡片的概率． (2)你认为这个抽签方法对小强和小丽公平吗？请说明理由． 22．在一只不透明的布袋中，装有质地大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为4，则甲胜：若两球上的数字之和为5，则乙胜．请你利用画树状图或列表，说明这个游戏规则对甲乙双方是否公平． 23．有形状、大小和质地都相同的四张卡片，正面分别写有及对应的等式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张． A： B： C： D： (1)用画树状图或列表的方法表示抽取两张卡片可能出现的所有情况（结果用表示）； (2)小明和小强按下面规则做游戏：抽取的两张卡片上若等式都不成立，则小明胜；若至少有一个等式成立，则小强胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，则这个规则对谁有利？为什么？          第1张 第2张 A B C D A B C D 24．如图，四张质地相同的卡片洗匀后背面朝上放在桌面上． (1)求随机抽一张卡片，恰好得数字为2的概率； (2)甲、乙用以上卡片做游戏，规则如下：随机抽取一张卡片，记下数字放回，洗匀后再抽取一张，将抽取的第一张、第二张卡片上的数字分别作为一个两位数的十位数字和个位数字．若组成的两位数不超过32，则甲胜；反之乙胜．这个游戏公平吗?若公平，说明理由；若不公平，请修改规则，使之公平． 2 2 3 6 2 22 22 23 26 2 22 22 23 26 3 32 32 33 36 6 62 62 63 66 25．小明和小红玩摸球游戏：在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同，从中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再摸出一个球．若两次都摸到红球，则小红赢，否则小明赢．则小红赢的概率是________，这个游戏对双方________（填“公平”或“不公平”）． 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） ◆题型6已知概率求数量 26．在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，它们除颜色外其他均相同．小明每次摸出一个球，记下颜色后放回，通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.25左右，则布袋中白球的个数可能是（     ） A．10 B．20 C．30 D．36 27．有四个一模一样的小球，其中三个小球上面分别标有数字，，，小明和小亮各摸一个，前一个人随机摸一个小球记下数字后放回，混合均匀，后一个人再随机摸一个小球，如果两人摸得小球的数字之和为的概率为，那么第四个小球上的数字是（     ） A． B． C．或 D． 28．从某班学生中随机选一名学生是女生的概率是，则该班女生与男生的人数比是（     ） A． B． C． D． 29．在一个不透明的盒子里有4个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同．若摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率为，则n的值为_______． 30．一个盒子中有红球m个，白球6个，黑球n个，这些球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得的是白球的概率与不是白球的概率相同，求m与n之间的关系． ◆题型7几何概率 31．向如图所示的区域（小正方形的边长相等）随机掷一枚石子，石子落在空白部分的概率是________． 32．“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在太极图中随机取一点，则此点取自白色部分的概率是（      ） A． B． C． D． 33．如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是_____． 34．如图所示是一条线段，的长为5厘米，的长为1厘米，假设可以随意在线段上取一个点，那么这个点取在线段上的概率为（     ） A． B． C． D． 35．如图，一块木板由个大小相等的小正方形构成，若随机向木板上投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为_______． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 2．篮球是陕西省中考体育统一考试（现场测试）中“项目四·球类技能”的选项之一、如图是小强在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率为（     ） A． B． C． D． 3．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，如图，可见卖油的技艺之高超，若铜钱直径，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（     ） A． B． C． D． 4．在一个不透明的布袋中装有2个红球和8个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是红球的概率是，需要向袋子里添加红球的个数为（     ）个 A．6 B．7 C．8 D．10 5．甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出个小球（本题中，，是元音字母；，，，是辅音字母），则个小球上恰好有个元音字母的概率是（     ） A． B． C． D． 6．如图，王老师手中攥着四根同样的绳子，，，，小林从手的左边随机选择一根，小新从手的右边随机选择一根，则两人恰好选中同一根绳子的概率是（     ） A． B． C． D． E F G H A B C D 7．小明要钉一个三角形木框，已有两根长度为、的木棒．如图所示的桌上有长度不同的4根木棒，他从中随机取一根，加上原有的两根木棒，能钉成一个三角形木框的概率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下，根据表中的数据，估计出售件衬衣，其中合格产品约有______件． 抽取件数 合格频数 合格频率 9．在张一样的卡片上分别写上数，，，，，打乱顺序后，从中随机抽取一张，则抽到的卡片写的是无理数的概率是________． 10．如图，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是________________________． 11．为全面落实大课间体育活动制度，丰富学生的课间生活，我校在课间开展羽毛球、滚铁环、篮球三项运动，每人自由选择其中一项，则小晴和小茵选择同一项运动的概率是______________． 三、解答题 12．济南有众多旅游景区，皆是华夏文明的璀璨坐标．正面分别印有“趵突泉”“大明湖”“千佛山”“灵岩寺”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀． (1)若从中随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“趵突泉”的概率是 ； (2)若从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的概率． 13．如图，A转盘分成三等份，分别标有数字，2，3，B转盘分成两等份，分别标有数字1和．先转动A转盘，停止后指针所指区域的数字用a表示，再转动B转盘，停止后指针所指区域的数字用b表示（指针停止在分界线上时无效，重转）． (1)若只转动A转盘，转盘停止后指针所指区域的数字是正数的概率为______； (2)请用列表法或画树状图法求a与b的乘积为正数的概率． 结果 14．一个不透明的袋子里装着分别标有汉字“魅”“力”“诸”“暨”的四张卡片，除汉字之外，卡片没有任何区别． (1)若从袋中任意抽取一张卡片，抽中写有“暨”的卡片是_____ 事件（填“不可能”“必然”或“随机”），卡片上的汉字刚好是“魅”的概率为_____ ； (2)若同时从袋中任意抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法求抽取的两张卡片上的汉字恰好能组成“魅力”或“诸暨”的概率． 魅 力 诸 暨 魅 （魅，力） （魅，诸） （魅，暨） 力 （力，魅） （力，诸） （力，暨） 诸 （诸，魅） （诸，力） （诸，暨） 暨 （暨，魅） （暨，力） （暨，诸） 15．某社区举办“垃圾分类，从我做起”主题宣传活动．活动设置了一个转盘游戏：转盘被分成个面积相等的扇形，上面分别标注“可回收物”“有害垃圾”“厨余垃圾”“其他垃圾”．每位居民转动转盘两次，若两次指针所指垃圾类型相同，即可获得一份奖品． (1)用列表法或画树状图法求某位居民获得奖品的概率； (2)活动当天共有位居民参与游戏，按照（1）中的理论概率，预计有多少位居民获得奖品？ 16．某学校新建了一个AI智慧自习教室，引进了“数字人模型”和“AI助教模型”两种模型供学生使用．使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进行了问卷调查（每份问卷涉及两种模型，评分均为的整数，单位：分），并随机抽取了20份调查问卷，对数据进行整理、分析，得到如下图表： 请根据上述信息解答下列问题： 类别 平均数/分 中位数/分 众数/分 数字人模型 7 AI助教模型 8 8 (1)填空： _______，_______，_______，_______ (2)运营商对“AI助教模型”优化升级，已知所抽取的20份调查问卷中，评分为6分的有3人（2男1女），现从这3人中随机抽取2人进行座谈，请求出恰好抽到2名男生的概率． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 随机事件的概率 常考题型·精准突破 题型1 由频率估计概率（高频） 题型2 列举法求概率（重） 题型3 列表法或树状图法求概率（高频） 题型4 根据概率公式计算概率（重） 题型5 游戏的公平性（高频） 题型6 已知概率求数量（高频） 题型7 几何概率（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1由频率估计概率 1．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 93 267 378 570 948 1904 2850 发芽的频率 则绿豆发芽的概率大约是（     ）（结果精确到） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用大量重复试验下频率稳定于概率的规律，观察多组绿豆发芽试验的频率随试验粒数增加逐渐稳定在附近，据此估计绿豆发芽的概率约为． 【详解】解：∵ 在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值． 观察表格里绿豆发芽的频率：，，，，，，． ∵ 随着每批粒数不断增大，发芽的频率稳定在 附近， ∴ 绿豆发芽的概率大约是 ． 2．一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小红从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，黑色小球出现的频率如图所示，则摸到黑球的概率约为____________． 【答案】 【分析】根据大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察统计图得出频率稳定的数值即可． 【详解】解：观察折线统计图，随着试验次数的增加，黑色小球出现的频率波动逐渐变小. 频率最终稳定在附近， 摸到黑球的概率约为． 3．某工厂生产的同一批次电子元件，质检员从中随机抽取件进行耐压测试，测试完毕后将该元件放回并充分混合，这视为完成次检测．已知质检员共完成了次这样的检测，其中有次检测到的元件耐压不达标．则可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以大量重复试验的频率估计概率，可先计算不达标频率，再推导达标概率． 【详解】解：∵共完成次检测，其中次检测到的元件耐压不达标， ∴不达标检测的频率为， ∴可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率为． 4．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 200 500 800 1000 合格频数 47 95 188 480 763 949 合格频率 0.94 0.95 0.94 0.96 0.954 0.949 估计任抽一件衬衣是合格品的概率：________________（结果精确到0.01）． 【答案】 【分析】当试验次数足够大时，可用频率的稳定值估计概率，根据表格中频率的变化趋势得到稳定值，再按要求精确即可． 【详解】解：观察表格可得，随着抽取件数增加，合格衬衣的频率逐渐稳定在附近； 最大抽取量为1000件时，合格频率为，将结果精确到得到； 因此估计任抽一件衬衣是合格品的概率为． 5．下表是某篮球运动员一段时间内在罚球线上训练投篮的结果记录： 罚球总数 400 1000 1600 2000 3000 命中次数 348 893 1432 1812 2703 罚球命中率 0.870 0.893 0.895 0.906 0.901 根据以上数据可以估计，该球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为__________．（结果精确到0.1） 【答案】0.9 【详解】解：由表格可知，随着投篮次数越来越多，频率逐渐稳定到常数0.90附近，且精确到0.1， 这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.9． ◆题型2列举法求概率 6．某校决定从三名男生和一名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人．则选出的恰好为一男一女的概率是________． 【答案】 【分析】通过列举法统计从4名同学中选2名的所有等可能结果，再统计其中恰好为一男一女的结果数量，两类结果的比值即为所求概率． 【详解】解：设三名男生分别为A、B、C，女生为D， 从4人中任选2人的所有等可能结果为，共6种， 其中恰好为一男一女的结果为，共3种， ∴ 选出的恰好为一男一女的概率为． 7．如图，学校现将闲置空地分成A、B、C三部分给学生种植白菜、茄子、辣椒三种蔬菜，每部分试验田只能种植一种蔬菜，则种植白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定所有等可能的安排结果数，再确定白菜与辣椒不相邻的结果数，代入概率公式求解． 【详解】解：所有可能的种植情况如下表： 种植方案 A B C 1 白菜 茄子 辣椒 2 白菜 辣椒 茄子 3 茄子 白菜 辣椒 4 茄子 辣椒 白菜 5 辣椒 白菜 茄子 6 辣椒 茄子 白菜 由表可得，总共有6种等可能的种植方案，其中白菜与辣椒不相邻的种植方案有2种（方案1，6），所以白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率． 8．如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 【答案】二 【分析】先列举得到方案一和方案二的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算概率，再比较两个概率的大小即可． 【详解】解：设不能正常工作时表示为，， 方案一，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有1种，所以方案一中电路系统正常工作的概率为， 方案二，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有3种，所以方案二中电路系统正常工作的概率为， 方案二更稳定可靠． 故答案为：二． 9．五一期间，某商场举行猜商品价格赢奖品的活动．王先生在事先不知道商品价格的前提下，主持人要求他从下图中的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是230，那么他一次就猜中的概率是__________． 【答案】 【分析】用列举法求出所有等可能的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：如果拿走标有“2”的卡片，则剩下3、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为330； 如果拿走左边标有“3”的卡片，则剩下2、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为230； 如果拿走右边标有“3”的卡片，则剩下2、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为230； 如果拿走标有“0”的卡片，则剩下2、3、3三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为233； 综上所述，共有四种情况．若商品的价格是230元，那么他一次就能猜中的概率是． 10．将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举出所有等可能的结果，找出满足条件的结果数，再根据概率公式计算得到结果． 【详解】解：∵本次试验为放回摸球，每次摸球都有2种等可能的结果， ∴两次摸球共有种等可能的结果，分别是：(热爱，热爱)，(热爱，奔赴)，(奔赴，热爱)，(奔赴，奔赴)；其中两次摸出词语都为“热爱”的结果只有1种， ∴根据概率公式可得，所求概率为． ◆题型3列表法或树状图法求概率 11．生活常识：日常使用电池时，严禁将有电电池与没电电池混合搭配使用，混用容易出现漏液、损坏电器、发热危险等安全隐患．家用电池检测仪可以快速区分电池电量状态．现有2节有电电池、和1节没电电池B，所有电池除电量状态外无其他区别．使用家用电池检测仪，从中随机取出一节电池检测后不放回，再随机取一节进行检测．用列表法或树状图法，求两次检测电池电量状态相同的概率． 【答案】 【分析】先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两次检测电池电量状态相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由题意可列表如下： B / / B / 由表可知，从中随机取出一节电池检测后不放回，再随机取一节进行检测的所有等可能情况有种，其中两次检测电池电量状态相同的情况有种， 所以两次检测电池电量状态相同的概率为． 12．某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全”“消防安全”“食品安全”三个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上三个主题中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．现将以上三个主题分别用A，B，C表示，请用画树状图或列表的方法求甲和乙选择相同主题的概率． 【答案】 【分析】选择列表法，枚举所有甲、乙选择主题的可能结果，因为每个主题被选中的概率相同，所以每个基本事件发生的可能性相等．从枚举的所有结果中，找出甲和乙选择主题相同的结果个数，再根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：用列表法分析所有等可能的结果如下：                             甲 乙 A B C A B C 由上表可知：共有种等可能的结果，其中甲和乙选择相同主题的结果有种（即，，． ∴甲和乙选择相同主题的概率为：． 13．一个袋子里装有除颜色以外其他均相同的3个小球，其中红球2个、黑球1个．摸出一个球记录颜色后放回，搅匀后再摸出一个球并记录，则两次摸到的都是黑球的概率为________． 【答案】 【分析】先列表得到所有等可能的结果，再得出两次摸到的都是黑球的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：记两个红球分别为A，B，黑球为C，列表如下： 第一次第二次 由表格可知，一共有9种等可能的结果，其中两次摸到的都是黑球的结果有1种， ∴两次摸到的都是黑球的概率为． 14．箱子里有四个球，分别标有数字1，2，3，4，各球除所标的数字外其他均相同．从箱子里任意摸出一个球，记下数后从剩下的三个球中再任意摸出一个球，记下数字． 问：记录的两个数的和是奇数的可能性大，还是偶数的可能性大？请通过列表或画树状图列举出所有可能的结果具体说明可能性． 【答案】两数之和为奇数的可能性更大 ∵两数之和为奇数有8种情况，两数之和为偶数有4种情况， ∴两数之和为奇数的可能性更大 【分析】由树状图数出两数之和为奇数与偶数的情况种数，比较后下结论． 【详解】略 15．小明在阅读了《少年中国说》后，制作了如图所示的三张卡片（这三张卡片分别用字母表示．正面文字依次是少、年、强，这三张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将三张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片．请用列表法或树状图法．求两人抽取的卡片恰好组成“少年”一词的概率． 【答案】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中两人抽取的卡片恰好组成“少年”一词的结果数有种， ∴两人抽取的卡片恰好组成“少年”一词的概率是． ◆题型4根据概率公式计算概率 16．在一个布袋里放有2个红球，1个黄球和3个黑球，它们除了颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出一个球是黑球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵布袋中球的总个数为， 又∵黑球有个， ∴从布袋中任意摸出一个球是黑球的概率为． 17．在今年“十一”期间，小雅准备从泰山、西湖、故宫三个著名景点中选择一个景点旅游，去泰山景点旅游的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据从3个景点中任选1个，共有3种等可能的结果，其中选择泰山的结果有1种，代入概率公式求出答案即可. 【详解】解：根据题意得： 从3个景点中任选1个，共有3种等可能的结果，其中选择泰山的结果有1种， ∴去泰山旅游的概率. 18．一个不透明盒子中装有除颜色外其他都相同的20颗蓝色幸运星，颗红色幸运星和15颗黄色幸运星（已搅匀），若小明在盒子中随机摸出一颗幸运星，则摸到红色幸运星的概率为______． 【答案】 【详解】解：∵盒子中装有20颗蓝色幸运星，35颗红色幸运星，15颗黄色幸运星， ∴盒中幸运星的总数量为颗， ∵随机摸出1颗幸运星时，所有等可能的结果共70种， 其中摸到红色幸运星的结果有35种， ∴摸到红色幸运星的概率为． 19．在4张完全相同的卡片上分别写上数字1，2，3，4，从中任意抽出一张，抽出标有数字为4的卡片的概率为________． 【答案】 /0.25 【分析】根据概率公式，用所求情况数除以总等可能情况数即可计算结果． 【详解】解：一共有4种等可能的抽卡片结果，其中抽出标有数字为4的卡片的结果只有1种， ∴抽出标有数字为4的卡片的概率为． 20．在一个不透明的盒子里有个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同．若摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率为______________． 【答案】/ 【分析】根据概率的计算公式，用红球个数除以所有球的总个数，即可求出摸到红球的概率． 【详解】解：∵盒子里总共有球个，其中红球有个， ∴摸到红球的概率为． ◆题型5游戏的公平性 21．现有一个“传统文化知识竞赛”的参赛名额，小强和小丽都想参加．老师为他们设计了一个抽签游戏：将分别写有数字1，2，2，3，3，3，5，6的8张卡片背面朝上混合均匀，从中任取一张．抽到数字是3的倍数的卡片，小强获得参赛名额；否则，小丽获得参赛名额．（每张卡片除数字外完全相同） (1)求小强抽到写有数字2的卡片的概率． (2)你认为这个抽签方法对小强和小丽公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：公平，理由如下： 共有8种等可能性结果，抽到数字是3的倍数的卡片有3，3，3，6共4种情况，抽到数字不是3的倍数的卡片有1，2，2，5共4种情况， （小强获得参赛名额）（小丽获得参赛名额）； 答：这个抽签方法对小强和小丽是公平的． 【分析】（1）根据概率公式求解，即可得到答案； （2）分别求出小强和小丽获得参赛名额的概率，再比较大小即可解答． 【详解】（1）解：（抽到数字2）． （2）略 22．在一只不透明的布袋中，装有质地大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为4，则甲胜：若两球上的数字之和为5，则乙胜．请你利用画树状图或列表，说明这个游戏规则对甲乙双方是否公平． 【答案】这个游戏规则对甲乙双方不公平． 理由如下： 树状图如下： 一共有16种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为4的结果数有3种， 其中两球上的数字之和为5的结果数有4种， ∴，， ∵ ， ∴ 该游戏规则对甲乙双方不公平． 【详解】解：略 23．有形状、大小和质地都相同的四张卡片，正面分别写有及对应的等式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张． A： B： C： D： (1)用画树状图或列表的方法表示抽取两张卡片可能出现的所有情况（结果用表示）； (2)小明和小强按下面规则做游戏：抽取的两张卡片上若等式都不成立，则小明胜；若至少有一个等式成立，则小强胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，则这个规则对谁有利？为什么？ 【答案】(1)          第1张 第2张 A B C D A B C D 所有情况共有12种：． (2)游戏不公平，这个规则对小强有利．理由如下： 上述四个等式中，对应的等式正确，对应的等式错误， 小明胜利包含的可能情况有：两种情况， 小强胜利包含的可能情况有种情况， ， （小明胜）（小强胜）， 这个规则对小强有利． 【分析】（1）列出所有等可能的抽取结果； （2）判断每张卡片上的等式是否成立，分别计算两人获胜的概率，比较概率大小判断游戏公平性． 【详解】（1）略 （2）略 24．如图，四张质地相同的卡片洗匀后背面朝上放在桌面上． (1)求随机抽一张卡片，恰好得数字为2的概率； (2)甲、乙用以上卡片做游戏，规则如下：随机抽取一张卡片，记下数字放回，洗匀后再抽取一张，将抽取的第一张、第二张卡片上的数字分别作为一个两位数的十位数字和个位数字．若组成的两位数不超过32，则甲胜；反之乙胜．这个游戏公平吗?若公平，说明理由；若不公平，请修改规则，使之公平． 【答案】(1) (2)这个游戏不公平； 调整规则如下： 方法一：将规则中的32换成26~31（含26和31）之间的任何一个数均可； 方法二：将规则改为抽到的两位数不超过32得3分，超过32得5分； 方法三：将规则改为组成的两位数中，若个位数字是2，则甲胜，否则乙胜．（合理即可） 【分析】（1）直接根据概率公式进行计算即可； （2）先列出所有情况数，再根据概率公式进行计算，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：∵共有4张卡片，标有数字2的有两张， ∴随机抽一张卡片，恰好得数字为2的概率为； （2）解：这个游戏不公平； 列表如下： 2 2 3 6 2 22 22 23 26 2 22 22 23 26 3 32 32 33 36 6 62 62 63 66 由表格可知，可能出现的结果共有16种，它们出现的可能性相同， 所有的结果中，满足两位数不超过32的结果有10种， ∴甲获胜的概率为： ，乙获胜的概率为：， ∵， ∴这个游戏不公平． 调整规则略 25．小明和小红玩摸球游戏：在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同，从中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再摸出一个球．若两次都摸到红球，则小红赢，否则小明赢．则小红赢的概率是________，这个游戏对双方________（填“公平”或“不公平”）． 【答案】 不公平 【分析】先列出表格，得出摸球所有等可能结果，计算小红和小明赢的概率，比较概率大小判断游戏公平性即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） ∵所有等可能结果有9种，其中两次都摸到红球的4种，其他的有5种， ∴小红赢的概率为，小明赢的概率为， ∵， ∴游戏对双方不公平． ◆题型6已知概率求数量 26．在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，它们除颜色外其他均相同．小明每次摸出一个球，记下颜色后放回，通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.25左右，则布袋中白球的个数可能是（     ） A．10 B．20 C．30 D．36 【答案】C 【详解】解：摸到红球的频率稳定在左右， 摸到红球的概率为， 布袋中白球的个数为． 27．有四个一模一样的小球，其中三个小球上面分别标有数字，，，小明和小亮各摸一个，前一个人随机摸一个小球记下数字后放回，混合均匀，后一个人再随机摸一个小球，如果两人摸得小球的数字之和为的概率为，那么第四个小球上的数字是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先计算所有等可能结果数，结合概率得出和为的结果数，再分类讨论第四个球的数字，即可得出答案． 【详解】解：设第四个小球上的数字为，画树状图如下， 由树状图可知，共有种等可能结果， ∵两人摸得数字之和为8的概率为， ∴和为的结果有（种）， ∵其中三个小球上面分别标有数字，，，仅两次都摸到标的球时和为，对应种结果， ∴要使和为的结果有种时，需， 当时，和为的结果有种，不符合题意， 当时，和为的结果有种，符合题意， 当时，和为的结果有种，符合题意， ∴第四个小球上的数字是或． 28．从某班学生中随机选一名学生是女生的概率是，则该班女生与男生的人数比是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据概率得出女生与全班学生的比例，进而即可求解． 【详解】解：从某班学生中随机选一名学生是女生的概率是， 该班女生人数占总人数的， 该班男生人数占总人数的， 该班女生与男生的人数比是． 29．在一个不透明的盒子里有4个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同．若摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率为，则n的值为_______． 【答案】16 【分析】根据概率公式列出关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：摸到红球的概率为，总球数为个，红球共个， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意． 30．一个盒子中有红球m个，白球6个，黑球n个，这些球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得的是白球的概率与不是白球的概率相同，求m与n之间的关系． 【答案】 【分析】根据题意分别求得取得的是白球的概率和取得的不是白球的概率，列出等式化简即可． 【详解】解：∵盒子中有红球m个，白球6个，黑球n个， ∴从中任取一个球，取得的是白球的概率为，取得的不是白球的概率为， ∵取得的是白球的概率与不是白球的概率相同， ∴， 则． ◆题型7几何概率 31．向如图所示的区域（小正方形的边长相等）随机掷一枚石子，石子落在空白部分的概率是________． 【答案】 【分析】我们设每个小正方形的边长为1，可得整个大正方形区域总面积为9，通过切割平移得空白部分的总面积为5，根据几何概型概率公式，用空白部分面积除以总面积即可得到石子落在空白部分的概率． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，那么整个大正方形的总面积为 ． 如图，通过切割平移，阴影部分面积占4块． 空白部分面积 = 大正方形总面积 - 阴影面积 = ． 根据几何概型的概率公式，石子落在空白部分的概率为空白面积除以总面积，即 ． 32．“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在太极图中随机取一点，则此点取自白色部分的概率是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设太极图的总面积为． 太极图是中心对称图形，黑色部分与白色部分面积相等． 白色部分的面积为． 此点取自白色部分的概率． 33．如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是_____． 【答案】 【分析】观察图形，确定总格子数和黑色区域格子数，利用概率公式计算即可． 【详解】解： ∵游戏板总共有9个相同的小正方形，其中黑色区域占据了其中4个小正方形， ∴击中黑色区域的概率是． 34．如图所示是一条线段，的长为5厘米，的长为1厘米，假设可以随意在线段上取一个点，那么这个点取在线段上的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】概率所求情况数与总情况数之比，先确定线段的长在线段的长度中所占的比例，根据此比例即可解答． 【详解】解：的长为5厘米，的长为1厘米， ∴随意在这条线段上取一个点，那么这个点取在线段上的概率为． 35．如图，一块木板由个大小相等的小正方形构成，若随机向木板上投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查概率公式，根据几何概率的求法：落在阴影区域的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，即可求解． 【详解】解：将小正方形的边长视为单位“”， 则阴影部分的面积为， 个大小相等的小正方形的总面积为， 故击中阴影部分的概率是． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到图中阴影部分面积为“七巧板”拼成的正方形的面积的，据此进行解答即可． 【详解】解：设七巧板中最小的三角形面积为， 根据七巧板的面积关系：整个七巧板（小猫图案）总面积为； 小猫头部阴影部分是个最小三角形加中间正方形，面积和为； 因此小球停在阴影部分的概率为． 2．篮球是陕西省中考体育统一考试（现场测试）中“项目四·球类技能”的选项之一、如图是小强在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图知小强投篮命中的频率是，得到现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为． 【详解】解：由图知小强投篮命中的频率是， ∴现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为． 3．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，如图，可见卖油的技艺之高超，若铜钱直径，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆和正方形的面积，然后求出几何概率． 【详解】解：铜钱圆的面积为， 正方形的面积为， ∴油恰好落入孔中的概率是． 4．在一个不透明的布袋中装有2个红球和8个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是红球的概率是，需要向袋子里添加红球的个数为（     ）个 A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】设需要向袋子里添加个红球，则红球个数为个，球的总数为个，据此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设需要向袋子里添加个红球， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴需要向袋子里添加红球的个数为10个． 5．甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出个小球（本题中，，是元音字母；，，，是辅音字母），则个小球上恰好有个元音字母的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用树状图求概率，解题关键是正确画出树状图，熟练运用概率公式进行计算．用树状图列出所有可能，再用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如图： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中个小球上恰好有个元音字母的结果有种， 则个小球上恰好有个元音字母的概率是． 6．如图，王老师手中攥着四根同样的绳子，，，，小林从手的左边随机选择一根，小新从手的右边随机选择一根，则两人恰好选中同一根绳子的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意列表列举所有等可能结果，再根据事件概率的计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： E F G H A B C D 共有16种等可能结果，其中两人恰好选中同一根绳子的等可能结果分别是，，，，共4种，所以两人恰好选中同一根绳子的概率是． 7．小明要钉一个三角形木框，已有两根长度为、的木棒．如图所示的桌上有长度不同的4根木棒，他从中随机取一根，加上原有的两根木棒，能钉成一个三角形木框的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”确定第三边的取值范围，从而找出符合条件的木棒根数，最后利用概率公式求解即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， 已有两根木棒长度分别为、， 根据三角形三边关系可得：，即， 桌上的4根木棒长度分别为、、、， 满足的木棒有和这2根， 能钉成一个三角形木框的概率为． 二、填空题 8．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下，根据表中的数据，估计出售件衬衣，其中合格产品约有______件． 抽取件数 合格频数 合格频率 【答案】 【分析】当抽取的样本量足够大时，合格频率会稳定在某一固定数值附近，可利用该稳定频率估计衬衣的合格概率，再结合总出售数量计算合格产品的估计值． 【详解】解：观察表格中的合格频率数据，当抽取件数为件、件时，合格频率均为，随着抽取样本量增大，合格频率逐渐稳定在附近， 可估计这批衬衣的合格概率约为， 出售件衬衣时，合格产品的估计数量为件． 9．在张一样的卡片上分别写上数，，，，，打乱顺序后，从中随机抽取一张，则抽到的卡片写的是无理数的概率是________． 【答案】 【分析】先判断出5个数中无理数的个数，再根据概率公式计算抽到无理数的概率． 【详解】解：∵，是整数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数；是开方开不尽的数，属于无理数；是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数； ∴5个数中，无理数共有2个，所有等可能的抽取结果共5种， ∴抽到无理数的概率为． 10．如图，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是________________________． 【答案】 【分析】利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率． 【详解】解：用树状图表示所有可能出现的结果有： 共有6种等可能结果，其中符合条件的有4种， ∴能让灯泡发光的概率为． 11．为全面落实大课间体育活动制度，丰富学生的课间生活，我校在课间开展羽毛球、滚铁环、篮球三项运动，每人自由选择其中一项，则小晴和小茵选择同一项运动的概率是______________． 【答案】 【分析】先画出树状图，列举两人选择运动的所有等可能结果，再找出两人选择同一项运动的结果数，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：记羽毛球为，滚铁环为，篮球为．根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中小晴和小茵选择同一项运动的结果有种，故所求概率为． 三、解答题 12．济南有众多旅游景区，皆是华夏文明的璀璨坐标．正面分别印有“趵突泉”“大明湖”“千佛山”“灵岩寺”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀． (1)若从中随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“趵突泉”的概率是 ； (2)若从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）总共有4张等可能卡片，“趵突泉”占1张，直接用符合条件数量除以总数求概率； （2）用列表法得到一共有种等可能情况，从中找出两次相同的情况有4种，再计算概率． 【详解】（1）解：一共4张卡片，“趵突泉”只有1张， 抽到的卡片上的景区为“趵突泉”的概率是； （2）解：设A：“趵突泉”，B：“大明湖”，C：“千佛山”，D：“灵岩寺”， 二 一 A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的有种， 两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的概率为． 13．如图，A转盘分成三等份，分别标有数字，2，3，B转盘分成两等份，分别标有数字1和．先转动A转盘，停止后指针所指区域的数字用a表示，再转动B转盘，停止后指针所指区域的数字用b表示（指针停止在分界线上时无效，重转）． (1)若只转动A转盘，转盘停止后指针所指区域的数字是正数的概率为______； (2)请用列表法或画树状图法求a与b的乘积为正数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再根据概率公式解题． 【详解】（1）解：转动转盘可以得到种等可能结果，其中停止后指针所指区域的数字是正数的结果有种， ∴停止后指针所指区域的数字是正数的概率为； （2）解：列表得： 结果 由表格可得共有种等可能结果，其中乘积为正数的有种， ∴a与b的乘积为正数的概率为． 14．一个不透明的袋子里装着分别标有汉字“魅”“力”“诸”“暨”的四张卡片，除汉字之外，卡片没有任何区别． (1)若从袋中任意抽取一张卡片，抽中写有“暨”的卡片是_____ 事件（填“不可能”“必然”或“随机”），卡片上的汉字刚好是“魅”的概率为_____ ； (2)若同时从袋中任意抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法求抽取的两张卡片上的汉字恰好能组成“魅力”或“诸暨”的概率． 【答案】(1) 随机； (2) 【详解】（1）解：∵袋子中有标有“暨”的卡片，任意抽取一张时，可能抽到也可能抽不到， ∴抽中写有“暨”的卡片是随机事件； ∵共有4张除汉字外完全相同的卡片，其中写有“魅”的卡片有1张， ∴抽中卡片上汉字为“魅”的概率为； （2）解：由题意，列表如下： 魅 力 诸 暨 魅 （魅，力） （魅，诸） （魅，暨） 力 （力，魅） （力，诸） （力，暨） 诸 （诸，魅） （诸，力） （诸，暨） 暨 （暨，魅） （暨，力） （暨，诸） 共有12种等可能的结果，其中符合题意的结果有4种， ∴． 15．某社区举办“垃圾分类，从我做起”主题宣传活动．活动设置了一个转盘游戏：转盘被分成个面积相等的扇形，上面分别标注“可回收物”“有害垃圾”“厨余垃圾”“其他垃圾”．每位居民转动转盘两次，若两次指针所指垃圾类型相同，即可获得一份奖品． (1)用列表法或画树状图法求某位居民获得奖品的概率； (2)活动当天共有位居民参与游戏，按照（1）中的理论概率，预计有多少位居民获得奖品？ 【答案】(1)某位居民获得奖品的概率为 (2)预计有位居民获得奖品 【分析】（1）通过树状图法列举两次转动转盘的所有等可能结果，统计两次垃圾类型相同的结果数，代入概率公式计算； （2）用参与游戏的总人数乘以获奖的理论概率，得到预计获奖人数． 【详解】（1）解：将四类垃圾分别记为（可回收物）、（有害垃圾）、（厨余垃圾）、（其他垃圾），画出树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两次指针所指垃圾类型相同的结果有种， 某位居民获得奖品的概率为． （2）解：参与游戏的居民共位，获奖的理论概率为， 预计获奖人数为（位）． 答：预计有位居民获得奖品． 16．某学校新建了一个AI智慧自习教室，引进了“数字人模型”和“AI助教模型”两种模型供学生使用．使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进行了问卷调查（每份问卷涉及两种模型，评分均为的整数，单位：分），并随机抽取了20份调查问卷，对数据进行整理、分析，得到如下图表： 请根据上述信息解答下列问题： 类别 平均数/分 中位数/分 众数/分 数字人模型 7 AI助教模型 8 8 (1)填空： _______，_______，_______，_______ (2)运营商对“AI助教模型”优化升级，已知所抽取的20份调查问卷中，评分为6分的有3人（2男1女），现从这3人中随机抽取2人进行座谈，请求出恰好抽到2名男生的概率． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】（1）利用求平均数的公式求出，利用中位数和众数的定义分别求出，，先求出扇形统计图中分所占百分比，用整体减去其他各部分的百分比即可求解； （2）用树状图列出所有可能性，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴； 一共个数据，从小到大排列，第和个数据的平均数是中位数， 由条形统计图知第和个数据都是， ∴中位数为， 即； 由扇形统计图可知“助教模型”中分出现次数最多， ∴； ∵扇形统计图中分占百分比为：， ∴， ∴； （2）解：画树状图如下： 共有种等可能性的结果，其中恰好抽到两名男生的情况有种， ∴（抽到名男生）． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $