第21章 一元二次方程 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（华东师大版·新教材）

第21章 一元二次方程 知识梳理导图 等号两边都是整式，只含 方程有两个不 有一个未知数，并且未知 4>0←→ 相等的实数根 数的最高次数是2的方程， 叫做一元二次方程 概念 根的判别式： 4=0←→1 方程有两个相 4=b2-4ac ax2十bx十c=0(a≠0)一般形式 等的实数根 方程 根的判别式 及根与系数 4<0←→方程无实数根 形如x2=p(巾≥0) 直接开 或(x+n)2=p(p≥0) 的关系 平方法 根与系数的关系： ax2+bx十c=0(a≠0)， x1十x2= a1x2= a +多}户 b2-4ac 元二 4a2 配方法 次方程 列一元二次方程解应 用题的一般步骤： N=- -b±√b2-4ac 2a 一元 (1)审；（2)设； (b2-4ac>≥0) 公式法 次方程 代数问题、 (3)列；(4)解； 元二次方 几何问题 （5)验；(6)答 (x+a)(x十b)=0, 的解法 程的应用 则x1=一a,x2=一b因式分解法 重难疑点解法 分上分点个巧用一元二次方程及根求值 分上分点2一元二次方程解法技巧的运用 例①若a是关于x的一元二次方程x2-3x一 例2阅读材料，解答问题， 10=0的根，求代数式a(a-3)+5的值， 解方程：(4x一1)2-10(4x-1)十24=0. 名师启发本题考查一元二次方程的解，也考 解：把4x一1视为一个整体， 查代数式的变形. 设4x-1=y, 则原方程可化为y2-10y十24=0，解得y1=6, y2=4,∴.4x-1=6或4x-1=4, 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的， 体现了转化的思想， 请仿照材料解下列方程： (1)x4-x2-6=0; (2)(x2-2x)2-5.x2+10x-6=0. 方法技巧 根据一元二次方程的解的定义得到a2一3a 名师启发本题主要考查用换元法和因式分 解法解一元二次方程。 10=0,则a2一3a=10,再整体代入求值即可. (1)设x2=y,则原方程可化为y2一y一6=0，然 7 实验班提优训练数学九年级上HSD 后利用因式分解法解该方程，进而求得y的值，再利 值范围即可； 用直接开平方法求得x的值； (2)可根据求根公式求出x1、x2,再代入y= (2)设x2-2x=y,则原方程可化为y2-5y一 x,一1中，得到关于m的函数表达式； 6=0,然后利用因式分解法解该方程，进而求得y的 值，再利用公式法即可求得x的值. (3)利用根与系数的关系求出m的值，即可得到 x1与x1十n(n≠0)分别是关于x的方程x2+4x+ 3一b=0的两个根，利用根与系数的关系得到x1十 2十m=一4，甲=”士，代入代数式化简即可： 妙归纳总结 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理 论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题 移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型 问题标准化、复杂问题简单化： ☆方法技巧 分上分点3一元二次方程根与判别式及系数的应用 本题可先利用判别式判断方程总有实数根，再 例3已知关于x的一元二次方程mx2十 通过公式法求含参方程的根，结合参数范围判断根 (3m+1)x+3=0(m≠0). 的大小并代入化简得到函数表达式，最后根据整 (1)求证：方程有两个实数根； 数根条件确定参数取值， (2)若m<0,方程的两个实数根分别为x1、x2 上分点4一元二次方程的实际应用 (其中x1<x),若y是m的函数，且y=x1,求 例4(2026·四川成都青羊区期末)人形机器人是 这个函数的表达式； 设计和结构上模仿人类身体形态的机器人，代表了人 (3)若m为正整数，关于x的一元二次方类对通用型机器助手的长远梦想.随着人工智能、减 程mx2+(3m十1)x+3=0(m≠0)的两个根都是整 速器和传感器技术的突破，它正从科幻走向现实，某 数，x1与x1十n(n≠0)分别是关于x的方程mx2+ 商家采购减速器模型和传感器模型对外销售，每个减 (3m十1)x十3-b=0的两个根.求代数式4x号十速器模型的进价为15元，每个传感器模型的进价 12x1n+5n2+16n+8的值. 为20元. 名师启发本题考查一元二次方程根与系 (1)若该商家准备用不超过10000元采购减速器 数的关系、根的判别式. 模型和传感器模型共600个，求最多能购买传感器模 (1)利用△列出关于m的式子，然后求出m的取：型多少个； 8 第21章 (2)该商家在对外销售的过程中调查发现：当减50个，要使平均每天的利润达到4400元，列出一元二次 速器模型的售价为30元时，平均每天能售出200个， 方程，解之取符合题意的值即可. 经测算发现每个减速器模型的售价每降低1元，平均 每天可多售出50个，为扩大销量占领市场，商家决定 对减速器模型进行降价促销，要使平均每天的利润达 到4400元，则减速器模型应降价多少元. 名师启发（①）设购买传感器模型x个，则购买 减速器模型(600一x)个，根据该商家准备用不超过 10000元采购减速器模型和传感器模型，列出一元一次 不等式，解不等式即可； 关建提醒 (2)设减速器模型应降价y元，根据当减速器模型 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是 的售价为30元时，平均每天能售出200个，经测算发现 找准数量关系，正确列出相关式子」 每个减速器模型的售价每降低1元，平均每天可多售出 易错易混辨析 A.当m=0时，方程无解 )易错点1 忽略一元二次方程的二次项系 数不能为零 B.当m=1时，方程有一个实数解 例①已知关于x的一元二次方程(a-1)x2+ C.当m=一1时，方程有两个相等的实数解 x十a2-1=0. D.当m≠0时，方程总有两个不相等的实数解 (1)分别写出它的二次项系数、一次项系数和常 3.已知x=3是一元二次方程mx2一(2m 数项； 1)x=0的一个根. (2)若它的个根为0，求a的值. (1)求m的值； 解答(1)二次项系数为a一1，一次项系数为1，常 (2)已知一元二次方程mx2-（2m一1)x+m= 数项为a2一1. (2)把x=0代人，得a2-1=0, 0的两个限分别为a6求代数式华。 解得a=士1.当a=1时，a一1=0，方程不是一元二 的值. 次方程，∴.a=-1. 殊析伯纳- 一元二次方程的一般形式为a.x2十bx十c=0,其 中二次项系数Q≠0.当一元二次方程的二次项系数是 含有字母的代数式时，一定要注意该代数式不能等 于0. 巩店特训 1.已知x=1是关于x的一元二次方程(m-2)·x2+ 4x一m2=0的一个根，则m的值为(). A.-1或2 B.-1 C.2 D.0 4.已知关于x的一元二次方程(m一1)x2一 2.(2026·河南洛阳期中)关于x的一元二次方程 2mx+m十1=0. mx2+(1一m)x-1=0的根的情况是(). (1)求出方程的根（可用m表示）. 9 实验班提优训练数学九年级上HSD (2)当m为何整数时，此方程的两个根都为正 解答(1)由题意，得1-m2≠0且△= 整数？ [2(1-m)]2-4(1-m2)×(-1)≥0， 解得m≤1且m≠±1， ∴.m的取值范围为m<1且m≠一1. (2).m为非负整数，.m=0, 此时方程为x2+2x一1=0， ∴.x1=-1十√2，x2=-1-√2. 辨析分纳 (1)根据一元二次方程的定义和根的判别式得 到1一m2≠0且△≥0，然后解不等式即可；(2)根 据“m为非负整数”以及(1)中得到的m的范围判 断出m的值，然后代入方程求解即可. 易错点2解方程时方法不当而漏解 巩固特训 例2解方程：(x十3)2=(2-2x)2. 6.(2026·甘肃白银期末)已知关于x的一元二次方 解答两边开方，得x十3=土(2-2x), 程mx2+2(m十1)x+m一1=0有两个不相等的 即x十3=2-2x或x+3=一(2-2x), 实数根. (1)求m的取值范围； 解得x1= 3x2=5. (2)若方程有一个根是x=一2，求方程的另一个根 辨析伯纳--- 及m的值. 解一元二次方程时，注意观察方程的形式，选 !择适当的方法，此题若先将其化为一般式，则比较 烦琐，利用直接开平方法时注意得到的是两个一元 一次方程，切勿漏解。 凡固特训 5.(2025·甘肃陇南期末)解方程：5(x一1)2=2(x一1). )易错点4 利用根与系数的关系时，忽略方 程是否有实数根 运用根的判别式解题时忽略二 例4已知关于x的一元二次方程x2+(2m十 )易错点3 次项系数不能为零 1)x+m2+1=0. 例3已知关于x的一元二次方程(1-m)x2+ (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； 2(1一m)x一1=0有两个实数根. (2)若方程的两个实数根分别为x1、x2,且满足 (1)求m的取值范围； x+x号=15，求实数m的值. (2)若m为非负整数，求此时方程的根. 解答(1)：关于x的一元二次方程x2+ 10 第21章 (2m十1)x十m2+1=0有实数根， (2)是否存在满足条件的常数，使该方程的两个 ∴.b2-4ac=(2m+1)2-4(m2+1)=4m 解等于边长为2的菱形的两条对角线长？若存在，求 3≥0， k的值；若不存在，说明理由。 解得m≥}，即m的取值范围是m≥ (2).x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2+1, .x+x2=（x1+x2)2-2x1x2=(2m+1)2 2(m2+1)=2m2+4m-1. .x7+x8=15, ∴.2m2+4m-1=15,即m2+2m-8=0, 解得m=2或m=一4. :m≥是m=2 辨析归纳 一元二次方程有两个实数根的前提：二次项系 数非零，且根的判别式△≥0. 视固特 )易错点5忽略实际问题中量的实际意义 7.已知关于x的一元二次方程x2一(2k十1)x十 例5(2026·湖南长沙期中)为了倡导绿色出行， k2=0有两个不相等的实数根。 (1)求的取值范围； 某学校计划利用一片空地建一个面积为110m2的矩 形车棚，方便学生停放自行车，车棚其中一边靠墙，这 (2)若该方程的两根1、x2满足】+】=3，求出 Γx1.x2 堵墙的长度为12m,另外三边用总长为30m的木 k的值. 板墙。 (1)如图(1)，为方便出行，学校决定在与墙平行 的一边上开一个2m宽的门，那么这个车棚的长和宽 分别应为多少米？ (2)在(1)的条件下，如图(2)，为了方便取车，施 工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车 区的面积为80m,那么小路的宽是多少米？ (1) (2) 解答(1)由题意，设与墙垂直的一面为x米， 则另一边为(30-2x+2)米， ∴.x(32-2x)=110,解得x=5或x=11. 8.已知关于x的一元二次方程x2-2(k+1)x十k2十 当x=5时，32-2x=22>12(舍去)，当x= k十3=0(k为常数)， 11时，32-2x=10<12,.x=11. (1)若方程的两根为菱形的相邻两边长，求k 故车棚的长为11米，宽为10米， 的值. (2)设小路的宽为a米，根据题意，得(10一 11 实验班提优训练数学九年级上HSD 2a)(11-a)=80, 赏竹种植区域的长为16m,另外三边用篱笆围起 .a=15(舍去)，a=1. 来（如图丙） 故小路的宽为1米。 若篱笆的总长度为32m,为方便打理花园，则需要 舞析伯纳 在花园较长的另一侧装一个2m宽的门.设垂直 本题主要考查了一元二次方程的应用，解题时 于观赏竹区域的长为xm,平行于观赏竹区域的 熟练掌握并能根据题意列出方程是关键」 长为ym. ①求y关于x的函数表达式. 饥固特训 ②若篱笆围成的矩形面积为140m,求篱笆围成 9.(2026·广西南宁期中)综合与实践 的区域的长和宽分别是多少？ 在国庆假期期间，小明返回家乡，协助爷爷在一块 矩形的空地上规划并建造一个花园.以下是小明 对花园规划设计的过程. 爷爷要求小明构思一种规划方案，小明结合九年 级所学知识，设计了甲、乙两种方案（其中阴影部 分为花园) 16m ▣ 16m 观赏竹 10.(2026·广东佛山南海区期中)“一犁新雨破春耕，野 (第9题) 草闲花次第生”，为了让同学们更好地感受中华 [方案设计] 传统农耕文化的魅力，培养青少年懂得劳动之 (1)爷爷考虑之后，决定从甲、乙两种方案中选择 义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；为了便于种 一种进行建造 菜、浇地、采摘等劳动课程的开展，老师请同学们 ①若甲方案中花园周围小路的宽为am,则花园的 参与一块长为120米，宽为80米的矩形菜地中菜 长可以表示为 m,宽可以表示为 地小路的方案设计，以下是同学们对菜地小路设 m;(用含有a的代数式表示) 计的研究过程。 ②若乙方案中花园宽为bm,则花园区域的面积可 要求：设计的每一条小路要连接矩形菜地的一组 以表示为 m.(用含有b的代数式表示) 对边.同学们设计的方案主要有如图所示的甲、 [方案确定] 乙、丙、丁四种典型的方案，四幅图中AB=CD= (2)经过综合考虑，爷爷决定选择甲方案进行花园 IJ=EF-KL-HG 的建造，并且确保花园面积恰好占据矩形空地的 一半，请计算花园周围小路的宽度是多少？ [方案优化] (3)为了保证花园的美观，且防止家中的家禽进入 HG KL 花园.爷爷决定在花园较长的一侧种植观赏竹，观 甲：直径简洁型 乙：垂直倾斜型 12 第21章 条小路的宽度是多少米？ K HG 丙：曲径通幽型 丁：孤径优美型 (第10题) (1)以上四种方案小路面积的大小关系？你的判 断是 .（填“相等”或“不相等”) (2)为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求去 除小路面积后菜地面积约为9048平方米，则每 素养考向提分 新情境 解析()因式分解多项式，然后得结论； 例①阅读材料：各类方程的解法： (2)两边同时平方，把无理方程转化为整式方程， 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方 求解，注意验根； 程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组，把它 (3)设AP的长为xm,根据勾股定理和BP十 转化为一元一次方程来解；类似地，求解三元一次方 CP=10,可列出方程，由于方程含有根号，两边同时平 程组，把它转化为解二元一次方程组；求解一元二次 方，把无理方程转化为整式方程，求解. 方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式 答案(1)-21 方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能 (2)√x+6=x,方程的两边分别平方，得x十6 产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解x2,即x2一x一6=0，.(x一3)(x十2)=0，∴x一3 法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思0或x十2=0，x1=3,x2=一2.当x=一2时， 想—转化，把未知转化为已知. √x+6=2≠-2， 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方 .一2不是原方程的解， 程.例如，一元三次方程x3十x2一2x=0,可以通过 '.方程√x十6=x的解是x=3. 因式分解把它转化为x(x2十x一2)=0，解方程x= (3).四边形ABCD是矩形， 0和x2十x一2=0，可得方程x3十x2-2x=0的解. .∠A=∠D=90°，AB=CD=3m. (1)问题：方程x3+x2一2x=0的解是x1=0, 设AP=xm,则PD=(8-x)m. x2 x3= (2)拓展：用“转化”思想求方程√x+6=x的解； .'BP+CP =10,BP =VAP2+AB2,CP= (3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD= √WPD+CD, 8m,宽AB=3m,小华把一根长为10m的绳子的一 ∴√9+x2+√(8-x)2+9=10, 端固定在点B,沿草坪边BA、AD走到点P处，把长 整理，得(x一4)2=0，解得x=4. 绳PB段拉直并固定在点P,然后沿草坪边PD、DC 经检验，x=4是方程的解. 走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端 故AP的长为4m. 恰好落在点C.求AP的长， o点拨 本题考查了转化的思想方法，一元二次方 程的解法.解无理方程时注意要验根.解(3)时， 根据勾股定理和绳长，列出方程是关键. 13 实验班提优训练数学九年级上HSD 举反白 (1)求当x为何值时，围成的试验田面积为81m2. 1.(2026·安徽芜湖期中)某农场现有一长方形养鸡场， (2)能围成面积为120m的试验田吗？请通过计 养鸡场的一边靠墙，墙的最大可用长度为22米， 算说明理由。 ∠LL4L∠L∠∠∠∠L∠L∠∠L4∠∠LLLL∠L∠L∠∠∠L4LLL 养鸡场面积是160平方米.为改善养鸡场环境，今 A 的世的当的曾的当 D 年对养鸡场进行了重建，重建后的养鸡场如图 当的当当首的当当 的的当曾曾当当 所示，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上 BL 有两处各开了一扇宽为2米的门（门无需板材）， (第2题) 且养鸡场的面积保持不变 (1)设AB=x米，则BC= 米（用含x的 代数式表示). (2)求重建后的养鸡场的宽AB为多少米？ (第1题) 新考法 例2(2025·福建漳州期中)下面是小艾进行数学 学科项目学习时记录的部分内容。 项目主题：如何利用闲置纸板箱制作储物盒， 项目探究：如图(1)是小艾家放置储物盒的区域， 该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图(2) 2.(2026·黑龙江齐齐哈尔期中)9月29日中华人民共和 所示. 国国家勋章和国家荣誉称号颁授仪式在人民大会 储物 堂隆重举行，我国小麦远缘杂交育种奠基人和农 区域 40 cm 业发展战略专家李振声，在祖国西北耕耘31载， 30 cm 培育推广抗病、高产的远缘杂交小麦，被授予“共 和国勋章”.某校八年级学生利用课余时间进行劳 (1) (2) 动实践，准备种植远缘杂交小麦，试验田一边靠学 如图(3)是用闲置纸板箱拆解出的长方形纸板 校的墙（墙的最大可用长度为25m),其他边用长 ①、②，两种长方形纸板宽均为acm(a<50cm), 为35m的篱笆（篱笆正好全部用完，且不考虑接 A D I cm ② 头的部分)围成中间隔有一道篱笆的长方形，在试 验田的前端设计了两个宽0.5m的小门，供同学 50 cm 100cm (3) 们进出.设试验田的一边AB的长为xm. 项目成果：小艾分别将长方形纸板①和②以不同 14 第21章 的方式制作储物盒。 由题意，得(50-2y)(40-2y)=936, 长方形纸板①制作方式：裁去角上4个相同的小 整理，得y2-45y+266=0, 正方形，折成一个无盖长方体储物盒： 解得y1=7,y2=38(不合题意，舍去) 长方形纸板②制作方式：将纸片四个角裁去4个 故裁去角上4个相同的小正方形的边长为7cm, 相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒。 (2)设小长方形的边FJ的长为xcm,且0<x< A D 20,则小长方形的另一边的长为2十50 2 cm, a em 50 cm 由题意，得 (40-2x)(100-2Xx+50 2 =702, F(G 100cm 整理，得x2-70x+649=0, (4) 解得x1=11,x2=59(不合题意，舍去). 请你帮助小艾完成下列项目任务： 故小长方形的边FJ的长为11cm. 任务一：按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒 6点拨 能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则 列一元二次方程解应用题的“六字诀”： 长方形纸板宽a为 cm; 1.审：理解题意，明确未知量、已知量以及 任务二：利用任务一计算所得的数据a,进一步 它们之间的数量关系。 探究 2.设：根据题意，可以直接设未知数，也可 (1)按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地 以间接设未知数. 放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当 3.列：根据题中的等量关系，用含所设未知 储物盒的底面积是936cm2时，求裁去角上4个相同 数的代数式表示其他未知量，从而列出方程， 的小正方形的边长； 4.解：准确求出方程的解 (2)按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒， 5.验：检验所求出的根是否符合所列方程 若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底 和实际问题. 面积为702cm,求小长方形的边FJ的长 6.答：写出答案 解析任务一：求出长方形纸板在①制作方式中 的四角裁去的小正方形的边长，即可解决问题； 例3阅读材料，解答问题： 任务二：(1)设裁去的小正方形的边长为ycm, 材料1 根据储物盒的底面积是936cm2,列出一元二次方程， 为了解方程(x2)2-13x2十36=0，如果我们把 解之取符合题意的值即可； x2看作一个整体，然后设y=x2,则原方程可化为 (2)设小长方形的边FJ的长为xcm,且0<x< y2一13y十36=0，经过运算，原方程的解为x12= 20,则小长方形的另一边的长为十50。 士2，x3,4=士3.我们通常把以上这种解决问题的方法 2产cm,根据盒子 叫做换元法。 的底面积为702cm2,列出一元二次方程，解之取符合 材料2 题意的值即可 已知实数m、n满足m2-m-1=0,n2-n-1= 答案任务一：40提示：长方形纸板①制作方 0,且m≠n,显然m、n是方程x2-x一1=0的两个不 式中的四角裁去小正方形的边长为(50一40)÷2= 相等的实数根，由韦达定理可知，m+n=1, 5(cm), mn=-1. ∴.a=储物盒的宽十2×小正方形的边长=30十 根据上述材料，解决以下问题： 2X5=40(cm). (1)直接应用： 任务二：(I)设裁去的小正方形的边长为ycm, 方程x4-5x2十6=0的解为 15 实验班提优训练数学九年级上HSD (2)间接应用： 点拨 已知实数a、b满足2a4-7a2+1=0,2b4-7b2十 本题考查了一元二次方程根与系数的关 1=0且a≠b,求a4+b4的值； 系、换元法等知识，解题的关健是理解题意，学 (3)拓展应用： 会模仿例题解决问题 已知实数m、n满足是 m=7,m2-n=7且 举反目 心，求+r的位 3.(2026·广东惠州期中)新定义：已知关于x的一元二 次方程a1x2十b1x十c1=0的两根之和x1十x2与 解析(1)利用换元法降次解决问题； 两根之积x1·x2分别是另一个一元二次方程 (2)模仿例题解决问题即可； a2x2十b2x十c2=0的两个根，则称一元二次方程 (③)令=a,-月=6，则a2+a-7=0,60+6- a2x2+b2x+c2=0为一元二次方程a1x2十 b1x十c1=0的“再生韦达方程”，称一元二次方程 7=0,再模仿例题解决问题. a1x2十b1x十c1=0为“原生方程”. 答亲(1)x1=2,x2=-2,x3=3, 比如：一元二次方程x2一2x一3=0的两根分别 x4=-√3. 为x1=3,x2=一1，则x1十x2=2,x1·x2=-3, (2).a≠b,∴.a2≠b2或a2=b2. 所以它的“再生韦达方程”为x2十x一6=0. ①当a2≠b2时，令a2=m,b2=n. (1)已知一元二次方程x2一5x+6=0,求它的“再 ∴.m≠n,则2m2-7m十1=0,2n2-7n+1=0, 生韦达方程”； ∴.m、n是方程2x2一7x+1=0的两个不相等的实 (2)已知“再生韦达方程”x2十x一30=0，求它的 “原生方程”. 7 m十n=2' 数根， 1 mn2' 此时a4+b4=m2+n2=(m十n)2-2mn= 45 41 ②当a2=b2(a=-b)时，a2=b2=7±y4④ 4， 此时a4+b=2a=2(a2)2=45±7W④ 4 综上所述，a十b=45或45±74红 4或 4 (3)令 2=a,-n=b,则a2+a-7=0,b2十6 7=0. n>0,≠-n,即a≠6 a、b是方程x2十x一7=0的两个不相等的实 数根，+6=-1， ab=-7. 故-6-a62油5 16 第21章 4.若一个正整数m是两个连续正奇数或连续正偶5.(2026·四川泸州期末)若关于x的方程有一个解 数的乘积，即m=n(n十2)，其中n为正整数，则称m 为x=1,那么称这样的方程为“明一方程”.例如方 为“进步数”，n为m的“进步起点”.例如，35=5×7， 程：x2-x=0有解x=1,所以x2-x=0为“明 则35是“进步数”，5为35的“进步起点” 方程” (1)a是“进步数”，它的“进步起点”为1，则a= (1)下列方程是“明一方程”的有 ;(填 ;b是8的“进步起点”，则b= 序号) (2)把“进步数”x与“进步数”y的差记为 ①2x-2=0:②2x2+x-1=0;③lx-2=1. E(x,y),其中x>y,E(x,y)>0,例如，24=4X (2)已知x1、x2为“明一方程”x2十bx+c=0的两 6,15=3×5,则E(24,15)=24-15=9.若“进步 个根，且其中一根是另一根的2倍，试求b、c 数”x的“进步起点”为s,“进步数”y的“进步起 的值； 点”为t,当E(x,y)=16时，求二的值 (3)已知直线y=kx十b与x轴交于点A,与y轴 交于点B,S△4oB=6,且当y=0时，关于x的方程 (3)若m=k2(k为整数)，试探究m是否是“进步 y=kx十b为“明一方程”，求该直线的表达式. 数”，请说明理由. 视频学重难 17如下： - n =√n2. /m+1-1 n V n+1 =nW√n+1 ④√a+2a+1-69g-,即/a+1)196 b-2 x. 196 “√a2+2a十1-62=x符合所得规律， ∴.(a+1)2=196,b-2=√196+1=14+1=15， 解得a=13或-15，b=17, .a+b=13+17=30或a+b=-15+17=2,即 a+b的值为2或30. 第21章一元二次方程 例①：a是关于x的一元二次方程x2-3x-10= 0的根，.把x=a代入x2-3x一10=0， 得a2-3a-10=0,∴.a2-3a=10, ∴.a(a-3)+5=a2-3a+5=10+5=15. 例2(1)设x2=y,则原方程可化为y2-y-6=0, 整理，得(y一3)(y+2)=0, 解得y1=3,y2=一2. 当y=3时，x2=3,x=±3： →利用直接开平方法求x的值 当y=一2时，x2=一2无解. ∴.原方程的解为x1=√3，x2=一√3， (2)设x2-2x=y,则原方程可化为y2-5y一6=0， 整理，得(y-6)(y+1)=0, 解得y1=6,y2=-1. 当y=6时，x2-2x=6, 解得x1=1十7，x2=1√7； >利用公式法求得x的值 当y=-1时，x2-2x=-1,解得x3=x4=1. 综上所述，原方程的解为x1=1+√7，x2=1一√7， x3=x4=1. 例3(1)：△=(3m+1)2-4m×3=9m2-6m十1= (3m一1)2≥0，.方程有两个实数根. (2)由求根公式，得x=一3m-1士(3m-1) 2m ∴x= 1或x=一3. :m<0,x1<x2,.x1=-3,x2=一m 1 y=x1一x2 =-3十m(m<0), ∴.该函数的表达式是y=-3+m(m<0). (3)设关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x十3= 0(m≠0)的两个根为a、b, 则a+6=-3m+1--3- ,ab=3 m m 。与是整数品与启均为整数 ,m是正整数，∴.m=1, .原方程为x2十4x十3=0. .'x1与x1+n(n≠0)分别是关于x的方程x2+ 4x十3一b=0的两个根， x1十x1十n=-4,x1=-n十4， 2 :原式=4("安)°+12m("安)+5m2+16m+ 8=24. 例4(1)设购买传感器模型x个，则购买减速器模 型(600-x)个， 由题意，得20x十15(600-x)≤10000， 解得x≤200. 故最多能购买传感器模型200个 (2)设减速器模型应降价y元， 由题意，得(30-y-15)(200+50y)=4400, 整理，得y2-11y+28=0, 解得y1=7,y2=4. ,为了扩大销量占领市场，y=7. 故减速器模型应降价7元. 巩固特训 1.B 2.C[解析]A.当m=0时，方程为一元一次方程， 此选项错误； B.当m=1时，方程为x2-1=0,解得x=士1，方 程有两个不相等的实数解，此选项错误； C.当m=一1时，方程为-x2+2x一1=0，解得 x1=x2=1,方程有两个相等的实数解，此选项 43 正确； D.当m≠0时，△=(1-m)2-4×m×(-1)= (1十m)2≥0，方程有两个实数解，此选项错误.故 选C 3.(1).x=3是一元二次方程mx2-(2m-1)x= 0的一个根，.将x=3代入，得9m-3(2m一1)= 0,解得m=-1. (2)由(1)可得m=-1,∴.方程m.x2-(2m-1)x +m=0为x2-3x+1=0. “一元二次方程x2一3x十1三0的两个根分别是 a、b, >根据根与系数的关系得到a、b的关系式 ∴.a+b=3,ab=1,a2=3a-1, a1+21b-ab a3a3abta =(3a-1)2+216-1 a(a2-3a)+3+a 9a2-6a+1+21b-1 -a+3+a =9(3a-1)-6a+216 _21a+21b-9_21×3-9=18. 3 4.(1)依题意，得m≠1，a=m-1,b=-2m,c=m十 1,∴.b2-4ac=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4, x=-b士VB2-4ac 2m±2 2a 2(m-1)1 >利用求根公式求出x的值 2m+2_m+1 2m-2 x1-2m-5-m1x:2m--1 (2)由(1)知，x1=m+1 m-1 1+2 -11 ,方程的两个根都是正整数，且m是整数， 一是正整数，即m-1=1或m-1=2, 2 解得m=2或m=3. 7 5.x1=1,x2=5 6.(1)由题意，得[2(m+1)]2-4m(m-1)>0,解 1 得m> .m≠0， 44 ∴m的取值范围是m>-号且m≠0， (2)方程有一个根是x=一2， ∴.4m+2(m+1)×(-2)+m-1=0, 解得m=5, .原方程为5x2+12x十4=0， 解方程，得=一-2，=一号“方程的另个根 2 是x- 5m的值是5. 7.(1)方程有两个不相等的实数根， ∴.△=[-(2k+1)]2-4k2>0, 解得>子 (2)由题意，得x1十x2=2k十1，x1x2=k2. 1+1=3,+22-21=3, x1 x2 x1x2 k2 ∴32-2张-1=0，解得及=号或k=1 :>一=1 1 8.（1)方程的两根为菱形的相邻两边长，.此方程 有两个相等的实数根，∴.△=0， .[-2(k+1)]2-4(k2+k+3)=4(k2+2k+ 1)-4k2-4k-12=4k2+8k+4-4k2一4k-12= 4k一8=0，解得k=2. (2)不存在.理由如下： 设该方程的两解为a、b, ∴.△=4k-8≥0，∴.k≥2 ∴.a+b=2(k+1),ab=k2+k+3. ,该方程的两个解是边长为2的菱形的两条对角 线长，且菱形的两条对角线互相垂直平分， 由勾股定理，得（名）》尸+（侣）=4，即+a2= 16,.b2+2ab+a2-2ab=16, ∴.(a+b)2-2ab=16, .[2(k+1)]2-2(k+k+3)=16, 化简，得2十3k-9=0,解得k=一3士35 2 :=一3±35 ∠2， 与方程有两个解的条件相悖 .不存在满足条件的常数 9.(1)①(16-2a)(12-2a) ②(286一b2)[解析]，乙方案中花园宽为bm, '.花园区域的面积为12×16一(12一b)(16一b)= 192-(192-28b+b2)=28b-b2. 故花园区域的面积为(28b一b2)m2 (2)设甲方案中花园周围小路宽为am,矩形空地 面积为16×12=192m2. ,花园面积为矩形空地的一半即96m, ∴.(16-2a)(12-2a)=96, ∴.a2-14a十24=0，∴.a=2(a=12不符合实际， 舍去). 故花园周围小路的宽度是2m. (3)①由题意，得2x+y-2=32,∴.y=34-2x. ②由题意，得x(34-2x)=140, ∴.x=7或x=10,.当x=7时，y=34-2X7= 20>16,不符合题意，舍去；当x=10时，y=34 2×10=14,符合题意. 故篱笆围成的区域的长和宽分别是14m和10m. 10.(1)相等[解析]将各种方案中的小路向左或向 上平移后所得的图形均如图所示： (第10题) .四种方案的小路面积相等。 (2)设每条小路的宽是x米，根据题意，得(120 2x)(80-x)=9048, 整理，得x2-140x+276=0,解得x1=2,x2= 138(不符合题意，舍去). 故每条小路的宽是2米 知识拓属列一元二次方程解应用题的一般步骤： 1.审：读懂题目，弄清题意，明确已知量、未知量， 以及它们之间的关系。 2.设：设出未知数 3.列：找出相等关系，列出方程. 4.解：解方程，求出未知数的值， 5.验：检验方程的解是否符合实际意义 6.答：写出答案. 样反白 1.(1)(44一3x)[解析]设AB=x米，且围成养鸡 场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一 扇宽为2米的门（门无需板材），∴.BC=40+2× 2-3x=(44-3x)米. (2)设AB=x米，则BC=(44一3.x)米，根据题 意，得x(44-3x)=160,整理，得3x2一44x十 160-0,解得石1-9x,=8, 当x=9时，44-3×9=24（米），即BC的长 3 为24米>22米，不符合题意，舍去； 当AB=8时，44-3×8=20（米），即BC的长 为20米<22米，符合题意， 故重建后的养鸡场的宽AB为8米. 2.(1)设试验田的一边AB的长为xm,则BC=35一 3x+0.5X2=(36-3x)m, 由题意，得x(36-3x)=81,解得x=3或x=9. 当x=3时，BC=36-3x=36-9=27m>25m, 不符合题意，舍去； 当x=9时，BC=36-3x=36-27=9m<25m, 符合题意. 故当x为9时，围成的试验田面积为81m2. (2)不能围成面积为120m的试验田.理由如下： 由题意，得x(36-3x)=120,整理，得x2-12x十 40=0. .△=(-12)2-4×1×40=-16<0， ∴.该方程无实数根，即不能围成面积为120m的 试验田. 3.(1)x2-5x+6=0,∴.(x-2)(x-3)=0,解得 x1=2,x2=3, .x1十x2=2+3=5,x1·x2=2X3=6. ,x1十x2十x1·x2=5+6=11,(x1+x2)· (x1·x2)=5X6=30, ∴.一元二次方程x2一5x十6=0的“再生韦达方 程”为x2-11x十30=0. (2)根据题意，得 |x1+x2十x1·x2=-1, (x1+x2)·(x1·x2)=-30. 令m=x1十x2,n=x1·x2, 45 1m+n=-1,① 则原方程组为 mn=-30,② 由①，得m=-1-n,③ 将③代入②，得(-1-n)n=-30, 整理，得n2十n-30=0, 即(n-5)(n十6)=0，解得n1=5,n2=一6. 当n=5时，m=-1-n=-1-5=-6; 当n=-6时，m=-1-n=-1-(-6)=5. 故“再生韦达方程”x2十x一30=0的“原生方程” 为x2+6x+5=0或x2-5x-6=0. 4.(1)32[解析]a是“进步数”，它的“进步起 点”为1，.a=1×(1+2)=3. b是8的“进步起点”，.8=b(b十2)， 解得b1=2,b:三一4（不符合题意，舍去）， 不要忽略题中“为正整裁”的条件← .b=2 (2).E(x,y)=16, .x-y=s(s+2)-t(t+2)=16, ∴.s2+2s-t2-2t=s2-t2+2s-2t=(s+t)(s- t)+2(s-t)=(s-t)(s+t+2)=16. ,s、t均为正整数，s一t、s十t十2均为正整数， 且s+t+2>s-t. .16=1×16=2×8, .°6T2=6,ts十t+2=8, 或 s-t=2, 5（不符合题意，舍去)或5=4， s=7.5 解得 t=6. t=2, (3)m不是“进步数”.理由如下： 设n(n十2)=k2,即n2+2n-k2=0, .△=4+42=4(1+k2). .1十k2不是完全平方数，∴.n2十2m一k2=0没有 整数解，∴.m不是“进步数”. 5.（1)①③[解析].2x-2=0,∴.x=1, .2x-2=0是“明一方程”. 2x2+x-1=0,∴.（2x-1)(x+1)=0,解得 1 x1=-1,x2=2/ .2x2十x一1=0不是“明一方程”. ，46 |x-2=1,.x-2=1或x-2=-1,解得 x1=1,x2=3, .|x一2=1是“明一方程”. (2).x2十bx十c=0为“明一方程”， .方程必有一个根是x=1, ∴.1+b+c=0,即c=-1-b, x1、x2为“明一方程”x2十bx十c=0的两个根， 且其中一根是另一根的2倍， ∴.x1十x2=一b,x1x2=c,设x2=2x1, .3x1=-b,2x=c=-1-b,.2b2+9b+9=0, 解得b1=-3,b2=一号， 1 ∴.c1=2,c2=2’ 6=-86=2或6=多= (3),当y=0时，关于x的方程y=x十b为“明 一方程”，.当y=0时，x=1,.k十b=0, ∴.k=-b. 又直线y=x+b与x轴交于点A,与y轴交于 点B,A(1,0),B(0,b), .S-OA.OB-X1XI-6, 解得b=士12，∴.当b=12时，k=-12; 当b=-12时，k=12. 故直线的表达式为y=-12x+12或y= 12x-12. 第22章 图形的相似 例D9 例2(1)，四边形ABCD是矩形， .∠A=∠FDC=90° ,CF⊥DE,.∠DGF=90°，∴.∠ADE+∠CFD=90°， ∠ADE+∠AED=90°， ∴.∠CFD=∠AED, AAEDADFCD DE AD. (2)当∠B+∠EGC=180时，CF=CD成立.证明 如下： 四边形ABCD是平行四边形，